-積分方程一般概念與弗雷德霍姆方程

1、(x)(x)()()y()d第十五章積分方程積分方程論是泛函分析的一個重要分支， 它是研究數(shù)學其他學科(例如偏微分方程邊值問題)和各種物理問題的一個重要數(shù)學工具。本章敘述線性積分方程，重點介紹弗雷德霍姆積分方程的性質和解法；并簡略地介紹了沃爾泰拉積分方程以及一些奇異積分方程；止匕外，還扼要地敘述積分方程的逐次逼近法和預解核，并舉例說明近似解法；最后考察了一個非線性積分方程。1積分方程一般概念與弗雷德霍姆方程一.積分方程一般概念1 .積分方程的定義與分類線形積分方程在積分號下包含未知函數(shù)y(x)的方程bxyxFxaK(x,)y()d稱為積分方程。式中業(yè)(x),F(x)和K(x,己)是已知函數(shù)，入

2、,a,b是常數(shù)，變量x和己可取區(qū)間(a,b)內的一切值；K(x,己)稱為積分方程的核，F(xiàn)(x)稱為自由項， 入稱為方程的參數(shù)。 如果K(x,E)關于x,E是對稱函數(shù)，就稱方程(1)是具有對稱核的積分方程；如果方程中的未知函數(shù)是一次的，就稱為線性積分方程，方程(1)就是線性積分方程的一般形式；如果F(x)三0,就稱方程(1)為齊次積分方程，否則稱為非齊次積分方程。一維弗雷德霍姆積分方程(Fr方程)第一類Fr方程bK(x,)y()dF(x)a第二類Fr方程by(x)F(x)aK(x,)y()d第三類Fr方程b(x)y(x)F(x)aK(x,)y()dn維弗雷德霍姆積分方程(P)y(P)F(P)DK

3、(P,F)y(F)dF稱為n維弗雷德霍姆積分方程，式中D是n維空間中的區(qū)域，P,P1D,它們的坐標分別是(x1,x2,xn)和(x1,x2,xn),(P)=(x1,x2,xn),F(P)=F(x1,x2,xn)和K(P,P1)=K(x1,x2,xn,x1,x2,xn)是已知函數(shù)，f(P)是未知函數(shù)。關于Fr方程的解法，一維和n(1)維的情況完全類似，因此在以后的討論中僅著重考慮一維Fr方程。沃爾泰拉積分方程如果積分上限b改成變動上限，上面三類Fr方程分別稱為第一、第二、第三類沃爾泰拉積分方程。由于第三類Fr方程當(x)在(a,b)內是正函數(shù)時，可以化成它是含有未知函數(shù).廣圓丫汽)，以普為積分方

4、程的核的第二類Fr方程。所以本章重點.(x)()研究一維第二類Fr方程。2 .積分方程與微分方程之間的關系某些積分方程可化為微分方程，也可從微分方程推導出積分方程。先來考慮二階線性微分方程的初值問題：dyrA(x)B(x)yf(x)dxyo,y()y。第一次求導的結果中令x=a,就得給定初始條件。在例1中，對(5)式求導，得出再求導一次得出原微分方程(4),并從方程(6)和(5)給出初始條件y(0)=1,y(0)0對于邊值問題，方法類似，先考慮一個簡單的例子。例2從問題d2ydx2y()若從方程中解出d2ydx2然后在區(qū)間(a,x)上對x求積分兩次，利用初始條件，經(jīng)過簡單的計算不難得出*,y(

5、x)xax(xa)(x)B()A()y()d)f()dA()yy(x)yK(x,)(x)B()A()A()F(x)上式就可寫為如下的形式：x0(x)f()dA()yyo(x)v。這是一個第二類沃爾泰拉方程，核例1初值問題xy(x)aK(x,)y()dK是x的線性函數(shù)。F(x)變?yōu)榉e分方程d2ydx2y(0)yf(x)i,y(0)y(x)反之，應用積分號下求導法則,x0(*x)y()d1x0(x)f()d(5)微分兩次就可把積分方程(3)化為微分方程(2)。在(3)及其(2)dydxxx0y()d0f()d(6)n1f()d(n2)d2ydx2y(0)0,y(a)0出發(fā)，積分兩次，導出關系式xy

