二元一次方程組知識點歸納提高練習

1、一、知識梳理相關(guān)概念1、 二元一次方程的定義：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程。2、 二元一次方程組的定義：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。注意 ：二元一次方程組不一定都是由兩個二元一次方程合在一起組成的！ 也可以由一個或多個二元一次方程單獨組成。 3、 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有無數(shù)個解。4、 二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。二元一次方程組解法代入消元法：把二元一次方程組中一個方程

2、的未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解。這個方法叫做代入消元法，簡稱代入法?；舅悸罚簩⒍淮畏匠探M轉(zhuǎn)化為一元一次方程。代入法解二元一次方程組的一般步驟：1、 從方程組中選出一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數(shù)（例如y）用含另一個未知數(shù)（例如x）的代數(shù)式表示出來，即寫成y=ax+b的形式，即“變”2、 將y=ax+b代入到另一個方程中，消去y，得到一個關(guān)于x的一元一次方程，即“代”。3、 解出這個一元一次方程，求出x的值，即“解”。4、 把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”5、 把x、y的值用聯(lián)立起來即“

3、聯(lián)”加減消元法：像這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法。用加減消元法解二元一次方程組的解1、 方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不互為相反數(shù)又不相等，那么就用適當?shù)臄?shù)乘方程兩邊，使同一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等，即“乘”。2、 把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)、得到一個一元一次方程，即“加減”。3、 解這個一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值，即“解”。4、 將這個求得的未知數(shù)的值代入原方程組中任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值即“回代”。5、把求得的兩個未知數(shù)的值用聯(lián)立起來，即“聯(lián)”。注意：用加減法或者用代入消元法解決問題時,應注意用哪種方法簡單,避

4、免計算麻煩或?qū)е掠嬎沐e誤！教科書中沒有的幾種解法 (一)加減-代入混合使用的方法. 例1,13x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解:(2)-(1)得 x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得 x=1 所以:x=1, y=2 特點:兩方程相加減,單個x或單個y,這樣就適用接下來的代入消元. (二)換元法 例2，(x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可寫為 m+n=8 m-n=4 解得m=6, n=2 所以x+5

5、=6,y-4=2 所以x=1, y=6 特點：兩方程中都含有相同的代數(shù)式，如題中的x+5,y-4之類，換元后可簡化方程也是主要原因。 （三）另類換元 例3，x:y=1:4 5x+6y=29 令x=t,y=4t 方程2可寫為：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4 列方程（組）解應用題 列方程（組）解應用題是中學數(shù)學聯(lián)系實際的一個重要方面。其具體步驟是：審題。理解題意，找相等關(guān)系。弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等關(guān)系是什么；設(shè)元（未知數(shù)）。直接未知數(shù)間接未知數(shù)（往往二者兼用）。一般來說，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解；用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)

6、的量，再根據(jù)相等關(guān)系列出方程組；解所得二元一次方程組；檢驗（雙重）答。 綜上所述，列方程（組）解應用題實質(zhì)是先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題（設(shè)元、列方程），在由數(shù)學問題的解決而導致實際問題的解決（列方程、寫出答案）。在這個過程中，列方程起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應用題的關(guān)鍵。 常用的相等關(guān)系1 行程問題（勻速運動）相遇問題；追及問題；水中航行.2 配料問題：溶質(zhì)=溶液×濃度 溶液=溶質(zhì)+溶劑3增長率問題4工程問題：基本關(guān)系：工作量=工作效率×工作時間（常把工作量看著單位“1”）5幾何問題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關(guān)比例性質(zhì)等。 三注意語言與解析

7、式的互化 如，“多”、“少”、“增加了”、“增加為（到）”、“同時”、“擴大為（到）”、“擴大了”、 又如，一個三位數(shù)，百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個位數(shù)字為c，則這個三位數(shù)為：100a+10b+c，而不是abc。 注意；單位換算！二、例題解析一、選擇題1若是方程式的一個解，則等于 ( ) A B C6 D2如果與是同類項，則、的值分別是 ( )A B C D3如果方程組的解中的與的值相等，那么的值是 ( ) A1 B2 C3 D44當=2時，代數(shù)式的值為6，那么當時這個式子的值為 ( ) A6 B一4 C5 D15甲、乙兩人同求方程的整數(shù)解，甲正確地求出一個解為，乙把看成，求得一個解為則、的

8、值分別為 ( )、2 C 3、36如下表，從左到右在每個小格子中都填入一個整數(shù)，使得其中任意三個相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等，則第2015個格子中的數(shù)為 ( )2abc31A2 B3 C0 D17.若(xy)|yx|,則x 的值為()A. B. C. D.8如果一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和是6，且個位上的數(shù)不為O，那么這樣的兩位數(shù)有 ( ) A4個 B5個 C6個 D7個9若方程是關(guān)于、的二元一次方程，則、的值分別為( ) A一1，2 B一1，一2 C .1，一2 D1，210若方程組的解滿足，則的值為 ( ) A一1 B1 C. 0 D無法確定11利用兩塊相同的長方體木塊測量一

