直線與平面垂直的判定和性質(zhì)

1、直線與平面垂直的判定和性質(zhì)（二）1空間四邊形 ABCD 的四條邊相等，那么它的兩條對(duì)角線 A 相交且垂直 C不相交也不垂直2已知 a、b 是異面直線，那么經(jīng)過A 只有一個(gè)平面與 a 平行 C只有一個(gè)平面與 a 垂直AC 和 BD 的關(guān)系是B相交但不垂直D 不相交但垂直 b 的所在平面中（ ）B 有無數(shù)個(gè)平面與 a 平行D 有無數(shù)個(gè)平面與 a 垂直）3若直線 l 與平面 所成角為 ，直線 a 在平面 內(nèi)，且與直線 l 異面，則直線 l 與直 3）線 a 所成的角的取值范圍是（A0，23B 0，3D 3，2333C 3，24直線 a、 b 均在平面 位置關(guān)系是（ ）A 異面直線B相交直線5ABCD

2、 是平面 內(nèi)的一個(gè)四邊形， PDA 中是直角三角形的最多有（）A1 個(gè)B2個(gè)外，若a、b 在平面 上的射影是兩條相交直線，則 a 和 b 的C平行直線P 是平面 外的一點(diǎn)，D 相交或異面直線則 PAB、PBC、PCD 、C3個(gè)D 4 個(gè)6已知直線 PG 平面 于 G，直線EF，且 PF EF 于F，那么線段 PE、 PF 、PG 的關(guān)系是（ ）APE>PG>PF CPE>PF>PG 7直線 l 是平面 的斜線， l 在 內(nèi)的射影為 l 若直線 m l， 面 的位置關(guān)系是（ ）BDPG>PF>PEPF>PE>PGm l ，則直線 m 和平AmBmC

3、mD m ，或 m8下列命題中正確的是（）A 若 a 是平面 的斜線，直線 b 垂直于 a 在平面 內(nèi)的射影為 a ，則 abB若 a 是平面 的斜線， 平面 內(nèi)的直線 b垂直于 a 在平面 內(nèi)的射影為 a ，則 a bC若 a 是平面 的斜線，直線 b 平行于平面 ，且 b垂直于 a 在平面 內(nèi)的射影 a ， 則 a bD若a是平面 的斜線， b是平面 內(nèi)的直線，且b垂直于 a在另一個(gè)平面 內(nèi)的射影 a ，則 a b9如圖 9-28，已知 PE 垂直于 O 所在平面， EF 是O 的直徑，點(diǎn)G 為圓周上異于 E、 F 的一點(diǎn)，則下列結(jié)論中，不正確的是（ ）A FG平面 PEGBPGFGCPF

4、 與平面 PEG 所成角為 FPGDEGPF圖 9-2810設(shè)正方體 ABCDA1B1C1D1 的棱長為 1，則（1）A 到 B1C 的距離等于 ；（2）A 到 BD1 的距離等于 ；（3）A 到平面 A1B1CD 的距離等于 ；（4）AB 到平面 A1B1CD 的距離等于 11已知正方體 ABCDA1B1C1D1 則（1） AD1與平面 ABCD 所成的角等于 ；（2） AC1與平面 ABCD 所成的角的正切值等于 ；（3） AD1與平面 BB1C1C 所成的角等于 ；（4） D1C1與平面 BB1C1C 所成的角等于 ；（5） B1C與平面 BB1D1D 所成的角等于 .12如圖 9-29

5、 ，PA平面 ABCD ，ABCD 是矩形， M、N 分別是 AB、PC 的中點(diǎn)求證： MNAB圖 9-2913如圖AA 4cm 9-30 ，直線 a、b 是異面直線，它們所成角為 另有 B 在直線30°， AA 為 a、b 的公垂線段， b 的距離14如圖 證：H 是ABC 的垂心9-31，SA、SB、 SC三條直線兩兩垂直，點(diǎn) H 是 S在平面 ABC 上的射影，求圖 9-3115如圖 9-32 ， ABD 和ACD 都是以 D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且 AD=BD=CD， BAC =60°求證：（1）BD 平面 ADC；（2）若 H 是ABC 的垂心，則 H 為D 在

6、平面 ABC 內(nèi)的射影 16PA、PB、PC是從點(diǎn) P出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角為60°，求直線 PC 與平面 PAB 所成的角的余弦值參考答案1D取 BD 中點(diǎn) O，則 BDAO，BD CO，故 BD平面 ACO，因此 BDAC2A過 b上任一點(diǎn) P作直線 a /a，由 a 和 b確定的平面 與 a平行，這個(gè)平面是 過 b 且平行于 a 的唯一一個(gè)平面 故排除 B當(dāng) a 與 b 不垂直時(shí)， 假設(shè)存在平面 ，使 b ， 且 a ，則 a b，這與 a、b 不垂直矛盾，所以當(dāng) a、b 不垂直時(shí)，不存在經(jīng)過 b 且與 a 垂直的平面，當(dāng) a、b 垂直時(shí)，過 b 且與 a垂直的平面是

7、唯一的，設(shè) a、b 的公垂線為 c，則 由 c 和 b 所確定的平面與 a 垂直，且唯一3C因?yàn)橹本€ l 是平面的斜線，斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角， 故a與 l所成的角大于或等于 ；又因?yàn)楫惷嬷本€所成的角不3大于 ，故選 C24D5D作矩形 ABCD ，PA平面 AC，則所有的三角形都是直角三角形6C如圖答 9-17PG ，EF，PFEF，則 GFEF在 Rt PGF 中， PF為斜邊， PG 為直角邊， PF>PG在 RtPFE 中，PF 為直角邊， PE為斜邊， PE>PF，所 以有 PE> PF>PG7D8C如圖答除 A

