中小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽題解法分析

1、畢業(yè)論文中小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽題的解法分析畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）學(xué)術(shù)承諾本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果 .除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不存在抄襲情況，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表的研究成果，也不包含他人或其他教學(xué)機(jī)構(gòu)取得的研究成果.作者簽名：日期：畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）使用授權(quán)的說明本人了解并遵守有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文的規(guī)定 .即：學(xué)校有權(quán)保留或向有關(guān)部門送交畢業(yè)論文的原件或復(fù)印件， 允許論文被查閱和借閱； 學(xué)?？梢怨_論文的全部或部分內(nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文及相關(guān)資料.作者簽名：指導(dǎo)教師簽名：日期：日期：中小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽題的解法分析

2、摘 要：數(shù)學(xué)競(jìng)賽是目前數(shù)學(xué)發(fā)展中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)人才的有效途徑之一， 而對(duì)于中小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽題的解法分析，是至關(guān)重要的 . 通過對(duì)常見題型匯總，根據(jù)自己的研究進(jìn)行演化變形，將競(jìng)賽題的多變靈活性完美的展現(xiàn)出來 . 但萬(wàn)變不離其宗，追根到底是對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的變形運(yùn)用 . 結(jié)合歷年的國(guó)內(nèi)各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽，對(duì)近年來的數(shù)學(xué)競(jìng)賽常見題型進(jìn)行分析以及整理，首先分別從中學(xué)和小學(xué)方面進(jìn)行分析， 然后在中學(xué)奧賽題部分根據(jù)研究的題型將他們分類，大致分為幾類，包括數(shù)形結(jié)合，初等數(shù)論，二次根式以及方程應(yīng)用等，并對(duì)題型進(jìn)行簡(jiǎn)要說明以及對(duì)常見解法介紹，并通過典型的例題進(jìn)行細(xì)致說明 . 對(duì)于同類型的題，進(jìn)行變形，改編，重新進(jìn)行研究 . 其次在

3、小學(xué)部分從趣味性入手，主要包括邏輯推理、九宮格、以及策略問題 . 并對(duì)其中題型進(jìn)行拓展延伸 . 從而達(dá)到對(duì)中小學(xué)競(jìng)賽題有更加深刻的理解 .關(guān)鍵詞 ：數(shù)形結(jié)合；初等數(shù)論；邏輯推理ANALYTICAL SOLUTION OF MATHEMATICAL OLYMPIAD QUESTION TYPES IN PRIMARY AND MIDDLE SCHOOLSAbstract: At present, the mathematics competition is one of the effective ways to find mathematical talent in the developme

4、nt of mathematics,and for the solution of Mathematics Olympiad question of primary and secondary analysis which is very important.Through collecting the common types,according to their own research of deformation evolution,the mathematics competition's variety will be showed prefectly. The metho

5、ds used may vary,but the original aim, tracing the end is the for the use of knowledge deformation combining various domestic calendar mathematics competition,analyzing and organizing common question of math competion in recent years, and then in high school Olympic title based in part on research q

6、uestions of their classification, divided into several categories, including the combination of number and shape , elementary number theory, quadratic radical and high-order equation, and questions and making,a brief description to questions,as well as,introducing the common solution,detailing expla

7、nation by typical examples,while the same type of problems we should conduct deform,adapt,re-study.Secondly,starting from the fun in primary school, mainly including logical deduction, jiugongge, as well as policy issues.Extending and stretching some of questions,so as to achieve a deep understand t

8、o the title of primary and secondary contest a deeper understanding.Keywords: The Combination of Number and Shape; Elementary Number Theory; Logical Deduction目錄摘要IVAbstract錯(cuò) 誤！未定義書簽。1 緒論12 中小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽題的解法分析12.1 中學(xué)數(shù)學(xué)奧賽解法分析22.1.1 數(shù)形結(jié)合22.1.1.1 以形助數(shù)32.1.1.2 以數(shù)解形32.1.2 初等數(shù)論42.1.2.1 整除性42.2.2 質(zhì)數(shù)合數(shù)52.1.2.3 高斯函

