直線與平面、平面與平面平行的判定

1、 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 理解直線與平面平行、平面與平面平行判定定理的含義 .2. 會(huì)用圖形語言、 文字語言、 符號語言準(zhǔn)確描述直線與平面平行、 平面與平面平行的判定定理， 并知道其地位 和作用 .3. 能運(yùn)用直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的判定定理證明一些空間線 面關(guān)系的簡單問題 .知識點(diǎn)一 直線與平面平行的判定定理語言敘述符號表示圖形表示平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行a? b? ? ab a思考 若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線和這個(gè)平面平行嗎？ 答 根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知該結(jié)論錯(cuò)誤 .知識點(diǎn)二 平面與平面平行的判定定理語言敘述符號

2、表示圖形表示一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行a? ， b? a bA?a，b思考 如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行， 那么這條直線與另一個(gè)平面也平行嗎？ 答 不一定 . 這條直線與另一個(gè)平面平行或在另一個(gè)平面內(nèi) .題型一 直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用 例 1 如圖，空間四邊形 ABCD中， E、F、G、 H分別是 AB、 BC、CD、 DA的中點(diǎn) .求證： (1) EH平面 BCD；(2) BD平面 EFGH.證明 (1) EH為 ABD的中位線，EHBD.EH?平面 BCD， BD? 平面 BCD，EH平面 BCD.(2) BDEH，BD?平面 EFGH，E

3、H? 平面 EFGH，BD平面 EFGH.跟蹤訓(xùn)練 1 在四面體 A BCD中， M，N分別是 ABD和 BCD的重心， 求證：MN平面 ADC.證明 如圖所示，連接 BM，BN并延長，分別交 AD，DC于 P，Q兩點(diǎn)，連接 PQ.因?yàn)?M， N分別是 ABD和 BCD的重心，所以 BMMP BNNQ21.所以 MN PQ.又因?yàn)?MN?平面 ADC， PQ? 平面 ADC，所以 MN平面 ADC.題型二 面面平行判定定理的應(yīng)用例2 如圖所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，點(diǎn)D，E分別是 BC與B1C1的中點(diǎn).求證：平面 A1EB 平面 ADC1.證明 由棱柱性質(zhì)知，B1C1BC，B1C1B

4、C，又 D，E 分別為 BC，B1C1 的中點(diǎn)，所以 C1E 綊 DB，則四邊形 C1DBE為平行四邊形，因此 EB C1D，又 C1D? 平面 ADC1，EB?平面 ADC1，所以 EB平面 ADC1.連接 DE，同理， EB1 綊 BD，所以四邊形 EDBB1 為平行四邊形，則 ED綊 B1B.因?yàn)?B1BA1A，B1BA1A( 棱柱的性質(zhì) )，所以 ED綊 A1A，則四邊形 EDAA1 為平行四邊形，所以 A1E AD，又 A1E?平面 ADC1，AD? 平面 ADC1，所以 A1E平面 ADC1.由 A1E平面 ADC1， EB平面 ADC1，A1E? 平面 A1EB，EB? 平面 A

5、1EB，且 A1EEB E，所以平面 A1EB平面 ADC1.E在 AA1上，點(diǎn) F 在 CC1上，點(diǎn) G跟蹤訓(xùn)練 2 已知 ABCD A1B1C1D1是棱長為 3 的正方體， 在 BB1上，且 AEFC1B1G 1，H是 B1C1的中點(diǎn) .求證： (1) E，B，F(xiàn)，D1 四點(diǎn)共面；(2) 平面 A1GH平面 BED1F.證明 (1) AE B1G1， BGA1E2.又 BGA1E，四邊形 A1EBG是平行四邊形，A1G BE.連接 FG. C1FB1G，C1FB1G，四邊形 C1FGB1 是平行四邊形， FGC1B1 D1A1，F(xiàn)GC1B1D1A1，四邊形 A1GFD1 是平行四邊形，A1

