《正弦定理》教學(xué)設(shè)計

1、正弦定理 單位： 山西省大同市南郊區(qū)口泉中學(xué) 作者：王高翔正弦定理教學(xué)設(shè)計1、 教學(xué)內(nèi)容分析 本節(jié)課正弦定理第一課時，出自新人教A版必修5第一章第一節(jié)正弦定理和余弦定理。課程安排在“三角、向量”知識之后，是三角函數(shù)知識在三角形中的具體運(yùn)用，更是初中“三角形邊角關(guān)系”和“解直角三角形”內(nèi)容的直接延續(xù)和拓展，同時更是處理可轉(zhuǎn)化為三角形計算的其他數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)生活實(shí)際問題的重要工具。本節(jié)課的內(nèi)容共分為三個層次：第一，從實(shí)際問題導(dǎo)入，在解直角三角形的邊角關(guān)系的基礎(chǔ)上，觸碰解斜三角形的思維困惑點(diǎn)，形成疑問，激發(fā)學(xué)生探究欲望，提出斜三角形的邊角關(guān)系的猜想；第二，帶著疑問，對猜想進(jìn)行驗(yàn)證，首先對特殊的斜三角

2、形邊角關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證和實(shí)驗(yàn)探究驗(yàn)證，其次是嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明；第三，得到正弦定理，解決引例，首尾呼應(yīng)，并學(xué)以致用，簡單應(yīng)用。正弦定理其實(shí)是把“大邊對大角、小邊對小角”這一幾何關(guān)系的解析化，從三角學(xué)的歷史發(fā)展來看，三角函數(shù)其實(shí)就是有關(guān)三角形、圓的性質(zhì)的解析表達(dá)。這樣在悄無聲息中，滲透了學(xué)科發(fā)展中研究觀點(diǎn)和研究方法的嬗變。這其實(shí)是一個推陳出新的過程。通過這三個層次，探索發(fā)現(xiàn)證明，從實(shí)際中來，到實(shí)際中去。通過課堂，體會直觀感知、大膽猜想、實(shí)驗(yàn)探究、理論驗(yàn)證、實(shí)際應(yīng)用的學(xué)習(xí)過程。2、 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置1、從已有三角形知識出發(fā)，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、證明，從特殊到一般得到正弦定理，掌握正弦定理，了解正弦

3、定理的一些推導(dǎo)方法，并學(xué)會應(yīng)用正弦定理解決斜三角形的兩類基本問題；2、通過對實(shí)際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生的縝密思維；3、通過自主探究、合作交流，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱難的思維品質(zhì)和個人素養(yǎng)；4、培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角函數(shù)、正弦定理等知識之間的聯(lián)系體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。3、 學(xué)情分析 本節(jié)課內(nèi)容基本上安排在高一下學(xué)期或高二上學(xué)期講授，學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過平面幾何的相關(guān)知識，并能夠熟練地解直角三角形，必修四中也

4、剛剛學(xué)過三角函數(shù)，對于新章節(jié)的理解上不會有太大問題。雖然有一定的觀察分析能力和解決問題的能力，但是在前后知識的串聯(lián)上會有一定的難度。所以，對于教師而言，應(yīng)該提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，多設(shè)置思維引導(dǎo)點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生一起分析問題并解決問題；在問題的處理上，更加注重前后知識的串聯(lián)，用已有知識解決新問題，并得到新知識。4、 教學(xué)策略分析本節(jié)課采用問題探究式教學(xué)模式，循序漸進(jìn)，用問題驅(qū)動課堂教學(xué)，在老師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生探究、合作、交流、展示，盡可能多的質(zhì)疑、探究、討論，多參與課堂知識的生成和發(fā)現(xiàn)的過程，形成思維。5、 重難點(diǎn)分析本節(jié)課的重點(diǎn)是：正弦定理的發(fā)現(xiàn)、探究、證明以及兩類主要的應(yīng)用；本節(jié)課的難點(diǎn)是：正弦定

