北師九年級下冊直角三角形的邊角關(guān)系知識點及習(xí)題

1、九年級下冊第一章 直角三角形的邊角關(guān)系【知識要點】一、銳角三角函數(shù)：正切：在RtABC中，銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作tanA，即;正弦：在RtABC中，銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作sinA，即;余弦：在RtABC中，銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作cosA，即;余切：在RtABC中，銳角A的鄰邊與對邊的比叫做A的余切，記作cotA，即;注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定義的,A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合,構(gòu)造直角三角形).（2）sinA,cosA,tanA, 是一個完整的符號,表示A,習(xí)慣省去“”號；（3）sinA,cosA,tanA,是一

2、個比值.注意比的順序,且sinA,cosA,tanA,均0,無單位.（4）sinA,cosA,tanA, 的大小只與A的大小有關(guān),而與直角三角形的邊長無關(guān).（5）角相等,則其三角函數(shù)值相等；兩銳角的三角函數(shù)值相等,則這兩個銳角相等.1、三角函數(shù)和角的關(guān)系tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 sinA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，sinA的值越大。 cosA的值越小，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，cosA的值越大。2、 三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互為余角的函數(shù)之間的關(guān)系0º30 º45 º60 º90

3、 ºsin01cos10tan01cot10若A為銳角，則； ； （2）同角的三角函數(shù)的關(guān)系利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，(1)當(dāng)角度在0°90°間變化時，正弦值、正切值隨著角度的增大(或減?。?而增大(或減小)；余弦值、余切值隨著角度的增大(或減小) 而減小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。 1)平方關(guān)系：sinA2cosA21 2)倒數(shù)關(guān)系：tanA·cotA1 3)商的關(guān)系：tanA，cotA二、解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解

4、直角三角形。在ABC中，C為直角，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則有(1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；(2)兩銳角的關(guān)系：AB=90°；解直角三角形的幾種基本類型列表如下：(3)邊與角之間的關(guān)系：(4)面積公式:(hc為C邊上的高); (5)直角三角形的內(nèi)切圓半徑(6)直角三角形的外接圓半徑圖1三、解直角三角形的應(yīng)用：1、當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角當(dāng)從高處觀測低處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為俯角2、 如圖2，坡面與水平面的夾角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即從某點的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3，O

5、A、OB、OC的方位角分別為45°、135°、225°。圖2hi=h:llABC指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4，OA、OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30°，南偏東45°(東南方向)、南偏西為60°，北偏西60°。圖3圖4【基礎(chǔ)訓(xùn)練】銳角三角函數(shù)定義一、填空題1如圖所示，B、B是MAN的AN邊上的任意兩點，BCAM于C點，BCAM于C點，則B'AC_，從而，又可得_，即在RtABC中(C90°)，當(dāng)A確定時，它的_與_的比是一個_值；_，即在RtAB

6、C中(C90°)，當(dāng)A確定時，它的_與_的比也是一個_；_，即在RtABC中(C90°)，當(dāng)A確定時，它的_與_的比還是一個_第1題圖2如圖所示，在RtABC中，C90°第2題圖_，_；_，_；_，_3因為對于銳角a 的每一個確定的值，sina 、cosa 、tana 分別都有_與它_，所以sina 、cosa 、tana 都是_又稱為a 的_4在RtABC中，C90°，若a9，b12，則c_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_5在RtABC中，C90°，若a1，b3，則c_，sinA_，cosA_，tanA

7、_，sinB_，cosB_，tanB_6在RtABC中，B90°，若a16，c30，則b_，sinA_，cosA_，tanA_，sinC_，cosC_，tanC_7在RtABC中，C90°，若A30°，則B_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_二、解答題8已知：如圖，RtTNM中，TMN90°，MRTN于R點，TN4，MN3求：sinTMR、cosTMR、tanTMR9已知RtABC中，求AC、AB和cosB綜合、運用、診斷10已知：如圖，RtABC中，C90°D是AC邊上一點，DEAB于E點DEAE12求：

