人教版二項(xiàng)式定理 典型例題解析

1、文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.人教版二項(xiàng)式定理概念篇【例U展開(2x2)5.2x2分析一：直接用二項(xiàng)式定理展開式.解法一：(2x)5=c0(2x)5+C5(2x)4(-3y)+C2(2x)3(-3)2+C3(2x)2(-3r)3+2x22x22x22x2C5 (2x)(一m)4-5(-2x二32x5 120x2+180 x3 )52x2135 405243丁 + 8732x10 '分析二：對(duì)較繁雜的式子，先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開.解法二：(2X-25二審二品C0(4x3)5+C1(4x3)4(

2、-3)+C5(4x3)3(3)2+C3(4x3)2(-3)3+C5(4/(3)4+uuxC5(3)5(1024x153840x12+5760x94320x6+1620x3-243)32x=32x5 120x2+180 x135 405243產(chǎn)+ 8X732x10 '說(shuō)明：記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式(a+b)n的展開式是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問(wèn)題的前提條件.對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開會(huì)更簡(jiǎn)便.【例2】求二項(xiàng)式(a-2b)4的展開式.a分析：直接利用二項(xiàng)式定理展開.解：根據(jù)二項(xiàng)式定理得(a-2b)4=C0a4+C4a3(2b)+C2a2(2b)2+C4a(2b)3+C4(-2b)4二a48a

3、3b+24a2b232ab3+16b4.說(shuō)明：運(yùn)用二項(xiàng)式定理時(shí)要注意對(duì)號(hào)入座，本題易誤把2b中的符號(hào)“”忽略.【例3】在(x冬)10的展開式中，x6的系數(shù)是.解法一：根據(jù)二項(xiàng)式定理可知x6的系數(shù)是C40.解法二：(x-3)10的展開式的通項(xiàng)是Tr+1=C；0x10r(而)r.令10r=6,即r=4,由通項(xiàng)公式可知含x6項(xiàng)為第5項(xiàng)，即T4+1=C40x6(舊)4=9C40x6.x6的系數(shù)為9c40.上面的解法一與解法二顯然不同，那么哪一個(gè)是正確的呢？問(wèn)題要求的是求含x6這一項(xiàng)系數(shù)，而不是求含x6的二項(xiàng)式系數(shù)，所以應(yīng)是解法二正確.如果問(wèn)題改為求含x6的二項(xiàng)式系數(shù)，解法一就正確了，也即是c4

4、6;.說(shuō)明：要注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與指定某一項(xiàng)的系數(shù)的差異.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者僅與二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)有關(guān)，與二項(xiàng)式無(wú)關(guān)，后者與二項(xiàng)式、二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)均有關(guān).【例4】已知二項(xiàng)式(3xx-)10,3x(1)求其展開式第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；(2)求其展開式第四項(xiàng)的系數(shù)；(3)求其第四項(xiàng).分析：直接用二項(xiàng)式定理展開式.解：(3萬(wàn)2)10的展開式的通項(xiàng)是Tr+i=C；0(3jX)10r(-)r(r=0,1,，10).3x3x(1)展開式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C3o=120.(2)展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)為Cw37(-)3=-77760.31(3)展開式的第4項(xiàng)為77760(4)77,

5、即77760Jx.X說(shuō)明：注意把(3JX2)10寫成34+(2)10,從而湊成二項(xiàng)式定理的形式.3x3x【例5】求二項(xiàng)式(x2+J)10的展開式中的常數(shù)項(xiàng).2,x分析：展開式中第r+1項(xiàng)為C；0(x2)10r(2)r,要使得它是常數(shù)項(xiàng)，必須使“x”的指數(shù)為零，依據(jù)是x0=1,XW0.解：設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則+1=。；0僅2)10 r(或六小5r15_一, , T9=C：0 ( 2 )8二452562(1)r(r=0,1,，10),令201r=0,得r=8.第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，其值為我.256說(shuō)明：二項(xiàng)式的展開式的某一項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，就是這項(xiàng)不含“變?cè)?，一般采用令通?xiàng)Tr+1中的變?cè)闹笖?shù)為零的方