6、GD1F， D1FEB.故 E，B，F(xiàn)，D1 四點(diǎn)共面 .3(2) H是 B1C1的中點(diǎn)， B1H2.又 B1G 1，B1G2B1H3FC 2又BC3，且 FCB GB1H90°， B1HG CBF， B1GH CFB FBG， HGFB.又由(1)知， A1GBE，且 HGA1GG，F(xiàn)BBEB，平面 A1GH平面 BED1F.題型三 線面平行、面面平行判定定理的綜合應(yīng)用Q是 CC1 上的例 3 在正方體 ABCDA1B1C1D1中， O為底面 ABCD的中心， P是 DD1 的中點(diǎn)，設(shè) 點(diǎn). 問：當(dāng)點(diǎn) Q在什么位置時(shí)，平面 D1BQ平面 PAO？請說明理由 .解 當(dāng) Q為 CC1的

7、中點(diǎn)時(shí)，平面 D1BQ平面 PAO. 理由如下： 連接 PQ. Q為CC1的中點(diǎn)， P為DD1的中點(diǎn)，PQDCAB，PQDCAB， 四邊形 ABQP是平行四邊形， QBPA.又 O為 DB的中點(diǎn)， D1BPO.又 POPAP，D1BQBB，平面 D1BQ平面 PAO.跟蹤訓(xùn)練 3 如圖，三棱柱 ABCA1B1C1的底面為正三角形，側(cè)棱 A1A底面 ABC，E，F(xiàn) 分別 是棱 CC1， BB1上的點(diǎn)， EC是線段 AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) M在何位置時(shí)， BM平面 AEF？請說 明理由 .解 當(dāng) M為 AC中點(diǎn)時(shí)， BM平面 AEF. 理由如下：方法一 如圖 1，取 AE的中點(diǎn) O，連接 OF， OM

8、.O， M分別是 AE， AC的中點(diǎn)，1OMEC，OM2EC.又BFCE，EC2FB， OMBF，OMBF，四邊形 OMBF為平行四邊形， BMOF.又OF? 面AEF，BM?面 AEF，BM平面 AEF.方法二 如圖 2，取 EC的中點(diǎn) P，連接 PM， PB.PM是 ACE的中位線，PMAE.EC 2FB 2PE， CC1BB1， PEBF，PEBF， 四邊形 BPEF是平行四邊形， PBEF. 又 PM?平面 AEF， PB?平面 AEF， PM平面 AEF， PB平面 AEF. 又 PM PB P，平面 PBM平面 AEF. 又BM? 面 PBM， BM平面 AEF.面面平行的判定例

9、4 已知在正方體 ABCDABCD中， M，N分別是 A D， A B的中點(diǎn)，在該正 方體中是否存在過頂點(diǎn)且與平面AMN平行的平面？若存在， 試作出該平面， 并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由 .分析 根據(jù)題意畫出正方體， 根據(jù)平面 AMN的特點(diǎn)， 試著在正方體中找出幾條平行于該平面 的直線，然后作出判斷，并證明 .解 如圖，與平面 AMN平行的平面有以下三種情況：下面以圖為例進(jìn)行證明 .如圖，取 BC的中點(diǎn) E，連接 BD，BE，DE，ME， BD，可知四邊形 ABEM是平行四邊形，所以 BE AM.又因?yàn)?BE? 平面 BDE， AM?平面 BDE，所以 AM平面 BDE.因?yàn)?MN是

10、ABD的中位線，所以 MN B D.因?yàn)樗倪呅?BDD B是平行四邊形，所以 BD B D所以 MN BD.又因?yàn)?BD? 平面 BDE， MN?平面 BDE，所以 MN平面 BDE.又因?yàn)?AM? 平面 AMN， MN? 平面 AMN，且 AM MN M， 所以由平面與平面平行的判定定理可得，平面AMN平面 BDE.1. 過直線 l 外兩點(diǎn)，作與l 平行的平面，則這樣的平面 ( )A.不可能作出B.只能作出一個(gè)C.能作出無數(shù)個(gè)D.上述三種情況都存在2.經(jīng)過平面 外兩點(diǎn)，作與 平行的平面，則這樣的平面可以作 ( )個(gè)或 2 個(gè)個(gè)或 1 個(gè)個(gè)個(gè)3. 若線段 AB， BC，CD不共面， M，N，P

