第四節(jié)簡諧激勵振動理論的應(yīng)用分解

1、第四節(jié) 簡諧激勵振動理論的應(yīng)用一、旋轉(zhuǎn)不平衡質(zhì)量引起的強迫振動 （一）運動方程及其解在高速旋轉(zhuǎn)機械中，偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力是主要 的激勵來源之一。Mm e mtc一個旋轉(zhuǎn)機械的力學(xué)模性：設(shè)旋轉(zhuǎn)機械總質(zhì)量為 M ， 轉(zhuǎn)子的偏心質(zhì)量為 m，偏心距為 e，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動角速度為 選靜平衡位置為坐標(biāo)原點，坐標(biāo) x 表示機器離開靜平衡位置 的垂直位移，而偏心質(zhì)量的位移為x esin t根據(jù)牛頓運動定律，列出系統(tǒng)的振動微分方程dxc kxdt22d x d(M m) 2 m 2 (x esin t)dt2 dt2整理后，得Mx cx kx me 2 sin t（3-18）F0，上式的形式與方程（ 3-1）

2、相似，只是由 me 2 代替了故前面所有的分析都可適用。設(shè)2M n則方程（ 3-18）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為x(t) X sin( t ) 式中振幅 X 為2me(k M 2)2 (c )22me 1k (1 r 2)2 (2 r)22me rM (1 r 2)2 (2 r)2顯然，相位差 為tgc 2 r22k m 1 r可見，偏心質(zhì)量引起的強迫振動的振幅與不平衡質(zhì)量me成正比。為了減小振動，旋轉(zhuǎn)機械的轉(zhuǎn)子通常要作平衡試驗， 使質(zhì)量分布盡可能均勻。（二）幅頻特性放大因子定義為MX2 rme(1 r 2)2 (2 r)23-19)以放大因子 MX 為縱坐標(biāo)， 頻率比 r 為橫坐標(biāo)， 阻尼比 為 me參數(shù)

3、，畫出幅頻特性曲線。MX1. 當(dāng) r0時， MX0，即振幅接近于零me2. 當(dāng) r1時，MX1，即振幅趨近于常數(shù)，即meme而與激勵頻率及阻尼比基本上無關(guān)3. 共振發(fā)生在時，位于 r 1的右邊，共振振幅為X meM當(dāng)阻尼很小時（ 0.2 ），可以認為當(dāng) 發(fā)生共振，共振振幅為me2Mmec例題： 一臺慣性式激振器 安放在機器正上方，以 測定機器的振動特性。 激振器有一對帶有偏心 質(zhì)量、等速反向旋轉(zhuǎn)的 齒輪組成。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角速 度 為時，偏心質(zhì)量的 離心慣性力在水平方向 合力為零，在垂直方 向合成激振力 me 2sin t ， 其中 m為總的偏心質(zhì)量， e 為偏心距。通過改變轉(zhuǎn)速， 測得 共振時的垂直

4、振幅 為1.07cm ，而超過共振很遠時，垂直振幅趨于定值 0.32 cm 。 若偏心質(zhì)量為 12.7kg ，偏心距為 15 cm ，支承彈簧剛度為 k=976.7N/cm 。計算（ 1）支承阻尼器的阻尼比； （ 2）轉(zhuǎn)速為 N=300r/min 時機器的垂直振幅。解：設(shè)機器和激振器的總質(zhì)量為 M 。系統(tǒng)的振動微分方程為1) 共振時Mx cx kx me 2sin tr =1 ) 的振幅為Xm a xme 1. 07cm2M而 r 1超過共振很遠時 )時有me 0. 32cmM所以阻尼比X2Xmax 當(dāng)轉(zhuǎn)速為 N=300r/min 時，激勵頻率為0.32 0.152 1.0760頻率比3122

5、. 8( rad/s)r2由n2N230031. 4 ( rad/s)60則機器的振幅為X meM (1 r2)2 (2 r)22.4520.32 2 2.45 2 (1 2.45)2 (2 0.15 2.45)20.38 (cm)例 3-2：橋式起重機運行機構(gòu)采用高速空心軸傳動，軸的兩端由調(diào)位軸承支承，軸上無別的零件。空心軸的內(nèi)徑d1 為，外徑為 d2，兩支承間距離為 l ，求軸的臨界轉(zhuǎn)速（ r/min ）。EI,2ml60軸的臨界轉(zhuǎn)速 ncr 為: ncrn 。故只要知道梁的固2 有頻率即可求出軸的臨界轉(zhuǎn)速 ncr。求連續(xù)梁第一階固有頻率時，其模型可按如下簡化（離 散化）：將梁離散為三點：

