4月7日培優(yōu)解直角三角形的應(yīng)用教師用卷

1、輔導(dǎo)教師：趙鵬學(xué)生：班級(jí)：題號(hào)一二三四總分得分一、選擇題（本大題共1小題，共分）1. 小明利用測(cè)角儀和旗桿的拉繩測(cè)量學(xué)校旗桿的高度如圖，旗桿PA的高度與拉繩PB的長(zhǎng)度相等小明將PB拉到的位置，測(cè)得為水平線，測(cè)角儀的高度為1米，則旗桿PA的高度為A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：設(shè)，在中，故選A設(shè)，在中，根據(jù)，列出方程即可解決問(wèn)題本題考查解直角三角形、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)列方程，屬于中考?？碱}型二、填空題（本大題共3小題，共分）2. 如圖，航拍無(wú)人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部B的仰角為，測(cè)得底部C的俯角為，此時(shí)航拍無(wú)人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為90米，那么該建筑物的高

2、度BC約為_(kāi) 米精確到1米，參考數(shù)據(jù)：【答案】208【解析】解：由題意可得：，解得：，解得：，故該建筑物的高度為：，故答案為：208分別利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出該建筑物的高度此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵3. 某同學(xué)沿坡比為1：的斜坡前進(jìn)了90米，那么他上升的高度是_ 米【答案】45【解析】解：如圖：坡比為1：米，米故答案為：首先利用坡比得出的度數(shù)，再利用直角三角形的性質(zhì)得出答案本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問(wèn)題，熟知“坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，叫做坡比”是解答此題的關(guān)鍵4. 如圖，在一筆直的沿湖道路l上有A、B兩個(gè)游船

3、碼頭，觀光島嶼C在碼頭A北偏東的方向，在碼頭B北偏西的方向，游客小張準(zhǔn)備從觀光島嶼C乘船沿CA回到碼頭A或沿CB回到碼頭B，設(shè)開(kāi)往碼頭A、B的游船速度分別為、，若回到A、B所用時(shí)間相等，則_ 結(jié)果保留根號(hào)【答案】【解析】解：作于點(diǎn)B在中，中，故答案是：作于點(diǎn)D，在中利用三角函數(shù)求得CD的長(zhǎng)，然后在中求得BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)求解本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，作出輔助線，轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算，求得BC的長(zhǎng)是關(guān)鍵三、計(jì)算題（本大題共2小題，共分）5. 某興趣小組借助無(wú)人飛機(jī)航拍校園如圖，無(wú)人飛機(jī)從A處水平飛行至B處需8秒，在地面C處同一方向上分別測(cè)得A處的仰角為處的仰角為已知無(wú)人飛機(jī)的飛行速度為4米

4、秒，求這架無(wú)人飛機(jī)的飛行高度結(jié)果保留根號(hào)【答案】解：如圖，作水平線，由題意得：，則【解析】如圖，作水平線，根據(jù)題意確定出與的度數(shù)，利用銳角三角函數(shù)定義求出AD與BD的長(zhǎng)，由求出BC的長(zhǎng)，即可求出BH的長(zhǎng)此題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵6. 如圖，為測(cè)量一座山峰CF的高度，將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和BC兩段，每一段山坡近似是“直”的，測(cè)得坡長(zhǎng)米，米，坡角求AB段山坡的高度EF；求山峰的高度結(jié)果精確到米【答案】解：作于H，如圖，在中，；在中，答：AB段山坡高度為400米，山CF的高度約為541米【解析】作于H，如圖，在中根據(jù)正弦的定義可計(jì)算出BH的

5、長(zhǎng)，從而得到EF的長(zhǎng)；先在中利用的正弦計(jì)算出CE，然后計(jì)算CE和EF的和即可本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度與坡角問(wèn)題：坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫(xiě)成：m的形式把坡面與水平面的夾角叫做坡角，坡度i與坡角之間的關(guān)系為：四、解答題（本大題共16小題，共分）7. 如圖，在某次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，小明為了測(cè)量校園內(nèi)旗桿AB的高度，站在教學(xué)樓CD上的E處測(cè)得旗桿底端B的仰角的度數(shù)為，測(cè)得旗桿頂端A的仰角的度數(shù)為，旗桿底部B處與教學(xué)樓底部C處的水平距離BC為9m，求旗桿的高度結(jié)果精確到【參考數(shù)據(jù)：】【答案】解：如圖，由題意得，在中，&

