高中數學選修4-4-簡單曲線的極坐標方程講課教案

1、高中數學選修4-4-簡單曲線的極坐標方程曲線的極坐標方程一 定義：如果曲線上的點與方程f(,)=0有如下關系（）曲線上任一點的坐標（所有坐標中至少有一個）符合方程f(,)=0 ；（）以方程f(,)=0的所有解為坐標的 點都在曲線上。則曲線的方程是f(,)=0 。 二 求曲線的極坐標方程的步驟：與直角坐標系里的情況一樣建系建系 （適當的極坐標系）（適當的極坐標系）設點設點 （設（設M M（ ，) )為要求方程的曲線上任意一點）為要求方程的曲線上任意一點）列等式（構造列等式（構造，利用三角形邊角關系的定理列關于，利用三角形邊角關系的定理列關于M M的等式）的等式） 將等式坐標化將等式坐標化化簡化簡

2、 （此方程此方程f(,)=0即為曲線的方程）即為曲線的方程）例1.半徑為a的圓的圓心坐標為(a,0)(a0)，極坐標方程：xC(a,0)OMA(,) 2acos 2 ,( , )cos2 cos .(1)(0,), (2 ,0)(1)2OAOAaMOAOMAMRt AMOOMOAMOAaOAa 解：圓經過極點 。設圓與極軸的另一個交點是 ，那么設為圓上除點 ，以外的任意一點，那么。在中即 可以驗證，點的坐標滿足等式的點都在這個圓上。等式，可以驗證，坐標適合滿足的條件，另一方面坐標就是圓上任意一點的極所以，等式) 1 (),() 1 (OC(a,0)AxM (,)例例2.已知圓已知圓O的半徑為的

3、半徑為r，極坐標方程？，極坐標方程？xOrM a簡單。上比式合時的極坐標方程在形顯然，使極點與圓心重即為圓上任意一點，則設都等于半徑何特征就是它們的極徑幾圖），那么圓上各點的為極軸建立坐標系（如出發(fā)的一條射線為極點，從解：如果以圓心) 1 (,),(.rrOMMrOO例例3.半徑為半徑為a的圓的圓心坐標為的圓的圓心坐標為(a, /2)(a0)求圓的極坐標方程。求圓的極坐標方程。OxMA 2asin 例例4.如圖，半徑為如圖，半徑為a的圓的圓心坐標為的圓的圓心坐標為 a0)，圓的極坐標方程，圓的極坐標方程？xOMA(,)1,C a1,C a12 cos()a例例5.如圖，如圖，( 1, 1)，半

4、徑為，半徑為r圓的極坐標方圓的極坐標方程程？解解:設設P(,)為圓周上任意一點為圓周上任意一點,如下圖所示如下圖所示,在在OCP中中,CP=r,OC=1,OP=.根據余弦定理根據余弦定理,得得CP2=OC2+OP2-2OCOPcos(-1),即即r2=12+2-21cos(-1).也就是也就是2-21cos(-1)+(12-r2)=0. 即：即： 2+ 1 2 -2 1 cos( - 1)= r2這就是圓在極坐標系中的一般方程這就是圓在極坐標系中的一般方程.(1)中心在極點，半徑為中心在極點，半徑為a；(2)中心在中心在(a,0)，半徑為，半徑為a；(3)中心在中心在(a, /2)，半徑為，半

5、徑為a；(4)中心在中心在(a, 1)，半徑為，半徑為a；(5)中心在中心在( 1, 1)，半徑為，半徑為r。 a 2acos 2asin 2+ 1 2 -2 1 cos( - 1)= r2圓的幾種極坐標方程圓的幾種極坐標方程12cos()a53 cos5 sin已 知 一 個 圓 的 極 坐 標 方 程 是，求 在 直 角 坐 標 系 下 圓 心 坐思 考 ：標 和 半 徑 。222225 3cos5sin5 3 cos5 sin5 355 35()()25225 35(,),522xyxyxy解： 兩邊同乘以 得即化為直角坐標為即所以圓心為半徑是你可以用極坐標方程直接來求嗎？你可以用極坐標

6、方程直接來求嗎？3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化為所以圓心為半徑為11( ,)(0)2 cos()aaaaO結論：圓心為半徑為 ，圓的極坐標方程為 ，此圓過極點 。5 3cos5sin已知一個圓的極坐標方程是 ，求圓心坐標和半徑。練習21.以極坐標系中的點以極坐標系中的點(1,1)為圓心，為圓心，1為為半徑的圓的方程是半徑的圓的方程是( ) 1 12 21 12 24 42 24 42 2 sin.Dcos.Csin.Bcos.A方程是什么？化為直角坐標、曲線的極坐標方程sin424)2(22 yx3cos()4、極坐標方程所表示的曲線是（ ）A、雙曲線、