6、(x)0(x)y()dCx從此立刻可知條件y(0)=0成立。從第二端點條件y(a)=0決定C：a0(a)y()dCaay(x)0K(x,)y()d這是第二類Fr方程。要從這個積分方程回到微分方程，只需對方程(8)求導兩次，就得到dy一xy(x)(ax)y(x)y(x)dxa在積分方程(7)中，令x=0和x=a,可以直接推出邊值條件y(0)=y(a)=0。注意：在這個例中，1 0上在x=己處不連續(xù)，并當x增加而過己時有一跳躍-1。x2K2 K是x的一個線性函數(shù)，即滿足/0,且K在端點x=0,x=a處等于零。x3K(x,力K(己,x)，即核是對稱的。如果利用類似的方法，對更一般的具有齊次端點條件的

7、二階齊次方程的邊值問題:d2yAdy2ABy0dxdxy(0)0,y(a)0則除A=0外，可得在x=E不連續(xù)的一個核。二、格林函數(shù)及其物理意義格林函數(shù)在區(qū)間a,b上，考慮微分方程Ly+(x)=0的邊值問題，式中L是微分算子：L0dx為了得出這個問題解的形式，首先構造函數(shù)G,使對一給定數(shù)士，所以有關系式令則方程(7)變?yōu)閥(x)K(x,)一(ax),axz、(a)aaxx臚)y()d(8)d2P2dx3。,dx齊次邊界條件為在端點x=a,x=b處，滿足其中a,B為常數(shù)。并且滿足條件:函數(shù)Gi和G2在它們的定義區(qū)間上滿足LG=0,即當x2時，LG2=0。函數(shù)G滿足邊界條件，即G1滿足在x=a的邊界

8、條件，G2滿足在x=b的邊界條件。決定的一個常數(shù)，u(x)是Ly=0滿足在x=a處所給定的齊次邊值條件的一個解，v(x)是在x=b處滿足邊值條件的一個解。則G(x,七)顯然滿足條件(i)(iv)。止匕外，還可證明，對由(3)定義的G(x,)，由關系式(2)確定的函數(shù)y滿足微分方程(1)并且滿足u(x)在x=a與v(x)在x=b所規(guī)定的相同的齊次邊界條件。滿足條件(i)(iv)或由(3)式所定義的函數(shù)稱為與微分表達式Ly和邊界條件相聯(lián)系的格林函數(shù)。 在許多物理問題中，這個函數(shù)具有簡單的物理意義，將在下一段中說明。線性積分方程的一個典型實例考慮一條長為l的有彈性的弦，假定在平衡位置時，弦的位置在O

9、x軸的線段Ol上。在點x施加單位力，于是弦的每一點得到一個離差，在點處所產(chǎn)生的離差以G(x,)表示(圖15.1。函數(shù)G(x,)為兩點(x和)函數(shù)，在點x施加外力，在點計量離差，稱G為影響函數(shù)。如果弦的兩端固定在x軸上A,B兩點，弦的張力為T0,則在點x外處施加的單位力作用下，弦成圖15.1所示的形狀。根據(jù)虎克(Hooke)定律與力的平衡條件，在點處有xlx,xG(x,)(Fx),xTlG(x,)的互易原理： 在點x處施加外力在點x處產(chǎn)生的離差，即G(x,)=G(,x)是連續(xù)分布的，并設線性強度是p(),則作用于弦上點和+之p()。把引起弦變形的這些力元素相加，便得弦的形狀lcGi(x),xGG

10、2(x),x(i)(ii)(iii)函數(shù)G在x=己連續(xù)，即Gi(己)=G2(E)(iv)G的導數(shù)以x=己為一不連續(xù)點，其跳躍是1,即P()G2()Gi(可以證明，若以己為參數(shù)的這個函數(shù))7T)G存在，則原問題的解有如下的形式:b()G(x.)d例如G(x,己)可取G(x,)1u(x)v(),A1u()v(x),A式中A是由關系式u()v(v()u()AP()這就是弦的影響函數(shù)。從能量守恒定律可導出點處施加大小相同的力在點如果在弦上施加的力F間的一小弦段的力就接近于處產(chǎn)生的離差等于在10設在某個力的作用下，弦成已知形狀y=y(x)，求定力分布強度p(),就得到含未知函數(shù)p()的第一類Fr積分方程

