2005考研數(shù)一真題及解析

1、數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)曲線的斜漸近線方程為 _.(2)微分方程滿足的解為_.(3)設(shè)函數(shù),單位向量,則=._.(4)設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域,是的整個(gè)邊界的外側(cè),則_.(5)設(shè)均為3維列向量,記矩陣,如果,那么.(6)從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù),記為, 再從中任取一個(gè)數(shù),記為, 則=_.二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(7)設(shè)函數(shù),則在內(nèi)(A)處處可導(dǎo) (B)恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)(C)恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) (D)至少有三個(gè)不

2、可導(dǎo)點(diǎn)(8)設(shè)是連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù),表示的充分必要條件是則必有(A)是偶函數(shù)是奇函數(shù) (B)是奇函數(shù)是偶函數(shù)(C)是周期函數(shù)是周期函數(shù) (D)是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)(9)設(shè)函數(shù), 其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),具有一階導(dǎo)數(shù),則必有(A) (B)(C)(D)(10)設(shè)有三元方程,根據(jù)隱函數(shù)存在定理,存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域,在此鄰域內(nèi)該方程(A)只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)(B)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和(C)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和(D)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和(11)設(shè)是矩陣的兩個(gè)不同的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為,則,線性無關(guān)的充分必要條件是(A) (B)(C) (D)(

3、12)設(shè)為階可逆矩陣,交換的第1行與第2行得矩陣分別為的伴隨矩陣,則(A)交換的第1列與第2列得 (B)交換的第1行與第2行得(C)交換的第1列與第2列得 (D)交換的第1行與第2行得(13)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率分布為X Y0101已知隨機(jī)事件與相互獨(dú)立,則(A) (B)(C)(D)(14)設(shè)為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,為樣本均值,為樣本方差,則(A) (B)(C) (D)三、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15)(本題滿分11分)設(shè),表示不超過的最大整數(shù). 計(jì)算二重積分(16)(本題滿分12分)求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù).(17)(本題滿分11分)如

4、圖,曲線的方程為,點(diǎn)是它的一個(gè)拐點(diǎn),直線與分別是曲線在點(diǎn)與處的切線,其交點(diǎn)為.設(shè)函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),計(jì)算定積分(18)(本題滿分12分)已知函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且. 證明:(1)存在使得.(2)存在兩個(gè)不同的點(diǎn),使得(19)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線上,曲線積分的值恒為同一常數(shù).(1)證明:對(duì)右半平面內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線有.(2)求函數(shù)的表達(dá)式.(20)(本題滿分9分)已知二次型的秩為2.(1)求的值；(2)求正交變換,把化成標(biāo)準(zhǔn)形.(3)求方程=0的解.(21)(本題滿分9分)已知3階矩陣的第一行是不全為零,矩陣(為常數(shù)),且,求線性

5、方程組的通解.(22)(本題滿分9分)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求:(1)的邊緣概率密度.(2)的概率密度(23)(本題滿分9分)設(shè)為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,為樣本均值,記求:(1)的方差.(2)與的協(xié)方差2005年考研數(shù)學(xué)一真題解析一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）曲線 的斜漸近線方程為 【分析】 本題屬基本題型，直接用斜漸近線方程公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】 因?yàn)閍=，于是所求斜漸近線方程為（2）微分方程滿足的解為.【分析】直接套用一階線性微分方程的通解公式：，再由初始條件確定任意常數(shù)即可.【詳解】 原方程等價(jià)為，于是通解為 =，由得C=0，故所

6、求解為（3）設(shè)函數(shù)，單位向量，則=.【分析】 函數(shù)u(x,y,z)沿單位向量的方向?qū)?shù)為：因此，本題直接用上述公式即可.【詳解】 因?yàn)?，于是所求方向?qū)?shù)為=（4）設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域，是的整個(gè)邊界的外側(cè)，則.【分析】本題是封閉曲面且取外側(cè)，自然想到用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】 =（5）設(shè)均為3維列向量，記矩陣，如果，那么 2 .【分析】 將B寫成用A右乘另一矩陣的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】 由題設(shè)，有 =，于是有 （6）從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù)，記為X, 再從中任取一個(gè)數(shù)，記為Y, 則= .【分析】 本題涉