8、 令 是直線 能得出 ab 的結(jié)論排除 B同理排除9-18，直線 b 垂直于 a 與其在 內(nèi)的射影a 在平面 內(nèi)的射影，但不能得出a 確定的平面，在 內(nèi)取垂直于 a 的直線為 b，不 D如圖答 9-19，在 內(nèi)任取點(diǎn)a b 的結(jié)論排P， P b ，則過 b 與 P 確定面 ，設(shè) b ，因?yàn)?b ，則 b/b b a ， b a b a ，b a于是 C 正確圖答 9-18 圖答 9-199DG是 O圓周上一點(diǎn)，則 FGEG PE平面 EFG， PEFGFGFGEGPEPG 平面 PEGFG 平面 PEG（A 正確 ）FG PG（ B 正確 ）EG PF，又 EGFG，假設(shè)E、G共面， PE P

9、G這與 PE，PG 交于一點(diǎn) P矛盾，F(xiàn)G平面 PFG EGPG PEEG，P、 EG PF”不成立101）連接 AB1 ，AC，則 AB1 AC，取 B1C的中點(diǎn) E，連結(jié) AE，則 AE B1C11 AE為點(diǎn)A到直線 B1C的距離，在 RtACE中， AC2，CEB1C2，1 2 2AE2 ( 2)2 ( 22)2 2 123，2，AE6 即 A到 B1、C 的距離等于22)連結(jié) AD1 AB平面 ADD1 A1 ，AB AD1在 Rt ABD1 中，AB=1，AD112 ， BD1 3 ， 設(shè) A 到 BD1 的 距 離 為 h ， 則 1 AB AD1 21 h BD1 即21 1 2

10、 122h 3， h32 36，即點(diǎn) A到BD1的距離為 363）連結(jié)AD1交 A1D于F，則 AF A1D CD 平面 AA1D1D，且 AF 平面AA1D1 D ，CD AF CDAD=D， AF平面 A1B1CD AF 為點(diǎn) A 到平面 A1B1CD 的距離AD12 ， AF 1 AD122124) ABCD ，AB平面 A1B1CD ， AB 到平面 A1B1CD的距離等于 A 點(diǎn)11（ 1） D1D 平面到平面 A1B1CD 的距離，等于ABCD，D1AD為AD1與平面 ABCD 所成的角， D1AD=45°2） C1C 平面 ABCD，C1AC為AC1與平面 ABCD 所

11、成的角設(shè)CC1 1，則 AC 2， t an C1AC AC 2 2（3） AD1 平面 BB1C1C ， B1C / AD1， AD1 平面 BB1C1C ， AD1與 平面 BB1C1C 所成的角為 0°（4） D1C1 平面 BB1C1C ， D1C1與平面 BB1C1C 所成的角為 90°（5）連結(jié) AC，交 AD 于 H連結(jié) B1H ， B1B 平面 ABCD ， CH 平面 ABCD， B1B CH ，又 CH BD ， CH平面 BB1D1D B1H 為 B1C在平面 BB1D1D內(nèi)的射影CB1H 為 B1C與平面 BB1D1D所成的角設(shè)正方體棱長為 1，則1

12、2B1C2 ， CH AC ，CB1H 30 ，即 B1C 與平面 BB1D1D 所成的角1 2 2為 30 °12連結(jié) AC，取 AC 中點(diǎn) O，連結(jié) OM，ON由 OM BC，得 OM AB又 NOPA， 且 PAAB，故 NOAB由此可得 AB平面 OMN 因此 MN AB13如圖答 9-20，過 A 作 a /a ，則 a 與 b 確定平面 作 BC a 于 C ，在平面 內(nèi) 作CDb于D，連結(jié) BD AA a AA a AA b，a b A， AA BC / AA ， BC CD b， BD b（三垂線定理） ，即 BD 為 B 點(diǎn)到 b 的距離 a/a ， CAD 為異面

13、直線 a 與 b 所成的角，CA D 30 AC AB 2 ， CDA 90 ， CD=1 在 Rt BCD 中，BC AA 4，CD=1，BCD=90°， BD2 BC2 CD2 42 12 17 ， BD 17 14 SCSA，SC SB，且 SASB=S， SC平面 SAB， AB SC H 是 S在平面 ABC 上的射影， SH平面 ABC連結(jié) CH，CH 為 SC在平面 ABC 上的射 影， AB SC，由三垂線定理的逆定理可知CH AB，即 CH 為 AB 的垂線同理 AHBC ，即 AH 為 BC 邊的垂線 H 為 ABC 兩條垂線的交點(diǎn)，H 為 ABC 垂心15（ 1

14、）設(shè) AD=BD=CD=a，則 AB AC 2a BAC=60°， BC2a 由勾股定理可知， BDC=90°即 BD DC，又 BDAD，ADDC=D， BD平面 ADC（2）如圖答 9-21，要證 H 是 D 在平面 ABC 上的射影，只需證 DH 平面 ABD連結(jié) HA、HB、HC H 是 ABC的垂心， CH AB CDDA，CDBD， CD平面 ABD， CD AB CHCD=C， AB平面 DCH DH 平面 DCH， ABDH ，即 DH AB，同理 DH BC ABBC=B， DH平面 ABC圖答 9-2116如圖答 9-22，在 PC上任取一點(diǎn) D，作 DH平面 PAB 于H，則DPH 為 PC與平 面 PAB 所成的角作 HE PA 于 E，HF PB