陜西省西安市2021屆新高考第二次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

1、陜西省西安市2021屆新高考第二次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目 要求的。1.已知久夕是空間中兩個(gè)不同的平面，?，是空間中兩條不同的直線，則下列說法正確的是()A.若mua,nu。,且a_L/7,則?_LB.若muatua,且/1月,則a尸C.若加_La,/?,且a_L，則i_LD.若"?J_a,/7,且a/，則1_L【答案】D【解析】【分析】利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理，對選項(xiàng)做出判斷，舉出反例排除.【詳解】解：對于A,當(dāng)?ua,uq，且。_L/7,則?與的位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；對于3,當(dāng)?時(shí)，不

2、能判定a夕，故錯(cuò)；對于C,若?_La,Z?,且a_L尸，則加與的位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；對于。，由6_Laa/?可得?_LQ,又夕,則i_L故正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型，以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷.2 .若不等式41n(x + 1)-d + 2/>0在區(qū)間(0,+s)內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()932B.932A.,一21n2 ln5121n2 In 5(932( 9C121n2帝D-21n2'2【答案】C【解析】【分析】由題可知，設(shè)函數(shù)/(x) =

3、 ln(x + l), g(x) = F-2x。根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出g")的極值點(diǎn)，得出單調(diào)性，根據(jù)。卜。+ 1)-工3+2/>0在區(qū)間(0,+s)內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，轉(zhuǎn)化為/(x)>g(x)在區(qū)間 (0，+s)內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】 設(shè)函數(shù) f(x) = aln(x +1), g(x) = x3-2x2,因?yàn)?g(x) = 3x24x,所以 g'(x) = O,一 4，4 = 0或%=一, 34 因?yàn)镺vx大時(shí)，g'(x)vO,4或x<0時(shí)，g'")>。，g(O) = g(2)

4、= O,其圖象如下:當(dāng)悵。時(shí)，/(x)>g(x)至多一個(gè)整數(shù)根;7(3)>g(3) J(4)Wg(4)當(dāng)。>0時(shí)，/(x)>g(x)在(0,+s)內(nèi)的解集中僅有三個(gè)整數(shù)，只需6/ln4>33-2x326/ln543-2x42932所以< X.21n2In 5故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題，還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想和 解題能力.3 .已知甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用共享單車一次(假定費(fèi)用只可能為1、2、3元).甲、乙租車費(fèi)用 為1元的概率分別是0.5、0.2,甲、乙租車費(fèi)用為2元的概率分別是0.2、0.4,則甲

5、、乙兩人所扣租車 費(fèi)用相同的概率為（）A. 0.18B. 0.3C. 0.24D. 0.36【答案】B【解析】【分析】甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同即同為1元，或同為2元，或同為3元，由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得.【詳解】由題意甲、乙租車費(fèi)用為3元的概率分別是030.4,甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同的概率為P = 0.5 x0.2+0.2 x0.4+0.3 x 0.4 = 0.3 .故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性事件的概率.掌握獨(dú)立事件的概率乘法公式是解題基礎(chǔ).4 .已知命題P：直線ab,且bu平面a,貝lj a叫 命題q：直線1_L平面a,任意直線niua,貝lj l_Lm.下列 命題為真命題的

6、是（）A. pAqB. pV （非 q） C.（非 p） Aq D. pA （非 q）【答案】C【解析】【分析】首先判斷出為假命題、q為真命題，然后結(jié)合含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性，判斷出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)線面平行的判定，我們易得命題:若直線直線8u平面則直線。平面儀或直線。在平面。內(nèi)，命題為假命題；根據(jù)線面垂直的定義，我們易得命題如若直線/_L平面則若直線/與平面夕內(nèi)的任意直線都垂直，命 題q為真命題.故:A命題“八叱為假命題；B命題“（7）”為假命題；C命題”（少上必為真命題；D命題為假命題.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行與垂直有關(guān)命題真假性的判斷，考查含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞的