7、及到兩次隨機(jī)試驗(yàn)，想到用全概率公式, 且第一次試驗(yàn)的各種兩兩互不相容的結(jié)果即為完備事件組或樣本空間的劃分.【詳解】 =+ + =二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（7）設(shè)函數(shù)，則f(x)在內(nèi)(A) 處處可導(dǎo). (B) 恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).(C) 恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn). (D) 至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn). C 【分析】 先求出f(x)的表達(dá)式，再討論其可導(dǎo)情形.【詳解】 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即 可見f(x)僅在x=時(shí)不可導(dǎo)，故應(yīng)選(C).（8）設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，表示“M的充分必要條件

8、是N”，則必有(A) F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù). （B） F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(C) F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù). (D) F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù). A 【分析】 本題可直接推證，但最簡(jiǎn)便的方法還是通過反例用排除法找到答案.【詳解】 方法一：任一原函數(shù)可表示為，且當(dāng)F(x)為偶函數(shù)時(shí)，有，于是，即 ，也即，可見f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x)為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，從而為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項(xiàng). 方法二：令f(x)=1, 則取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 則取F(x)=, 排除(D); 故應(yīng)選(A).（9）設(shè)函

9、數(shù), 其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)， 具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有 (A) . （B） .(C) . (D) . B 【分析】 先分別求出、，再比較答案即可.【詳解】 因?yàn)?，于?，可見有，應(yīng)選(B).（10）設(shè)有三元方程，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(diǎn)(0,1,1)的一個(gè)鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程(A) 只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)z=z(x,y). (B) 可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)y=y(x,z)和z=z(x,y). (D) 可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z). D 【分析】 本題考查隱函數(shù)

10、存在定理，只需令F(x,y,z)=, 分別求出三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，再考慮在點(diǎn)(0,1,1)處哪個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不為0，則可確定相應(yīng)的隱函數(shù).【詳解】 令F(x,y,z)=, 則， ，且 ，. 由此可確定相應(yīng)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z). 故應(yīng)選(D).（11）設(shè)是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則，線性無關(guān)的充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D). B 【分析】 討論一組抽象向量的線性無關(guān)性，可用定義或轉(zhuǎn)化為求其秩即可.【詳解】 方法一：令 ，則， .由于線性無關(guān)，于是有 當(dāng)時(shí)，顯然有，此時(shí)，線性無關(guān)；反過來，若，線性無關(guān)，則必然有(,否則，與=線性相關(guān))，故應(yīng)

11、選(B).方法二： 由于 ，可見，線性無關(guān)的充要條件是故應(yīng)選(B).（12）設(shè)A為n（）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,B的伴隨矩陣，則(A) 交換的第1列與第2列得. (B) 交換的第1行與第2行得. (C) 交換的第1列與第2列得. (D) 交換的第1行與第2行得. C 【分析】 本題考查初等變換的概念與初等矩陣的性質(zhì)，只需利用初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及伴隨矩陣的性質(zhì)進(jìn)行分析即可.【詳解】 由題設(shè)，存在初等矩陣（交換n階單位矩陣的第1行與第2行所得），使得 ，于是 ，即,可見應(yīng)選(C).（13）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y) 的概率分布為 X Y 0 1 0 0.4 a

12、已知隨機(jī)事件與相互獨(dú)立，則(A)(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 B 【分析】 首先所有概率求和為1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的獨(dú)立性又可得一等式，由此可確定a,b的取值.【詳解又事件與相互獨(dú)立，于是有，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故應(yīng)選(B).（14）設(shè)為來自總體N(0,1)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，為樣本均值，為樣本方差，則(A) (B) (C) (D) D 【分析】 利用正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)和分布、t分布及F分布的定義進(jìn)行討論即可.【詳解】 由正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)知，可排除(A); 又，可排除(C); 而，不能斷定(B)是正

