高中優(yōu)秀教學(xué)課件《數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列中的不等式》

1、2022-2-1612022-2-162考試背景考試背景求數(shù)列的通項(xiàng)，再解答與不等式相關(guān)的綜合性求數(shù)列的通項(xiàng)，再解答與不等式相關(guān)的綜合性數(shù)學(xué)命題在近幾年高考中占有相當(dāng)大的權(quán)重，數(shù)學(xué)命題在近幾年高考中占有相當(dāng)大的權(quán)重，如（不完全統(tǒng)計(jì)）如（不完全統(tǒng)計(jì)）:10年年：福建，湖北，湖南，江西，全國(guó)理：福建，湖北，湖南，江西，全國(guó)理，上，上海，重慶等；海，重慶等；9年年：廣東，湖北，湖南，江西，遼寧，全國(guó)理：廣東，湖北，湖南，江西，遼寧，全國(guó)理與理與理，山東，陜西，天津，浙江，重慶等；，山東，陜西，天津，浙江，重慶等；年：安徽，福建，湖北，湖南，江西，遼寧，年：安徽，福建，湖北，湖南，江西，遼寧，全國(guó)理全

2、國(guó)理與理與理，陜西，上海，四川，天津，浙江，陜西，上海，四川，天津，浙江，重慶等重慶等2022-2-163一、基礎(chǔ)知識(shí)一、基礎(chǔ)知識(shí)1.不完全歸納法歸納通項(xiàng).2.數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有有關(guān)的命題:第一步:驗(yàn)證初始狀態(tài),即“n=n0時(shí)命題成立”;第二步:假設(shè)推理,即“假設(shè)n=k(kn0)時(shí)命題成立，由此出發(fā)，推得n=k+1時(shí)命題也成立”.3.均值不等式：21, 0aaa4.放縮法：注意放縮的度，不能太小或太大，實(shí)當(dāng)即可.5.函數(shù)的單調(diào)性.2022-2-164二、例析二、例析.21111111:, 2, 1,3)2(;,2) 1 (, 3 , 2 , 1, 1)22.10( 1211432121

3、nnnnnnnaaananaaaaaannaaaa證明有證明對(duì)所有時(shí)當(dāng)一個(gè)通項(xiàng)公式的并由此猜想出求時(shí)當(dāng)滿足設(shè)數(shù)列理全國(guó)年例2022-2-165解解:(1) 由a1=2,an+1=an2-nan+1得:a1=2, a2=3, a3=4, a4=5, 由此猜想an=n+1 (n1).(2) 用數(shù)學(xué)歸納法證明:)當(dāng)n=1時(shí),a13=1+2,不等式成立.)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí), 不等式成立,即akk+2,那么ak+1=ak(ak-k)+1(k+2)(k+2-K)+1 k+3,也就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1(k+1)+2.由)和)得,對(duì)于所有n1,有an n+2.2022-2-1661)1(1) 1(11

4、121naaanaannnnn121)1() 1(11nnanna1221) 12( 2222nnaa1) 1(212222112211aannnn) 1(2111),1(211111aaaannnn即naaa111111212022-2-16721)21(2121)21(141211)21(111)1(21)1(2111111111nnnnaaaa說(shuō)明說(shuō)明: : 在證明(2)中的時(shí),注意到分母的特點(diǎn),利用(2)中的結(jié)果“對(duì)于所有n1,有an n+2”,就能得到an-1 n+1;1)1(1) 1(11121naaanaannnnn在. 1,121)1() 1(111naannannn縮小變成了

5、對(duì)括號(hào)中的的放縮變換中僅2022-2-168.23:,3,2, 1,2)(;)(,3,2, 1,3223134)22.10(2111niinnnnnnnnTnSTaanaSna證明設(shè)與通項(xiàng)求首項(xiàng)項(xiàng)和的前設(shè)數(shù)列理年例.2,3223134)(111111aaSa得由解：解：得由naSnnn3 , 2, 1,32231341得由naSnnn4, 3 ,2,3223134112022-2-169)2312(31)(34111nnnnnnnaaSSa得因此整理得),2(4211nnnnaa,4, 4121的等比數(shù)列公比為是首項(xiàng)為aannnnnnnnaa24,4421得代入將annn24)()12)(12

6、(3232231)24(3411nnnnnnS)121121(23) 12)(12(223211nnnnnnnnST2022-2-1610nniiniiTTTTT21:. 4的意義注意說(shuō)明說(shuō)明: :1.數(shù)列an中第n項(xiàng)an,前n項(xiàng)和Sn,前n-1項(xiàng)和Sn-1之間的關(guān)系an=Sn-Sn-1在求通項(xiàng)公式中經(jīng)常用到.2.具有遞推公式an=man-1+krn形式數(shù)列通項(xiàng)公的解法是要化成一個(gè)等比數(shù)列來(lái)求解(見(jiàn)第二輪復(fù)習(xí)數(shù)列-)121121) 12)(12(2. 311nnnnn靈活運(yùn)用23)121121(23)121121(23111iniiininT2022-2-1611.,23)2(;) 1 (.,