7、命題的真假性判斷， 屬于基礎(chǔ)題.5 .已知函數(shù)/(x) = ±F，則不等式/(/7)>/(片尸|)的解集是()A.卜吁|)【答案】B【解析】【分析】2)B. 一6,一3)C. (-8,0)(2D不+8 3由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】v- - 1函數(shù) /Gv) = - x£(o,+s)時(shí)，r*)>o, /*)單調(diào)遞增,/T>0,故不等式/(e> f(e2)的解集等價(jià)于不等式1工> /.m的解集.1x > 2,x1 故選：B.【點(diǎn)睛】 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.D.

8、 ±736 .若復(fù)數(shù)z = P ( beR,i為虛數(shù)單位)的實(shí)部與虛部相等，則的值為( 2 + iA. 3B. ±3C. -3【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法，以及復(fù)數(shù)的基本概念求解即可.【詳解】z =匕2=上叱竺立，又z的實(shí)部與虛部相等, 2 + 15:.b-2 = 2b+19 解得 =一3.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念運(yùn)用.7 .若直線二不平行于平面二，且匚住二，則（）A.二內(nèi)所有直線與二異面B,二內(nèi)只存在有限條直線與二共面C.二內(nèi)存在唯一的直線與二平行D.二內(nèi)存在無數(shù)條直線與二相交【答案】D【解析】【分析】通過條件判斷直線二與平面二相

9、交，于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據(jù)直線二不平行于平面二，且二仁二可知直線二與平面二相交，于是ABC錯(cuò)誤，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，難度不大.2 一 一 18 .如圖，在A48C中，AN = -NCf P是BN上一點(diǎn),若AP = /AB + qAC,則實(shí)數(shù)，的值為（）【答案】C【解析】【分析】由題意，可根據(jù)向量運(yùn)算法則得到而=|加/+ （1-m）而，從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于t 的方程，求出t的值.【詳解】由題意及圖，彳=礪+麗=麗+ ?麗=福+ 7（印7-麗）=7再 + （1-7）通，_ 2 _ 2- 2_又，AN = -NC9 所以

10、病=一/，：.AP = -mAC+ (1-m) AB >1 -？=，1 又=148 + 74。，所以21 f解得n】=二, -m = -61531t-6 1故選c【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理，根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題.9.已知棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的四個(gè)面中，最大面積為（）【答案】B【解析】【分析】 由三視圖可知，該三棱錐如圖，其中底面A8C是等腰直角三角形，PC，平面A8C,結(jié)合三視圖求出每個(gè) 面的面積即可.【詳解】由三視圖可知，該三棱錐如圖所示:其中底面48c是等腰直角三角形，尸平面ABC, 由三視圖

11、知，PC = 2, AB = 2,因?yàn)?PC_L8C,PC±AC,AC = BC,AC所以 AC = Z?C = 2, PA = A3 = 2 JI,所以=S " cb = Smcb = -x2x2 = 2,乙因?yàn)闉榈冗吶切?所以S",，8= *AB，=與42 =26所以該三棱錐的四個(gè)面中，最大面積為26.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體并求其面積；考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求 解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.10.下列四個(gè)圖象可能是函數(shù)），=也口 圖象的是（）X + 1【答案】c【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，其函

12、數(shù)圖象可由），=也3的圖象沿X軸向左平移1個(gè)單位而得到，因?yàn)閄5 o。I v I），=出 為奇函數(shù),即可得到函數(shù)圖象關(guān)于（-1,。）對稱，即可排除A、D,再根據(jù)工0時(shí)函數(shù)值, x排除B,即可得解.【詳解】V 丁 =的定義域?yàn)閄I工工一1,5 o。I v I其圖象可由y =,燈.的圖象沿x軸向左平移1個(gè)單位而得到，x' I為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，X，y =的圖象關(guān)于點(diǎn)（7 0）成中心對稱.可排除A、D項(xiàng).當(dāng)工>0時(shí)，），=如殳匚二U>0, .B項(xiàng)不正確.x + 故選：c【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識(shí)圖能力，一般根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)來判斷對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)，即可排除三個(gè)不符的選項(xiàng),屬

