利率期限結(jié)構(gòu)模型

1、 利率期限結(jié)構(gòu)模型利率期限結(jié)構(gòu)模型簡介利率期限結(jié)構(gòu)相關(guān)符號表：利率期限結(jié)構(gòu)相關(guān)符號表：( , ):B t T在未來時(shí)間T到期的零息票債券在時(shí)間t的價(jià)格，即在未來時(shí)間T支付單位1的債券在時(shí)間t的價(jià)格。 ( , )R t起息日為時(shí)間t，剩余到期期限為 年的零息票債券利率。有： 1( ,)1( , )B t tR t( , )R t起息日為時(shí)間t，剩余到期期限為 年的連續(xù)復(fù)合利率。有： ( ,)exp( , )B t tR t( , ,)F t s Ts在時(shí)間t計(jì)算的，起息日為時(shí)間s，剩余到期期限為T-s的遠(yuǎn)期利率。有：( , )( , , )exp () ( , ,)( , )fB t TBt s

2、 TTs F t s TsB t s( , )f t s在時(shí)間t計(jì)算的，起息日為時(shí)間s的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率。有： 0( , )lim( , ,)Tsf t sF t s Ts ln( , )( , )B t sf t ss tr即期利率，時(shí)間t計(jì)算的，剩余到期期限無限小時(shí)的零息票債券的連續(xù)符合內(nèi)部收益率。有： 0lim( , )trR tln( , )|tT tB t TrT tR起息日為時(shí)間t，剩余到期期限為 年的連續(xù)復(fù)合利率。有： t( ,)tRR tt( , )t T貼現(xiàn)債券價(jià)格 在時(shí)間t的預(yù)期瞬間收益。 ( , )B t T( , )t T貼現(xiàn)債券價(jià)格 在時(shí)間t的瞬時(shí)波動。 ( , )B t

3、 T,W W標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。 ( , )t T瞬間遠(yuǎn)期利率 的波動。有： ( , )f t T( , )( , )t Tt TT( , )V t貼現(xiàn)債券利率 的波動。 ( , )R t( , )iB n T重組樹中，在第i種狀態(tài)下，剩余到期期限為T的貼現(xiàn)債券在時(shí)間n的均衡價(jià)格。注意，與 的定義不同，此處T表示的是剩余到期期限，而非到期日。 ( , )B t T利率期限結(jié)構(gòu)的概念利率期限結(jié)構(gòu)的概念利率（interest rate）是經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域的一個(gè)核心變量，它實(shí)質(zhì)上是資金的價(jià)格，反映了資金的供求關(guān)系。利率期限結(jié)構(gòu)（term structure of interest rates），又稱收益率曲

4、線（yield curve），是指在相同風(fēng)險(xiǎn)水平下，利率與到期期限之間的關(guān)系，或者說是理論上的零息債券利率曲線。常見的利率期限結(jié)構(gòu)有以下四種： l貼現(xiàn)因子曲線（discount factor curve）： ；l零息票收益曲線（zero-coupon yield curve），（常用）： 或 ；l遠(yuǎn)期利率曲線（forward rates curve）：l瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)（instantaneous forward term structure），（常用）： 。( ,)B t t( , )R t( , )R t( , ,)TF t s Ts( , )sf t s靜態(tài)模型靜態(tài)模型動態(tài)模型動態(tài)模

5、型樣條函數(shù)模型節(jié)約型模型指數(shù)樣條法（Vasicek&Fong，1982）均衡模型套利模型Vasicek模型（Vasicek，1977） CIR模型（Cox、Ingersoll&Ross，1985）Ho-Lee模型（Ho&Lee，1986）Hull-White模型（Hull&White，1990）HJM模型（Heath, Jarrow&Morton，1992）Nelson-Siegel模型（Nelsen &Siegel，1987）Svensson擴(kuò)展模型（Svensson，1994）B樣條法,（Steeley，1991）多項(xiàng)式樣條法（McCulloch，1971，1975）利率期限結(jié)構(gòu)模型利率期