8、sinB、cosB、tanB11已知：如圖，ABC中，AC12cm，AB16cm，(1)求AB邊上的高CD；(2)求ABC的面積S；(3)求tanB12已知：如圖，ABC中，AB9，BC6，ABC的面積等于9，求sinB拓展、探究、思考13已知：如圖，RtABC中，C90°，按要求填空：(1)_；(2)b_，c_；(3)a_，b_；(4)_，_；(5) _，_；(6)3，_，_正切：1、在RtABC中,銳角A的對邊和鄰邊同時擴(kuò)大100 倍,tanA的值（ ）A.擴(kuò)大100倍 B.縮小100倍 C.不變 2、已知A,B為銳角 (1)若A=B,則tanAtanB;(2)若tanA=tan

9、B,則AB. 3、在ABC中，C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.正弦和余弦：1已知中，3cosB=2， AC= ，則AB=中，如果，那么的值是（ ）A. B. C. D.中，分別是的對邊，若，則ABC4.如圖，一架梯子斜靠在墻上，若梯子到墻的距離=3米，則梯子的長度為米是等腰直角三角形的一個銳角，則的值是（） 三角函數(shù)值的計算一、填空題1填表銳角a30°45°60°sinacosatana二、解答題2求下列各式的值(1)(2)tan30°sin60°·sin30°(3)cos45

10、°3tan30°cos30°2sin60°2tan45°(4)3求適合下列條件的銳角a (1)(2)(3)(4)綜合、運用、診斷4已知：如圖，在菱形ABCD中，DEAB于E，BE16cm，求此菱形的周長5已知：如圖，在ABC中，BAC120°，AB10，AC5求：sinACB的值6已知：如圖，RtABC中，C90°，BAC30°，延長CA至D點，使ADAB求：(1)D及DBC；(2)tanD及tanDBC；(3)請用類似的方法，求tan22.5°7 已知：如圖，RtABC中，C90°，作DAC3

11、0°，AD交CB于D點，求：(1)BAD；(2)sinBAD、cosBAD和tanBAD8已知：如圖ABC中，D為BC中點，且BAD90°，求：sinCAD、cosCAD、tanCAD拓展、探究、思考9已知：如圖，AOB90°，AOOB，C、D是上的兩點，AODAOC，求證：(1)0sinAOCsinAOD1；(2)1cosAOCcosAOD0；(3)銳角的正弦函數(shù)值隨角度的增大而_；(4)銳角的余弦函數(shù)值隨角度的增大而_10 已知：如圖，CAAO，E、F是AC上的兩點，AOFAOE(1)求證：tanAOFtanAOE；(2)銳角的正切值隨角度的增大而_11已知：

12、如圖，RtABC中，C90°，求證：(1)sin2Acos2A1(2)解直角三角形（一）一、填空題1在解直角三角形的過程中，一般要用的主要關(guān)系如下(如圖所示)：在RtABC中，C90°，ACb，BCa，ABc，三邊之間的等量關(guān)系：_兩銳角之間的關(guān)系：_邊與角之間的關(guān)系：_；_；第1題圖_；_直角三角形中成比例的線段(如圖所示)第小題圖在RtABC中，C90°，CDAB于DCD2_；AC2_；BC2_；AC·BC_直角三角形的主要線段(如圖所示)第小題圖直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的_，斜邊的中點是_若r是RtABC(C90°)的內(nèi)切圓半徑，則

13、r_直角三角形的面積公式在RtABC中，C90°，SABC_(答案不唯一)2關(guān)于直角三角形的可解條件，在直角三角形的六個元素中，除直角外，只要再知道_(其中至少_)，這個三角形的形狀、大小就可以確定下來解直角三角形的基本類型可分為已知兩條邊(兩條_或斜邊和_)及已知一邊和一個銳角(_和一個銳角或_和一個銳角)3填寫下表：已知條件解法一條邊和斜邊c和銳角AB_，a_，b_直角邊a和銳角AB_，b_，c_兩條邊兩條直角邊a和bc_，由_求A，B_直角邊a和斜邊cb_，由_求A，B_二、解答題4在RtABC中，C90°(1)已知：a35，求A、B，b；(2)已知：，求A、B，c；