6、法求得常數(shù)項(xiàng).【例6】(1)求(1+2x)7展開式中系數(shù)最大項(xiàng)；(2)求(12x)7展開式中系數(shù)最大項(xiàng).分析：利用展開式的通項(xiàng)公式，可得系數(shù)的表達(dá)式，列出相鄰兩項(xiàng)系數(shù)之間關(guān)系的不等式，進(jìn)而求出其最大值.解：(1)設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則有C72r C7 12r 1,C72r C7 12r 1,7!2r7!2r1r!(7r)!(r1)!(7r1)!7!2r7!2r1r!(7r)!(r1)!(7r1)!163 Lnvv7c又0&r07,.r=5.13.3系數(shù)最大項(xiàng)為T6=C721一 o,r化簡(jiǎn)得r 8 r解得12. r r r 1x5=672x5.(2)解：展開式中共有8項(xiàng)，系數(shù)最大項(xiàng)必為

7、正項(xiàng)，即在第一、三、五、七這四項(xiàng)中取得.又因(12x)7括號(hào)內(nèi)的兩項(xiàng)中后兩項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值大于前項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值，故系數(shù)最大值必在中間或偏右，故只需比4 /O4C3較T5和T7兩項(xiàng)系數(shù)的大小即可.C6(2)6=3>1,所以系數(shù)最大項(xiàng)為第五項(xiàng)，即T5=560x4c7(2)6而說(shuō)明：本例中(1)的解法是求系數(shù)最大項(xiàng)的一般解法，(2)的解法是通過(guò)對(duì)展開式多項(xiàng)分析，使解題過(guò)程得到簡(jiǎn)化，比較簡(jiǎn)潔.【例7】(1+2x)n的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).分析：根據(jù)已知條件可求出n,再根據(jù)n的奇偶性確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).解：T6=Cn(2x)5,T7=C6(

8、2x)6,依題意有C：25=C626,解得n=8.(1+2x)8的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5=C4(2x)4=1120x4.設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則有C72r C712r 1,C72r C712r1.5<r<6.r=5或r=6.系數(shù)最大的項(xiàng)為T6=1792x5,T7=1792x6.說(shuō)明：(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.(2)求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得.應(yīng)用篇【例8】若nCN*,(J2+1)n

9、=T2an+bn(an、bnCZ),則bn的伯：()A.一定是奇數(shù)B.一定是偶數(shù)C.與bn的奇偶性相反D.與a有相同的奇偶性分析一：形如二項(xiàng)式定理可以展開后考查.解法一：由(J2+1)n=V2an+bn,知V2an+bn=(1+J2)n=C0+Cn拒+C2(V2)2+C：(收)3+C：(V2)n.bn=1+C2(亞)2+C4(亞)4+bn為奇數(shù).答案：A分析二：選擇題的答案是唯一的，因此可以用特殊值法.解法二：nCN*,取n=1時(shí)，(72+1)1=(72+1),有b1=1為奇數(shù).取n=2時(shí)，(/+1)2=2也+5,有b2=5為奇數(shù).答案：A【例9】若將(x+y+z)10展開為多項(xiàng)式，經(jīng)過(guò)合并同

10、類項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為()A.11B.33C.55D.66分析：(x+y+z)10看作二項(xiàng)式(xy)z10展開.解：我們把x+y+z看成(x+y)+z,按二項(xiàng)式將其展開，共有11“項(xiàng)”，即(x+y+z)10=1010k10kk(xy)z=C10(x+y)z.k0這時(shí)，由于“和”中各項(xiàng)z的指數(shù)各不相同，因此再將各個(gè)二項(xiàng)式(x+y)10一k展開，不同的乘積Ck0(x+y)10一9(k=0,1,，10)展開后，都不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng).下面，再分別考慮每一個(gè)乘積Ck0(x+y)10kzk(k=0,1,，10).其中每一個(gè)乘積展開后的項(xiàng)數(shù)由(x+y)10k決定，而且各項(xiàng)中x和y的指數(shù)都不相同，也不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng).故原

11、式展開后的總項(xiàng)數(shù)為11+10+9+1=66.答案：D說(shuō)明：化三項(xiàng)式為二項(xiàng)式是解決三項(xiàng)式問(wèn)題的常用方法.【例10】求(|x|+工一2)3展開式中的常數(shù)項(xiàng).|x|分析：把原式變形為二項(xiàng)式定理標(biāo)準(zhǔn)形狀.解：.(xl+±-2)3=(Txl-)6,|x|、|x|.展開式的通項(xiàng)是Tr+1=c6(vTxl)6r(-4=)r=(-1)rc6(vTx-l)62r.-Jx|若Tr+1為常數(shù)項(xiàng)，則62r=0,r=3.展開式的第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，即T4=-C3=-20.說(shuō)明：對(duì)某些不是二項(xiàng)式，但又可化為二項(xiàng)式的題目，可先化為二項(xiàng)式，再求解【例11】求(板一板)9展開式中的有理項(xiàng).分析：展開式中的有理項(xiàng)，就是通項(xiàng)