6、限結(jié)構(gòu)模型靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型概述靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型概述 靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型以當(dāng)天市場的債券價(jià)格信息為基礎(chǔ)，構(gòu)造利率曲線函數(shù)，利用所構(gòu)造的利率曲線得到理論價(jià)格來逼近債券的市場價(jià)格，從而得出符合當(dāng)天價(jià)格信息的利率期限結(jié)構(gòu)。 靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型最為常見的有樣條函數(shù)模型和節(jié)約型模型，樣條函數(shù)模型主要包括多項(xiàng)式樣條法、指數(shù)樣條法和B樣條法，節(jié)約型模型的主要代表是Nelson-Siegel模型及其擴(kuò)展模型。通常，使用靜態(tài)模型擬合利率期限結(jié)構(gòu)的具體過程如下：首先，從市場上選出一組無違約風(fēng)險(xiǎn)的附息債券。設(shè)該組附息債券在時(shí)間t的市場價(jià)格為 ，在時(shí)間s的現(xiàn)金流入為 ，其中， ，j表示該

7、組的第j支債券。 jtP( ) jsFst由于期限結(jié)構(gòu)指的是零息債券的收益率與其到期日間之關(guān)系，因此必須先調(diào)整“息票效應(yīng)”（Coupon Effect）。息票效應(yīng)是指：對于剩余到期期限相同的債券來說，它們的到期收益率不僅與當(dāng)前的利率期限結(jié)構(gòu)有關(guān)，還與它們的票面利率水平有關(guān)。對于相同的即期利率期限結(jié)構(gòu)而言，到期收益率是這些即期利率的加權(quán)平均，而權(quán)重是各個(gè)現(xiàn)金流的現(xiàn)值。 于是，假想出貼現(xiàn)函數(shù) 或零息票債券利率 的具體形式，其中 和 為參數(shù)向量。然后利用假想出的具體形式，來推導(dǎo)附息債券的理論價(jià)格，當(dāng)推導(dǎo)出的理論價(jià)格與給定的市場價(jià)格最為接近時(shí)，就可以估計(jì)出由 和 構(gòu)成的參數(shù)向量，即： 1( , )(;

8、)B t sf st 2( ,)(;)R t stg st1212*21argmin()njjttjPP其中， 是從模型jtP( )(;)jjtssPFf st或模型( )(;)jjtssPFf st( )exp () (;)jjtssPFst g st推導(dǎo)出的附息債券理論價(jià)格。顯然，債券樣本中長期品種的價(jià)格波動性應(yīng)大于短期品種，而由此帶來的結(jié)果是：以上述方法中表示長期債券的定價(jià)誤差往往大于短期債券。這就是在進(jìn)行收益率曲線擬合時(shí)無法避免的樣本異方差特征，導(dǎo)致的結(jié)果往往是收益率曲線在遠(yuǎn)端出現(xiàn)“過度擬合”（Over fitting）的情況，而在近端則無法很好地表現(xiàn)短期債的實(shí)際情況。 為了解決這一問

9、題，應(yīng)該對短期債券賦予較高的權(quán)重，而對長期債券賦予較低的權(quán)重，從而允許長期債券存在較高的誤差。在Bolder和Streliski (1999)的論文中，設(shè)定了如下的權(quán)重系數(shù)：1/1/jjjDurwDur而將參數(shù) 的估計(jì)過程定義為：2*21()argminjjnttjjPPwn多項(xiàng)式樣條法多項(xiàng)式樣條函數(shù)假設(shè)折現(xiàn)因子是到期期限s的多項(xiàng)式分段連續(xù)函數(shù) 。在運(yùn)用此函數(shù)時(shí)，仔細(xì)選擇多項(xiàng)式的階數(shù)是至關(guān)重要的。階數(shù)的多少決定了利率曲線的平滑程度和擬合程度，同時(shí)也影響到待估參數(shù)的數(shù)量。本書將多項(xiàng)式樣條函數(shù)的階數(shù)定為3。這是因?yàn)?，?dāng)多項(xiàng)式樣條函數(shù)為二階時(shí)， 的二階導(dǎo)數(shù) 是離散的；當(dāng)階數(shù)過高（四階或五階）時(shí)，驗(yàn)證

