拋物線的簡單幾何性質

1、拋物線的簡單幾何性質作者:日期:課題2. 4.2拋物線的簡單授課時間兒何性質（）任課教師閔海鷹授課年級高二掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質教知識目標學能根據拋物線的幾何性質對拋物線方程進行討論，在此基礎上列表、描能力目標目點、畫拋物線圖形5標德育目標在對拋物線兒何性質的討論中，注意數(shù)與形的結合與轉化拋物線的幾何性質及其運用教學重點拋物線幾何性質的運用教學難點教法探究法,講練結合法，講授使用教具計算機直尺、投影儀、計法算器一、復習引入：1.拋物線定義：平面內與一個定點 F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做 拋物線*定點F叫做中yyi yI一O丁教圖形一匕_ ；厶7K學方2-

2、一 2 -一 2 -一 2 - 一程y2 px( p 0) y2 px( p 0) x 2 py( p 0) x2py( p 0)隹(7,0)(號,0)(0,衛(wèi))(0,蟲)點2 22 2過準pxx衛(wèi)y衛(wèi)y衛(wèi)線22 |2 2拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的 準線.2.拋物線的標準方程：-程相同點：（1 ）拋物線都過原點；（2）對稱軸為坐標軸；（3 ）準線都與對稱軸垂直，垂足與焦點在對稱軸上關于原點對稱.1它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的-,即42p p42不冋點：（1 ）圖形關于X軸對稱時， X為一次項，Y為二次項，方程右端為 2px、左端為y2 ；圖形關于 Y軸對稱時,X為二次項,Y

3、為一次項，方程右端為2py ,左端為X2（2）開口方向在X軸（或Y軸）正向時 ，焦點在X軸（或Y軸）的正半軸上，方程右端取正 號；開口在X軸（或Y軸）負向時，焦點在X軸（或 Y軸）負半軸時，方程右端取負號 .二、講解新課：拋物線的幾何性質1. 范圍因為p 0,由方程y2 2px p 0可知，這條拋物線上的點 M的坐標（x , y ）滿足 不等式x0,所以這條拋物線在y軸的右側；當x的值增大時，丨y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸2. 對稱性以y代y,方程y2 2px p 0不變，所以這條拋物線關于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的 軸.3. 頂點拋物線和它的軸的交點叫做拋

4、物線的頂點.在方程y2 2px p 0中，當y = 0時，x=0,因此拋物線y2 2px p 0的頂點就是坐標原點.4. 離心率拋物線上的點M與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示由拋物線的定義可知,e=1 .對于其它幾種形式的方程，列表如下:標準方程圖形頂點對稱軸焦占八、八、準線離心率y2 2px p 0三0,0x軸x衛(wèi)2e 1y22pxp 00,0x軸衛(wèi)。2x衛(wèi)2e 1x2 2py p 00,0y軸0，于y子e 1注拋物線不是雙曲線的一支，拋物線不存在漸近線通過圖形的分析找出雙曲線與拋物線上的點的性質差異，當拋物線上的點趨向于無 窮遠時，拋物線在這一點的切線斜率接近

5、于對稱軸所在直線的斜率，也就是說接近于和對稱軸所在直線平行，而雙曲線上的點趨向于無窮遠時，它的切線斜率接近于其漸近線的斜率一附：拋物線不存在漸近線的證明.（反證法）假設拋物線 y2 =2 px存在漸近線y =mx + n, A y ）為拋物線上一點，A（x，yi）為漸近線上與 A橫坐標相同的點如圖，則有 y 2 px和 yi= mx +n.yAA1,” 05y1ymx n、2 px(X ,則 |yiy當m = 0 時，y1 y2 px ,當 xT+R ,則力 y這與y =m）+ n是拋物線y 2=2 px的漸近線矛盾，所以拋物線不存在漸近線三、講解范例：例1已知拋物線關于X軸為對稱，它的頂點在