11、分別為線段 AB，BC，CD的中點(diǎn)，則直線 BD與平面 MNP的位置 關(guān)系是 ()A.平行B.直線在平面內(nèi)C.相交D.以上均有可能4. 在正方體 EFGHE1F1G1H1中，下列四對截面彼此平行的一對是( )A.平面 E1FG1 與平面 EGH1B. 平面 FHG1 與平面 F1H1GC.平面 F1H1H 與平面 FHE1D.平面 E1HG1 與平面 EH1G5.梯形 ABCD中， ABCD，AB? 平面 ，CD?平面 ，則直線 CD與平面 的位置關(guān)系是、選擇題1. 下列說法正確的是 ( ) 若一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行； 若一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與另一個(gè)平面平

12、行，則這兩個(gè)平面平行； 若一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行； 若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行 .A. B.C.D.2. 平面與平面平行的條件可以是 ( )A.內(nèi)有無窮多條直線與 平行B. 直線 a，a，且直線 a不在與內(nèi)C. 直線 a? ，直線 b? ，且 b，aD. 內(nèi)的任何直線都與 平行3. 六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有 ( )對 對 對 對4. 如果直線 a平行于平面，那么下列命題正確的是 ( )A.平面內(nèi)有且只有一條直線與 a平行 B. 平面內(nèi)有無數(shù)條直線與 a平行C.平面內(nèi)不存在與 a平行的直線D. 平面內(nèi)的任意直線與

13、直線 a都平行5. 在空間四邊形 ABCD中， E，F(xiàn)分別為 AB，AD上的點(diǎn)，且 AEEBAFFD14，又 H，G 分別為 BC，CD的中點(diǎn)，則 ( )平面 EFG，且四邊形 EFGH是平行四邊形平面 BCD，且四邊形 EFGH是梯形平面 ABD，且四邊形 EFGH是平行四邊形平面 ADC，且四邊形 EFGH是梯形6. 平面 內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面 的距離相等且不為零， 則 與 的位置關(guān)系為 ( )A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. 可能重合7. 已知直線 l ，m，平面 ，下列命題正確的是 ( ) ， l ? ? ， m，l ? ，m? ? m，l ? ，m? ? ，m，l?

14、，m? ，l mM? 二、填空題8. 三棱錐 SABC中， G為 ABC的重心， E在棱 SA上，且 AE2ES，則 EG與平面 SBC的關(guān)系 為.9. 如圖是正方體的平面展開圖 . 在這個(gè)正方體中，BM平面 DE； CN平面 AF；平面 BDM平面 AFN；平面 BDE平面 NCF.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是 .10. 右圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形， E，F(xiàn)，G，H分別為 PA，PD，PC， PB的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面五個(gè)結(jié)論：平面 EFGH平面 ABCD； PA平面 BDG；EF平面 PBC； FH平面 BDG； EF平面 BDG；其中正確結(jié)論的序號

15、是 .三、解答題11. 如圖，在已知四棱錐 PABCD中，底面 ABCD為平行四邊形，點(diǎn) M，N，Q分別在 PA，BD， PD上，且 PMMABNNDPQQD. 求證：平面 MNQ平面 PBC.12. 如圖，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，M是棱 AB的中點(diǎn)，點(diǎn) N在側(cè)面 AA1D1D上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) N 滿足什么條件時(shí)， MN平面 BB1D1D?當(dāng)堂檢測答案1. 答案 D解析 設(shè)直線外兩點(diǎn)為 A、 B，若直線 ABl ，則過 A、 B可作無數(shù)個(gè)平面與 l 平行；若直線 AB與 l 異面，則只能作一個(gè)平面與 l 平行；若直線 AB與 l 相交，則過 A、B 沒有平面與 l 平行.2. 答案

16、B解析 當(dāng)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線與平面 平行時(shí)，可作出一個(gè)平面 使 .當(dāng)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線與平面 相交時(shí)，由于作出的平面又至少有一個(gè)公共點(diǎn)，故經(jīng)過兩點(diǎn) 的平面都與平面 相交，不能作出與平面 平行的平面 .故滿足條件的平面有 0個(gè)或1個(gè).3. 答案 A解析 連接 NP，因?yàn)?N、P分別是 BC、CD的中點(diǎn)， M是 AB的中點(diǎn)， AB、BC、 CD不共面，所 以直線 BD不在平面 MNP上. 直線 BD與平面 MNP平行 .4. 答案 A解析 如圖， EGE1G1，EG?平面 E1FG1，E1G1? 平面 E1FG1，EG平面 E1FG1，又 G1F H1E，同理可證 H1E平面 E1FG1，又 H1EEG

