幾個題目分析

1、幾個題目分析案例1：農(nóng)場與牛。農(nóng)夫在一片長滿草的大草原農(nóng)場中央建了一間邊長為5米的牛棚（假設(shè)牛棚部分沒有草），農(nóng)夫在一個墻角拴了一頭牛，如果繩子長12米，若繩子可自由彎曲，請問牛一共可吃多少面積的草？問題1：請問下列哪一個圖是正確的？問題2：請問牛吃了多少面積的草地？（A）約452平方米；（B）約427平方米 ；（C）約416平方米 ；（D）少于413平方米（選自林福來主編臺灣2011數(shù)學(xué)素養(yǎng)評量樣本試題） (A) (B) (C) (D) 應(yīng)當(dāng)說，這是一個考察數(shù)學(xué)素養(yǎng)比較好的題目，要用數(shù)學(xué)知識并根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗去解決現(xiàn)實生活中的問題。但是，考察知識的創(chuàng)新方面顯得不足。下面我們對此題以知識理解

2、、知識遷移、知識創(chuàng)新為目標(biāo)進(jìn)行改造，并分析所考察的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平。首先，該題的知識理解部分比較簡單，只需學(xué)生掌握圓面積公式，會運用這個公式解決問題。問題1屬于知識的遷移，問題2屬于知識理解。增加一個問題3，可以考察學(xué)生的知識創(chuàng)新。問題3：在解決了這個問題之后，你能否把得到的結(jié)論作一般化處理；或者由這個問題提出一些新的問題，并解決你提出的一個問題。（要對問題作一般化處理，需要把具體數(shù)字用字母替代，得到解決這個問題的一般化結(jié)論。要提出新的問題，可以從牛棚的形狀的變化來考慮，譬如改為長方形，菱形，圓等；可以從繩子的長度與牛棚的邊長變化來考慮；從在牛棚上栓牛的位置變化來考慮；從草地上可能存在障礙物來

3、考慮等。）經(jīng)過改造，三個問題主要考察知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新三種水平。測查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包括：數(shù)學(xué)抽象：問題1：把一個現(xiàn)實問題抽象為一個數(shù)學(xué)問題，二級水平。問題3：把問題推廣引申，三級水平。邏輯推理：問題2：將圓面積公式用于具體計算，一級水平。問題3：選擇不同公式的靈活運用，二級水平。數(shù)學(xué)運算：問題2：簡單的公式計算，一級水平。問題3：簡單的公式計算，一級水平。直觀想象：問題1：通過觀察圖形，結(jié)合生活經(jīng)驗抽象出問題的數(shù)量關(guān)系，利用圖形探索數(shù)學(xué)問題，二級水平。問題3：能夠進(jìn)行圖形變式提出新的問題，三級水平。表1 案例1考察數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力分布情況關(guān)鍵能力數(shù)學(xué)抽象邏輯推理直觀想象數(shù)學(xué)運算水平一

4、二三一二 三一二三一二三問題1問題2問題3案例2：兩個厚度相同的圓餅，一個半徑為10cm，售價為3元，另一個半徑為15cm，售價為4元，問買哪一種餅更劃算？這是一個現(xiàn)實生活中的問題，考察學(xué)生能否用圓面積公式遷移到現(xiàn)實情境中去解決問題，所用到的知識點很少，是考察學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的二級水平題目。將這個題目進(jìn)行改造，可以體現(xiàn)考察核心素養(yǎng)的三種水平。1. 在學(xué)習(xí)了圓的面積公式S=r2之后，要學(xué)生求一個給出已知半徑的圓的面積或已知面積求圓的半徑。2. 上面的案例1。3. 由上面的問題，你還能聯(lián)到什么問題？請?zhí)岢鲆粋€問題并解決這個問題。（學(xué)生可能會想到：（1）兩個厚度相同的圓餅，第一種餅的半徑為R厘米，售