5、理的發(fā)現(xiàn)過程。6、 教學(xué)準(zhǔn)備 制作多媒體課件7、 教學(xué)過程分析（1） 實(shí)例引入，激發(fā)動機(jī)引例：1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，測繪人員只有皮尺和測角儀兩種工具，沒法跨河測量，利用現(xiàn)有工具，你能幫忙設(shè)計一個測量A、B兩點(diǎn)距離的方案嗎？ 問題設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生從熟知的直角三角形出發(fā)，解決實(shí)際問題，為后續(xù)處理一般三角形埋下伏筆。2、如果測量人員任意選取C點(diǎn)，,測出的距離是54m，,.問根據(jù)這些數(shù)據(jù)能解決測量者的問題嗎？根據(jù)題目中的敘述，很明顯可以抽象成這樣的一個數(shù)學(xué)模型：在中，,.求邊長.問題設(shè)計意圖：對于一般三角形，學(xué)生比較熟悉轉(zhuǎn)化為直角三角形解決，轉(zhuǎn)化化歸的思想為后續(xù)證明埋下伏筆。再看這個數(shù)學(xué)

6、問題，已知三角形的部分邊長和內(nèi)角，求其他邊長和內(nèi)角。這個問題其實(shí)是解斜三角形的邊角關(guān)系問題。但是沒有學(xué)過，我們知道在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的關(guān)系，那么我們是否能夠得到這個邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢？問題設(shè)計意圖：通過實(shí)際問題引入，能夠很好地激發(fā)學(xué)生的求知欲望。在新的問題產(chǎn)生時，學(xué)生根據(jù)已有的知識是迷茫的，有疑惑的，這個時候也正是產(chǎn)生知識缺陷，急需新知識的時候，恰如其分的勾起了學(xué)生求知的欲望。（2） 實(shí)驗(yàn)探究，驗(yàn)證猜想探究一：直角三角形邊角關(guān)系如圖：在中，是最大的角，所對的斜邊是最大的邊，探究邊角關(guān)系。在中，設(shè)，根據(jù)正弦函數(shù)定義可得：又問題設(shè)計意圖：從最特殊的直角三角形入手，作為后

7、續(xù)探究的基礎(chǔ)，也很容易得到。探究二：斜三角形邊角關(guān)系實(shí)驗(yàn)1：如圖，在等邊中，,對應(yīng)邊的邊長，驗(yàn)證是否成立？實(shí)驗(yàn)2：如圖，在等腰中，,，對應(yīng)邊的邊長，驗(yàn)證是否成立？問題設(shè)計意圖：一般斜三角型中特殊的三角形進(jìn)行驗(yàn)證，由特殊到一般，實(shí)驗(yàn)2中，也滲透了作高，求出三邊關(guān)系，為后續(xù)證明埋下伏筆。過渡：如果說這兩個特殊的三角不足以代表一切，再一般的斜三角形呢？實(shí)驗(yàn)3：借助多媒體演示，發(fā)現(xiàn)隨著三角形的任意變換，的值相等。通過這樣的一些實(shí)驗(yàn)，我們可以猜想。過渡：我們雖然通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)并借助于多媒體，得到了：對于斜三角形，。但是并沒有經(jīng)過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，那么如何證明這個結(jié)論呢？設(shè)計意圖：從已有的知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，不讓學(xué)

8、生在思維上出現(xiàn)跳躍，逐層遞進(jìn)，通過已經(jīng)熟悉的直角三角形的邊角關(guān)系的探究作為切入點(diǎn)，再對特殊的斜三角形進(jìn)行驗(yàn)證，過渡到一般的斜三角形邊角關(guān)系的探究。讓學(xué)親自體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究的過程，逐層遞進(jìn)，激發(fā)學(xué)生的求知欲和好奇心，體會到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理兩個側(cè)面。多媒體技術(shù)的引入演示，讓學(xué)生更加直觀感受到變換，加深理解。（3） 證明猜想，得到定理1、 證明方法1作高法如圖，在銳角三角形中，設(shè)。引入語言：直接處理銳角三角形沒法處理，能夠借助于已有的直角三角形，通過添加輔助線，使角和邊出現(xiàn)在直角三角形中呢？ ABCD 那么在鈍角三角形中是否成立呢？請同學(xué)們嘗試著分組自己證明一下。 學(xué)生展示。總結(jié)：我們把三角