6、#160;                                                 &

7、#160;          在中，答：旗桿AB的高度約為【解析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出BF及AF的長(zhǎng)，再由即可得出結(jié)論本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵8. 如圖，CD是一高為4米的平臺(tái)，AB是與CD底部相平的一棵樹(shù)，在平臺(tái)頂C點(diǎn)測(cè)得樹(shù)頂A點(diǎn)的仰角，從平臺(tái)底部向樹(shù)的方向水平前進(jìn)3米到達(dá)點(diǎn)E，在點(diǎn)E處測(cè)得樹(shù)頂A點(diǎn)的仰角，求樹(shù)高結(jié)果保留根號(hào)【答案】解：作于點(diǎn)F，設(shè)米，在中，則，在直角中，米，在直角中，則米，即解得：，則米答：樹(shù)高AB是米【解析】作于點(diǎn)F，

8、設(shè)米，在直角中利用三角函數(shù)用x表示出CF的長(zhǎng)，在直角中表示出BE的長(zhǎng)，然后根據(jù)即可列方程求得x的值，進(jìn)而求得AB的長(zhǎng)本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)度9. 如圖，某大樓的頂部樹(shù)有一塊廣告牌CD，小李在山坡的坡腳A處測(cè)得廣告牌底部D的仰角為沿坡面AB向上走到B處測(cè)得廣告牌頂部C的仰角為，已知山坡AB的坡度：米，米：是指坡面的鉛直高度BH與水平寬度AH的比求點(diǎn)B距水平面AE的高度BH；求廣告牌CD的高度測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到米參考數(shù)據(jù)：【答案】解：過(guò)B作于G，中，；，四邊形BHEG是矩形由得：，中，中，答：宣傳牌CD高約米【

9、解析】過(guò)B作DE的垂線，設(shè)垂足為分別在中，通過(guò)解直角三角形求出BH、AH；在解直角三角形求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出EH即BG的長(zhǎng)，在中，則，由此可求出CG的長(zhǎng)然后根據(jù)即可求出宣傳牌的高度此題綜合考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問(wèn)題化歸為解直角三角形的問(wèn)題是解答此類題的關(guān)鍵10. 科技改變生活，手機(jī)導(dǎo)航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達(dá)A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西方向行駛4千米至B地，再沿北偏東方向行駛一段距離到達(dá)古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，求兩地的距離【答案】解：過(guò)B作于點(diǎn)D在中，千米，千米，中，是等腰直角三角形，千米，千米答：

10、兩地的距離是千米【解析】過(guò)B作于點(diǎn)D，在直角中利用三角函數(shù)求得BD的長(zhǎng)，然后在直角中利用三角函數(shù)求得BC的長(zhǎng)此題考查了方向角問(wèn)題此題難度適中，解此題的關(guān)鍵是將方向角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的知識(shí)，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解11. 如圖，某人為了測(cè)量小山頂上的塔ED的高，他在山下的點(diǎn)A處測(cè)得塔尖點(diǎn)D的仰角為，再沿AC方向前進(jìn)60m到達(dá)山腳點(diǎn)B，測(cè)得塔尖點(diǎn)D的仰角為，塔底點(diǎn)E的仰角為，求塔ED的高度結(jié)果保留根號(hào)【答案】解：由題知，又，設(shè)，則，由題知，為等腰直角三角形，解得：答：塔高約為【解析】先求出，得出，然后設(shè)，則，然后根據(jù)，可得，列出方程求出x的值，然后即可求出塔DE的高度本題考查了解直角三角形的應(yīng)

11、用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角和俯角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解，難度一般12. 清明節(jié)假期，小紅和小陽(yáng)隨爸媽去旅游，他們?cè)诰包c(diǎn)看到一棵古松樹(shù)，小紅驚訝的說(shuō)：“呀這棵樹(shù)真高有60多米”小陽(yáng)卻不以為然：“60多米？我看沒(méi)有”兩個(gè)人爭(zhēng)論不休，爸爸笑著說(shuō)：“別爭(zhēng)了，正好我?guī)Я艘桓比前?，用你們學(xué)過(guò)的知識(shí)量一量、算一算，看誰(shuí)說(shuō)的對(duì)吧”小紅和小陽(yáng)進(jìn)行了以下測(cè)量：如圖所示，小紅和小陽(yáng)分別在樹(shù)的東西兩側(cè)同一地平線上，他們用手平托三角板，保持三角板的一條直角邊與地平面平行，然后前后移動(dòng)各自位置，使目光沿著三角板的斜邊正好經(jīng)過(guò)樹(shù)的最高點(diǎn)，這時(shí)，測(cè)得小紅和小陽(yáng)之間的距離為135米，他們的眼睛到地面的距離都