6、兩個端點和一個中點，其中梁的 兩端端點的質(zhì)量各為總質(zhì)量的四分之一，即 2m m ，中42點的質(zhì)量為總質(zhì)量的二分之一，即 2m m 。如圖所示。 這2樣處理后，可以把梁看作是抗彎剛度為 EI 、無質(zhì)量的彈性梁。m/2 m EI m/27式中 是梁中點的靜變形，由材力知mgl348EI二、基礎(chǔ)運動引起的強迫振動在許多情況下， 系統(tǒng)受到的激勵來自于支承的運動， 例 如固定在機器上的儀表， 汽車在不平的路面行駛時的振動等 等，都是支承運動引起的強迫振動。（一） 運動方程及其解xmk(x y) c(x y)yYt如圖所示是受基礎(chǔ)激勵的振動力學(xué)模型。以系統(tǒng)靜平衡 位置為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系：x 質(zhì)量塊的位移

7、y 基礎(chǔ)的位移設(shè)基礎(chǔ)運動規(guī)律為y Ysin t由牛頓運動定律，得mx k（x y） c（x y）（ 3-20）即mx cx kx ky cy（ a）或也可寫成： mx cx kx kYsin t c Ycos t利用復(fù)指數(shù)法求解上式。 用 y Yej t代換 y Ysin t ， 所以 y j Yej t ， 代入式（ a），得mx cx kx kYej t jc Yej tj t（ b）（k jc ）Yej t假定方程（ b）的解為c）x(t) Xej t式中 X 復(fù)振幅 則 x(t) j Xej tx(t)2Xej t帶入方程( b)，得(k m 2) jc Xej t (k jc )Ye

8、j tk jc (k2 Y Xe j t m ) jcd）則實振幅為22k2 (c )21 (2 r)2(1 r 2)2 (2 r)22 2 2(k m 2)2 (c )2e）相位差10tgmc223-27)k(k m 2) (c )22 r 31 r 2 (2 r)2故方程（ b）的解為x（t） Xej（ t ）（f）由于方程 （3-20）中的激勵力 y Ysin t是正弦函數(shù)，所以方程 （3-20）的解也只能取式 （f）的虛部，故方程（3-20） 的解為x（t） Xsin（ t ）（g）11(二) 幅頻特性令振幅放大因子為3-28)X 1 (2 r)2Y (1 r 2)2 (2 r)2X以

9、放大因子 為縱坐標(biāo)， 頻率比 r 為橫坐標(biāo)， 阻尼比 為參Y數(shù)，畫出幅頻特性曲線。由此可見，它與簡諧激勵力1. 當(dāng)r 2 ( 2 n )時，振幅 X 等于基礎(chǔ)運動振幅Y ，與阻尼無關(guān)122. 當(dāng)r2 ( 2 n )時，振幅 X 小于基礎(chǔ)運動振幅Y ，增加阻尼反而使振幅 X 增大。13例題： 試求圖示系統(tǒng)在上端有基礎(chǔ)運動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。已知x1 asin tkk1。和激勵頻率 2m解：系統(tǒng)的運動微分方程為 mx （k k1）x k1x1 即mx （k k1）x k1asin t頻率比為k k1 m rnk1固有頻率為思考問題：1）此題是用 3.2中的式（ 3-4）還是用 基礎(chǔ)激勵中的公式（ h）來求

10、解該題的響應(yīng)？ （ 2 ） 此題 相位差 為多少？14振幅為k1ak1a(k k1) m 2(k k1) m4(k k1) 2 mk1a3 k k1 相位差為 則系統(tǒng)的響應(yīng)為x Xsin( t ) Xsin t15例題 3-3： 如圖為汽車的拖車在波形道路上行駛，引起垂直方向振動的簡化模型已 知 k 350kNm，車速v 100kmh 。滿載時拖車質(zhì)量 m1 1000 kg ， 1 0.5。 空載時拖車質(zhì)量 m2 250 kg 。2 vt路面成正弦波形， 可表示成 y Ysin ，其中 L 5mL解：（1）基礎(chǔ)激勵的頻率100 103(60 60) 34.9(16（ 2）空載時的阻尼比 2 阻