12、公式中x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng).1127r解：=Tr+1=C9(x2)9r(x3)r=(1)rC9xk.令名CZ,即4+=CZ,且r=0,1,2,，9.66.r=3或r=9.當(dāng)r=3時(shí)，2=4,T4=(1)3C；x4=84x4.6當(dāng)r=9時(shí)，2=3,T10=(-1)9C9x3=-x3.6.3僅一38)9的展開式中的有理項(xiàng)是第4項(xiàng)84x4,第10項(xiàng)一x3說(shuō)明：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr+1可求展開式中某些特定項(xiàng).【例12若(3x1)7=a7x7+a6x6+a1x+a。,求(1)a1+a2+a7；(2)a1+a3+a5+a7；(3)a0+a2+a4+a6.分析：所求結(jié)果與各項(xiàng)系數(shù)有關(guān)可以考慮用“特殊值”法

13、，整體解決.解：令x=0,貝Ua0=1,令x=1,貝Ua7+a6+a1+a0=27=128.；a1+a2+a7=129.(2)令x=1,貝Ua7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=(4)7.由得:a1+a3+a5+a7=1128(4)7=8256.22(3)由ffl_(2)得a0+a2+a4+a6=1128+(4)7=-8128.22說(shuō)明：(1)本解法根據(jù)問(wèn)題恒等式特點(diǎn)來(lái)用“特殊值”法，這是一種重要的方法，它用于恒等式.(2)一般地，對(duì)于多項(xiàng)式g(x)=(px+q)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7,g(x)各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1),g(x)的奇

14、數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1g(1)+g(1)1,g(x)的偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為-g(1)-g(-1)l.22【例13】證明下列各式(1)1+2Cn+4c2+2n1Cn1+2nCn=3n;(2)(C0)2+(Cn)2+(Cn)2=C2n；(3)C；+2c2+3C3+nCn=n2n1.分析：(1)(2)與二項(xiàng)式定理的形式有相同之處可以用二項(xiàng)式定理，形如數(shù)列求和，因此可以研究它的通項(xiàng)尋求規(guī)律.證明：(1)在二項(xiàng)展開式(a+b)n=C0an+C1nan-1b+Cnan廿+Cn1abn-1+Cnbn中，令a=1,b=2,得(1+2)n=1+2Cn+4c2+2n1Cn1+2nCn,即1+2Cn+4c2+2n1Cn1+2

15、nCn=3n.(2)(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n,(1+Cnx+C2x2+Cnxr+xn)(1+C1nx+C2x2+Cnxr+xn)=(1+x)2n.而C2n是(1+x)2n的展開式中xn的系數(shù)，由多項(xiàng)式的恒等定理，得C0Cn+CnCn1+cncn1+CnCn=Cnn.cm=cnm,0<m<n,.(c0)2+(cn)2+(cn)2=c2n.(3)證法一：令S=C1n+2C2+3C3+ncn.S=C1n+2c2+(n1)Cn1+nCn=nCn+(n1)Cn1+2Cn+Cn=nCn+(n-1)Cn+2Cn2+Cn1.由+得2S=nCn+nCn+nCn+nCn=n(Cn+Cn

16、+Cn+C3+Cn)=n(Cn+Cn+C2+Cn+Cn)=n2n.S=n2n1,即C1n+2C2+3C3+nCn=n2n1.證法二：觀察通項(xiàng)：kCn=kn n(n k!(n k)! (k 1)!(n k)!.原式=nCn 1+nC1n 1+nC2 1+nC3 1+ +nCn1=n(C：k 1nCn 1 .1+Cni+C2 i+C3 1+-+Cn 1)=n2n 1,即C；+2C：+3c3+nCn=n2nl.說(shuō)明：解法二中kcn=ncni可作為性質(zhì)記住.【例14】求1.9975精確至IJ0.001的近似值.1.997=20.003.分析：準(zhǔn)確使用二項(xiàng)式定理應(yīng)把1.997拆成二項(xiàng)之和形式如解：1.9