12、是米請(qǐng)?jiān)谥付▍^(qū)域內(nèi)畫(huà)出小紅和小陽(yáng)測(cè)量古松樹(shù)高的示意圖；通過(guò)計(jì)算說(shuō)明小紅和小陽(yáng)誰(shuí)的說(shuō)法正確計(jì)算結(jié)果精確到參考數(shù)據(jù)：【答案】解：如圖，AB表示古松樹(shù)的高，分別表示小紅和小陽(yáng)的眼睛到地面的距離；由題意得，四邊形CDEF是矩形，米，米，設(shè)米，米，米，古松樹(shù)高米米，小陽(yáng)的說(shuō)法正確【解析】如圖，根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可；由題意得，四邊形CDEF是矩形，于是得到米，米，設(shè)米，解直角三角形即可得到結(jié)論題考查了解直角三角形的問(wèn)題該題是一個(gè)比較常規(guī)的解直角三角形問(wèn)題，建立模型比較簡(jiǎn)單，但求解過(guò)程中涉及到根式和小數(shù)，算起來(lái)麻煩一些13. 如圖，長(zhǎng)方形廣告牌架在樓房頂部，已知，經(jīng)測(cè)量得到，求GH的長(zhǎng)參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到

13、【答案】解：延長(zhǎng)CD交AH于點(diǎn)E，如圖所示：根據(jù)題意得：，設(shè)，則，在和中，即，解得：，答：GH的長(zhǎng)為6m【解析】首先構(gòu)造直角三角形，設(shè)，則，由三角函數(shù)得出AE和BE，由得出方程，解方程求出DE，即可得出GH的長(zhǎng)此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)已知構(gòu)造直角三角形得出DE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵14. 圖是小明在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)的情景，圖是小明鍛煉時(shí)上半身由ON位置運(yùn)動(dòng)到與地面垂直的OM位置時(shí)的示意圖已知米，米，參考數(shù)據(jù)：求AB的長(zhǎng)精確到米；若測(cè)得米，試計(jì)算小明頭頂由N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的路徑的長(zhǎng)度結(jié)果保留【答案】解：過(guò)B作于E，則米米米，米；，所以的長(zhǎng)度是米【解析】過(guò)B作于E，求出AE，解直角

14、三角形求出AB即可；求出的度數(shù)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出即可本題考查了弧長(zhǎng)公式，解直角三角形的應(yīng)用，能把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題是解此題的關(guān)鍵15. 為了方便居民低碳出行，聊城市公共自行車租賃系統(tǒng)一期試運(yùn)行圖是公共自行車的實(shí)物圖，圖是公共自行車的車架示意圖，點(diǎn)A、D、C、E在同一條直線上，于點(diǎn)D，座桿，且求AD的長(zhǎng)；求點(diǎn)E到AB的距離精確到，參考數(shù)據(jù)：【答案】解：在中，由勾股定理得，；，如圖，過(guò)點(diǎn)E作于H，在中，則答：點(diǎn)E到AB的距離為 cm【解析】根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)；作于H，求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)正弦的概念求出點(diǎn)E到車架AB的距離本題考查的是解直角三角形的知識(shí)，正確找出輔助線、掌握銳角三角

15、函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵16. 如圖，已知斜坡AB長(zhǎng)為80米，坡角即為，現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)D處挖去部分坡體用陰影表示修建一個(gè)平行于水平線CA的平臺(tái)DE和一條新的斜坡BE若修建的斜坡BE的坡角為，求平臺(tái)DE的長(zhǎng)；結(jié)果保留根號(hào)一座建筑物GH距離A處36米遠(yuǎn)即AG為36米，小明在D處測(cè)得建筑物頂部H的仰角即為點(diǎn)B、C、A、G、H在同一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)C、A、G在同一條直線上，且，求建筑物GH的高度結(jié)果保留根號(hào)【答案】解：修建的斜坡BE的坡角為，平臺(tái)DE的長(zhǎng)為米；過(guò)點(diǎn)D作，垂足為P在中，在矩形DPGM中，在中，則答：建筑物GH高為米【解析】根據(jù)題意得出，解直角，求出，進(jìn)而得出EF的長(zhǎng)，即可得出答案；利用在中，

