《矩陣分析》(第3版)史榮昌,魏豐.第一章課后知識(shí)題目解析

1、第1章 線性空間和線性變換(詳解)1-1證：用E"表示n階矩陣中除第i行，第i列的元素為1外，其余元素全為 0的矩陣.用Ej (i j,i 1,2,|,n 1)表示 n階矩陣中除第i行，第j列元素與第j行第i列元素為1外，其余元素全為 0的矩陣.顯然，Eii , Eij都是對(duì)稱矩陣,且任何一個(gè)對(duì)稱矩陣都可用這n+ n(n2EH有mn 1)個(gè).不難證明E", Ej是線性無關(guān)的, 2j1)=n(n 1)個(gè)矩陣線性表示,此即對(duì)稱矩陣組成 2同樣可證所有n階反對(duì)稱矩陣組成的線性空間的維數(shù)為n(n 1)評(píng)注：欲證一個(gè)集合在加法與數(shù)乘兩種運(yùn)算下是一個(gè)2n(n 1)維線性空間，只需找出n

2、(n 1)個(gè)向量線性無關(guān)，并且集合中任何一個(gè)向量都可以用這 22n(n 1個(gè)向量線性表示即2可.1-2解：令X1 1X22X33X4 4X1X2X3X41,X1 X2X32解出X|, X2, X3, X4即可.1-3 解:方法在1X2E2X3E3X4E41X1 1X2X3X4X1X2X3X4X1X2X3X1X2X1x1 x20,x1 3解之得Xi3, x23, X31 2, x4即 A 在 Ei,E2,E3,E4 下的坐標(biāo)為(3, 3,2, 1)T.方法二 應(yīng)用同構(gòu)的概念，R2 2是一個(gè)四維空間，并且可將矩陣A看做(1,2,0,3)T,Ei,E2,E3,E4 可看做(1,1,1,1T，(1,1

3、,1,0)T,(1,1,0,0)T,(1,0,0,0) T.于是有111111110 2110 0 0I*1 0 0 0 3I0 10 030 0 1020 0 0 11因此A在E1,E2,E3,E4下的坐標(biāo)為(3, 3,2, 1)T .1-4 解：證：設(shè) k1 1 k2 2 k3 3 k4 41 11 0k41 04 1 1k1 k2 k3 k4k1k2k3k1 k3 k4k1k2k4于是k1 k2 k3 k40,k1 k2k3k1 k3 k4 0,k1 k2 k4 0解之得k1 k2 k3 k4 0故四, %, OC3, 0(4線性無關(guān).解之得ab1 111dX11 1X2 c1c0X2X

4、3X4X1 X2X3X3x1X3X4X2X4X1X2X3X4X1X3X40,X10,Xi X2X4X2X4X3x1b cd 2 a, x2X3ad,X4Xi, X2, X3 , X4即為所求坐標(biāo).1-5 解：方法一 （用線性空間理論計(jì)算）又由于p(x) 1 2x31,X2,X ,Xyi1,x1,(x1)2,(X1)3y2y3y41,X1,(X1)2,(X1)3231,X,X , X是p(x)在基1,X 1,(X 1)2,(X 1)3下的坐標(biāo)為1y1111113V2012306y3001306V4000122方法二將p(x) 1 2x3根據(jù)哥級(jí)數(shù)公式按x 1展開可得p(x) 1 2x3P (1)

5、2p (1)3p(1) p(1)(x 1) -2! (x 1)-(x 1)233 6(x 1) 6(x 1)2(x 1)因此 p(x)在基 1,x 1,(x 1)2,(x 1)3下的坐標(biāo)為 3,6,6,2T.評(píng)注：按照向量坐標(biāo)定義計(jì)算，第二種方法比第一種方法更簡(jiǎn)單一些1-6解：設(shè)法，國，自01,02,03,(X4P2 0 5 613 3 6112 1將01 , 0C2, 03, 國與自，隊(duì)自，04代入上式得1001110 0 P011010 13故過渡矩陣100110P 01 1001112 05 60133 60112 11101311設(shè)1%0y2彳（瓦區(qū)/應(yīng)）1V30V4將3, % 色,

6、04坐標(biāo)代入上式后整理得yi2V2 1V3 1V411010982713227評(píng)注：只需將的，。代入過渡矩陣的定義B，0 , 3, 04與 0（2，03 , OC4P 計(jì)算出P.1-7：因?yàn)閟pan %,政 span§,aspan %,如 §, &由于秩span %,孫自，修 3 ,且火,町自是向量出, %, 8, ®的一個(gè)極大線性無關(guān)組，所以和空間的維數(shù)是3,基為火, 0C2, 01.方法一設(shè)七span %,電。span（自，份,于是由交空間定義可知1121k1 ,k2,11012111k3k4003解之得k1l2,k2 4l2/1312。2 為任意數(shù)）

