初中數(shù)學(xué)《圓的切線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用》教學(xué)課例分析

1、初中數(shù)學(xué)圓的切線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)課例分析1教學(xué)設(shè)計(jì)1.1 背 景 眾所周知，改進(jìn)教學(xué)方法、提高教學(xué)效果有賴于教師與學(xué)生之間積極的互動(dòng)，有賴于教師所起的主導(dǎo)作用. 認(rèn)真分析學(xué)生的具體情況，做出合乎實(shí)際的評(píng)估，對(duì)于采用有效的教學(xué)方法是十分必要的.筆者所帶的班級(jí)，由于初中一年級(jí)組班時(shí)的歷史原因，學(xué)習(xí)成績(jī)較差的學(xué)生比較集中.相當(dāng)多的學(xué)生有這樣那樣的不良行為習(xí)慣.缺乏積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)精神，不會(huì)提問題，作業(yè)不認(rèn)真，一切依賴于老師. 面對(duì)這樣的情況，教師如何轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度，讓他們對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣和學(xué)習(xí)積極性，就成了一個(gè)關(guān)鍵問題.筆者在這個(gè)班進(jìn)行了“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的教學(xué)試驗(yàn). 首先，讓學(xué)生觀察情境

2、圖，并回答一些簡(jiǎn)單的問題.接著，讓學(xué)生再次觀察情境圖，問他們想到了什么.同時(shí)，還將學(xué)生分組，自己討論“想到了什么？”的問題.無論他們所回答的問題如何離奇，教師均不予以批評(píng)或諷刺.相反，鼓勵(lì)他們大膽、充分、流利地表達(dá)自己的看法和想法.經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練，大多數(shù)學(xué)生都獲得了成功的體驗(yàn)，增強(qiáng)了自信心，有時(shí)還能主動(dòng)提出見解和想法.這樣，就為繼續(xù)進(jìn)行“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的實(shí)驗(yàn)教學(xué)奠定了良好基礎(chǔ). 1.2 設(shè)計(jì)思路在幾何教材中，“已知A，求證B”是多數(shù)論證型例題、習(xí)題的模式。在教學(xué)中，可將其改造為探索性的模式，即：“已知A,推測(cè)由A可提出什么樣的問題”，或“改變A的一個(gè)條件，可提出什么樣的問題”.這兩種

3、改造后的模式都具有開放性，能夠讓學(xué)生從被動(dòng)接受的方式中走出來，提高問題意識(shí)，提出有價(jià)值的問題；同時(shí)，還具有拓展學(xué)生思維，開發(fā)學(xué)生智力，并能把問題意識(shí)遷移到其他學(xué)科學(xué)習(xí)中去的作用.在九年義務(wù)教育幾何第三冊(cè)的第七章圓中，講到“圓的切線的判定與性質(zhì)”應(yīng)用部分時(shí)，有這樣一個(gè)例題：（P94例3）已知：如圖1所示，AB是O的直徑，BC是O的一條切線，且切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD.求證：CD是O的切線. 將此問題進(jìn)行適當(dāng)改造，可獲得很好的數(shù)學(xué)情境：保留原題的已知條件，不給出求證部分，讓學(xué)生根據(jù)已知條件和給出的圖形，問他們可提出什么樣的問題.然后，對(duì)各種問題一一進(jìn)行解決.教師期望學(xué)生得出以下問題：線段DC與線

4、段BC有什么大小關(guān)系？ 1與2有什么大小關(guān)系？；直線DC與O的位置關(guān)系如何？等.在解決這些問題的過程中，要添加輔助線：連結(jié)OD.然后，以添加輔助線以后情況作為情境二，啟發(fā)學(xué)生再添加輔助線：連結(jié)BD，并問他們，線段BD與線段OC之間有何關(guān)系.從而得到后面將要學(xué)習(xí)的切線長(zhǎng)定理.采用這樣的安排，激發(fā)了學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)機(jī).然后，可以讓學(xué)生把問題拓寬，改變?cè)榫持械囊恍l件后又作為新的情境，再根據(jù)新的情境提出問題，并自己解題.經(jīng)過這樣反復(fù)訓(xùn)練，既能培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，又能增強(qiáng)學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)能綜合地運(yùn)用知識(shí)的能力，同時(shí)還有益于學(xué)生邏輯思維能力和創(chuàng)造力的培養(yǎng)和提高.2教學(xué)過程2.1 設(shè)置