7、雙曲線 B、橢圓、橢圓 C、拋物線、拋物線 D、圓、圓D為半徑的圓。為圓心，以解：該方程可以化為21)4,21()4cos(41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即解：410cos()3、圓 的圓心坐標是)0 , 5( 、A)3, 5(、B)3, 5(、C)32, 5(、D（ ）C5(2,)2A、寫出圓心在點處且過極點的圓的極坐標方程，并把它化成直角坐標方程。222224cos()4sin24 sin4(2)4xyyxy解： 化為直角坐標系為即2126:2cos ,:2 3 sin20,CC、已知圓圓試判斷兩圓的位置關系。所以兩圓相

8、外切。半徑為，圓心半徑為圓心坐標方程為解：將兩圓都化為直角21)3, 0(1)3(:1)0 , 1 (, 1) 1( :2122221221OOOyxCOyxC思考：思考：在平面直角坐標系中在平面直角坐標系中過點過點(3,0)且與且與x軸垂直的直線方程為軸垂直的直線方程為 ;過點過點(2,3)且與且與y軸垂直的直線方程為軸垂直的直線方程為 x=3y=3四四 直線的極坐標方程：直線的極坐標方程：例例1：求過極點，傾斜角為求過極點，傾斜角為 的射線的極坐標方程。的射線的極坐標方程。4 oMx4 (0)4 （2）求過極點，傾斜角為）求過極點，傾斜角為 的射線的極坐標方程。的射線的極坐標方程。54 5

9、(0)4 （3）求過極點，傾斜角為）求過極點，傾斜角為 的直線的極坐標方程。的直線的極坐標方程。4 (0)4 5(0)4 和和 和前面的直角坐標系里直線方程的表示形和前面的直角坐標系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標系里的直線表示起來很不式比較起來，極坐標系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？0 為了彌補這個不足，可以考慮允許極徑可以為了彌補這個不足，可以考慮允許極徑可以取全體實數。則上面的直線的極坐標方程可取全體實數。則上面的直線的極坐標方程可以表示為以表示為()4R 或或5()4R 例例2、求過點求過點A(a,0)(a0)，且垂

10、直于極軸的，且垂直于極軸的直線直線L的極坐標方程。（學生們先自己嘗試做）的極坐標方程。（學生們先自己嘗試做）解：如圖，建立極坐標系，設點解：如圖，建立極坐標系，設點( , )M ox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA 即即cosa 可以驗證，點可以驗證，點A的坐標也滿足上式。的坐標也滿足上式。為直線為直線L上除點上除點A外的任意一點，外的任意一點，連接連接OM交流做題心得歸納解題步驟：求直線的極坐標方程步驟求直線的極坐標方程步驟1、據題意畫出草圖；、據題意畫出草圖；2、設點、設點 是直線上任意一點；是直線上任意一點；( , )M 3、連接、連接MO；4、根據幾何條件建立關

11、于、根據幾何條件建立關于 的方的方程，程， 并化簡；并化簡；, 5、檢驗并確認所得的方程即為所求。、檢驗并確認所得的方程即為所求。 練習練習1求過點求過點A (a, /2)(a0)，且平行于，且平行于極軸的直線極軸的直線L的極坐標方程。的極坐標方程。解：如圖，建立極坐標系，解：如圖，建立極坐標系，設點設點 為直線為直線L上除點上除點A外的任意一點，連接外的任意一點，連接OM( , )M 在在 中有中有 Rt MOA 即即可以驗證，點可以驗證，點A的坐標也滿足上式。的坐標也滿足上式。Mox A sin aIOMI sinAMO=IOAI課堂練習課堂練習2 設點設點A的極坐標為的極坐標為 ，直線，

12、直線 過點過點( ,0)a ll解：如圖，建立極坐標系，設點解：如圖，建立極坐標系，設點( , )M 為直線為直線 上異于上異于A點的任意一點，連接點的任意一點，連接OM，l在在 中，由正弦定理中，由正弦定理 得得MOA sin()sin()a 即即sin()sina 顯然顯然A點也滿足上方程點也滿足上方程A且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ,求直線求直線 的極坐標方程。的極坐標方程?；喌没喌?oMx A例例3：設點設點P的極坐標為的極坐標為 ，直線，直線 過點過點P且且與極軸所成的角為與極軸所成的角為 ,求直線求直線 的極坐標方程。的極坐標方程。 11(,) lloxMP 1 1 A

13、解：如圖，設點解：如圖，設點( , )M 的任意一點，連接的任意一點，連接OM，則，則,OMxOM1O P 1xO P 為直線上除點為直線上除點P外外由點由點P的極坐標知的極坐標知設直線設直線L與極軸交于點與極軸交于點A。則在。則在 中中MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理得由正弦定理得11sin()sin() 11sin()sin() 顯然點顯然點P的坐標也是上式的解。的坐標也是上式的解。即即OMPOPOPMOMsinsin練習練習3 求過點求過點P(4, /3)且與極軸夾角為且與極軸夾角為 /6的直線的直線 的的方程。方程。l2)6sin(直線的幾種極坐標方程直線的幾種極坐標方程1、過極點，傾斜角為、過極點，傾斜角為 2、過點、過點 垂直于極軸垂直于極軸4、過點、過點 ，且與極軸成的角度，且與極軸成的角度3、過點、過點A (a, /