7、于是17Ek1%k2a2l25,2,3,4T （很顯然E 11 1122 ）所以交空間的維數(shù)為1,基為5,2,3, 4T.方法二不難知span %, a2span %, a2, span四，® span（自，,T r 13 c -T一，其中第 2, 2,0,1T,® ,2,1,0又span叫屹也是線性方程組3X1X2X3 2X42X3 X4的解空間.span&,自是線性方程組x213/32X32x4的解空間，容易求出其基礎(chǔ)解系為XiX2XiX2的解空間，所以所求的交空間就是線性方程組X3 2X42X3 X413-3 X3 2X42x3 X45,2,3, 4T ,所以

8、交空間的維數(shù)為 1 ,基為5,2,3,4T.評(píng)注：本題有幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)是很重要的.（1）span a1, oc2,|, ocn的基底就是 卬町I”,廝的極大線性無關(guān)組.維數(shù)等于秩 卬。2,|,與 . (2)span %, 的 span自，® span(知 的,國份 . (3)方法 一的思路，求交span的，ot20span自，份就是求向量士，既可由小,牝線性表 示，又可由丸物線性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“兩個(gè)齊次線性方程組解空間的交空間就是聯(lián)立方程組的解空間”，將本題已知條件改造為齊次線性方程組來求解.1-8 解：, 、x1 2x2 x3 x4 0(1)：解出方程組(I)的基

9、礎(chǔ)解系，即是V1的基，5x1 10x2 6x3 4x40解出方程組(n) xi x2 x3 2x4 0的基礎(chǔ)解系，即是v2的基；x1 2x2 x3 x40(2):解出方程組 5xi 10x2 6x3 4x4 0的基礎(chǔ)解系，即為Vi V2的基；xi x2 x3 2x40:設(shè)V1 span 1, | k ,V2 span J1 1，則 1,|, k, 4|, i 的極大無關(guān)組即是V1 V2的基.1-9解:仿上題解.1-10解：仿上題解.1-11 證：設(shè)l0 E 11A (9 12A 2O III lk A k 1( 9 0用A k 1從左側(cè)成式兩端，由A k(。 0可得A k 1I0A(90k 1

10、因?yàn)锳 (9 0 ,所以100 ,代入可得liA O 12A 20 "I " k1(9 0用A k2從左側(cè)乘式兩端，由A k(。0可得10 0,繼續(xù)下去，可得12 W 1k 1 0,于是已A (9,A 2O,|,A k 1()線性無關(guān).1-12解：由1-11可知，n個(gè)向量 七0,A ( Q,A 2( 9,|,A n1(9線性無關(guān)，它是V的一個(gè)基又由A "A (9,A 2(M”,A n1(即A(9,A2(9,An1(磯A(9,A2(9,An 1( 9,5000010 01 0匕A (9,A 2G),|(,A n1(磯 0 1 0 00 0所以A 在 g (9,A 2

11、(9,|“,A n1(9下矩陣表示為n階矩陣00|0010|0001III00III4kI00|0000|10評(píng)注：n維線性空間V中任何一組n個(gè)線性無關(guān)的向量組都可以構(gòu)成V的一個(gè)基,因此 沾(E),A 2(9,|,A n1(9是V的一個(gè)基.1-13 證:設(shè) 1，| r，|H，s 1，"|，m AA 1"，JU，s設(shè)1,|，,是1, "I，r,4，s的極大無關(guān)組,則可以證明i,川，是1,|,，小，s的極大無關(guān)組 1-14解：(1)由題意知A %,如 03 %,如 為A111B1,瓦 3卬孫 電011001設(shè)A 在基瓦國，區(qū)下的矩陣表示是B ,則1 1 1B P 1A

12、P 0 1 10 0 12434231231111 0 3 0 1 12150 0 1468(2)由于A 0 ,故AX0只有零解，所以A的核是零空間.由維數(shù)定理可知A 的值域是線性空間R3.1-15 解 :已知 A 1, 2, 31 , 2, 3 A 求得式1,2, 31,2, 3 P中的過渡矩陣P,則B P1AP即為所求；(2)仿教材例1.5.1.(見矩陣分析史榮昌編著.北京理工大學(xué)出版社.)1-16 解：設(shè) A 1, 2, 3，則 R(A) span 1,2,3 ；N(A)就是齊次方程組 Ax 0的解空間.1-17 證：由矩陣的乘法定義知 AB與BA的主對(duì)角線上元素相等，故知AB與BA的跡