5、情境一：如圖1所示:已知：AB是O的直徑，BC是它的切線，切點(diǎn)為B.OC平行于弦AD.（1）提出問題 學(xué)生根據(jù)情境一，在圖上比劃，經(jīng)過交流與討論，提出了若干問題，老師把學(xué)生提出的問題歸納如下：1） CBO是什么角？ 2） A與COB的大小關(guān)系如何？ 3） 直線 DC與O是什么樣的位置關(guān)系？ 4） 線段 DC與線段BC有什么樣的大小關(guān)系？5）1與2相等嗎？ （2）解決問題 師：同學(xué)們善于動(dòng)腦，提出了若干問題，現(xiàn)歸納成5個(gè)問題思考。還沒有等我的話說完，學(xué)生已經(jīng)開始舉手了. 生1：老師，我來回答第(2)問題：由于兩直線平行，同位角相等，所以A=COB. 師：這位同學(xué)回答的很好，利用平行線的性質(zhì)很快就

6、解決了這個(gè)問題 生2：老師，我來回答第(1)問題：由圓的切線性質(zhì)定理可知，圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，所以有CBOB, 故有CBO = 900，即 CBO是直角. 老師充分肯定了這名學(xué)生熟練地應(yīng)用圓的切線性質(zhì)定理解決了第（1）問題，并給予表揚(yáng)和鼓勵(lì). 生3：請(qǐng)老師允許我解決剩下的四個(gè)問題.添加輔助線：連接OD，如圖(2) OA = OD OAD = ODA AD OCA = COB ， ODA = DOCCOB= DOC在OBC與ODC中， OB = OD , COB = DOC , OC = OCOBC ODC (SAS) OBC = ODC BC是O的切線, CBO = 900 ODC =

7、 900DC是O的切線.OBC ODC 1 = 2 師: 這位同學(xué)的解題思維敏捷，思路清晰，書寫規(guī)范,解答完整.全體同學(xué)以掌聲給予鼓勵(lì). (同學(xué)們給予了熱烈的掌聲) 生4: 在圖(2)中，還可以做另外的輔助線：連接BD. 這位學(xué)生的發(fā)言設(shè)置了第二個(gè)情境.2.2 設(shè)置情境二：如圖3所示(在原圖中連接BD,其它條件不變)（1）提出新問題： 學(xué)生根據(jù)情境二，經(jīng)過交流與討論，提出了若干問題，老師把學(xué)生提出的問題歸納如下：(1) OC與BD有何位置關(guān)系? (2) OC平分BD嗎? (3) OC平分嗎? （2）回答問題. 生5: 在情境一的問題回答中,已經(jīng)得到了OBC ODC,根據(jù)“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等

8、、對(duì)應(yīng)邊相等”得到：1 = 2,CD = CB.所以，BCD是等腰三角形.根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)“等腰三角形頂角的平分線也是底邊上的中線和高線”得到: OCBD,并且OC平分BD. 生6：根據(jù)垂徑定理的推論：垂直平分弦的直線平分這條弦所對(duì)的弧.即得到: OC平分. 學(xué)生的發(fā)言獲得了全班同學(xué)的熱烈掌聲。掌聲未盡，另一學(xué)生開始解答第（3）問. 師：以上同學(xué)回答的很好,能把所學(xué)知識(shí)靈活地運(yùn)用,真了不起.在今天的課堂上,同學(xué)們?cè)谔岢鰡栴}和解決問題的過程中表現(xiàn)得很好，希望大家能在將來的學(xué)習(xí)和生活把這種精神發(fā)揚(yáng)光大?，F(xiàn)在我們對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行歸納和總結(jié)：從情境一、情境二中得出的四條結(jié)論就是將要學(xué)習(xí)的