13、于中檔題.11 .已知變量的幾組取值如下表：X1234y2.44.35.37若與x線性相關(guān)，且= 0.8x + a,則實(shí)數(shù)"二()【答案】B【解析】【分析】求出把坐標(biāo)G5)代入方程可求得。.【詳解】_ 15 - 1 z1919511據(jù)題意,得.=(1 + 2 + 3 + 4) = 5， = - (2.44-4.3 + 5.3 + 7)=,所以0.8x + 6/，所以a = 故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程，由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點(diǎn)63)可計(jì)算參數(shù)值.12 .如圖，正三棱柱ABC-44G各條枝的長度均相等，。為AA的中點(diǎn)，M,N分別是線段和線段CG的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，且滿

14、足bm=gn,當(dāng)M,N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中不正確的是 A.在內(nèi)總存在與平面A6c平行的線段B.平面。MN_L平面8CC蜴C.三棱錐A - OMN的體積為定值D. ADMN可能為直角三角形【答案】D【解析】【分析】A項(xiàng)用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交，則交線與平面ABC平行；B項(xiàng)利用線面垂直的判定定理；C項(xiàng)三棱錐A -的體積與三棱錐N - A.DM體積相等，三棱錐N -的底面積是定值，高也是定值，則體積是定值；D項(xiàng)用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.【詳解】A項(xiàng)，用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線平行于平面ABC,故正確;B項(xiàng)，如圖：當(dāng)M、N分別在BBi、CCi上運(yùn)動(dòng)時(shí),

15、若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCC1B1的中心O,由DO垂宜于平面BCCiBi可得平面DMN 1平面BCCe ,故正確；C項(xiàng)，當(dāng)M、N分別在BBh CG上運(yùn)動(dòng)時(shí)qAiDM的面積不變,N到平面AiDM的距離不變，所以棱錐 N-AiDM的體積不變，即三棱錐ArDMN的體積為定值，故正確；D項(xiàng)，若 DMN為直角三角形，則必是以NMDN為直角的直角三角形，但MN的最大值為BG,而此時(shí) DM,DN的長大于BBi,所以 DMN不可能為直角三角形，故錯(cuò)誤.故選D【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力，意在考查對線面、面面平行、垂直 的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.二、填

16、空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。2r,x<l,13.已知函數(shù) f (a)= log( x,x > 則 f (2)=7 一【答案】I 【解析】【分析】先由解析式求得J (2),再求/(/ (2) ).【詳解】/ (2)= 1=22所以(2) ) = /(-1) = 1,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，分段函數(shù)求值關(guān)鍵是“對號(hào)入座”，屬于容易題.14 .如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S-ABCQ,該四棱錐的體積為史，則該半球的體積為【答案】二旦乃3【解析】【分析】由題意可知半球的半徑與正四棱錐的高相等，可得正四棱錐的棱與半徑的關(guān)系，進(jìn)而可寫出半球的半徑與 四棱錐

17、體積的關(guān)系，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】設(shè)所給半球的半徑為R,則四棱錐的高/? = H,則A8=BC=CQ=D4=叵R，由四棱錐的體積芝2 = 1 (貶R)R = R =屈，半球的體積為：4兀R3二史小 33【方法點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面， 把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何 體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.15 .在某批次的某種燈泡中，隨機(jī)抽取200個(gè)樣品.并對其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查，將結(jié)果列成頻率分布表如 下：壽命