11、ly0G(x,)p()d2設作用力隨時間t改變，且在點的強度是p()sint則弦的運動是由方程y=y(x)sint描寫的周期運動。設()為弦在點的線性密度，則在時刻t,點與+之間的小弦段除受力p()sint的作用外，還受慣性力()dy()y()2sintdt的作用，則等式(1)可化為如下的形式：ly(x)0K(x,)y()dF(x)式中l(wèi)F(x)0G(x,)p()d2K(x,)=G(x,)(),=2如果函數(shù)p()給定，那么F(x)也就給定，這樣積分方程(2)就是確定函數(shù)y(x)的Fr方程。注意，由于F(x)的定義，有F(0)=F(l)=0若密度(尸是常數(shù)，而F(x)有二階的連續(xù)導數(shù)，則方程(2

12、)的解為y(x)2(lx)y()d2-(l)y()dF(x)0T0lxTl即2cx2cxl_一y(x)(lx)0y()d(l)y()dF(x)l0lx式中c-T。把(3)式微分兩次就得到y(tǒng)(x)2cy(x)F(x)另一方面，可以證明這個微分方程的任一在x=0及x=l處等于0的解是積分方程(2)的解。三、具有可分離核(退化核)的Fr方程可分離核(退化核)若核K(x,)可分解為如下的形式：nK(x,)fk(x)gk()k1則稱K(x,)為可分離核或稱為退化核。不妨假定n個函數(shù)fk(x)(k=1,2,n)在有關區(qū)間上是線性無關的。例如，如果核是關于x和的任一多項式，那么這個核就是退化核，核sin(x

13、+)也是退化核。具有可分離核的第二類Fr方程解法具有可分離核的第二類Fr方程by(x)aK(x,)y()dF(x)a(0)矩陣形式為(I式中I為n階單位矩陣，A=(aij),C=(C1,C2,Cn),b=(b1,b2,bn)。這個方程組存在唯一解的充分必要條件是：方程的系數(shù)行列式=det(IA)0如果F(x)0,則bi=0(i=1,2,n),那末方程(3)為齊次方程組。因此，當0時，y(x)0是積分方程(1)的平凡解(零解)，且是唯一解。當=0時，至少有一個Ci可以任意指定，其余的Cj可以求出，于是積分方程(1)存在無窮多個解。使=0的值稱為特征值。齊次積分方程的任一非平凡解稱為對應于積分方程

14、的特征函數(shù)。如果對于的一個給定的特征值，可以從常數(shù)C1,C2,cn中任意指定r個，那么可得到r個線性無關的對應特征函數(shù)。如果F(x)不恒為零，但與g1(x),g2(x),gn(x)正交，即bi=0(i=1,2,n)。那末方程組(3)仍為齊次的，以上的討論也適用，除非這里積分方程的解也包含函數(shù)F(x)。這樣平凡值C1=C2=cn=0導出解y=F(x)。對應于的特征值的解是F與特征函數(shù)的任意倍數(shù)之和。最后，如果(3)式右邊的bi至少有一個不為零，當行列式0時，方程組(3)存在唯一的非平凡解，于是可得到積分方程(1)的唯一的非平凡解，當=0時，則方程(3)或者是不相容的，這時積分方程(1)沒有解；或

15、者n個方程中至少有兩個是相同的，這時積分方程(1)有無窮多個解。例解積分方程1y(x)0(13x)y()dF(x)解可把這個方程改寫為y(x)=(C13C2x)+F(x)(2)式中11CI0y()d,Q0y()dby(x)fk(x)gk()y()dF(x)ak1的解法如下，首先設bCkgk(x)y(x)dx(k=1,2,n)a則ny(x)F(x)Ckfk(x)k1于是給定積分方程(1)的一切解應取這個形式。因此問題歸結為求出常數(shù)C1,C2,Cn0再用gi乘(2)式兩邊且積分，令aij則C1,C2,Cn滿足方程組即(1bagi(x)fj(x)dxnaijCjj1bian)C1a21C1(1a12