13、確選項(xiàng). 因?yàn)?，且相互獨(dú)立，于是 故應(yīng)選(D).三 、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分11分）設(shè)，表示不超過的最大整數(shù). 計(jì)算二重積分 【分析】 首先應(yīng)設(shè)法去掉取整函數(shù)符號(hào)，為此將積分區(qū)域分為兩部分即可.【詳解】 令 ，.則 = =（16）（本題滿分12分）求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x). 【分析】 先求收斂半徑，進(jìn)而可確定收斂區(qū)間. 而和函數(shù)可利用逐項(xiàng)求導(dǎo)得到.【詳解】 因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，因此原級(jí)數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（1,1）記則由于所以又從而（17）（本題滿分11分） 如圖，曲線C的

14、方程為y=f(x)，點(diǎn)(3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線與分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處的切線，其交點(diǎn)為(2,4). 設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分【分析】 題設(shè)圖形相當(dāng)于已知f(x)在x=0的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值，在x=3處的函數(shù)值及一階、二階導(dǎo)數(shù)值.【詳解】 由題設(shè)圖形知，f(0)=0, ; f(3)=2, 由分部積分，知 = =（18）（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)在0，1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1. 證明：（I）存在 使得；（II）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得【分析】 第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗

15、日中值定理，但應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論.【詳解】 （I） 令，則F(x)在0，1上連續(xù)，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在 使得，即.（II） 在和上對(duì)f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得，于是 （19）（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線L上，曲線積分的值恒為同一常數(shù).（I）證明：對(duì)右半平面x>0內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線C，有；（II）求函數(shù)的表達(dá)式.【分析】 證明（I）的關(guān)鍵是如何將封閉曲線C與圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線相聯(lián)系，這可利用曲線積分的可加性將C進(jìn)行分解討論；而（I

16、I）中求的表達(dá)式，顯然應(yīng)用積分與路徑無關(guān)即可. Y【詳解】 （I） l2 C o Xl3如圖，將C分解為：，另作一條曲線圍繞原點(diǎn)且與C相接，則.（II） 設(shè)，在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由（）知，曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，故當(dāng)時(shí)，總有.比較、兩式的右端，得由得，將代入得所以，從而（20）（本題滿分9分）已知二次型的秩為2.（I） 求a的值；（II） 求正交變換，把化成標(biāo)準(zhǔn)形；（III） 求方程=0的解.【分析】 （I）根據(jù)二次型的秩為2，可知對(duì)應(yīng)矩陣的行列式為0，從而可求a的值；（II）是常規(guī)問題，先求出特征值、特征向量，再正交化、單位化即可找到所需正交變換； （III）利用第二步的

17、結(jié)果，通過標(biāo)準(zhǔn)形求解即可.【詳解】 （I） 二次型對(duì)應(yīng)矩陣為，由二次型的秩為2，知 ，得a=0.（II） 這里， 可求出其特征值為.解 ，得特征向量為：，解 ，得特征向量為：由于已經(jīng)正交，直接將，單位化，得：令，即為所求的正交變換矩陣，由x=Qy，可化原二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：=（III） 由=0，得（k為任意常數(shù)）.從而所求解為：x=Qy=，其中c為任意常數(shù).（21）（本題滿分9分）已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣（k為常數(shù)），且AB=O, 求線性方程組Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相當(dāng)于告之B的每一列均為Ax=0的解，關(guān)鍵問題是Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為多少，而這又轉(zhuǎn)化為確

18、定系數(shù)矩陣A的秩.【詳解】 由AB=O知，B的每一列均為Ax=0的解，且（1）若k, 則r(B)=2, 于是r(A), 顯然r(A), 故r(A)=1. 可見此時(shí)Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為3-r(A)=2, 矩陣B的第一、第三列線性無關(guān)，可作為其基礎(chǔ)解系，故Ax=0 的通解為：為任意常數(shù).(2) 若k=9，則r(B)=1, 從而1） 若r(A)=2, 則Ax=0的通解為：為任意常數(shù).2） 若r(A)=1,則Ax=0 的同解方程組為：,不妨設(shè),則其通解為 為任意常數(shù).（22）（本題滿分9分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求：（I） (X,Y)的邊緣概率密度； （II）的概率密度【分析】 求邊緣概率密度直接用公式即可；而求二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度，一