9、數(shù)52.1.3 二次根式62.1.3.1 已知條件化簡(jiǎn)62.1.3.2 待求式化簡(jiǎn)或變形62.1.3.3 條件和待求式同時(shí)變形72.1.4 高次方程72.1.4.1 升冪轉(zhuǎn)化82.1.4.2 降冪轉(zhuǎn)化82.2 小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽解法分析92.2.1 邏輯推理92.2.1.1 簡(jiǎn)單的邏輯推理問題92.2.1.2 用表格模型幫助推理102.2.2 趣談九宮格112.2.3 對(duì)策問題11結(jié)語(yǔ)13參考文獻(xiàn)14致謝151 緒論世界在不斷地變化，科學(xué)發(fā)展也越來越快. 在我們數(shù)學(xué)學(xué)科中，科學(xué)研究也在不斷地突破，而數(shù)學(xué)競(jìng)賽也是現(xiàn)今發(fā)現(xiàn)人才的途徑之一 . 對(duì)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)來說，數(shù)學(xué)競(jìng)賽起源于匈牙利，其中造就了很多的數(shù)學(xué)大

10、師和科學(xué)巨匠 . 匈牙利現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父費(fèi)葉爾，航天事業(yè)奠基人馮· 卡門，以及群上測(cè)度與積分論創(chuàng)始人哈爾等等都是在早期重大數(shù)學(xué)競(jìng)賽中取得勝利的人，由此可以證明，數(shù)學(xué)競(jìng)賽在發(fā)現(xiàn)人才，造就人才有很大的作用 . 此后，蘇聯(lián)開始舉辦數(shù)學(xué)奧林匹克，取得效果顯著 . 1 20 世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)競(jìng)賽則如火如荼的開展起來 . 世界各國(guó)都開始重視數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng) . 至此之后的十來年， 我國(guó)有關(guān)中學(xué)生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)開始了蓬勃地發(fā)展， 而它產(chǎn)生的影響也越來越大， 尤其是在我國(guó)中學(xué)生乃至于全世界中學(xué)生中影響最大、水平最高的國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（簡(jiǎn)稱IMO)中，我國(guó)學(xué)生多次榮獲榜首，成績(jī)矚目，這充分展現(xiàn)了我們中華民族

11、的睿智聰明和數(shù)學(xué)才能 . 對(duì)于想通過數(shù)學(xué)競(jìng)賽來展現(xiàn)自己的學(xué)生來說， 了解數(shù)學(xué)奧賽的常見題型， 以及一些會(huì)用到的一些知識(shí)是非常必要的，對(duì)他們來說也是非常有益的 . 中小學(xué)的學(xué)生是我們祖國(guó)的新鮮血液，奠定了祖國(guó)科學(xué)發(fā)展基石 . 探討中小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽的解法分析希望與廣大的學(xué)生在學(xué)習(xí)實(shí)踐中切磋學(xué)好數(shù)學(xué)的體驗(yàn)，共同探索數(shù)學(xué)奧賽題的樂趣 .筆者通過對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽題進(jìn)行匯總研究， 對(duì)競(jìng)賽中的一些常見題型進(jìn)行整理說明，首先分別從中學(xué)和小學(xué)方面進(jìn)行分析， 首先中學(xué)奧賽題部分利用自己的見解將他們分類，大致分為幾類，包括數(shù)形結(jié)合，初等數(shù)論，二次根式以及方程應(yīng)用等，對(duì)題型進(jìn)行簡(jiǎn)要說明以及對(duì)常見解法介紹，并通過典型的例

12、題進(jìn)行細(xì)致說明 . 對(duì)于同類型的題，進(jìn)行變形，改編，重新進(jìn)行研究 . 其次在小學(xué)部分從趣味性入手，主要包括邏輯推理、九宮格、以及策略問題 . 并對(duì)其中題型進(jìn)行拓展延伸 . 從而達(dá)到對(duì)中小學(xué)競(jìng)賽題有更加深刻的理解 .2 中小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽題的解法分析2.1 中學(xué)數(shù)學(xué)奧賽解法分析2.1.1 數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合是一種非常常用的數(shù)學(xué)思想方法，無(wú)論初高中還是在大學(xué).它是通過把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系和直觀的幾何圖形、位置關(guān)系相結(jié)合，再根據(jù)“以形助數(shù)”者“以數(shù)解形”即根據(jù)抽象思維和形象思維的結(jié)合，從而使復(fù)雜的問題變簡(jiǎn)單，抽象的問題變具體，從而達(dá)到優(yōu)化解題的目的.數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究中至關(guān)重要的兩大基石，而探索發(fā)現(xiàn)數(shù)