18、(天)頻數(shù)頻率200,300)40a300,400)600.3400,500)b0.4500,600)200.1合計(jì)2001某人從燈泡樣品中隨機(jī)地購買了 ( e N*)個(gè),如果這個(gè)燈泡的壽命情況恰好與按四個(gè)組分層抽樣所得的結(jié)果相同，則的最小值為.【答案】1?！窘馕觥俊痉治觥肯惹蟪鯽, b,根據(jù)分層抽樣的比例引入正整數(shù)k表示n,從而得出的最小值.【詳解】由題意得，a=0.2, b=80,由表可知，燈泡樣品第一組有40個(gè)，第二組有60個(gè)，第三組有80個(gè)，第四組 有20個(gè),所以四個(gè)組的比例為2:3:4:1,所以按分層抽樣法，購買的燈泡數(shù)為n=2k+3k+4k+k =10k( A eN*), 所以的最

19、小值為10.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣基本原理的應(yīng)用，涉及抽樣比、總體數(shù)量、每層樣本數(shù)量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.16 .某城市為了解該市甲、乙兩個(gè)旅游景點(diǎn)的游客數(shù)量情況，隨機(jī)抽取了這兩個(gè)景點(diǎn)20天的游客人數(shù)， 得到如下莖葉圖：甲乙3 2603 4 78 6 4 2611 2 S9 8 7 2 3 06212 4 4 6 75 4 3 2 1633 5 6 7 98 7 4&2 4 6由此可估計(jì)，全年(按360天計(jì)算)中，游客人數(shù)在(625,635)內(nèi)時(shí)，甲景點(diǎn)比乙景點(diǎn)多天.【答案】72【解析】【分析】根據(jù)給定的莖葉圖，得到游客人數(shù)在(625,635)內(nèi)時(shí)，甲景點(diǎn)共有7天，乙景點(diǎn)共有3天，進(jìn)而

20、求得全年 中，甲景點(diǎn)比乙景點(diǎn)多的天數(shù)，得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)給定的莖葉圖可得，在隨機(jī)抽取了這兩個(gè)景點(diǎn)20天的游客人數(shù)中，游客人數(shù)在(625,635)內(nèi)時(shí)，甲景點(diǎn)共有7天，乙景點(diǎn)共有3天，7-3所以在全年)中，游客人數(shù)在(625,635)內(nèi)時(shí)，甲景點(diǎn)比乙景點(diǎn)多360x = 72天.故答案為：72.【點(diǎn)睛】本題主要考查了莖葉圖的應(yīng)用，其中解答中熟記莖葉圖的基本知識(shí)，合理推算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知函數(shù)f(x) = ox-(d + l)ln1- + 2(aeR).(1)討論函數(shù).f(x)單調(diào)性

21、；(2)當(dāng) =一2 時(shí)，求證：fx)<ex-2x-. X【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)/(工)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論/(X)單調(diào)性(2)欲證J'(x)</2x L 只需證lnx + 2v/,構(gòu)造函數(shù)g(x) = lnx-/+2,證明g(立皿 <0,A這時(shí)需研究g(x)的單調(diào)性，求其最大值即可【詳解】解：(1) /3 = or (a + l)lnx，+ 2的定義域?yàn)?0,+8),f(x = a_ £11 + J_ = 6-(" + 1)* + 1 = (=7)(1), x x2x2x2 ，當(dāng)“K0時(shí)，由/'(X)&l

22、t;()得x>l ,由/'(x)>。，得xvl,所以“X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1.m)單調(diào)遞減；當(dāng)0<。<1 時(shí)，由r(x)<0得IcxvL 由/"(x)>0,得X<1,或1一， aai Ai所以/(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在1,7J單調(diào)遞減，在 了 單調(diào)遞增；當(dāng)“ =1時(shí)，廣二1廠20,所以“X)在(0,+8)上單調(diào)遞增； 廠當(dāng)”>1 時(shí)，由/'(x)v0,得,<xvl,由/'(x)>0,得X<,，或工>1, aaz x f 1 A(i A所以/(x)在0,一上單調(diào)遞增，在一

