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文檔簡介
1、目 錄摘要 1引言 21.二次型的相關(guān)定義與定理 32.二次型的應(yīng)用 6 2.1在二次曲線中的應(yīng)用 6 2.2在證明不等式中的應(yīng)用 7 2.3在求極值中的應(yīng)用 8 2.4在求某些曲線或曲面積分中的應(yīng)用 10 2.5在多項(xiàng)式因式分解中的應(yīng)用10參考文獻(xiàn) 12致 1313 / 14淺談二次型與其應(yīng)用摘 要:二次型是高等代數(shù)的重要容之一,通過研究二次型的結(jié)構(gòu)與性質(zhì),解決一些不等式的證明、求極值、因式解等初等問題.并比較正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的區(qū)別,給出了二次型在計(jì)算某些積分中的應(yīng)用.再借助非退化線性替換判斷二次曲線的形狀,展現(xiàn)線性代數(shù)中的二次型知識在微積分中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞:二次型;正定矩陣
2、;非退化線性替換;標(biāo)準(zhǔn)型;正交變換A Talk about Quadric Form and Its ApplicationAbstract: the quadric form is one of the important contents of higher algebra, through the study of the structure and the quadratic nature, solve some inequality proof, for extreme, factoring in elementary problems and solutions. And comp
3、ared with orthogonal transformation method HuaEr times and the difference between the standard model, and gives the second type in the calculation of the application of some points. Again the degradation of linear replace judgment by the shape of the quadratic curves, show linear algebra in the seco
4、nd type of the application of the knowledge in the calculus. Key Words: Quadratic; Positive definite matrix; The degradation of linear replacement; Standard; Orthogonal transformation 引言高等代數(shù)與初等代數(shù)的聯(lián)系是密不可分的,在中學(xué)數(shù)學(xué)中,不等式的證明、求極值與因式分解問題都是重點(diǎn)問題.用初等數(shù)學(xué)方法去處理這些問題往往會相當(dāng)麻煩,而如果利用高等代數(shù)中二次型的性質(zhì)去解決,則會是很多問題化繁為簡.用二次型來解決微積分
5、中的一些問題,有時也會起到意想不到的效果.由于二次型具有較高的綜合性和抽象性,對于相當(dāng)一部分非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說,雖然能夠按照化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的步驟將一個普通二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型,但是仍然無法建立起二次型的直觀概念,很多學(xué)生很疑惑:二次型到底是什么?它有什么幾何意義?在化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型時使用的正交變換和配方法有什么區(qū)別?二次型的標(biāo)準(zhǔn)形有什么用?等等這些問題我們將一一解決.1.二次型的相關(guān)定義與定理 二次型從本質(zhì)上來說仍然是一個關(guān)于個變量的函數(shù),只不過是一個比較特殊的二次其次函數(shù),在表達(dá)式中出了平方項(xiàng)就是交叉項(xiàng),沒有一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),只是希望利用矩陣的理論來研究二次型時才將二次型寫為:定義1.1 每個
6、元二次型,都可唯一地表成,其中,為對稱陣,稱為二次型的矩陣,的秩稱為的秩.定義1.2 實(shí)二次型 (為實(shí)對稱陣,),若對于任意的,皆有,則稱為正定(半正定,半負(fù)定)二次型,若既不是半正定也不是半負(fù)定的,則稱為不定二次型. 定理1.1 實(shí)二次型 (為實(shí)對稱陣)為正定二次型的充分必要條件為 1)的正慣性指數(shù)為; 2)的各階順序主子是都大于零; 3)與單位矩陣合同; 4)的特征值全大于零; 5)的主子式全大于零; 6)存在可逆的,使得.定理1.2 實(shí)二次型 為半正定的充要條件為 1)的正慣性指數(shù)與秩相等; 2)的各階主子式大于或等于零; 3)的特征值全大于等于零;4)的正慣性指數(shù),負(fù)慣性指數(shù);5)與矩
7、陣合同,秩. 定理1.3 實(shí)二次型可經(jīng)過變量的正交變換 (為正交陣)化為: (是矩陣的全部特征值).定理1.4 設(shè)元二次型,則在條件下的最大(小)值恰為矩陣的最大(?。┨卣髦?定理1.5一個實(shí)二次型可以分解為兩個實(shí)系數(shù)的一次多項(xiàng)式乘積的充分必要條件是:它的秩等于2和符號差等于0,或者秩等于1.下面,我們來討論論一般的元二次型極值的判定和求極值的一般方法.一般的元二次型多項(xiàng)式形如 (1)顯然(1)存在極值當(dāng)且僅當(dāng) (2)存在極值(上述兩式中),易見是一個元二次型,設(shè)其矩陣為,我們有:定理1.6實(shí)元二次型(2),它的前一個和的矩陣為,秩為,則對二次型做非退化線性替換,使得為對角陣,如:1、 1正定