17、975=(20.003)5=25C5240.003+C2230.0032-C3220.0033+320.24+0.0007231.761.說(shuō)明：利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算，關(guān)鍵是確定展開式中的保留項(xiàng)，使其滿足近似計(jì)算的精確度【例15】求證：51511能被7整除.分析：為了在展開式中出現(xiàn)7的倍數(shù)，應(yīng)把51拆成7的倍數(shù)與其他數(shù)的和(或差)的形式.證明：5151-1=(49+2)51-1=C514951+C5149502+C5149250+C51251-1,易知除C512511以外各項(xiàng)都能被7整除.又2511=(23)171=(7+1)171=C07717+C17716+C177+C17T=7(C0

18、7716+C17715+TC16).顯然能被7整除，所以51511能被7整除.說(shuō)明：利用二項(xiàng)式定量證明有關(guān)多項(xiàng)式(數(shù)值)的整除問(wèn)題，關(guān)鍵是將所給多項(xiàng)式通過(guò)恒等變形變?yōu)槎?xiàng)式形式，使其展開后的各項(xiàng)均含有除式.創(chuàng)新篇【例16】已知(xlgx+1)n的展開式的最后三項(xiàng)系數(shù)之和為22,中間一項(xiàng)為20000.求x.文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.分析：本題看似較繁，但只要按二項(xiàng)式定理準(zhǔn)確表達(dá)出來(lái)，不難求解！解：由已知cn+cn1+Cn2=22,即n2+n42=0.又nCN*,n=6.T4為中間一項(xiàng),T4=C6(x

19、lgx)3=20000,即(xlgx)3=1000.xlgx=10.兩邊取常用對(duì)數(shù)，有l(wèi)g2x=1,lgx=±1,x=10x=.10說(shuō)明：當(dāng)題目中已知二項(xiàng)展開式的某些項(xiàng)或某幾項(xiàng)之間的關(guān)系時(shí)，常利用二項(xiàng)式通項(xiàng)公式，根據(jù)已知條件列出等式或不等式進(jìn)行求解.【例17】設(shè)f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m,nCN*),若其展開式中關(guān)于x的一次項(xiàng)的系數(shù)和為11,問(wèn)m,n為何值時(shí)，含x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值？并求這個(gè)最小值.分析：根據(jù)已知條件得到x2的系數(shù)是關(guān)于x的二次表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)探討最小值問(wèn)題.22解：Cm+C；=n+m=11.cm+C2=-(m2m+n2n)=mn,22nN*

20、,.n=6或5,m=5或6時(shí)，x2項(xiàng)系數(shù)最小，最小值為25.說(shuō)明：本題是一道關(guān)于二次函數(shù)與組合的綜合題.【例18若(x+二一2)”的展開式的常數(shù)項(xiàng)為一20,求n.x分析：題中xw0,當(dāng)x>0時(shí)，把三項(xiàng)式(x+1一2廠轉(zhuǎn)化為(VxJ)2n;當(dāng)x<0時(shí)，同理(x+1一x.xx2)n=(1)n(Jx2)2n.然后寫出通項(xiàng)，令含x的幕指數(shù)為零，進(jìn)而解出n.解：當(dāng)x>0時(shí)，(x+12)n二(彼一上嚴(yán)，xx其通項(xiàng)為Tr+1=C2n(阮)2nr(-L)r=(-1)rC2n(Vx)2n2x令2n2r=0,得n=r,展開式的常數(shù)項(xiàng)為(1)rCnn；當(dāng)x<0時(shí)，(x+12)n=(1)n(4

21、：)2n.同理可得，展開式的常數(shù)項(xiàng)為(一1)rC2n.xx無(wú)論哪一種情況，常數(shù)項(xiàng)均為(1)rCnn.令(T)rC2n=20.以n=1,2,3,，逐個(gè)代入，得n=3.說(shuō)明：本題易忽略x<0的情況.【例19】利用二項(xiàng)式定理證明(2)n1<.3n1分析：2不易從二項(xiàng)展開式中得到，可以考慮其倒數(shù)U.n12證明：欲證(2廠1二-成立，只需證(3尸1。成立.3n122M(3)n1=(1+1)n1=Cn1+Cn1-+C21(-)2+Cn1(1)n122222.n1八2/12n=1+Cn1()+Cn22>n_J2說(shuō)明：本題目的證明過(guò)程中將(|)n1轉(zhuǎn)化為(1+1)1,然后利用二項(xiàng)式定理展開式