16、c2a22)C2an1C1an2c2bag(x)F(x)dx(i=1,2,n,j=1,2,n)(i=1,2,n)a1nCna2nCnb1b2(3)(1ann)cnbnA)c=b1G3c2xF(x)dx0這兩個方程是不相容的，除非函數(shù)F(x)滿足條件10(1x)F(x)dx0這時兩個方程相同。若入=2,則方程組為1、，c1c2-oF(x)dx1Gc2oxF(x)dx這兩個方程也是不相容的，除非函數(shù)F(x)滿足條件1o(13x)F(x)dx0這時兩個方程也是相同的?，F(xiàn)在具體討論積分方程(1)的解。10先考慮齊次方程(即F(x)=0)的情形。若2,則唯一解是平凡解y(x)=0。當人=2時，代數(shù)方程組

17、只給出一個條件c1=3c20這時，解是y(x)=c1(1-x)式中c1=3入c2=6c2是任意常數(shù)，1-x是對應于特征值入=2的特征函數(shù)。當人=-2時，解是y(x)=c2(1-3x)式中c2=入c1=-2c1是任意常數(shù)，1-3x是對應于入=-2的特征函數(shù)。方程(2)表明原積分方程(1)的任一解表示為如下形式：y(x)=F(x)+c3(1-x)+c4(1-3x)式中c33(GG),c4-(3c2g)。于是推出原積分方程(1)的任一解可以用特征函數(shù)的某一線性組合與F(x)的和來表達。2在非齊次的情形(即F(x)不包等于零)下，若2,則積分方程(1)存在唯一解。當人=2時，積分方程(1)沒有解，除非

18、在區(qū)間0,1上F(x)正交于人=2所對應的特征函數(shù)1-x一,即10(1x)F(x)dx0.,1一在下一段會看到，這個情形是原積分方程中核K(x,E)=1-3xE的對稱性的一個推論。決定C1,C2的方程組是31(1)C15c20F(x)dx11-c1(1)c2oxF(x)dx其系數(shù)行列式為21121-(42)4則積分方程(1)存在唯一解的條件是2。由(3)解出C1,C2并代入(2)得到(1)的解。特別，若F(x)=0,2,則唯一解是平凡解y(x)=0o數(shù)入=2為問題的特征值。若入=2,則方程組為c13c210F(x)dx在此條件下，再利用C1-3C2=0F(x)dx,給出積分方程(1)的解。1y

19、(x)F(x)20F(x)dxG(1x)式中C1=6C2是任意常數(shù)，因此，這時存在無窮多個解。類似地，當入=-2時，積分方程(1)沒有解，除非在區(qū)間0,1上F(x)正交于1-3x,即1o(13x)F(x)dx0這時存在如下的無窮多個解：21y(x)F(x)30F(x)dxC2(13x)式中C2=-2C1是任意常數(shù)。四、希爾伯特-施密特的理論當齊次Fr方程的核K(x,己)不可分離，特別，K(x,己)對于x己和x己，分別由不同的分析表達式給定時，其特征值一般有無窮多個入n(n=1,2,)，每個特征值對應的特征函數(shù)除一個乘數(shù)外是確定的；在例外的情形，一個給定的特征值k可以對應于兩個或更多個獨立的特征

20、函數(shù)。本段將介紹這種特征函數(shù)的某些性質。具有對稱核的Fr方程的性質如果在實核中交換它的變量時，它本身的值不變，這個核就叫做對稱核。10具有對稱核的齊次Fr方程的特征函數(shù)系是正交的。2具有實對稱核的Fr方程的特征值都是實數(shù)。注意，核不對稱的Fr方程可以具有虛的特征值。希爾伯特施密特定理設為一平方可積函數(shù)，則形如bf(x)K(x,)()da的函數(shù)f(x)，可由對稱核齊次Fr方程by(x)K(x,)y()da在a,b上的特征函數(shù)y1(x),y2(x),的線性組合表達，如果特征函數(shù)有無窮多個，那末所得的無窮級數(shù)在區(qū)間a,b上絕對且一致收斂。施密特公式考慮非齊次第二類Fr方程by(x)F(x)K(x,)