23、單調(diào)遞減，在(L+8)單調(diào)遞增. a)a y(2)當(dāng) =一2 時(shí)，欲證/(x)v/-2x - L 只需證 lnx + 2v", A令g(x) = ln_r-爐+2, x<0,)，則/") = _1一,，因存在.%£(),1),使得' = 成立，即有Xo=-lnx0,使得g'(%) = 0成立.當(dāng)工變化時(shí)，g'(x), g(x)的變化如下:X(0,陶)“(%，”)g'(x)+0g(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以g(x)max =8(/)=卜/_°+2 = _/_-!- + 2 = _ x0 + +2. X。x0 7因?yàn)樾?0

24、,1),所以x° +>>2,所以g(x) 111ax <2+2 =。.X。即g(x) = InX一ev + 2<g(刈 <0,所以當(dāng)。=一2時(shí)，/。)<d一2工一，成立. x【點(diǎn)睛】考查求函數(shù)單調(diào)性的方法和用函數(shù)的最值證明不等式的方法，難題.18.如圖，A8C為等腰直角三角形，AB = AC = 3f D為AC上一點(diǎn)，將M£>沿BD折起，得到三棱錐4 - 88,且使得凡在底面BCD的投影E在線段BC上，連接AE.(1)證明：BDLAE；(2)若tan ZABD = 1,求二面角C-BA,-D的余弦值.【答案】(1)見解析；(2)立

25、2【解析】【分析】(1)由折疊過程知AE與平面3CQ垂直，得A£_LB。，再取AA1中點(diǎn)M,可證AA】與平面/須。垂直，得AA_L8。，從而可得線面垂直，再得線線垂直；(2)由已知得。為AC中點(diǎn)，以E為原點(diǎn),E8.E4所在直線為x,z軸，在平面內(nèi)過E作8c的垂線為.V軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知求出線段長，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，用平面的法向量計(jì)算二面角的余弦.【詳解】(1)易知4E與平面BCQ垂直，.A£_L8。，連接441，取力4中點(diǎn)M,連接MDMQ,由 OA = Q4,8A = BA得_LMD AAt 1 MB , MBQMD = MfAA _L平面mb。，3Ou平面MB。，.

26、AA,8£),又A4nAE = A，BOJ_平面AE, B£)1AE；(2)由tan/A8O = !，知。是AC中點(diǎn)， 2令現(xiàn)=詆,則赤=而+瓦=(1-2)而+丸/，I由 8£)= AO-A8 = 3AC-A3, BD±AE9乙 i 2_而+ %元)(亞一而)= 0,解得力=二，故 BE = 2 叵 CE = 023則 8（2點(diǎn),0,0）,。（一點(diǎn), 0,0）, % （0,0,1）,。（_ g,以上為原點(diǎn)，房,ER所在直線為軸，在平面3。內(nèi)過E作8C的垂線為)、軸建立空間直角坐標(biāo)系,逑,。)4BA =(-2>/2,0J), BD = (竽,手。)，

27、設(shè)平面叱的法向量加=(“機(jī)歷-BA = -2y/2x +2 = 0- pn 9/32八 BD =x +y44,取x = l,則正= (L3,2j7). =0又易知平面A/C的一個(gè)法向量為/； = (0,1,0),cos < mji >=？ nn13及2 -.二面角C 一3"的余弦值為日【點(diǎn)睛】本題考查證明線線垂直，考查用空間向量法求二面角.證線線垂直，一般先證線面垂直，而證線面垂直又 要證線線垂直，注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化.求空間角，常用方法就是建立空間直角坐標(biāo) 系，用空間向量法求空間角.19.已知直線/：)，= " + ?與橢圓二+二=1(4人0