13、與形之間聯(lián)系加以利用，是數(shù)學(xué)常見方法中起到相當(dāng)大的作用，也是學(xué)好數(shù)學(xué)的主要途徑與方法.2在中小學(xué)所接觸的常用的直線型表示基本代數(shù)關(guān)系式，總結(jié)如下表：表 2-1代數(shù)關(guān)系式 a, x 等表示正數(shù)相對(duì)應(yīng)的幾何圖形ababcccbca 2b2acCabacaAdcbdDbBdad bca2ababa此外，對(duì)于數(shù)軸上的坐標(biāo)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及各種直線、曲線與坐標(biāo)系相結(jié)合的研究也是很常見的 .例如高中立體幾何求證的方法中，通過建立數(shù)軸將所求幾何關(guān)系轉(zhuǎn)變成數(shù)量關(guān)系的計(jì)算，從而使問題簡(jiǎn)單化.2.1.1.1 以形助數(shù)例 1：證明222c 2b2d 2a bc da解法分析：對(duì)于這種例題， 若直接運(yùn)用完全平方公式

14、，及均值不等式等方法解決的話，計(jì)算量以及方法難度會(huì)加大不少，若利用數(shù)形結(jié)合的方法便會(huì)簡(jiǎn)單很多.即可 表示 為 A a, c , B b, d ,O (0,0) ， 運(yùn)用 兩點(diǎn) 間距離公式，則不 等式 可以表示為AB OA OB ，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可證明 .例 2：若 a, b, c 均為正數(shù)，證明a 2b2b2c2c2a2解法分析： a 2b2 , b2c2 ,c2a2 由勾股定理均可表示成直角三角形的斜邊作出如圖aa2b2aa2c2bccb2c2b圖 2-1令 ABa2b2 , BC1b2c2 , C2 A a 2c2 則不等式的證明可以轉(zhuǎn)化為三邊的關(guān)系，那么就需要把三邊構(gòu)成三角a2b

15、2形，即需要點(diǎn) C1C2 重合 .這在平面中不能做到 .需要如c2bb2a圖所示拼合圖形，根據(jù)三角形三邊關(guān)系證明，ca2b2b2c2c 2a2 .a2c22.1.1.2 以數(shù)解形圖 2-2例 3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y1x2 ，將拋物線行平移得到另一條拋物線為 y2x22x ，則 y1, y2 與直線 x1 圍成的的陰影部分面積是（）A.1B.2C. 3D. 524解法分析：該題首先利用拋物線的對(duì)稱性，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，對(duì)面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將陰影面積分成兩部分記為S1, S2 ，再根據(jù)平移以及對(duì)稱的性質(zhì)，將 S2 轉(zhuǎn)化為 S3 ，如下圖，即將陰影面積轉(zhuǎn)化為S1S3 ，即 正方形

16、的面積 S1 11圖 2-32.1.2 初等數(shù)論在中小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有關(guān)初等數(shù)論的問題屢見不鮮，它所涉及的內(nèi)容很多，諸如奇偶數(shù)、整除、同余、質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù))和合數(shù)、最大公約數(shù)最小公倍數(shù)、高斯函數(shù)、完全平方數(shù)等等 .而且這類問題的難度一般較大，如果僅限于使用中學(xué)知識(shí)解決，會(huì)使問題復(fù)雜化，而適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用一些高等數(shù)學(xué)的知識(shí)解決則會(huì)使問題簡(jiǎn)潔，從而解答出問題.2.1.2.1 整除性定義：對(duì)于兩個(gè)整數(shù) a 和 b(b0) ，若存在任意一個(gè)整數(shù) k ，使得 abk ，那么我們則稱 a 能被 b 整除，記作 b a .主要的性質(zhì)有： 自反性： a a a0 傳遞性：若 a b, b c ，則 a c . 對(duì)稱性：

17、若 a b, b a ，則 ab . 如果 a b, a c ，那么 ab, c . 如果 a b,m 0 ，那0 ，則a b.若a b，c b，a, c 1，則ac b.3么 ambm . 若 ambm, m例 1：設(shè) n 是小于 100 的整數(shù)且使 5n23n5 是 15 的倍數(shù)，求則符合條件的所有正整數(shù) n 的和 .（ 2015 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題）解法分析：要使整式 5n235是15 的倍數(shù)，則滿足55n23n 5 ，所以 5 3n ，即 5 n ，n且35 23 5，所以3 5n25，從而得到35( n 1)(n 1)，由于任意連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)nn中必有3 的倍數(shù)，則可以得到