9、形邊角關(guān)系的這條性質(zhì)稱為正弦定理（law of sines），即在任意一個三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等，即。、 過渡：多么完美的比例式，無論三角形形狀如何，三條邊與對角正弦的比值始終頑固的相等，但是比例值是多少呢？那么，在這里，除了這種平面幾何的證明方法以外，還有很多的證明方法，我們借助于三角形的外接圓，再介紹一種證明三角形正弦定理得方法。有直角三角形的推導(dǎo)過程可以看出，的比值相等，都等于，即三角形的外接圓半徑。那么對于一般的三角形呢？2、 證明方法2外接圓法ABCD 由此可得，任意三角形中，每一條邊長和對角正弦的比值都等于三角形外接圓直徑。總結(jié)：因?yàn)闀r間有限，關(guān)于正弦定理的證明到

10、此為止，有興趣的同學(xué)可以在課下進(jìn)行探索證明。通過這些實(shí)驗(yàn)和證明，我們已經(jīng)明確，在任意三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等，即。設(shè)計意圖：經(jīng)歷猜想到證明的過程，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)新知識得獲得僅僅靠猜想和演繹推理是不夠的，必須經(jīng)過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)進(jìn)行證明才可以。在這個過程中，也進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維思維品質(zhì)的提升。（4） 定理應(yīng)用，解決引例 引語：現(xiàn)在請同學(xué)們，回過頭來解決一下引例中的問題。解：根據(jù)正弦定理，得：答：兩點(diǎn)間的距離是。過渡：這樣就很好的利用了正弦定理中的三角形邊角量化關(guān)系，根據(jù)已知的量得到未知的量，這樣的數(shù)學(xué)處理過程就稱為解三角形。定義：一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫做三角形

11、的元素，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形?？偨Y(jié)：求角度也常借助于三角形的內(nèi)角和公式。設(shè)計意圖：讓學(xué)生了解三角形的概念，形成知識的完備性。回過頭來，解決引例中的問題，讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)正弦定理新知識解決實(shí)際問題的方便，激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識的欲望。（5） 學(xué)以致用，解決問題引語：根據(jù)正弦定理這個等式，如果把期中某一個量看做未知量，那么根據(jù)方程思想，我們就可以解決三角形的哪些問題呢？1、 如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一個角和另兩邊。如：；2、 如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩個角。如：; 例1：在中，已知解三角形。分析：已知三角形中兩角及一邊，求

12、其他元素，第一步可由三角形內(nèi)角和求出第三個角，再由正弦定理求其他兩邊。例2：在中，已知解三角形。分析：已知三角形兩邊與其中一邊的對角，第一步可以根據(jù)正弦定理得到B的正弦，會出現(xiàn)兩種情形，接下來就要進(jìn)行分類討論。設(shè)計意圖：讓學(xué)生解決問題，提升學(xué)習(xí)的熱情，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣。（6） 小 結(jié) 1、正弦定理的內(nèi)容（）及其證明的思想方法； 2、正弦定理的主要應(yīng)用：已知三角形的兩角及一邊，求其他元素；已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他元素； 3、轉(zhuǎn)化化歸的思想、方程的思想、分類討論的思想。 設(shè)計意圖：讓學(xué)通過自己的語言表達(dá)學(xué)習(xí)的收獲，在本節(jié)課即將結(jié)束的時候，讓學(xué)生自我總結(jié)，加深印象，培養(yǎng)學(xué)生的自我總結(jié)能力，也幫助學(xué)生重新回顧重點(diǎn)知識和數(shù)學(xué)思想。（7） 作