21、y()da式中K(x,)是在定義區(qū)間上平方可積的對稱核， 并假定在正方形k0(axb,aEb)上是兩變量x,己的連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)是已知的一致連續(xù)函數(shù)，y(x)是未知函數(shù)，而入是參數(shù)，則有施密特公式y(tǒng)(x)F(x)-Fyn(x)(入 W 入n,即入不是特征值)(1)n1n右邊的級數(shù)是絕對且一致收斂的，式中Fn由下式?jīng)Q定：bbFnayn(x)2dxF(x)yn(x)dx(n=1,2,)(2)aa核的展開定理一個對稱核K(x,)可展開為級數(shù)外)n1n這個級數(shù)對任意固定的，有2.bmyn(X)yn()limK(x,)dx0man1n具有非對稱核的積分方程設核K(x,)不是對稱的，但可表為如下形式K(

22、x,)=r()G(x,)式中r()在(a,b)內連續(xù)且不變號，而G(x,)是對稱的，這時有以下性質：10對應于不同特征值m和n的兩個特征函數(shù)ym(x)和yn(x)在a,b上關于權函數(shù)r(x)是正交的，即bJ(x)ym(x)yn(x)dx0a2K(x,)的特征值都是實數(shù)。3若非齊次第二類Fr方程有一個解，則這個解由(1)給出，并以權函數(shù)r(x)去乘(2)式兩邊所包含的被積函數(shù)。具有埃爾米特核的積分方程設核K(x,)為一復核，如果K(,x)K(x,)則稱K(x,)為埃爾米特核，式中K(x,)表示K(x,)的共腕復函數(shù)。具有埃爾米特核的積分方程有以下性質：10對應于不同特征值m和n的兩個特征函數(shù)ym

23、(x)和yn(x)在a,b上是按埃爾米特意義正交的：bym(x)yn(x)dx0a2在a,b上與埃爾米特核相聯(lián)系的特征值都是實數(shù)。3。設特征函數(shù)按埃爾米特意義是標準化的：b0,mnYm(x)Yn(x)dxa1,mn如果非齊次第二類Fr方程有一個解，那末這個解由(1)給出，并且(2)式改為bbFnFnyn(x)yn(x)dxyn(x)F(x)dx(n=1,2,)aa具有反對稱核的積分方程設K(x,)滿足條件K(,x)=K(x,)則稱K(x,)為反對稱核，這時iK(x,)是埃爾米特核。因此，具有反對稱核的積分方程by(x)F(x)K(x,)y()da如果以i代替，則得到具有埃爾米特核的積分方程by

24、(x)F(x)iK(x,)y()da由此可見，具有反對稱核的積分方程必有特征值，而且都是純虛數(shù)。伴隨核與自伴隨核設11(x)是一復核K(x,)(它不一定是埃爾米特核J對應于特征值的一個特征函數(shù)，v(x)是核K(,x)對應于特征值的一個特征函數(shù)，若，則bu(x)v(x)dx0a這里K(,x)稱為K(x,)的伴隨核。如果K(,x)=K(x,),那么K(x,)稱為自伴隨核，顯然實對稱核與埃爾米特核都是自伴隨核。五、第二類Fr方程的逐次逼近法與諾伊曼級數(shù)解逐次逼近法在某種情形下，第二類Fr方程可用逐次逼近法來解。為此，設方程by(x)F(x)K(x,)y()d(1)a的解可用的幕級數(shù)來表達：y(x)=

25、yo(x)+y(x)+y2(x)2+(2)如果級數(shù)(2)在區(qū)間a,b上關于x是一致收斂的，那末把它代入(1)中，可逐項積分，比較的系數(shù)就得到確定yn(x)的遞推公式by0(x)=F(x),yn(x)aK(x,)yi()d(n=1,2,)式中yn(x)(n=1,2,)都是連續(xù)函數(shù)。若I充分小，則級數(shù)(2)關于x絕對且一致收斂，于是級數(shù)是連續(xù)函數(shù)并且是積分方程(1)的解。疊核預解核諾伊曼級數(shù)解設K(x,)為核，經(jīng)遞推公式bK1(x,)=K(x,),Kn(x,)Kn1(x,1)K(1,)d1(n=2,3,4,)a產(chǎn)生的Kn(x,)稱為已知核K(x,)的n次疊核。它滿足下面公式bKpq(x,)aKp(x,1)Kq(1,)d1式中p