18、n 不是 3 的倍數(shù)，又因?yàn)閚 是 5 的倍數(shù) . 則 n 可以取5,10,20,25,35,40,50,55,65,70,80,85,95 ，因此，綜上所述符合條件n 的和為 635.2.2.2 質(zhì)數(shù)合數(shù)質(zhì)數(shù)和合數(shù)，在小學(xué)已經(jīng)簡(jiǎn)單的了解過，針對(duì)這類問題，只需要抓住這些數(shù)的一些特性，就會(huì)使問題變得簡(jiǎn)潔，從而達(dá)到對(duì)于這類問題的解答容易解決 .例如大家所熟悉的：最小的質(zhì)數(shù)是 2，并且 2 是所有質(zhì)數(shù)中惟一的偶數(shù) .例 2：已知 a,b,c, d 都是質(zhì)數(shù)（允許 a, b, c, d 有相同的情況），且abcd 是 35 個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和，則 a b c d 的最小值為（）（ 2011 年新知杯）解

19、法分析：令連續(xù) 35個(gè) 正 整 數(shù) 為 x, x 1, x 2, x 3, , x 34， 所 以34( x 17) ，又因?yàn)?a, b, c, d 是質(zhì)數(shù) .所以令 a5 ， b7 ，abcdxn35( x 17) 5 7n 0cd 則 cdx17 .對(duì) d 分情況討論 若 d5 ，所以 c 最小值為 5， a b cd22 若d7 ，所以 c 最小值為 3，a bc d 22 若 d 11時(shí)，所以 c 的最小值應(yīng)為2，此時(shí)a b c d 的最小值就是 25，.綜上所述， a b c d 的最小值為 22. 2.1.2.3 高斯函數(shù)高斯函數(shù)在數(shù)論中有著重要地位， 在中學(xué)數(shù)學(xué)奧賽題中也很常見，

20、 因此雖然屬于高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，但對(duì)于參與奧賽這種高水平比賽也應(yīng)相應(yīng)掌握一些簡(jiǎn)單的.定義 設(shè) xR ，用 x 表示不超過 x 最大的整數(shù) .那么 yx 則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù) .主要性質(zhì)有： xxx. x1xx . xxx1 .4例 3：x 表示不大于 x 的最大整數(shù)，方程2x3x8x7 的所有實(shí)數(shù)解為（）2（2006 年新知杯）解法分析：由高斯函數(shù)性質(zhì)得到2x12x2 x ，3x13x3x ，所以得到5x 2 2x 3x5x ，則 5x 28x75x，求出 x 的范圍 1x7 ，又因?yàn)?2x3x226是整數(shù)，且 12x 3x35 ，所以 2x3x1,2,3,4,5 ，即 8x71,2,3

21、,4,5，從而得262到 x 9 , 11 , 13 ,15 ,17 .帶入原方程得到 x 13 , x 1716 16 16 16 1616162.1.3 二次根式在近幾年中，數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有關(guān)二次根式的題經(jīng)常出現(xiàn)，并且題型新穎，方法靈活，對(duì)中學(xué)生來說有一定難度， 這類問題包容了有理數(shù)的眾多知識(shí)， 其中涉及同類二次根式、最簡(jiǎn)二次根式等的重要概念，同時(shí)它又聯(lián)系著構(gòu)造關(guān)系式、整體代入、 分解變性以及非負(fù)性等重要的技巧與方法，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是， 有時(shí)需要把已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，或把已知條件進(jìn)行變形， 有時(shí)需要把待求式進(jìn)行化簡(jiǎn)或變形， 有時(shí)需要條件和待求式進(jìn)行同時(shí)變形.下面針對(duì)一些常見題型進(jìn)行分析，歸納總結(jié)一

22、些有關(guān)二次根式的奧賽題.2.1.3.1 已知條件化簡(jiǎn)例 1：記 Sn11 111 11112，則Sn（ ）222222n2n 1201613解法分析：這道題是二次根式與數(shù)列的有機(jī)結(jié)合問題，因此應(yīng)先將根號(hào)下的數(shù)列進(jìn)行 化 簡(jiǎn) ， 利 用 完 全 平 方 公 式 以 及 乘 積 化 差 消 元 法 將 Sn 化 簡(jiǎn) ， 即 分 析11n2 (n 1) 2( n 1) 2n2n2 ( n 1)22n22n 11n 1 2n2 ( n 1)2n2 (n 1)2n2n2 (n1)22n(n1) 1n(n 1)1 2n(n1) 11111n2 (n1)2n2 (n 1)2n(n1)1n 1n( n 1)n