11、尼系數(shù) c 2 1 m1k 2 2 m2k2110001m1 0.5m22503） 滿載和空載時的頻率比滿載時系統(tǒng)的固有頻率km1350 103n11000 18.7(rad s)滿載時頻率比r1n134. 9 1. 8718. 7空載時系統(tǒng)的固有頻率350 10 37.4 (rad s)250 s空載時頻率比n234. 9 0. 9337. 44）滿載和空載時車輛的振幅比2X滿載時 1Y1 (2 1r1)2(1 r12)2 (2 1r1)20.68X空載時 2Y1 (2 2r2)2(1 r22)2 (2 2r2)21.130. 617三、隔 振 機器超過允許范圍的振動影響著本身的正常運行及壽

12、 命，而且還造成環(huán)境污染，影響周圍設(shè)備的正常工作和人體 健康，有效地隔振是相當(dāng)重要的問題。隔振就是在振源和振 體之間設(shè)置隔振系統(tǒng)或隔振裝置，以減少或隔離振動的傳 遞。隔振分為兩類：主動隔振 隔離機械設(shè)備通過支座傳遞至地基的振 動，以 減少動力的傳遞 。被動隔振 防止地基的振動通過支座傳遞至需保護的 精密設(shè)備或儀器儀表，以 減少運動的傳遞 。 隔振裝置通常由合適的彈性材料及阻尼材料組成，例如 鋼彈簧、橡膠、軟木、氈類等。181. 主動隔振F0 sin tF0 sin tkXcX c X振源是機器本身。主動隔振的目的是減少傳遞到地基上的力。其隔振效果用力傳遞率(系數(shù)) TF 表示，它定義為 隔振后

13、傳遞到地基上的力 (FT ) T1 TF 隔振前傳遞到地基上的力 (F0) 1 隔振后機器的強迫振動為x Xsin( t ) ， x X sin( t ) 故機器通過彈簧傳遞到地基上的力為kX機器通過阻尼器傳遞到地基上的力為kX k X其合力為19FT(kX)2 (c X)2 kX2(2 r)2式中 XF01 (2 r)2(1 r 2)2 (2 r)2F0k(1 r 2)2 (2 r)23-3)所以力傳遞率為TFTTFFT01 (2 r)2(1 r 2)2 (2 r)23-29)2. 被動隔振y Ysin ty被動隔振振源來自地基運動。被動隔振的目的是減小傳遞到機器的運動， 其隔振效果用位移傳

14、遞率 (系數(shù)) TD 來表 示，它定義為TD隔振后機器的振幅 (X)隔振前機器的振幅 (Y)顯然有201 (2 r)3-28)比較主動隔振式（ 3-29 ）和被動隔振式（ 3-28）可知，主動 隔振式和被動隔振的原理是相似的。 故此，力傳遞率 （系數(shù)） TF 和位移傳遞率（系數(shù)） TD統(tǒng)稱為傳遞率（系數(shù)） ，用符號 T 表示。所以有傳遞率 T 有如下特點：（1）不論阻尼大小，只有當(dāng)頻率比 r 2 （即 2 ） 時，才有傳遞率 T 1，即隔振才起作用。（ 2）當(dāng)頻率比 r2 后，隨著 r 的增加，傳遞率 T 逐漸減?。?當(dāng)頻率比 r 5 之后， 傳遞率 T 的減小趨于平緩。 故隔振效果提高是有限

15、度的。通常頻率比 r 取值范圍在 2.55 內(nèi)。（ 3）當(dāng)頻率比 r2 后，增加阻尼反而使隔振效果變壞，即,T21例題 3-4 一電動機質(zhì)量為 68kg ，安裝在質(zhì)量為 1200kg 的隔振鐵塊上，兩者裝在一起后的固有頻率為2.667Hz，阻 尼 比 0.1 ， 因 電 機 失 衡 而 產(chǎn) 生 激 振 力 F(t) 100sin(31.4t ) N 。試求： ( 1)隔振塊的振幅； ( 2 )傳遞到基礎(chǔ)上的力 FT 。基mkcF0 sin t解：(1)由題已知F0 100N ， 0.1 質(zhì)量 m 68 1200 1268 kgn 2 2.667 16.757 (rad s)31.4r 1.874n 16.757k m 2 1268 16.7572 356050.7