28、)恰有一個(gè)公共點(diǎn)夕，/與網(wǎng)E + y2="2相交于 cr b-A. 8兩點(diǎn).(I)求k與巾的關(guān)系式；(H)點(diǎn)。與點(diǎn)。關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。對稱.若當(dāng)攵=-；時(shí)，AQAB的面積取到最大值a"求橢圓的離心率.【答案】(I) m2=a2k2+b2 (ID e = -4【解析】【分析】(I)聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)判別式等于()，即可求出結(jié)果；(II)因點(diǎn)。與點(diǎn)。關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。對稱，可得AQA3的面積是AOW的面積的兩倍，再由當(dāng)攵=-：時(shí), 22O鉆的面積取到最大值工，可得。4，。3,進(jìn)而可得原點(diǎn)。到直線/的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式，以及(D的結(jié)果，即可求解.y = kx + in,

29、由w 丁 fl cr Ir【詳解】得a2k2 + b2 )x2 + Icrkmx + a2 (/-Z?2) = 0,則 =(2a-4(2 +b2)a2 (/ -Z?2) = 0化簡整理，得/="二+/；(n)因點(diǎn)。與點(diǎn)。關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。對稱，故AQA8的面積是AOA8的面積的兩倍.12所以當(dāng)攵=-一時(shí)，AOW的面積取到最大值土，此時(shí)OA_LOB, 22從而原點(diǎn)。到直線I的距離”=打， 又”=T=,故=巧JG+1 k2 + 1 2再由(I),得K +1 .缶，'，力21 mb2 3又k = 一大, 故K=1-=, 即= = 一,2a2 4 a2 8uh 2 c1 1b25 Hrl

30、 回從而 c = = 1- = 9 即 e =a2 a2 84【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，以及橢圓的簡單性質(zhì)，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定 理、判別式等求解，屬于中檔試題.20.如圖，矩形COE/和梯形A8CO所在的平面互相垂直，N84O = NAOC = 90 , AB = AD = -CDtBE1DF.(D若"為£4的中點(diǎn)，求證：AC平面M"；(2)若A8 = 2,求四棱錐七一ABC。的體積.【答案】見解析K _=4a/2【解析】【分析】(1)設(shè)EC與DF交于點(diǎn)N,連結(jié)MN,由中位線定理可得MNAC,故AC平面MDF；(2)取CD中點(diǎn)為

31、G,連結(jié)BG, EG,則可證四邊形ABGD是矩形，由面面垂直的性質(zhì)得出BG_L平面 CDEF,故 BG_LDF,又 DF_LBE 得出 DF_L平面 BEG,從而得出 DFJ_EG,得出 RS DEGRS EFD, 列出比例式求出DE,代入體積公式即可計(jì)算出體積.【詳解】(D證明：設(shè)EC與DF交于點(diǎn)N ,連接在矩形CDEF中，點(diǎn)N為EC中點(diǎn)， : M 為EA 的中點(diǎn),，：.MN/AC,又 AC(z平面MDf, MNu平面 AC平面MZ加.(2)取。中點(diǎn)為G,連接8G, EG,平面C£)EF_L平面43CQ,平面 CQEF c 平面 ABCD = CD,AOu平面48CQ, AD

32、77;CDt.AO_L平面CDEF,同理。_L平面A8CQ,.。的長即為四棱錐EA8CQ的高，在梯形ABC。中 AB = Ie。= OG, AB/DGt 2 四邊形48GQ是平行四邊形，BG/ADt：.BG _L 平面 CDEF,又DF u 平面 CDEF, BG 工 DF ,又BE1DF, BEcBG = B,； DF 上平面 BEG, DF1EG.注意到 RmDEGsRmEFD ,A DE2 =DG EF = 8 DE = 2。 E-ABCD = g SabcD ED = 4>/2 .【點(diǎn)睛】求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，注意求體積

33、 的一些特殊方法一分割法、補(bǔ)形法、等體積法.割補(bǔ)法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法 轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決.等積法：等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾 何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何 體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時(shí)，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的 高，而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值.21.已知凡，也，匕都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列，且滿足。占+。也+ 4也=。£,£心,其中5“是 數(shù)列“” 的前項(xiàng)和，% 是公差為d(工0)的等差數(shù)列.(D若數(shù)列色“是常數(shù)列，