23、所以將化簡(jiǎn)結(jié)果帶入Sn 中，Sn 11 111111n(11)n(n2)1 21n n 1n 12 3n 1求出 Sn 后就能得到最終的結(jié)果Sn2018.201620172.1.3.2 待求式化簡(jiǎn)或變形例 2：已知 a17,b1，則 a3ab3 b_227解法分析：這是典型的對(duì)待求式進(jìn)行變形的問題，運(yùn)用三次方和的公式.33b(a b)(2ab b2 ) ()() (a b) 231，代入 a,b 的值，a a baa ba bab利用 a b4 ， ab1 ，得到最終結(jié)果64 .33272.1.3.3 條件和待求式同時(shí)變形例 3：已知 a 42a32a 22a 3 ，則a 1 2_解法分析：首

24、先這道題需要將條件和待求式同時(shí)變形，先看已知a42a32a22a3，我們需要將它因式分解變形一下，先試a1，使等式成立，a1， 則 (1)(3323) 0因此先提出aaa，再運(yùn)用提公因式得到，aa1 (a3)(a 21)0 ，由于 a210 ，所以 a1 ( a3) 0 ，即 a22a3 .再看待求式a1 2a22a1312注意：一定不要將待求式先化簡(jiǎn)成a1，要注意二次根式被開方式大于等于零 .練習(xí)題：1、化簡(jiǎn)24932 ，結(jié)果為（）63A.2B.3C . 3D.2提示：利用配方法，進(jìn)行化簡(jiǎn)如9329422222211依次進(jìn)行化簡(jiǎn)，答案 B .2、已知 a51 .則 2a37a 22a12 的

25、值等于 _提示 :利用整體變形 a51a 15 ，左右等式平方變形， a 22a4 ，則2a37a22a122a( a22a)3a 22a123a 26a 123(a22a)12 02.1.4 高次方程在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有關(guān)方程的題也是很多的，所學(xué)習(xí)過的方程也很多，諸如一元一次方程，二元一次方程，反比例方程，一元二次方程等等 .其中關(guān)于方程的應(yīng)用在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中也是常見的題型， 而且屬于大家所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行拓展后的題型， 這類問題的處理靈活性較強(qiáng)，因此對(duì)于這方面的問題，我們應(yīng)該更加注意 .對(duì)于高次方程問題， 通常的做法是，首先觀察它的形式結(jié)構(gòu)， 然后通過適當(dāng)?shù)淖冃?，將高次方程降冪處理?轉(zhuǎn)化成熟悉的一元

26、一次或者一元二次方程的問題， 從而解決問題 . 或者利用熟悉的低次冪進(jìn)行升冪，從而求出結(jié)果 .2.1.4.1 升冪轉(zhuǎn)化高次方程往往都具有特殊性，因此我們?cè)谧錾齼甾D(zhuǎn)化時(shí)， 往往是通過抓住關(guān)鍵點(diǎn)的特殊性，從而達(dá)到解題的目的 .例 1：已知 x13，則 x10x511_ （ 2010 年新知杯）xx5x1015解法分析：想要求出待求式，關(guān)鍵在于求出x5的值，x利用 (x1) 2x212 ，因?yàn)?x13 ，所以 x 217x1x 21)( x21xx 2則 x3( x1)3(71)18x31x1x 2則 x4(x2) 2249247x4x2則 x51( x411(x31473 18123x5x4 )(

27、 x)x3 )x則 x101( x51 ) 221232215127x10x5所以 x10x51115127 12315250x5x10這道題主要明白x 與 1 的特殊性，將已知的一次方程進(jìn)行升冪，從而求出最后的結(jié)x果.這是一種處理高次方程的常用方法 . 練習(xí)題 :1、已知 2x13 ，則 2x3 3x2x _x提示 : 仿照例 1 ， 利用 x 與 1 特殊性，將已 知左右兩邊同 時(shí)乘 以 x2 ，化成x2 x33x2x0 ，則答案為 0 .2.1.4.2 降冪轉(zhuǎn)化22 的值為（例 2：設(shè) a ，b 是一元二次方程 x 2x 1 0 的兩個(gè)根，則 3a34b）a（ 2015 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)