17、E，平面 E1FG1平面 EGH1.5. 答案 CD解析 因?yàn)?AB CD，AB? 平面 ，CD?平面 ，由線面平行的判定定理可得 CD.課時(shí)精練答案一、選擇題1. 答案 D解析 如圖，長方體 ABCD A1B1C1D1中，在平面 ABCD內(nèi)，在 AB上任取一點(diǎn) E，過點(diǎn) E作 EF AD， 交 CD于點(diǎn) F，則由線面平行的判定定理，知 EF， BC都平行于平面 ADD1A1，用同樣的方法可 以在平面 ABCD內(nèi)作出無數(shù)條直線都與平面 ADD1A1 平行，但是平面 ABCD與平面 ADD1A1不平行， 因此都錯(cuò)； 正確， 事實(shí)上，因?yàn)橐粋€(gè)平面內(nèi)任意一條直線都平行于另一個(gè)平面， 所以 這兩個(gè)平面

18、必?zé)o公共點(diǎn) （ 要注意“任意一條直線”與“無數(shù)條直線”的區(qū)別）；是平面與平面平行的判定定理，正確 .2. 答案 D解析 對于 A 項(xiàng)，當(dāng) 與 相交時(shí)， 內(nèi)也有無數(shù)條直線都與交線平行，故A 錯(cuò)誤；對于 B 項(xiàng)，當(dāng) a 平行于 與 的交線時(shí)，也能滿足，但此時(shí) 與 相交，故 B 錯(cuò)誤；對于 C項(xiàng)，當(dāng) a和 b都與 與 的交線平行時(shí)，也能滿足，但此時(shí)與 相交，故 C錯(cuò)誤；對于 D項(xiàng)， 內(nèi)的任何直線都與 平行，故在一個(gè)平面內(nèi)存在兩條相交直線平行于另一平 面，故 D正確 .3. 答案 C解析 側(cè)面中有 3 對，對面相互平行，上下兩底面也相互平行 .4. 答案 B解析 如圖，直線 B1C1平面 ABCD，B

19、1C1BC，B1C1AD， B1C1 EF（ E， F 為中點(diǎn) ） 等，平面 ABCD內(nèi)平行于 BC的所有直線均與 B1C1平行 .但 AB與 B1C1不平行 .5. 答案 B 解析 易證 EF平面 BCD.1由 AEEBAF FD，知 EFBD，且 EF 5BD.又因?yàn)?H，G分別為 BC， CD的中點(diǎn)，1所以 HGBD，且 HG 2BD.綜上可知， EF HG，EFHG，所以四邊形 EFGH是梯形，且 EF平面 BCD.6. 答案 C解析 若三點(diǎn)分布于平面 的同側(cè)，則 與 平行，若三點(diǎn)分布于平面 的兩側(cè)，則 與 相交.7. 答案 D解析 如圖所示，在長方體 ABCD1AB1C1D1 中，

20、ABCD，則 AB平面 DC1， AB? 平面 AC，但是平面 AC與平面 DC1 不平行，所以 A 錯(cuò)誤；取 BB1的中點(diǎn) E，CC1的中點(diǎn) F，則可證 EF平面 AC，B1C1平面 ? 平面 BC1，B1C1? 平面 BC1，但是平面 AC與平面 BC1不平行，所以 B 錯(cuò)誤；可證 AD B1C1，AD? 平面 AC，B1C1? 平面 BC1，又平面 AC與平面 BC1不平行，所以 C錯(cuò)誤；很明顯 D是面面平行的判定定理，所以 D正確 .二、填空題8. 答案 平行解析 如圖，延長 AG交 BC于 F，連接 SF，則由 G為 ABC的重心知 AGGF2，又 AEES 2， EG SF，又 SF? 平面 SBC， EG?平面 SBC，EG平面 SBC.9. 答案 解析 以 ABCD為下底面還原正方體，如圖：則易判定四個(gè)命題都是正確的 .10. 答案 解析 把圖形還原為一個(gè)四棱錐，然后根據(jù)線面、面面