10、三階或四階導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)的難度將增大，待估參數(shù)的數(shù)量也將增大。 ( )D s( )D s(2)( )Ds一般選用如下形式的多項(xiàng)式樣條函數(shù)： 231111123222222333333( )( )( )( ).D sabsc sd sD sab sc sd sD sD sab sc sd s112230, ,sTsT TsT T注意，對于即期貼現(xiàn)率函數(shù) 來說，顯然有 。另外，為了保證分段函數(shù)的平滑性以及在分段點(diǎn)的平滑過渡，必須保證貼現(xiàn)函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)且一、二階可導(dǎo)，還需要滿足如下約束條件： ( )D s(0)1D 1111221( )( )( )( )( )( )iiiiiiiiiiiiD

11、TDTDTDTDTDT其中 的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。(1)(2)( ),( )( )iiiDTDTD T分別為例如，考慮30年期的貼現(xiàn)率函數(shù)，可以用三次多項(xiàng)式分段擬合如下：2301111235222223103333( ) 0, 5( )( ) 5,10( ) 10,30D sabsc sd ssD sD sab sc sd ssDsab sc sd ss其中，函數(shù)必須滿足以下的7個(gè)約束條件： ( )( )055100(5)(5)(10)(10)0,1,2(0)1iiiiDDDDiD從而，我們可以將互相獨(dú)立的參數(shù)縮減到5個(gè)： 23011133235111232310111332( )1 0,5(

12、 )15-5 5,10( )( )15 -510D sbsc sd ssD sbsc sdssdssD sDsbsc sdssdss 33-10 10,30dss指數(shù)樣條法指數(shù)樣條函數(shù)是Vasicek and Fong (1982)提出的。與在多項(xiàng)式樣條函數(shù)部分所述的原因相同，也采用三階指數(shù)形式樣條函數(shù)，其形式為：231111123222222333333( )( )( )( ).usususususususususD sabec ed eD sab ec ed eD sD sab ec ed e112230, ,sTsT TsT T模型中，除了 u也是一個(gè)參數(shù)，并且有明顯的經(jīng)濟(jì)含義。Vasi

13、cek and Fong (1982)證明了如下等式：,iiiia b c d 外，lim(0, )sufs即，u可以被認(rèn)為是當(dāng)前的起息日為未來無限遠(yuǎn)時(shí)的瞬間遠(yuǎn)期利率。同樣，指數(shù)樣條法也必須滿足如下約束條件： 1111221(0)1( )( )( )( )( )( )iiiiiiiiiiiiDD TDTDTDTDTDT(1)(2)( ),( )( )iiiDTDTD T分別為其中， 的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。 選擇樣條函數(shù)的分段數(shù)量和取樣條分界點(diǎn)在指數(shù)樣條法中也同樣十分重要，其方法可以參見多項(xiàng)式樣條法。并且，指數(shù)樣條模型也容易導(dǎo)致遠(yuǎn)期利率曲線不穩(wěn)定。不同于多項(xiàng)式樣條法的是，其參數(shù)估計(jì)必須采用非線性

14、最優(yōu)化。 Nelson-Siegel模型及其擴(kuò)展形式Nelson-Siegel模型可以由一個(gè)公式來說明，該公式的形式與那些描述動態(tài)利率的普通微分方程的解的表達(dá)式十分類似。該公式為：012111(0, )exp()exp()f其中， 表示即期計(jì)算的，在未來時(shí)間 時(shí)發(fā)生的瞬間遠(yuǎn)期利率。 均為待估參數(shù)。利用(0, )f0012, 1以及01(0, )(0, )Rfs ds可以得到：110121111 exp()1 exp()(0, )exp R這就是Nelson-Siegel模型的基本表達(dá)形式。當(dāng)固定 時(shí)，通過 的不同組合，利用這個(gè)模型，可以推出四種不同形狀的零息票債券收益曲線：遞增、遞減、水平和倒