28、合競(jìng)賽）解法分析：題中涉及三次項(xiàng)，因此首先可以考慮降冪，再看已知，由韋達(dá)定理可知a b 1 ， ab1 ，將 變形代入 得， a 2a 1， b2b1然后將 a3 與 1 進(jìn)行替2a2換.得到 3a34b3a(a 1) 4b2(b 1) 3(a 1) 3a6b2a26(a b)56511這道題主要是要根據(jù)已知中二次項(xiàng)與一次項(xiàng)關(guān)系從而達(dá)到降冪的目的，再根據(jù)已知得到最后的結(jié)果，這是常用的方法.2.2 小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽解法分析2.2.1邏輯推理邏輯推理又稱演繹推理， 其實(shí)就是從已知一般性的前提開始， 然后通過推導(dǎo)（即“演繹”），從而得出具體的陳述或者個(gè)別結(jié)論的推理過程 .5 它是數(shù)學(xué)論證的一種工具，在數(shù)

29、學(xué)競(jìng)賽中，存在著一種題型，不給或者少給相關(guān)數(shù)量關(guān)系， 并且這類問題的解答往往不需要特殊的數(shù)學(xué)知識(shí)， 只從題中給出的已知出發(fā)， 遵循邏輯的一些基本規(guī)律來進(jìn)行推理演繹，從而找到答案 .這就是邏輯推理問題 .這類問題既可以鍛煉思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，又能夠促進(jìn)靈活的思維，妙趣橫生 .常用的解題思路包括同一律思路、不矛盾思路、排中律思路、充足理由思路 .2.2.1.1 簡(jiǎn)單的邏輯推理問題例 1：華羅庚教授曾提出這樣一個(gè)問題.一位老師讓三個(gè)聰明的學(xué)生看了一下事先準(zhǔn)備好的五頂皇冠：三頂金色的，兩頂銀色的，然后他請(qǐng)這三位同學(xué)都閉上眼睛，然后他替每位學(xué)生都戴上一頂皇冠， 并且將其余的兩頂藏了起來， 隨后，他讓學(xué)生們睜開

30、眼睛并要求他們各自說出自己戴的皇冠的顏色.三人睜開眼互相看了看其他人，略微躊躇了一下，都覺得為難 .過了一會(huì)，三人異口同聲地說出了自己頭上戴的皇冠是什么顏色的 .請(qǐng)問，這三位同學(xué)是如何判定自己頭上所戴皇冠的顏色的？他們?nèi)齻€(gè)人的頭上各戴的皇冠是什么顏色的？解法分析：根據(jù)有三金兩銀，戴皇冠有三種可能：三金，兩金一銀，一金兩銀 .首先分析一下一金兩銀這種情況， 如果一金兩銀， 那么戴金皇冠可以立刻知道自己所戴皇冠的顏色，但是題中說三人都躊躇一下，因此，不成立 .再分析兩金一銀這種情況，如果兩金一銀，那么戴金皇冠的人看到的是一金一銀， 就會(huì)思考自己可能是金也可能是銀，但如果自己是銀， 那么另一個(gè)戴金皇

31、冠的人就可以立即說出他所戴皇冠的顏色， 所以兩金一銀不成立，三人戴的都是金皇冠 .整個(gè)分析過程中，按分類討論分為三類，在分別對(duì)三種情況分析，利用反證法，以及假設(shè)法和現(xiàn)實(shí)中反應(yīng)的條件推斷出來，在題中躊躇一下是題中至關(guān)重要的條件 .通過以上的例題，從中可以看出， 這類問題主要看的是邏輯關(guān)系，不需要依據(jù)數(shù)字定理來判定.2.2.1.2 用表格模型幫助推理利用模型原理解決邏輯推理問題是常見的一種，也可以用表格之類的模型幫助解題.達(dá)到解題目的 .例 2：現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)貴族公主分別拿著三個(gè)不同顏色的包包，并且穿著 3 種不同顏色的連衣裙一起去參加國(guó)王舉辦的宴會(huì) .已知：（ 1）包包和連衣裙的顏色都只有金

32、、銀、黑 3 種；（ 2）甲沒拿金色的包包，丙沒拿黑色的包包；（ 3）拿銀色包包的公主穿著金色的連衣裙；（ 4）拿金色包包的公主沒有穿銀色的連衣裙；（ 5）丙沒穿黑色的連衣裙 .問：甲、乙、丙三位貴族公主各拿的包包是什么顏色的，各穿的連衣裙是什么顏色的？解法分析：對(duì)于這類問題，我們常用的方法是列表法幫助解題，做出兩個(gè) 4× 4 的表格，分別記錄包包與連衣裙，并在表格中做上標(biāo)記，例如甲沒拿金色的包包，那么在包包的表格里 “甲金” 的位置畫×； 乙穿金色的連衣裙， 那么在連衣裙的表格里 “乙金”的位置畫，其他的類推 .包包連衣裙金銀黑金銀黑甲×甲乙乙丙丙由（ 2）可知

