高中數(shù)學(xué) 巧用函數(shù)單調(diào)性妙解數(shù)學(xué)題解題思路大全

1、巧用函數(shù)單調(diào)性妙解數(shù)學(xué)題函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)的單調(diào)性又是函數(shù)的重要性質(zhì)。在求解某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，若能根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出一個(gè)適當(dāng)?shù)膯握{(diào)函數(shù)，往往能化難為易，化繁為簡，獲得巧解和妙解。下面舉例說明。一. 巧求代數(shù)式的值例1. 已知，求的值。解：已知條件可化為設(shè)，則而在R上是增函數(shù)則有，即所以點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)，利用單調(diào)性求解。拓展練習(xí)：已知方程的根為，方程的根為，求+的值。（答案：）二. 妙解方程例2. 解方程解：易見x=2是方程的一個(gè)解原方程可化為而（因?yàn)椋┰赗上是減函數(shù)，同樣在R上是減函數(shù)因此在R上是減函數(shù)由此知：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，這說明與的數(shù)都不是方程的解

2、，從而原方程僅有唯一解。拓展訓(xùn)練：解方程。（答：）點(diǎn)評：解該類型題有兩大步驟：首先通過觀察找出其特解，然后等價(jià)轉(zhuǎn)化為的形式，最后根據(jù)的單調(diào)性得出原方程的解的結(jié)論。三. 妙求函數(shù)的值域例3. 求函數(shù)的值域。解：令，則因?yàn)椋远趦?nèi)遞增所以又而所以為所求原函數(shù)的值域。四. 巧解不等式例4. 解不等式解：設(shè)原不等式可化為則，即設(shè)顯然是R上的減函數(shù)，且，那么不等式即因此有，解得點(diǎn)評：解不等式其實(shí)質(zhì)是研究相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)，正負(fù)值問題。用函數(shù)觀點(diǎn)來處理此類問題，不僅可優(yōu)化解題過程，且能讓我們迅速獲得解題途徑。拓展訓(xùn)練：解不等式。（答：）五. 巧證不等式例5. 設(shè)，求證。證明：當(dāng)m，n中至少有一個(gè)為0時(shí)，則

3、有，結(jié)論成立。設(shè)因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增所以與必同號，或同為0（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)）從而因此，原不等式成立（當(dāng)且僅當(dāng)或，或時(shí)取“=”號）。點(diǎn)評：原不等式等價(jià)于，這可由冪函數(shù)在上遞增而得到。本題可拓展：令，則。六. 巧解恒成立問題例6. 已知函數(shù)對區(qū)間上的一切x值恒有意義，求a的取值范圍。解：依題意，對上任意x的值恒成立整理為對上任意x的值恒成立。設(shè)，只需而在上是增函數(shù)則所以七. 巧建不等關(guān)系例7. 給定拋物線，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)。若，求l在y軸上的截距的變化范圍。解：設(shè)由，得聯(lián)立（1）（2）（3）（4），解得所以或所以的方程為或當(dāng)時(shí)，在y軸的截距為令，則所以在4，9上是減函數(shù)故所以直線在y軸上截距的取值范圍是：八. 巧解數(shù)列問題例8. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)，Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論