9、張桌子的高度，首先按圖(1)的方式放置，再交換兩塊木塊的位置，按圖(2)的方式放置測量的數(shù)據(jù)如圖，則桌子的高度是 ( )A73 cm B74 cm C75 cm D76 cm12.已知xy,|x|y|,那么xy 的值是( )A. ± B. ±C. ±D. ±二、填空題1若是二元一次方程，則2已知，且，則3.已知，且，則=4方程的正整數(shù)解有組5如圖(1)，在第一個天平上，砝碼A的質(zhì)量等于砝碼B加上砝碼C的質(zhì)量；如圖(2)，在第二個天平上，砝碼A加上砝碼B的質(zhì)量等于3個砝碼C的質(zhì)量請你判斷：1個砝碼A有個砝碼C的質(zhì)量相等6如圖所示，兩人沿著邊長為90 m的正

10、方形，按ABCDA的方向行走甲從A以65 mmin的速度、乙從B點以72 mmin的速度行走，當乙第一次追上甲時，將在正方形的邊上7.如果關(guān)于的方程和的解相同，那么8.9.某鐵路橋長1750m，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得該火車從開始上橋到完全過橋共用了80s，整列火車完全在橋上的時間共60s；設(shè)火車的速度為xm/s，火車的長度為ym，根據(jù)題意得方程組為.10、根據(jù)下列所示的程序計算的值，若輸出的y值為，則輸入的x值為三、解答題1解下列方程組：（1）（2）(3) (4)(5) （6）2.當k為何值時，方程組的解也是方程的解?3.4.5若關(guān)于、的二元一次方程組的解、互為相反數(shù)，求的值yx6對于有

11、理數(shù)，定義一種運算“”，其中為常數(shù)；等式右邊是通常的加法與乘法運算已知35=15，47=28，求11的值7小明用8個一樣大的矩形(長)拼圖，拼出了如圖甲、乙的兩種圖案：圖甲是一個正方形，圖案乙是一個大的矩形；圖案甲的中間留下了邊長是2 cm的正方形小洞求。8.9.二元一次方程組應用分類一、數(shù)字問題例1、一個兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上的數(shù)與個位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個兩位數(shù)二、利潤問題例2、一件商品如果按定價打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，問此商品的定價是多少？三、配套問題例3、某廠共有120名生產(chǎn)工人，每個工人每天可生產(chǎn)

12、螺栓25個或螺母20個，如果一個螺栓與兩個螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套？四、貨運問題例4、某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸的體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應各裝多少噸？五、行程問題例5、在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米分別在A、C兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團伙作案后同時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現(xiàn)場，正在B站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令

13、后立即以相同的速度分別往A、C兩個加油站駛?cè)ィY(jié)果往B站駛來的團伙在1小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團伙經(jīng)過3小時后才被另一輛巡邏車追趕上問巡邏車和犯罪團伙的車的速度各是多少？六、工程問題例6 、某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個服裝廠原來的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的；現(xiàn)在工廠改進了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時間少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？三、鞏固練習1.某化妝晚會上，男生臉上涂藍色油彩，女生臉

14、上涂紅色油彩，游戲時，每個男生都看見涂紅色油彩的人數(shù)比涂藍色油彩的人數(shù)的2倍少1人，而每個女生都看見涂藍色的人數(shù)是涂紅色人數(shù)的35，則晚會上男、女生各有幾人？2為了鼓勵市民節(jié)約用水，某市居民生活用水按階梯式水價計費下表是該市居民“一戶一表”生活用水階梯式計費價格表的一部分：已知小王家2014年4月份用水20噸，交水費66元；5月份用水25噸，交水費91元(1)求、的值；(2)隨著夏天的到來用水量將增加，為了節(jié)約開支，小王計劃把6月份水費控制在家庭月收入的2，若小王家月收人為9200元，則小王家6月份最多能用水多少噸?3.一列快車長168米，一列慢車長184米，如果兩車相向而行，那么兩車錯車需4秒，如果同向而行，兩車錯車需16秒鐘，求兩車的速度.4.為方便市民出行，減輕城市中心交通壓力，長沙市正在修建貫穿星城南北、東西的地鐵1、2號線已知修建地鐵1號線24千米和2號線22千米共需投資265億元；若1號線每千米的平均造價比2號線每千米的平均造價多05億元 (1)求1號線、2號線每千米的平均造價 (2)除1、2號線外，長沙市政府規(guī)劃到2018年還要再建918千米的地鐵線網(wǎng)據(jù)預算，這918千米地鐵線網(wǎng)每千米的平均造價是1號線每千米的平均造價的