33、甲沒拿金色的包包，丙沒拿黑色的包包；則分為兩種情況：乙拿銀色的包包，丙拿銀色的包包 .若乙拿銀色的包包（乙銀畫），由（3）拿銀色包包的公主穿著金色的連衣裙（乙金畫），由（ 2）丙沒拿黑色的包包則丙拿金色的包包（丙金畫），由（ 4）拿金色包包的公主沒有穿銀色的連衣裙，則丙穿著黑色的連衣裙（丙黑畫），與（ 5)丙沒穿黑色的連衣裙矛盾.所以乙拿銀色的包包不成立，只能是丙拿銀色的包包 .當(dāng)丙拿銀色的包包時(shí)，左表丙銀畫，則乙銀畫×.此時(shí)乙拿金色的包包，乙金畫包包連衣裙金銀黑金銀黑甲××甲乙××乙×丙丙由此可知，甲拿的是黑色的包包（甲黑畫）.由（

34、 3）拿銀色包包的公主穿著金色的連衣裙；即可得到丙穿著金色的連衣裙，在右表丙金的位置畫.再由（ 4）拿金色包包的公主沒有穿銀色的連衣裙；右表乙銀的位置畫×，由此判定甲穿銀色的連衣裙，乙穿黑色的連衣裙.綜上所述：甲拿的是黑色的包包，穿銀色的連衣裙；乙拿的是金色的包包，穿黑色的連衣裙；丙拿的是銀色的包包，穿金色的連衣裙.2.2.2 趣談九宮格九宮格游戲應(yīng)該都了解，是橫、豎、斜都等于相同的數(shù)，例如1，2，3，4，5，6，7， 8， 9 將這九個(gè)數(shù)填到九宮格中我們可以怎么做呢？前人做過很多相關(guān)的研究，下面是我做的一種方法：276首先將九個(gè)數(shù)相加等于 45，因此每行相加都要等于15，下51面將

35、九個(gè)數(shù)中所有三個(gè)數(shù)相加等于15 的等式列出來 .91,5,91,6,82,4,92,5,82,6,73,4,83,5,74,5,6438總共 8 組，然后根據(jù)1、含有 5 的有四組，所以 5 填中間2、含有 2， 4， 6， 8 的有三組，所以2，4，6，8 填四個(gè)角3、含有 1， 3， 5， 7 的有兩組，填剩下的四個(gè)位置最后，適當(dāng)調(diào)整就能準(zhǔn)確的填出答案.適當(dāng)改變一下，連續(xù)的偶數(shù)可以實(shí)現(xiàn)這種九宮格的填數(shù)，連續(xù)的奇數(shù)也可以，以至于拓展到連續(xù)的等差數(shù)列都可以實(shí)現(xiàn).2.2.3 對(duì)策問題在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有一類很有趣味的智力游戲題，它并不需要太多的課本上的知識(shí)，但這類知識(shí)往往需要更多地技巧性，游戲是通過

36、雙方對(duì)戰(zhàn)，采取某種特定的方法，使自己獲取勝利 .對(duì)戰(zhàn)雙方總會(huì)用盡辦法，從而使自己獲得勝利，因此彼此都會(huì)采取最佳的策略，從數(shù)學(xué)的角度來研究如何取得勝利的策略叫做對(duì)策問題.例 1:在一個(gè)大箱子中， 有 100 個(gè)玻璃球， 現(xiàn)在甲和乙輪流從箱子中取玻璃球， 并且要求每次只能取出 1 個(gè)或 2 個(gè)，取到最后 1 個(gè)球的人則為勝利 .請(qǐng)問如何才能必勝 ?解法分析 :由于每次只能取出 1 個(gè)或 2 個(gè)玻璃球，那么如果當(dāng)甲取 1 個(gè)球，乙可以取 2 個(gè)球，當(dāng)甲取 2 個(gè)球，乙可以取 1 個(gè)球，因此我們可以將 3 個(gè)玻璃球看做一組，則1003331，為了確保拿到最后 1 個(gè)或最后 2 個(gè)，所以甲應(yīng)該要確保先拿