14、(3)已知：，求a、b；(4)已知：求a、c；(5)已知：A60°，ABC的面積求a、b、c及B拓展、探究、思考8如圖所示，甲樓在乙樓的西面，它們的設(shè)計高度是若干層，每層高均為3m，冬天太陽光與水平面的夾角為30°(1)若要求甲樓和乙樓的設(shè)計高度均為6層，且冬天甲樓的影子不能落在乙樓上，那么建筑時兩樓之間的距離BD至少為多少米?(保留根號)(2)由于受空間的限制，甲樓和乙樓的距離BD21m，若仍要求冬天甲樓的影子不能落在乙樓上，那么設(shè)計甲樓時，最高應(yīng)建幾層?9王英同學(xué)從A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再從B地向正南方向走200m到C地，此時王英同學(xué)離A地多

15、少距離?10已知：如圖，在高2m，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要多少米?(保留整數(shù))、解直角三角形（二）1已知：如圖，ABC中，A30°，B60°，AC10cm求AB及BC的長2已知：如圖，RtABC中，D90°，B45°，ACD60°BC10cm，AD的長3已知：如圖，ABC中，A30°，B135°，AC10cm求AB及BC長4已知：如圖，RtABC中，A30°，C90°，BDC60°，BC6cm求AD的長綜合、運用、診斷5已知：如圖，河旁有一座小山，從山頂A處測得

16、河對岸點C的俯角為30°，測得岸邊點D的俯角為45°，又知河寬CD為50m現(xiàn)需從山頂A到河對岸點C拉一條筆直的纜繩AC，求山的高度及纜繩AC的長(答案可帶根號)三角函數(shù)的應(yīng)用1、 船有觸礁的危險嗎 例1、已知：如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點A處測得燈塔M在北偏西30°，貨輪以每小時20海里的速度航行，1小時后到達(dá)B處，測得燈塔M在北偏西45°，問該貨輪繼續(xù)向北航行時，與燈塔M之間的最短距離是多少?(精確到0.1海里，)練習(xí)1、如圖，某貨船以20海里時的速度將一批重要物資由A處運往正西方向的B處，經(jīng)16小時的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨.此時.接到氣象

17、部門通知，一臺風(fēng)中心正以40海里時的速度由A向北偏西60°方向移動，距臺風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均受到影響. (1)問：B處是否會受到臺風(fēng)的影響?請說明理由.(2)為避免受到臺風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時內(nèi)卸完貨物?(供選用數(shù)據(jù)：1.4， 1.7)練習(xí)2、如圖，一條小船從港口出發(fā)，沿北偏東方向航行海里后到達(dá)處，然后又沿北偏西方向航行海里后到達(dá)處問此時小船距港口多少海里？（結(jié)果精確到1海里）（以下數(shù)據(jù)可以選用：，)2、測量物體的高度(1)例2、已知：如圖，在某旅游地一名游客由山腳A沿坡角為30°的山坡AB行走400m，到達(dá)一個景點B，再由B地沿山坡BC行走320米

18、到達(dá)山頂C，如果在山頂C處觀測到景點B的俯角為60°求山高CD(精確到0.01米)練習(xí)1、已知：如圖，在兩面墻之間有一個底端在A點的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時，梯子的頂端在B點；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時，梯子的頂端在D點已知BAC60°，DAE45°點D到地面的垂直距離，求點B到地面的垂直距離BC練習(xí)2、已知：如圖，小明準(zhǔn)備測量學(xué)校旗桿AB的高度，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)斜坡正對著太陽時，旗桿AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，測得水平地面上的影長BC20m，斜坡坡面上的影長CD8m，太陽光線AD與水平地面成26°角，斜坡CD與水平地面所成的銳角為30°，求旗