8、,,且(2)中一次項(xiàng)系數(shù)不全為零,則(2)存在極值; 2半正定,若,一次項(xiàng)所含新變量均在平方項(xiàng)中出現(xiàn),則(2)有極小值; 3半正定,若,一次項(xiàng)所含新變數(shù)至少有一個不在平方項(xiàng)中出現(xiàn),則(2)不存在極值;2、 1負(fù)定,,且一次項(xiàng)系數(shù)不全為零,則(2)有極大值; 2 半負(fù)定,且一次項(xiàng)所含新變量均在平方項(xiàng)中出現(xiàn),則(2)有極大值; 3半負(fù)定,,且一次項(xiàng)所含新變量至少有一個不在平方項(xiàng)中出現(xiàn),則(2)不存在極值.3、 不定,則(2)不存在極值.注:可逆陣P可經(jīng)合同變換求得,即對施行一對列初等變換和行初等變換時,對施行同樣列初等變換(與A同階),當(dāng)把化為對角陣時,就化成. 以上總結(jié)了二次型的一般理論,下面我
9、們就用其來解決一些應(yīng)用問題.2二次型的應(yīng)用2.1在二次曲線中的應(yīng)用 事實(shí)上,化簡二次曲線并判斷曲線類型所用的坐標(biāo)變換就是二次型中的非退化線性替換.已知當(dāng)為正交矩陣時,線性替換稱為正交變換,那么就有上式說明經(jīng)過正交變換線段的長度保持不變,從而能夠保持幾何體的幾何形狀不變,因此可以利用二次型來判斷二次曲線的形狀.例1判斷二次型的形狀.解 設(shè)令則對施行非退化線性替換: 即則 從而 即 故曲線表示橢圓.例2化簡二次曲線方程,若是封閉曲線,計(jì)算其面積. 解 記 令于是,對實(shí)施非退化線性替換: 即則 從而 即 故原曲線表示橢圓,它的兩半軸分別為:2, 從而其面積為:2.2在證明不等式中的應(yīng)用例3求證:.證
10、明 該二次型的矩陣為將第2,3,,n列加到第一列,則第1列元素全為零,故;同樣可求出A的i階主子式為(i=1,2,n-1).因此A是半正定的,從而,二次型半正定,所以0,即例4求證:(其中x,y,z是不全為零的實(shí)數(shù)).證明 設(shè)二次型則f矩陣是 因?yàn)锳的各階順序主子式為:所以A正定,從而(因?yàn)閤,y,z不全為零). 即(其中x,y,z是不全為零的實(shí)數(shù)).2.3在求極值中的應(yīng)用例5已知實(shí)數(shù)滿足,求的最大值與最小值.解 的矩陣為: 因此,特征值有上述定理可知在下的最大值是,最小值是.例6討論是否有極值,若有,求其極值.解 設(shè)多項(xiàng)式為,則-的二次型部分矩陣為對做合同變換,得一可逆陣使,則易知半正定,做
11、線性替換化為, 其一次項(xiàng)所含字母均在平方項(xiàng)中出現(xiàn),所以有極大值, 對上式配方得 : , 故當(dāng) 時,有極小值,即有極大值.例7設(shè),且滿足,求的最值. 解 二次型的矩陣是 則特征多項(xiàng)式為 特征值. 由二次型的相關(guān)定義與定理知,在條件下的最大值為3,最小值為0.2.4在求某些曲線或曲面積分中的應(yīng)用利用二次型的正交變換可以方便的計(jì)算某些積分域?yàn)橛啥吻€或二次曲面圍成的特定積分.例8求,其中. 解 已知正交變換能夠保持幾何體形狀不變,所以橢球1 與橢球 體積一樣, 記:則:2.5在多項(xiàng)式因式分解中的應(yīng)用 二次型的性質(zhì)為二次多項(xiàng)式因式分解提供了理論依據(jù),同時給出了判斷能否分解的方法,并且可以很快得到分解
12、式.例9試判斷下列多項(xiàng)式在R上能否分解,若能,分解之. 1) 2) 解 1)令, 則. 下面考慮的秩和符號差,對做非退化線性替換: 即 有.可見的秩為3,有預(yù)備定理知不能分解,從而也不能分解. 2) 令, 則。下面考慮的秩和符號差,對做非退化線性替換: 即有,從而,從而的秩為2,符號差為0,由二次型的相關(guān)定義與定理知可以分解, .結(jié)束語 本文主要根據(jù)二次型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與相關(guān)性質(zhì),將其理論運(yùn)用于多項(xiàng)式因式分解,求極值,因式分解,判斷二次曲線的形狀并計(jì)算橢圓面積,求解過程未必簡單,但提供了一種用二次型解決中學(xué)問題的方法與思路.參考文獻(xiàn) 1北大數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)研究小組,高等代數(shù)M。高等教育.2同濟(jì)大學(xué)
13、數(shù)學(xué)教研社,高等代數(shù)M.:高等教育,1996.3禾瑞,郝邴新編,高等代數(shù)M,高等教育.4丘維生,高等代數(shù):上冊M。:高等教育。20025黎伯堂,桂真,高等代數(shù)解題技巧與方法M.:科學(xué)技術(shù),2003.6許統(tǒng)生.也談半正定二次型的判定J.撫州師專學(xué)報,2001(2):33-34.7文杰.實(shí)二次型的半正定性質(zhì)與應(yīng)用J.渤海大學(xué)學(xué)報.2004(6):127-1298呂鳳.高等代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用1000例M.:東北師大學(xué),1995.9建華.線性代數(shù)M第二版.:機(jī)械工業(yè),2002:160-176.10同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊)M。第五版。:高等教育,2002:99-107.11爾雄等.線性代數(shù)M.人民教育,1993.致在論文完成之際,我在師學(xué)院四年的學(xué)習(xí)生活即將結(jié)束,我要特別感我的指導(dǎo)老師紅杰老師的熱情關(guān)懷和悉心指導(dǎo).在我撰寫論文的過程中,老師傾注了大量的心血和汗水,他廣博的學(xué)識,深
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