15、置。但是，這個(gè)模型無法推導(dǎo)出形狀更為復(fù)雜的收益曲線，例如V形收益曲線和駝峰收益曲線。 012和為了克服上述缺點(diǎn)，Svensson (1994)將上述模型擴(kuò)展如下： 012311122(0, )exp()exp()exp()f于是，可以得到：1101211123221exp()1exp()(0, )exp1exp() expR動態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型動態(tài)利率期限模型包括均衡模型和套利模型。 均衡模型是一種由均衡分析方法得出的模型，它從假設(shè)一些經(jīng)濟(jì)變量開始，推出短期無風(fēng)險(xiǎn)利率的一個(gè)過程，然后尋找該過程對債券價(jià)格和期權(quán)價(jià)格的含義。均衡模型利用以下三步來為利率或有要求權(quán)定價(jià)：l利用已建立好的因子模型來推導(dǎo)

16、出理論零息票債券收益率曲線。l利用參考債券的市場價(jià)格來校準(zhǔn)模型并推出模型的參數(shù)值。l最后，利用已確定的參數(shù)來為金融衍生品定價(jià)。套利模型由無套利分析方法得出，它是利用市場上的價(jià)格信息來推導(dǎo)出利率隨機(jī)微分方程的形式的。 均衡模型 根據(jù)狀態(tài)變量集中隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，可以將利率期限結(jié)構(gòu)模型區(qū)分為單因素和兩(多)因素模型兩大類。 一般單因素模型 ( , )( , )ttttdrt r dtt r dW對 取不同的形式，得到了不同的模型。其一般形式如下： ( , )( , )ttt rt r和1212()()ttttdrr dtrdW1212表21.1 單因素模型總結(jié)模型布倫南和施瓦茨(Brennen&Sc

17、hwartz,1979)1瓦西塞克(Vasicek,1977)1克斯-英格爾索爾-羅斯( CIR,1985b)0.5默頓(Merton,1973)1多塞(Dothan,1978)1皮爾遜和孫(Pearson&Sun,1994)0.5Vasicek模型 假設(shè)短期利率的歷史數(shù)據(jù)服從Ornstein-Uhlenbeck過程，即： 121()()tttttdrr dtdWa br dtdW在風(fēng)險(xiǎn)中性測度Q條件下，得到利率 變化的過程為：tr()Qtttdra br dtdW其中 Qbba通過求解偏微分方程或鞅方法，可以推導(dǎo)出在時(shí)間T到期的貼現(xiàn)債券在時(shí)間t的價(jià)格為：12( , )( , )exp( ,

18、) )tB t TA t TA t T r其中，21 exp()( , )a TtA t Ta22222212( , )(/2)( , )( , )exp4QA t TTt a bA t TA t Taa于是，根據(jù)公式：1( , )ln( ,)R tB t t 可以推導(dǎo)出起息時(shí)間為t，剩余到期期限為 的貼現(xiàn)債券的利率，從而得出時(shí)間t的收益率曲線。 貼現(xiàn)債券利率的波動率由下式給出：1 exp()( , )( )()aV tVaCIR模型 CIR模型假設(shè)短期利率的風(fēng)險(xiǎn)中性過程為：()Qttttdra br dtr dW 于是，貼現(xiàn)債券價(jià)格可以表示為：12( , )( , )exp( , ) )tB

19、 t TA t TA t T r22exp( () 1( , )()exp( () 12TtA t TaTt22/12 exp()()/2)( , )()(exp( () 1)2QabaTtA t TaTt222a其中，貼現(xiàn)債券利率的波動率由下式給出：22( ,)( , )tr A t tV t套利模型在套利模型中，假設(shè)在時(shí)間T到期的貼現(xiàn)債券在時(shí)間t的價(jià)格 的相對變化滿足如下Ito過程：( , )B t T( , )( , )( , )21.28( , )tdB t Tt T dtt T dWB t T（）其中， 為貼現(xiàn)債券價(jià)格 在時(shí)間t的預(yù)期瞬間收益； 為貼現(xiàn)債券價(jià)格在時(shí)間t的瞬時(shí)波動；W為