19、桿AB的高度(精確到1m) 3、測量物體的高度(2)例3、某市為促進(jìn)本地經(jīng)濟(jì)發(fā)展,計劃修建跨河大橋,需要測出河的寬度AB, 在河邊一座高度為300米的山頂觀測點D處測得點A,點B的俯角分別為=30°,=60°, 求河的寬度(精確到0.1米)練習(xí)1、如圖：某水壩的橫斷面為梯形，壩頂寬為米，壩高為米，斜坡的坡度，斜坡的坡角為求（1）斜坡的坡角；（2）壩底寬（精確到米）（參考數(shù)據(jù)：，）直角三角形的邊角關(guān)系基礎(chǔ)性測試卷一、選擇題1如圖，在中，3，4，5,則的值是（）ABCD2在中，則等于（ ）ABC D3如圖，已知正方形的邊長為2，如果將線段繞著點旋轉(zhuǎn)后，點落在的延長線上的點處，那

20、么等于（）A1BC D=12的坡面向上前進(jìn)了10，此時小球距離地面的高度為（）A5 B C D5如圖，在某海島的觀察所A測得船只B的俯角是30°.若觀察所的標(biāo)高（當(dāng)水位為0m時的高度）是53m，當(dāng)時的水位是3m，則觀察所A和船只B的水平距離BC是（ ）A50 mB mC53 mDm 6如圖，兩條寬度均為40 m的國際公路相交成角，那么這兩條公路在相交處的公共部分（圖中陰影部分）的路面面積是（ ）A（m2） B（m2） C1600sin（m2） D1600cos（m2）7某市為了美化環(huán)境，計劃在如圖所示的三角形空地上種植草皮，已知這種草皮每平方米售價為a元，則購買這種草皮至少需要（ ）

21、A450a元B225a元C150a元D300a元8身高相同的甲、乙、丙三人放風(fēng)箏，各人放出線長分別為300米、350米、280米，線與地面的夾角分別為30°、45°、60°（假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的），三人所放風(fēng)箏（ ）A甲的最高B乙的最高C丙的最高D一樣高2、 填空題1在中，若=2，則2在中，則3在中，則 4在中，則的面積為5如圖所示，在高2 m，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要m6如圖所示，從位于O處的某哨所發(fā)現(xiàn)在它的北偏東60°的方向，相距600 m的A處有一艘快艇正在向正南方向航行，經(jīng)過若干時間，快艇到達(dá)哨所東南方向的B處，則

22、A，B的距離為m7如圖，在高為h的山頂上，測得一建筑物頂端與底部的俯角分別為30°和60°，用h表示這個建筑物的高為（第7題圖）（第6題圖）（第5題圖）（第6題圖） （第7題圖）三、解答題1在等腰直角三角形中，是上一點，若，求的長2如圖，學(xué)校的保管室里，有一架5米長的梯子斜靠在墻上，此時梯子與地面所成的角為，如果梯子的底端固定不動，頂端靠在對面墻上，此時梯子與地面所成的角為，求此保管室的寬度的長3如圖，在中，14，求的值。4一人由山底爬到山頂，他先爬了的山坡200米，接著又爬了的山坡100米，到達(dá)山頂，求從山底到山頂?shù)母叨?。（精確到）5如圖，沿AC方向開山修渠，為了加快施工

23、速度，要在小山的另一邊同進(jìn)施工，從AC上的點B取ABD135°，BD1200米，BDE45°，那么開挖點E離D多遠(yuǎn)（精確到0.1米）正好能使A、C、E成一條直線？直角三角形的邊角關(guān)系提高性測試卷一、選擇題1如圖，在RtABC中，ACB90°，CDAB，D為垂足若AC4，BC3，則sinACD的值為（）A BCD2已知AB90°且cosA，則cosB的值為（）ABCD3已知tana，則銳角a滿足（）A0°a30°B30°a45° C45°a60°D60°a90°4如圖所示，在ABC中，ABAC5，BC8，則tanC（）ABCD5如圖，從山頂A望到地面C，D兩點，測得它們的俯角分別是45°和30°，已知CD100m，點C在BD上，則山高AB等于（ ）A100 m Bm Cm D50（）m 6已知樓房AB高50 m，如圖，鐵塔塔基距樓房房基間的水平距離BD50 m，塔高DC為（）m，下列結(jié)論中，正確的是（ ）A