34、d = 2,。2=3,求數(shù)列色的通項(xiàng)公式；(2)若力？。是不為零的常數(shù))，求證：數(shù)列也是等差數(shù)列；(3)若=q=" = k (k 為常數(shù)，keN*), b=Cn+k(7? > 2,7? G .求證：對任意 心2”吒> 念的恒成立【答案】(1)4=4 3； (2)詳見解析；(3)詳見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)d = 2, q = 3可求得與，再根據(jù)4 是常數(shù)列代入(也+ a2b2 +(電= e N*,根據(jù)通項(xiàng) 與前項(xiàng)和的關(guān)系求解也即可.取 =1，并結(jié)合通項(xiàng)與前八項(xiàng)和的關(guān)系可求得S,£j S“T%T=“a，再根據(jù) = 51化簡可得S丁0 +為/=力也，代入Sz

35、 =化簡即可知勾(之3),再證明與一向=14也成立 乙乙乙即可.(3)由(2)當(dāng) 2 2時(shí),S,iSJ") +£=",仇，代入所給的條件化簡可得k + 1Sz=ku., S=SnA +%=(k + l)q,進(jìn)而證明可得% = 丁明,即數(shù)列也是等比數(shù)列.繼而求得 K1 、”-2b bafl=，再根據(jù)作商法證明, >失即可. k(ln 4+1【詳解】(1)解：=2,。2=3, c=2T .5是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列,/. «=、=4則由 cnS,=ab + 02b2 + +。也, 及 c“=2T.得 (2T)=4 +/?2 +0， 當(dāng)2 時(shí),(T)(2-3

36、)=4 +4+.+%, 兩式作差，可得以=4-3 .當(dāng)=1時(shí)禽=1滿足上式, 則"=4"3 ；(2)證明：Tai偽 +a2b2 + . + allbl=cnSnJ當(dāng)之 2 時(shí),噌 +。2b2 + +,兩式相減得：S£1 即(Sz +4)%- Sl£i=4也,5"(%- Gi ) + /%=也.即 S.i" + Ancn= Anbn .An(n-l)d + Ancn = Anbn,一2兩式相減得：bfl-b=-d(n>3).3，數(shù)列也從第二項(xiàng)起是公差為2”的等差數(shù)列.又當(dāng)n=時(shí)，由，。=。占,得q=A,當(dāng)=2時(shí)，由2 =d + c

37、2 = d + C| +d =仄 + d，得 b = d .22223故數(shù)列4是公差為5，/的等差數(shù)列；證明：由(2),當(dāng)之2時(shí),Si (%- G-i)+也，即 S“_/=a” (b-c),"=一, ；.b=g+kd,即4-c=kd.5“/=4 汕即S=3. S“=S“_+%=(% +l)a”，k31當(dāng)2 3 時(shí),Sz=(k +1),即 an = qk故從第二項(xiàng)起數(shù)列 M 是等比數(shù)列，“=c+jt=c +kd=c +(-1)+2 =k+(n-)k + k2 =k(n+k).另外，由已知條件可得(q +%)。2=44 +生用， 又C2=2k，4=Z 也=%(2 + &),令4*

38、d t b .a(n + k + 1)k則 _J!±L_1 = _?£±L_1 = 3L1 =<04+億(“ + 1)(攵+ 1)5 + k)(k + l)b h ,故對任意的22, £ N*,> 3恒成立.an 4川【點(diǎn)睛】本題主要考看了等差等比數(shù)列的綜合運(yùn)用，需要熟練運(yùn)用通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系分析數(shù)列的遞推公式繼而 求解通項(xiàng)公式或證明等差數(shù)列等.同時(shí)也考查了數(shù)列中的不等式證明等,需要根據(jù)題意分析數(shù)列為等比數(shù)列 并求出通項(xiàng)，再利用作商法證明.屬于難題.cx = 2cos6z,22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：(0為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，工