37、球，并且只拿 1 個(gè)球，這樣無(wú)論之后乙拿 1 個(gè)球或者 2 個(gè)球，甲只要拿與乙不同的球，使得兩人一次拿走 3 個(gè)球 .這樣甲就是必勝的一方 .現(xiàn)將此題進(jìn)行拓展變形一下,演化成下題 ,思考一下 :練習(xí)題 :1.現(xiàn)在規(guī)定由甲乙兩人輪流去拿 2016 根小木棍 ,若甲先拿 ,并且要求每人每次可以拿一到四根小木棍 ,如果誰(shuí)拿到了最后一根小木棍 ,則獲取勝利 .則甲如何拿小木棍 ,可以取得勝利?(提示 :以五根為一組，因?yàn)橐胰裟? 根，甲拿 4 根；乙若拿 2 根，甲拿 3 根；乙若拿 3根，甲拿 2 根；乙若拿 4 根，甲拿 1 根.因此， 201654031 .所以 ,甲先拿 1 根,然后拿的根數(shù)為

38、五減去乙拿的根數(shù).)例 2.已知有一組連續(xù)的自然數(shù)2,3,4,5,2015,2016 ，游戲方法如下 :甲乙輪流選出一個(gè)數(shù)，如果剩下的最后兩個(gè)數(shù)互為質(zhì)數(shù)，那么甲獲得游戲的勝利，反之，則為乙獲得游戲的勝利 .請(qǐng)問 ,甲如何取數(shù)才能取得勝利 ?解法分析 :首先要理解在 2,3,4,5,2015,2016 這組數(shù)中 ,偶數(shù) 1008 個(gè) ,奇數(shù) 1007 個(gè) ,并且由于這組數(shù)連續(xù) ,那么我們知道相鄰的兩個(gè)數(shù)一定是互質(zhì)的.因此有以下三種方法 :(1)甲先取 2,然后將這組數(shù)分成兩兩一對(duì) 3,45,6(2015,2016) ,因此無(wú)論乙取何數(shù) ,甲只要取一對(duì)中另一個(gè)數(shù)便可 .(2)甲先取 2016,然后

39、將這組數(shù)分成兩兩一對(duì)2,34,5 ( 2014,2015) ,因此無(wú)論乙取何數(shù) ,甲只要取一對(duì)中另一個(gè)數(shù)便可 .(3)甲 任 取一個(gè) 偶 數(shù) 2n ,然后將這組數(shù)分成兩兩一對(duì)2,3 4,5 , , (2n2,2n1), (2n 1,2n 2), (2015,2016) ,因此無(wú)論乙取何數(shù) ,甲只要取一對(duì)中另一個(gè)數(shù)便可 .結(jié)語(yǔ)通過對(duì)與中小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽的解法分析研究的過程中， 讓我對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽題的解法有了更加深刻的理解， 對(duì)于整個(gè)中小學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行了全面的整理， 并且運(yùn)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S再去研究中小學(xué)競(jìng)賽題，使自己在其中受益匪淺 . 綜合數(shù)學(xué)的各個(gè)分支對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽題的解法進(jìn)行深入分析與探討，融會(huì)貫

40、通，得到更加全面的結(jié)論， 一方面使我們對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽題的解法的認(rèn)識(shí)， 另一方面也為我們更好的完成中小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽題打下完美的基礎(chǔ) . 本人對(duì)歷屆中小學(xué)奧賽題對(duì)題型進(jìn)行分析，整理，總結(jié)出大致的幾種題型并對(duì)于各種題型提出適當(dāng)?shù)慕夥ǚ治觯_拓學(xué)生思維 . 對(duì)舉例的例題提出相應(yīng)的練習(xí)題，并在自己對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的理解上，自己出適合競(jìng)賽的題，并解析，以加深對(duì)于競(jìng)賽題的理解 .另外，通過對(duì)課題設(shè)計(jì)，很大程度上提高了我的專業(yè)素質(zhì) .在老師的無(wú)私幫助下讓我理解和掌握了對(duì)于數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的解題思路， 對(duì)于問題的思考更加的靈活， 在學(xué)習(xí)中也深刻認(rèn)識(shí)到自己的不足，在以后的生活中，給了我學(xué)習(xí)的動(dòng)力 .老師們誨人不倦的態(tài)度、淵博的知識(shí)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖黠L(fēng)和學(xué)術(shù)上精益求精的精神讓我受益匪淺.參考文獻(xiàn)1 彭林，李賢軍，周春荔 . 初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)論初步 M. 中國(guó)物資出版社， 2004-8.4-52 施儲(chǔ)，馬茂年 .新課標(biāo)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽實(shí)戰(zhàn)演練 M. 浙江：浙江大學(xué)出版社， 2005-6.34-453 閔嗣鶴，嚴(yán)士健 .初等數(shù)論 (第三版） M. 北京 :高等教育