13、相等 再由1-18 題可證.1-18 證:對(duì)k用數(shù)學(xué)歸納法證。1-19證：設(shè)A，則 A22 ,即=2，即=1 或-1。1-20證：設(shè)A，則A22，即A = 2 ,即=1 或0。1-21解：設(shè)A，一，11，其中 0,則A-11-22證：設(shè)B P1AP,則 E-BE-P 1AP = P 0 k11 0 0 e A| p E A1-23解：仿線性代數(shù)教材例題。1-24證：若k4k1k3k2k4所以k2k3k40因此滿足k1E1k2E12k3E 21k4E22的K,k2,k3,k4只能全為零，于是E11,E12,E21,E22 線性無關(guān).1-25 證：容易驗(yàn)證等式0C1020C3 = 0所以四, a2

14、, 0C3線性相關(guān).1-26證：先證：R x n中的元素1,x,x2,|,xn 1是線性無關(guān)的.設(shè)k0 1 ki xk2 X2 I" kn由于R x n中x是變量，所以欲使上式對(duì)于任何x都成立的充分必要條件是kok1 kn 10于是1,x, x2,|,xn 1線性無關(guān).對(duì)于R x n中任何一個(gè)向量(多項(xiàng)式)f(x) a。 ax a2x2 |n 1an 1xR xn均可由1,x,x2J“，xn1線性表出，這表明:1,x,x2J|,xn1 是 R xn 的基，于是 R是n維的.不難驗(yàn)證：1,x a,(x a)2,|,(x a)n 1也是R x n的一組基.因?yàn)閚a)f(x) f (a)

15、f (a)(x a) -f-(a)(x a)2 f(a) (x2!(n 1)!故f (x)在這組基下的坐標(biāo)為f(n 1)(a) (n 1)!1-27解：A的核空間就是 Ax 0的解空間，所以Ax 0的基礎(chǔ)解系就是核空間的基XA作初等行變換后得10211 02112130 130 2A212 550 00022 120 000因此Ax 0的解為X12x3 X43 cX2 X3 2x42其中X3,X4為自由變量.不難知Ax 0的基礎(chǔ)解系可以取為的(4, 3,2,0)T 一的(4, 3,2,0)TT 或T他(1, 2,0,1)T 屹(6, 7,2,2)T它們都可以作為 A的核空間的基，核空間是二維的

16、 .1-28解：設(shè)a (1,2,1,1)T在所給基 的，勾，為，供4下的坐標(biāo)為*2*3*4,故t71111匕T)kk1 %k2 02k 3 a 3 + k 4 a4k2(1,1, 1, 1) k3(1, 1,1, 1)k4(1, 1, 1,1)(ki k?卜3 k4,k k? k3 kk k2 k3 k4,k k2 k3 k4)于是有k1k2k3k41k1k2k3k42k1k2k3k41k1k2k3k41解之得511k1 4,k2 Z,k37k4所以a在所給基%, a2, a3, a4下的坐標(biāo)為(5，14 44)T1-29 解：設(shè)1 21111111 0kik2k3k,1 01 1 12 1

17、03 0 14 1 1k1k2k3k4k1k2k3k1k2k4k1k3k4于是有k1k2Kk2k1k2k1k3 k4 1k32k41k3k40解之得k1 1,k21, k30, k41所以A在已給基下的坐標(biāo)為（1,1,0, 1）T.1-30 解：因?yàn)閤 a ( a) 1 1 x(x a)2( a)2 1 2ax 1 x233223(x a) ( a) 13ax 3ax x(x a)n 1 ( a)n 1 1 (n 1)( a)n 2 x (n 1)(n 2) ( a)n 3 x2 xn 1故由 1,x,x2,|,xn 1 到 1,x a,(x a)2,1 ),(x a)n 1 的過渡矩陣為1

18、a ( a)2( a)3( a)n1012( a) 3( a)2 (n 1)( a)n 20 013( a) (n 差 2) ( a)n 3，I1-310 000|1解：將矩陣 內(nèi),%，a3,以| ft,瓦 肌自作初等行變換得%, 口2, 口3, 口43份，國，區(qū)11112121111001112 02 111130 21112220 10 0 10 0 10 00 0 0 1 00 0 11 0 11 1 10 1 0上式表明由基%, 0C2 , 0C3, 04到基自， 03,肉的關(guān)系為（為什么？）10 0 1110 1(01, & ,3，&)(<%1,<%2,O