20、標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。( , )t T( , )B t T( , )t T將方程(21.28)在等價(jià)鞅測度下寫成如下形式 ( , )( , )( , )ttdB t Trdtt T dWB t T其中， 為在另一個(gè)概率測度下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。W根據(jù)Ito引例解上面隨機(jī)微分方程（stochastic differential equation），得到：20001( , )(0, )exp( , )( , )2tttssB t TBTr dss T dWs T ds可以從方程中消除短期利率，過程如下：首先，利用條件 ，得到：( , )1B t t 200011( , )(0, )exp( , )( , )2

21、1.312tttssB t tBtr dss t dWs t ds（）上面兩式相除，得：2200(0, )1( , )exp ( ( , )( , )( , )( , )21.32(0, )2ttsBTB t Ts Ts t dWs Ts t dsBt（）上式表明，債券的價(jià)格僅取決于當(dāng)前的期限結(jié)構(gòu)以及波動性結(jié)構(gòu) 根據(jù)(21.32)式，還可以推出到期期限為T的貼現(xiàn)債券在時(shí)間t的利率，以及在時(shí)間t計(jì)算的，起息日為時(shí)間T的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率，由：1( ,)ln( , )R t TtB t TTt ln( , )( , )B t Tf t TT 可以推得：22001(0, )1( ,)ln()( ( , )

22、( , )( , )( , )(0, )2ttsBtR t Tts Ts t dWs Ts t dsTtBT00( , )(0, )( , )( , ) ( , )21.36ttsf t TfTs T dWs Ts T ds（）其中， 為瞬間遠(yuǎn)期利率 的波動，它滿足：( , )t T( , )f t T( , )( , )s Ts TT由(21.36)式，還可以得到：00( , )(0, )( , )( , ) ( , )tttsrf t tfts t dWs ts t dsGHIJKLMABCDEF 圖21.3 重組樹 圖21.4 非重組樹離散時(shí)間形式的Ho-Lee模型 基本假設(shè)基本假設(shè)Ho

23、 and Lee (1986)假定市場滿足離散狀態(tài)時(shí)間框架下的標(biāo)準(zhǔn)完全資本市場假設(shè)：1. 市場無摩擦。即：無稅收，無交易成本，所有的證券都完全可分。2. 市場在離散時(shí)間點(diǎn)出清。3. 市場完全。即：對任意期限n，存在貼現(xiàn)債券。4. 對任意的時(shí)間點(diǎn)n，存在有限個(gè)狀態(tài)。二項(xiàng)式過程Ho and Lee (1986)假定利率期限結(jié)構(gòu)移動遵循二項(xiàng)式過程隨時(shí)間變化。即：( , )iB n T1(1,1)iBnT(1,1)iB nT其中， 定義為在第i種狀態(tài)下，剩余到期期限為T的貼現(xiàn)債券在時(shí)間n的均衡價(jià)格。當(dāng)利率上升時(shí)，該價(jià)值向 運(yùn)動，當(dāng)利率下降時(shí)，該價(jià)值向 運(yùn)動。( , )iB n T1(1,1)iBnT(

24、1,1)iB nT干擾函數(shù) 定義干擾函數(shù)和如下：如果利率下降，則債券的價(jià)值向上移動到：1( ,1)(1, )( )( ,1)iiiB n TBnTh TB n如果利率上升，那么債券的價(jià)值向下移動到：*( ,1)(1, )( )( ,1)iiiB n TB nTh TB n其中， *( )1( )1(0)(0)1h Th Thh，。風(fēng)險(xiǎn)中性概率無套利條件對每個(gè)結(jié)點(diǎn)（n, i）給出了其擾動函數(shù)的約束。*( )(1)( )1h Th T其中，n, i0。 與到期期限T，初始貼現(xiàn)債券價(jià)格無關(guān)，但可能與時(shí)間n，狀態(tài)i有關(guān)，稱為隱含二項(xiàng)式概率。根據(jù)干擾函數(shù)的定義，上式可寫為： 1( , )(1,1)(1)