7、 4 , 3 , 2,23),1 , 0().21.09(3111為正整數(shù)其中證明設(shè)的通項(xiàng)公式求的首項(xiàng)設(shè)數(shù)列理年例nbbaabanaaaannnnnnnnn解：解：)1 (211:, 4 , 3 , 2,23) 1 (11nnnnaanaa得由1111)21)(1 (1,)21)(1 (1nnnnaaaa即,21,111的等比數(shù)列公比為是首項(xiàng)為而aan2022-2-1612()分析分析1:“作差法”是比較大小的基本方法，從已知條件看到，bn由an的平方根給出，故可用bn與 bn+1平方差的正負(fù)來(lái)比較bn 與bn+1的大小., 0)21)(1 (1, 10111nnaaa,0nb)23()23(

8、2121221nnnnnnaaaabb.23na且證明證明1:)23()2323()23(22nnnnaaaa.0)1(492nnaa2022-2-1613,1nnbb分析分析2:均值不等式是證明不等式的基本工具.由:23231得及nnnnnaaaab因此,2323111nnnnnaaaab.)23()23(,2323,221的大小即可與即只需比較的大與只需比較的大小與要比較nnnnnnnnnnaaaaaaaabb2022-2-1614證明證明1:, 1,230)1 (nnaa知由:23231得及由nnnnnaaaab22)23(2)23()23(,1nnnnnnaaaaaa 時(shí)nnnnnnn

9、naaaaaaaa23)23(,)23()23(22即nnnnnaaaab2323111,1nnbb2022-2-1615.:.ln),1 ,()(; 1:)(;) 1 , 0()(:)().(, 10,ln)()22.08.(41111111bababakabaaxfafaaaxxxxfknnnnn證明整數(shù)設(shè)證明是增函數(shù)在區(qū)間函數(shù)證明滿足數(shù)列設(shè)函數(shù)全國(guó)年例()證明證明:xxxxxfln)1(ln1)(/,0ln,)1 ,0(xx時(shí)當(dāng).)1 ,0()(上是增函數(shù)在區(qū)間xf2022-2-1616()證明證明: （用數(shù)學(xué)歸納法證明）（i）當(dāng)n=1時(shí),0a11,a1lna1a1, 由函數(shù)f(x)在區(qū)

10、間(0,1) 上是增函數(shù),且f(x)在x=1處連續(xù),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1 上是增函數(shù), a2=f(a1)=a1-a1lna1a1(1-lna1),即a1a21.（）假設(shè)當(dāng) x=k,(kN*)時(shí),akak+1成立,即0a1akak+11那么當(dāng)n=k+1時(shí)，由f(x)在區(qū)間(0,1是增函數(shù), 0a1akak+11得ak+1ak+21,也就是說(shuō)當(dāng)n=k+1時(shí),anan+11也成立.根據(jù)（）、（）可得對(duì)任意的正整數(shù)n, anan+11恒成立.2022-2-1617()證明證明:可得由)(.ln)(1nnafaxxxxfkkkkkkkkkaaaaaaaaalnlnln1111否則知?jiǎng)t由滿足若,:

11、)(,. 11baabakiiki存存在在某某bak1. 0lnlnln11baaaaaiii, 0lnln,)( 10),(. 21bakibaakibaiii知?jiǎng)t由若, 0)ln(ln11bakaakiiibababakaak)(|ln|11111于是kiiiaaa11lnbabakln11而已知2022-2-1618評(píng)析評(píng)析:1.在()的證明中,要注意當(dāng)0a1a2-lna20.2.在()的證明中,要注意第二步的由ak到ak+1遞推的推理特點(diǎn).3.在()的證明中,要注意“循環(huán)疊代方法循環(huán)疊代方法”的運(yùn)用,也就是:.lnlnlnln111111中的變形過(guò)程kiiikkkkkkkkkaabaa

12、aaabaaababa4.在()的證明中,要注意“放縮變換放縮變換”的靈活運(yùn)用. 如由. |ln|ln|ln11111111aakaaaaaaaakiiikiiik:0lnlnln11推出baaaaaiii2022-2-1619三、小結(jié)三、小結(jié)1.證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題時(shí)常選用“數(shù)學(xué)歸納法”；. “作差法”是證明不等式的首選方法；. “放縮法”是證明不等式的一種重要方法；. 具有遞推關(guān)系的數(shù)列不等式，“循環(huán)疊代法”能使問(wèn)題逐步達(dá)到明朗；. 研究透已知條件和待證目標(biāo)，進(jìn)行有目的的變形，是證題的關(guān)鍵中的關(guān)鍵；. 函數(shù)的單調(diào)性和相關(guān)性質(zhì)是進(jìn)行放縮變形的一大工具；. 不等式的性質(zhì)在證題中要靈活運(yùn)用。有時(shí)絕對(duì)值的性質(zhì)在證題時(shí)也會(huì)起到重要作用（如例的第（）問(wèn)）。2022-2-1620.,)(;3)(.3,.)2010(1*111的取值范圍求若的通項(xiàng)