9、7.10節(jié)中的“切線長(zhǎng)定理”的內(nèi)容.這四條結(jié)論是：(1) CD=CB, (2) DCO=BCO, (3) OCBD, (4)OC平分BD. 即，從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角，并且垂直平分兩切點(diǎn)連成的線段.老師話音剛落，教室里頓時(shí)響起一陣嘩啦啦的翻書聲，許多同學(xué)都迫不及待地要看看7.10節(jié)在哪里，有哪些內(nèi)容.通過這種教學(xué)方法，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，激發(fā)了他們強(qiáng)烈的求知欲.（3）問題拓展趁著學(xué)生興趣正濃，老師進(jìn)一步啟發(fā)他們。師：如果我們把情境一中的條件作一些變換，同學(xué)們又能提出一些什么問題呢？ 這時(shí)學(xué)生又搶著發(fā)言. 生：原題的條件是: BC為O

10、的切線，切點(diǎn)為B。 如把該條件改成：CBAB于B點(diǎn)，其他條件不變，則可以得出與情境一相同的結(jié)論. 生：還可以把“BC為O的切線”這一條件改成“DC與O相切與D點(diǎn)”, 也可以得出: BC為O的切線. 生：還可以把“AB是O的直徑”這一條件作進(jìn)一步的改變.雖然學(xué)生余興未盡，但卻已到下課時(shí)間了.為進(jìn)一步調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，老師決定將課堂上同學(xué)們自己改編的題目就作為當(dāng)天的課后練習(xí)，并鼓勵(lì)大家各抒己見，充分發(fā)揮各自的想象力.3教學(xué)反思3.1通過將“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的教學(xué)模式應(yīng)用到具體的教學(xué)實(shí)踐中，可以把一個(gè)看似簡(jiǎn)單的例題，進(jìn)行開放變化，借提出問題與尋求解決問題的答案創(chuàng)設(shè)出情境。本節(jié)

11、課中，在老師提出“如果我們把情境一中的條件作一些變換，同學(xué)們又能提出一些什么問題呢？” 這個(gè)問題后，學(xué)生通過觀察、思考、分析便大膽地講述自己的看法。利用這一情境，教師加以適當(dāng) 引導(dǎo)， 就可以使學(xué)生的思維活動(dòng)層層深入:常規(guī)性問題 發(fā)展性問題 探索性問題.在這種過程中，學(xué)生牢固掌握了圓的切線的性質(zhì)定理與判定定理,并能熟練地應(yīng)用，完成了一節(jié)課預(yù)定的教學(xué)任務(wù)。同時(shí)，這種教學(xué)方法突破了僅僅囿于課本的方法，使得新知識(shí)的學(xué)習(xí)前后連貫，承前啟后，自然遞進(jìn)。更為重要的是，學(xué)生在這種活動(dòng)中所扮演的是主角，教師則起著引導(dǎo)作用，學(xué)生能夠充分發(fā)揮主動(dòng)性、積極性、探索性，牢固掌握所學(xué)的知識(shí).經(jīng)過一年多的實(shí)踐訓(xùn)練，這個(gè)班的

12、數(shù)學(xué)成績(jī)有顯著提高：及格率，從最初的18.2%提高到了現(xiàn)在的70%.該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谌昙?jí)五個(gè)班的排名中，從原來的最后一名躍進(jìn)到了第二名.3.2 在“問題拓展”的活動(dòng)中，由于時(shí)間緊，有的學(xué)生就來不及提出更多的問題，而且并非所有學(xué)生的反應(yīng)均能照顧到。也許，學(xué)生想提而又沒有機(jī)會(huì)提出的問題，可能包含著更高的價(jià)值，或者包含著更好的教學(xué)情境.以下的例子可說明這一點(diǎn).圖4在課后練習(xí)中，有一學(xué)生把前述例題改變?yōu)椋骸叭鐖D4所示，已知 AB是O的直徑，線段AF與O切于A點(diǎn)，D是AF的中點(diǎn)，BF交O于E點(diǎn)，過點(diǎn)B的切線 于DE的延長(zhǎng)線交于C點(diǎn).試判斷直線CD與O的位置關(guān)系，并說明理由”.而且，該生還做出了相應(yīng)的解答(具體步驟在此從略).此題的深度、 難度、廣度，均超出了原題。因?yàn)榍蠼鈺r(shí)，不僅要用到“圓的切線的性質(zhì)和判定”，而且還用到了“直徑所對(duì)的圓周角是直角”、“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，等知識(shí)點(diǎn). 3.3 初中階段學(xué)生的年齡特征決定了他們對(duì)認(rèn)何事情都充滿著好奇,在課堂上學(xué)生交流、討