5、價為x元，第二種餅半徑為r厘米，售價為y元，在什么條件下買第一種餅劃算，什么條件下買第二種餅劃算？（2）將圓的問題推廣到正方形、長方形、正六邊形等問題中去。（3）將不同形狀的餅作比較研究。等等）對題目考察學(xué)生關(guān)鍵能力作分析。數(shù)學(xué)抽象：第2題，二級水平。第3題，三級水平。邏輯推理：第1題，一級水平。第2題，一級水平。第3題，三級水平。數(shù)學(xué)運算：第1題，一級水平。第2題，一級水平。第3題，二級水平。第2題把一個現(xiàn)實問題抽象為一個數(shù)學(xué)問題，涉及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象是二級水平，數(shù)學(xué)運算和邏輯推理是一級水平。第3題是把問題推廣引申，考察學(xué)生聯(lián)想、類比、歸納等合情推理進(jìn)而提出問題的能力，

6、涉及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算，其中數(shù)學(xué)抽象是三級水平，邏輯推理是三級水平，數(shù)學(xué)運算是二級水平。表2表達(dá)了這道題目的考察意圖（也可以用雷達(dá)圖表示）。表2 案例2考察數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力分布情況關(guān)鍵能力數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)運算水平一二三一二三一二三題目1題目2題目3案例3：現(xiàn)在我們定義兩種運算“*”和“”，對于任意兩個整數(shù)a，b，有，。1. 因式分解：；2. 驗證這兩種運算滿足交換律，即，；3. 如果要使結(jié)合律成立，即，那么，之間要滿足什么條件？ 4. 請你自己用代數(shù)式定義這兩種運算，使得結(jié)合律恒成立。核心素養(yǎng)：邏輯推理：第1題一級水平；第2題一級水平；第3題二級水平；第4題三級水平。數(shù)學(xué)抽象：第1題

7、一級水平；第2題一級水平；第3題二級水平；第4題三級水平。表3 案例3考察數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力分布情況關(guān)鍵能力數(shù)學(xué)抽象邏輯推理水平一二三一二三第1題第2題第3題第4題4. 勾股定理，軸對稱圖形問題（1）以RtABC的三邊為邊長的三個正方形的面積之間有什么關(guān)系？請說明理由。（2） 以RtABC的三邊為邊長的三個等邊三角形的面積之間有什么關(guān)系？請說明理由。（3）參考以上兩問，你還能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論？如可能，請說明理由。 CBACBA說明：第（1）題將問題作了變式，是一種新的情境（數(shù)學(xué)內(nèi)部情境），要進(jìn)行比較復(fù)雜的推理，屬于二級水平。第（2）題是開放性問題，考察學(xué)生推廣命題的能力，考察類比推理能力和邏輯思維能力，

8、屬于三級水平。核心素養(yǎng)：邏輯推理：第（1）題，一級水平。第（2）題，二級水平。第（3）題，三級水平。直觀想象：第（1）題，一級水平。第（2）題，一級水平。第（3）題，二級水平。數(shù)學(xué)運算：第（1）題，一級水平。第（2）題，二級水平。第（3）題，三級水平。案例3：2. 7年級上第六章平面圖形的認(rèn)識（一）課題學(xué)習(xí)欄目：制作無蓋的長方體紙盒。此題考察的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是：直觀想象，數(shù)學(xué)建模，邏輯推理。整個題目分為兩段，第一段是“議一議”；第二段是后面的“想一想、做一做、想一想”。第一段：設(shè)置了一個需要有一定生活經(jīng)驗的情境，應(yīng)用體積公式建立一個簡單的數(shù)學(xué)模型。雖然有現(xiàn)實情境，但情境比較簡單，用到的知識點就是長方體體積公式。因此，這個問題直觀想象、數(shù)學(xué)建模的一級水平。第二段：這個問題需要學(xué)生對結(jié)果進(jìn)行猜想、歸納、驗證，情境是數(shù)學(xué)情境，涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要是邏輯推理（有數(shù)學(xué)運算但太簡單），屬于二級水平。其中第二個“想一想”的設(shè)計可以改造，設(shè)計為知識創(chuàng)新水平。第三段：通過上面的問題，你還能想到什么問題？提出一個你想到的問題，并解決這個問題。例如：（1） 設(shè)長方形的紙板長為a，寬為