19、C3,0(4)0 1110 0 10所以由四, %, a3, a4到自，0, B3, B4的過渡矩陣為10 0 1110 10 1110 0 10設(shè) 女 西因保,4）一在3%, 5國下的坐標(biāo)為必，丫2。3,丫4,即XV1x2y2七(,殳，'G 2(3隊(duì)3, 團(tuán)) 2X3V3(0,0,0,1)T 則X4V4其中a(1,0,0,0)T,戈(0,1,0,0)T, 33(0,0,1,0)T, E1-32 解：(1)由定理知Vi V2 span % 如 自，酎出,如8是向量組內(nèi),如日，國的極大無關(guān)組，dim(V1 V2) 3.(2)設(shè) a V10V2,即 a V1 且 a V2，于是a k10c

20、l k2 a2k3 M k4 02將孫。2,自，印的坐標(biāo)代入上式，解之得k1 0,k2 5k4,k32k433于是故它是M V2的基,5 55、ta ki oq k2 &k4（ , 5,）3 33所以V1p|v2的基為（5,5, 5,|）T,維數(shù)為1.又解交空間V1。V2的向量實(shí)質(zhì)上就是求在V2中向量k1B1 k20也能由小,。2線性表示的這部分向量，即確定 ki,k2使得秩（火, a2, k1 自，k2 份）秩（町 a2）此即2i 4kik2ii 5ki5k2ii 5ki5k20i 2ki3k233 3ki3k200 3ki2k2iikik20003kl 2k2 0,k1|k2代入k

21、i 自k2 &，, 2 c c、k2（ w自傷）k2(ii, 5 字所以 Vip|V2 的基為(5,5, 5,5)T , 3 33dim( V1V2)1.1-33解：方程組（i）與（n）的交空間就是這兩個(gè)方程組的所有公共解所構(gòu)成的空間,此即方程組XiX23X4 x5 0Xf x2 2x3 4x404xi2x26x33x44x502xi4x22x34x47x50的解空間.容易求得該方程組的基礎(chǔ)解系為(i,i,i,0,0)T,(i2,0, 5,2,6)T,它就是所求 Vi°V2 的基，dim(VipV2) 2.1-34解:（1）不難看出小,牝是線性齊次方程組X3 2xi X2x4

22、x2的基礎(chǔ)解系，方程組（I ）的解空間為Vi.而 國卜是線性齊次方程組（n）x2 2K 3x4X33x4的基礎(chǔ)解系，方程組（n）的解空間為V2.1-35解:1-36解:交空間V p|v2實(shí)質(zhì)上是（I）與（n）公共解的空間，即方程組X32XiX2x4 x2x2 2xi 3x4x33x4（田）的解空間.不難求得方程組（田）的基礎(chǔ)解系為（1, 1, 3,1）T,此即v10v2的基,維數(shù)為1.V1 V2 span %, span 0H所以 dim(V1 V2)(1,1,0)Tft0C2,3,3A1, D3,也 span on, 0C2, 05 span如函基為 四, 02 ,自.(刈(2,1,1)T2

23、 0 a區(qū)于是所求矩陣為(x2) 2x,，D(xn) nxn1求矩陣為III00IIIn n (n 1)0 10 0D -，I III0 0注 對(duì)于線T映射 D : Rxn 1 RxnD (f(x) -df(x)dx在基1,x, x2,|“，xn與基1,x,x2,|,xn 1下的矩陣表示為010HI0002III0D ,II4I000HIn0000 (n 1) (n 1)辭37-dixtd。2 X 1-2)/ 12 nX X/V /Vs s2xto,3X1 -3nX1- n1 n xto于是所求矩陣為0 01 000III 00 0 III1n (n 1) n33 .1-38解：核子空間就是求 X R滿足A (x) 0,由于X R .故XiX ( O), 0C2, 0C3)X2X3于是X1X)A (x) A (% 的, &) X2(自，5)A X2X3X3所以所求X的坐標(biāo)Xi,X2,X3應(yīng)是齊次方程組X1X2X3的解空間，求的它的基礎(chǔ)解系為x13, X22, X3 1為(5,4,4)T,因此核子空間N (A )的基是x1 四 X2 <%2X3 出 3 % 2 (%2dim N(A ) 1.N (A)的基