25、(1,1)( ,1)iiiiB n TBnTB nTB n隱含二項(xiàng)式概率為Cox Ross and Rubinstein (1979)模型中的風(fēng)險(xiǎn)中性概率（Risk Neutral Probability），于是，rdud其中，1( ,1)irB n1(1,1)( , )iiBnTuB n T(1,1)( , )iiB nTdB n T對重組樹的要求在定義了干擾函數(shù)之后，就可以用公式來明確對重組樹的要求了。( ,2)iB n T 1(1,1)iBnT(1,1)iB nT1(2, )iBnT圖21.6 利率期限結(jié)構(gòu)的二項(xiàng)式過程（2）當(dāng)狀態(tài)先上移后下移時(shí)，有：*111(1,1)(2, )( )(1

26、,1)iiiBnTBnTh TBn1( ,2)(1,1)(1)( ,1)iiiB n TBnTh TB n又因?yàn)椋?1( ,2) (1)( )(2, )21.42( ,2) (1)iiiB n Th Th TBnTB nh（）1( ,2)(1,1)(1)( ,1)iiiB nBnhB n故有：當(dāng)狀態(tài)先下移后上移時(shí)，同樣可以得到：*1*( ,2)(1) ( )(2, )21.43( ,2)(1)iiiB n Th Th TBnTB nh（）比較(21.42)式和(21.43)式，得：*(1)( )(1)(1) ( ) (1)h Th T hh Th T h*( )(1)( )1h Th T(1)

27、1( )1(1)(1) (1) ( )1(1)h Th Thhh Th T又由于：故有： 上式可簡化為一個(gè)一階線性差分方程：1(1)( )h Th T(1)1/(1) )h ( (1) 1)(1) (1)hh其中，于是， 和 均為常數(shù)。求解上述一階線性差分方程，得：1( )21.46(1)Th T （）*( )21.47(1)TTh T （）故：*( )( )21.48Th Th T（）為風(fēng)險(xiǎn)中性概率： rdud由(21.48)式，可以推導(dǎo)出：*(1)(1)hh利率期限結(jié)構(gòu)在第i種狀態(tài)下剩余到期期限為T的貼現(xiàn)債券的時(shí)間n的價(jià)格用初始利率期限結(jié)構(gòu)表示如下： *0*0(0,)(1)(2)() (1

28、)( )( , )(0, )(1)(2)( ) (1)(1)iBTn h Tnh Tnh Ti h Tih TB n TBnh nh nh i h ih 將(21.46)式和(21.47)式代入上式，得：()00(0,) (1) (2)( )( , )(0, )(1) (2)(1)T n iiBTn h Tnh Tnh TB n TBnh nh nh特別的，當(dāng)T=1時(shí)，債券價(jià)格為：00(0,1)( ,1)(0, )(1)n iinBnB nBn 于是，短期利率為：00(0, )( ,1)ln( ,1)lnln(1)ln(0,1)niiBnr nB niBn 設(shè)隱含二項(xiàng)概率為q，則 是關(guān)于i的一

29、個(gè)二項(xiàng)分布，均值為：( ,1)ir n(1)( )( )lnln(1)lnlnln(1)(1)(1)nq nqnP nP nnqP nP n 方差為：2var(1)(ln )nqq連續(xù)時(shí)間形式的Ho-Lee模型 連續(xù)時(shí)間形式的Ho-Lee模型實(shí)際上是單因素HJM模型的一個(gè)特例。它假設(shè)為瞬間遠(yuǎn)期利率 的波動 與t和T無關(guān)，即：( , )f t T( , )t T( , )t T于是，短期利率由下式給出：2(0, )ttftdrt dtdWt 貼現(xiàn)債券價(jià)格由下式給出：22(0, )()( , )exp( ()(0, )()(0, )2tBTTttB t TTt rftBt貼現(xiàn)債券利率由下式給出：2()( ,)