39、軸的正半y = sin a軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線a的極坐標(biāo)方程為夕=-2sin 6.(1)求曲線g的普通方程和曲線a的普通方程;(2)若p, q分別為曲線a, g上的動(dòng)點(diǎn)，求ip。的最大值.【答案】+ F=1, x2+(y + l)2=l; (2)拽+ 1 4 .3【解析】試題分析:(1)由sin+ cos-。= 1消去參數(shù)。，可得G的普通方程，由廠+ y =夕, y =/sine可得G的普通方程；(2)設(shè)P(2cosa,sina)為曲線G上一點(diǎn)，點(diǎn)尸到曲線G的圓心(°，一1)的距離d = Jsfshwlj+E，結(jié)合sina11可得最值，|尸。|的最大值為d +

40、八 從而得解.試題解析：2(1) G的普通方程為二+V = iV曲線J的極坐標(biāo)方程為p = -2sin8 ,曲線G的普通方程為x2 + y2 = -2y,即Y + (y +1=1.(2)設(shè)P(2cosa,sina)為曲線 G 上一點(diǎn)， 則點(diǎn)P到曲線。2的圓心(。，-1)的距離d = 4cos2<z + (sin<z + l)2sin% + 2sina + 5 = l-3(sina-) +. v v 3) 3.當(dāng)sina ='時(shí)，d有最大值叢.L33又TP, Q分別為曲線G，曲線g上動(dòng)點(diǎn),I尸。I的最大值為"+” 殍+1.me R.23.已知函數(shù)/(" =

41、 土 + 21nx2(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；(2)已知/(E)在X = 1處的切線與).軸垂直，若方程/(x) =，有三個(gè)實(shí)數(shù)解演、工3 (占%工3),求證：x+2>x3.【答案】(D當(dāng)陽2-2點(diǎn)時(shí)，/(x)在(。，+“)單調(diào)遞增，當(dāng)小一2&時(shí)，/(工)單調(diào)遞增區(qū)間為(2)證明見解析-m + Jm2 -8)一. -/ - Jm2 -8 -m + 小2 - 8=，+s，單調(diào)遞減區(qū)間為 =.1【解析】【分析】(D先求解導(dǎo)函數(shù),然后對參數(shù)，分類討論，分析出每種情況下函數(shù)/(x)的單調(diào)性即可;(2)根據(jù)條件先求解出?的值，然后構(gòu)造函數(shù)%(x) = /(x)-/(2-x)(0x2)

42、分析出小&之間的關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)外(%)=/'。)一/(4 一 x)(l<x<4)分析出公,覆之間的關(guān)系，由此證明出芭+2>與,【詳解】一、r/ 廠ci /、2+ nix + 2 (X - ,y2c rr(1) f(x) = + mx + 2nx 9 J (x) = x + m + = + m + 2/22xxx當(dāng)此-2忘時(shí)，r(x)N。恒成立，則/(力在(0,2)單調(diào)遞增 當(dāng)?一20時(shí)，令f'(x) = 0得產(chǎn)+如+2 = 0,-y/nr -8/ -8玉 + 工2 = _7 > 0,A o< x < X, Mx, = 2 >

43、0當(dāng)0,-m-nr -82時(shí)，r(x)。，/(x)單調(diào)遞增;7Tn - J-8 th + JF - 8時(shí)，/'(x)vo, /(X)單調(diào)遞減;時(shí)，/(耳。，單調(diào)遞增.-m + Jm2 - 82，+s7(2)依題意得，/'(1) = 3 + m=。，則? = 3由(D得，x)在(。/)單調(diào)遞增，在(L2)上單調(diào)遞減，在(2,y)上單調(diào)遞增:.若方程/ (X) = /有三個(gè)實(shí)數(shù)解玉,芻(N VV & )，則0 v玉v 1 <公v 2 v項(xiàng)法一；雙偏移法,224(x-l)2設(shè)例(x) = /(x)-/'(2 - x)(0vx<2),則+>0x 2 -x x(2-x)二用