22、是解決本問(wèn)題的關(guān)鍵.【例 20】求證：20(1 +1)n<3(ne N*).n分析：(1+1)n與二項(xiàng)式定理結(jié)構(gòu)相似，用二項(xiàng)式定理展開后分析 n證明：當(dāng) n=1 時(shí)，(1 + 1)n=2.n當(dāng) n2 時(shí)，(1+1)n=1+C1n n-+C2又 Ck(1)k=n(n 1) kn1)1c 1 I-2+ +cn(_)n=1+1+c nn2 -2-+ , +Cn()n>2.nnk k! n所以(1 + 1)性2+工+工+ n 2! 3!111=2+(12)+q1)+ =3- 1<3. nn!, +(n 1+ <2+1+(n 1) n1, An 11rr(n 1)rr!(n 1)

23、r= 1(1-r !2)(1F)").綜上有20(1+1)n<3.n說(shuō)明：在此不等式的證明中，利用二項(xiàng)式定理將二項(xiàng)式展開，再采用放縮法和其他有關(guān)知識(shí)，將不等式證明到底.【例21】求證：對(duì)于nCN*,(1+1)n<(1+)n+1.nn1分析：結(jié)構(gòu)都是二項(xiàng)式的形式，因此研究二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是常用方法.證明：(1+1)n展開式的通項(xiàng)Tr+1=cn=7nnr!n1n(n1)(n2)(nr1)二n=1(1-1)(1-2)(1-3).r!nnn(1+，)n+1展開式的通項(xiàng)T'r+1=cnn1由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)可明顯地看出Tr+1<T'r+1所以(1+ n(n

24、1)(n 2) (n r 1)n<(1+,)n+1nn1說(shuō)明：本題的兩個(gè)二項(xiàng)式中的兩項(xiàng)均為正項(xiàng)，且有一項(xiàng)相同.證明時(shí)，根據(jù)題設(shè)特點(diǎn)，采用比較通項(xiàng)大小的方法完成本題證明.【例22】設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，且a、b、c成等差數(shù)列，nCN*,求證：an+cn>2bn.分析：題中雖未出現(xiàn)二項(xiàng)式定理的形式，但可以根據(jù)a、b、c成等差數(shù)列創(chuàng)造條件使用二項(xiàng)式定理證明：設(shè)公差為d,則a=bd,c=b+d.an+cn-2bn=(bd)n+(b+d)n2bn=bnCnbn1d+Cnbnr !n7d2+(-1)ndn+bn+C；bn1d+Cnbn2d2+dn=2(C2bn2d2+Cnbn4d4)&

25、gt;0.文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.說(shuō)明：由a、b、c成等差，公差為d,可得a=b-d,c=b+d,這就給利用二項(xiàng)式定理證明此問(wèn)題創(chuàng)造了可能性.問(wèn)題即變?yōu)?bd)n+(b+d)n>2bn,然后用作差法改證(b-d)n+(b+d)n-2bn>0.【例23】求(1+2x3x2)6的展開式中x5項(xiàng)的系數(shù).分析：先將1+2x3X2分解因式，把三項(xiàng)式化為兩個(gè)二項(xiàng)式的積，即(1+2x3x2)6=(1+3x)6(1-x)6.然后分別寫出兩個(gè)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，研究乘積項(xiàng)x5的系數(shù)，問(wèn)題可得到解決.解：原式二(1+3x)6(1-x)6,其中(1+3x)6展開式之通項(xiàng)為Tk+i=Ck3kxk,(1-x)6展開式之通項(xiàng)為Tr+1=C6(-x)r.原式二(1+3x)6(1x)6展開式的通項(xiàng)為Ckc6(1)r3kxk+r.現(xiàn)要使k+r=5,又.kC0,1,2,3,4,5,6,rC0,1,2,3,4,5,6,必須k6或kr或k2,或k3,或k4,或k5r5r4r3r2r1r0.故x5項(xiàng)系數(shù)為c030c6(-1)5+c631c4(1)4+c232c6(1)3+c633c2(1)4+c634c6(1)+C535c6(1)0=168.說(shuō)明：根據(jù)