16、以及進(jìn)而得出DM的長(zhǎng)，利用得出即可此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問(wèn)題以及仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)圖形構(gòu)建直角三角形，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)得出是解題關(guān)鍵17. 如圖1是一種折疊椅，忽略其支架等的寬度，得到他的側(cè)面簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖圖，支架與坐板均用線段表示，若座板DF平行于地面MN，前支撐架AB與后支撐架AC分別與座板DF交于點(diǎn)E、D，現(xiàn)測(cè)得厘米，厘米，求椅子的高度即椅子的座板DF與地面MN之間的距離精確到1厘米求椅子兩腳B、C之間的距離精確到1厘米參考數(shù)據(jù)：【答案】解：如圖，作于點(diǎn)P，即，則在中，答：椅子的高度約為39厘米；作于點(diǎn)Q，又，四邊形DEQP是矩形，又，答：椅子兩腳B、C之間的距離約為5

17、4cm【解析】作于點(diǎn)P，即，由知，根據(jù)可得答案；作于點(diǎn)Q可得四邊形DEQP是矩形，知，再分別求出BQ、CP的長(zhǎng)可得答案本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解直角三角形的一般過(guò)程是：將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題畫(huà)出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問(wèn)題的答案18. 如圖分別是某款籃球架的實(shí)物圖與示意圖，已知底座米，底座BC與支架AC所成的角，支架AF的長(zhǎng)為米，籃板頂端F點(diǎn)到籃框D的距離米，籃板底部支架HE與支架AF所成的角，求籃框D到地面的距離精確到米參考數(shù)據(jù)：【答案】解：延長(zhǎng)FE交CB的延長(zhǎng)線

18、于M，過(guò)A作于G，在中，在中，米，答：籃框D到地面的距離是米【解析】延長(zhǎng)FE交CB的延長(zhǎng)線于M，過(guò)A作于G，解直角三角形即可得到結(jié)論本題考查解直角三角形、銳角三角函數(shù)、解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，記住銳角三角函數(shù)的定義，屬于中考?？碱}型19. 圖1是太陽(yáng)能熱水器裝置的示意圖，利用玻璃吸熱管可以把太陽(yáng)能轉(zhuǎn)化為熱能，玻璃吸熱管與太陽(yáng)光線垂直時(shí)，吸收太陽(yáng)能的效果最好，假設(shè)某用戶要求根據(jù)本地區(qū)冬至正午時(shí)刻太陽(yáng)光線與地面水平線的夾角確定玻璃吸熱管的傾斜角太陽(yáng)光線與玻璃吸熱管垂直，請(qǐng)完成以下計(jì)算：如圖，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)G若，則AB的長(zhǎng)約為_(kāi) cm；參考數(shù)據(jù)：若，求CF的長(zhǎng)【答案】【

19、解析】解：如圖，作于點(diǎn)P，作于點(diǎn)Q，則，且，則，故答案為：；如圖，延長(zhǎng)ED、BC交于點(diǎn)K，由知，在中，在中，則作、，知，由且知，根據(jù)和可得答案；延長(zhǎng)ED、BC交于點(diǎn)K，結(jié)合知，從而由、可得答案本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)建所需直角三角形和熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵20. 放風(fēng)箏是大家喜愛(ài)的一種運(yùn)動(dòng)，星期天的上午小明在市政府廣場(chǎng)上放風(fēng)箏如圖，他在A處不小心讓風(fēng)箏掛在了一棵樹(shù)梢上，風(fēng)箏固定在了D處，此時(shí)風(fēng)箏AD與水平線的夾角為，為了便于觀察，小明迅速向前邊移動(dòng)，收線到達(dá)了離A處10米的B處，此時(shí)風(fēng)箏線BD與水平線的夾角為已知點(diǎn)在同一條水平直線上，請(qǐng)你求出小明此時(shí)所收回的風(fēng)箏線的長(zhǎng)度是多少米？風(fēng)箏線均為線段，最后結(jié)果精確到1米【答案】