6、坐標原點，并且經過點 M （2, 2 2）,求它的標準方程，并用描點法畫出圖形.分析：首先由已知點坐標代入方程，求參數(shù)p.解：由題意，可設拋物線方程為y2 2px，因為它過點 M（2, 2 2），所以（22）2 2p 2，即 p 2因此，所求的拋物線方程為 y2 4x.將已知方程變形為 y 2 x，根據y 2.x計算拋物線在 x 0的范圍內幾個點的坐 標，得x0i234y022.83.54描點畫出拋物線的一部分，再利用對稱性，就可以畫出拋物線的另一部分-點評:在本題的畫圖過程中，如果描出拋物線上更多的點，可以發(fā)現(xiàn)這條拋物線雖然也向右上方和右下方無限延伸，但并不能像雙曲線那樣無限地接近于某一直線

7、，也就是 說,拋物線沒有漸近線.例2探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，已知燈的圓的直徑6 0cm燈深為40cm求拋物線的標準方程和焦點位置.分析：這是拋物線的實際應用題，設拋物線的標準方程后，根據題設條件，可確定拋 物線上一點坐標，從而求出p值.解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內建立直角坐標系，使反光鏡的頂點（即拋物線的頂點）與原點重合，x軸垂直于燈口直徑.設拋物線的標準方程是 y 2px （po）.由已知條件可得點A的坐標是 （4 0, 3 0）,代入方程，得302 2p 40 ,45所求的拋物線標準方程為y245x例3過拋物線y2 2px的焦點F任作一條直線

8、m交這拋物線于A、E兩點，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準線相切.分析：運用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷.證明：如圖設AE的中點為E,過A E、E分別向準線I引垂線AD EHJ BC垂足為 D H、C,則| A Fl =| ADI, | BF |= I BC | AB| = | AF + | B F |= | AD +l BC|= 2| EH |所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EHL I，因而圓E和準線I相切.四、課堂練習：1.過拋物線y2 4x的焦點作直線交拋物線于Ax! , y! , B X2, y?兩點，如果XiX26,那么| AB|=(A)10(B) 8(C)6(D

9、)4已知M為拋物線y24x上一動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，定點P 3, 1 ,則| MP | MF |的最小值為(B )(A) 3(B) 4( C) 5(D) 63.過拋物線yax2 a0的焦點F作直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF、QF的長分別是p、q，則1 -=(C )pq(A) 2a(B)1(C) 4a(D)42aa4.過拋物線2 y4x焦點F的直線I它交于A、B兩點,則弦 AB的中點的軌跡方程是(答案：y 2 x i )5定長為3的線段AB的端點A、B在拋物線y2 x上移動，求 AB中點M到y(tǒng)軸距 離的最小值，并求出此時AB中點M的坐標.5155(答案：M, M到y(tǒng)軸距離的最小值為)42

10、4五、 小結：拋物線的離心率、焦點、頂點、對稱軸、準線、中心等*六、課后作業(yè)：1. 根據下列條件，求拋物線的方程，并畫出草圖(1) 頂點在原點，對稱軸是x軸，頂點到焦點的距離等于8.(2) 頂點在原點,焦點在y軸上，且過 P(4 , 2)點. 頂點在原點，焦點在y軸上，其上點P ( m -3)到焦點距離為5.2. 過拋物線焦點 F的直線與拋物線交于 A、B兩點，若A、B在準線上的射影是 氏，B2, 則/ A 2FB等于3. 拋物線頂點在原點， 以坐標軸為對稱軸，過焦點且與y軸垂直的弦長為16,求拋物線方 程24. 以橢圓Xy21的右焦點，F(xiàn)為焦點，以坐標原點為頂點作拋物線，求拋物線截橢5圓在準線所得的弦長.5. 有一拋物線型拱橋，當水面距拱頂4米時，水面寬4 0米，當水面下降1米時，水面 寬