概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 授課時(shí)間2月9日至3月2日課時(shí)數(shù)8授課方式理論課授課單元第一章 概率論的基本概念要求與目的通過教學(xué)使學(xué)生了解概率論的基本概念理，掌握概率的常用公式（乘法公式、全概率公式及貝葉斯公式），掌握幾種概型（古典概型、幾何概型、貝努里概型）概率的計(jì)算。重點(diǎn)與難點(diǎn)(1) 重點(diǎn)是概率論的基本概念理、概率的常用公式(2) 難點(diǎn)是古典概型、幾何概型、貝努里概型概率的計(jì)算主要內(nèi)容一、基本概念隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、隨機(jī)事件、基本事件、必然事件。不可能事件，完備事件組、概率的定義、古典概型、幾何概型、條件概率、事件的獨(dú)立性二、事件的關(guān)系的關(guān)系與運(yùn)算事件的包含關(guān)系、事件的相等、并(和)事件與積(交)

2、、差事件、對(duì)立事件、互不相容事件（互斥事件）、事件的運(yùn)算法則三、常用公式1.加法公式 2.減法公式3.對(duì)立事件概率公式 4.乘法公式5全概率公式 6、貝葉斯公式7.貝努里概型教學(xué)方法講授式 講練結(jié)合參考資料概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)余長安編，武漢大學(xué)出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)吳傳生編，高等教育出版社思考題P7-4,5 p11-7 p14-13 p20-22,23 p24-26,29講 稿第一章 概率論的基本概念一、基本概念1.  隨機(jī)試驗(yàn)2. 樣本空間試驗(yàn)所有可能結(jié)果的全體是樣本空間稱為樣本空間。通常用大寫的希臘字母表示（本書用S表示）每個(gè)結(jié)果叫一個(gè)樣本點(diǎn).3隨機(jī)事件中的元素稱為樣本點(diǎn)，常用表示。

3、(1) 樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件(用A,B表示)。(2) 樣本空間的單點(diǎn)子集稱為基本事件。(3) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果在隨機(jī)事件A中，則稱事件A發(fā)生。(4) 必然事件。(5) 不可能事件。(6) 完備事件組（樣本空間的劃分）4概率的定義（公理化定義）5古典概型隨機(jī)試驗(yàn)具有下述特征：1）樣本空間的元素（基本事件）只有有限個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的；稱這種數(shù)學(xué)模型為古典概型。 =。6幾何概型 7條件概率設(shè)事件B的概率.對(duì)任意事件，稱P(A|B)=為在已知事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率。8條件概率的獨(dú)立性 A、B ,若P(AB)= P(A) P(B) 則稱事件A、B是相互獨(dú)立的，簡稱為獨(dú)立的

4、。設(shè)三個(gè)事件A,B,C滿足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 稱A,B,C相互獨(dú)立。二、事件的關(guān)系的關(guān)系與運(yùn)算.事件的包含關(guān)系若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含了A， 記作。. 事件的相等設(shè)A,B,若，同時(shí)有，稱A與B相等，記為A=B，.并(和)事件與積(交)事件 “A與B中至少有一個(gè)發(fā)生”為A和B的和事件或并事件。記作 .“A與B同時(shí)發(fā)生”這一事件為A和B的積事件或交事件。記作或.差事件 “A發(fā)生B不發(fā)生”這一事件為A與B的差事件，記作.對(duì)立事件稱“”為A的對(duì)立事件或稱為A的逆事件，記作。

5、.互不相容事件（互斥事件）若兩個(gè)事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，即，稱A與B為互不相容事件（或互斥事件）。.事件的運(yùn)算法則1)交換律 2)結(jié)合律 3)分配律 4)對(duì)偶原則 ，三、常用公式1.加法公式（1）對(duì)任意兩個(gè)事件A、B，有P()=P()+P()-P()（2）對(duì)任意三個(gè)事件A、B，C2.減法公式若AB 則P(B-A)= P(B)-P(A); P(B)P(A)P(A-B)= P(A)-P(AB) 3.對(duì)立事件概率公式對(duì)任一隨機(jī)事件A，有 P（）=1-P（A）；4.乘法公式當(dāng)時(shí): 5全概率公式定理1：設(shè) 是 一列互不相容的事件，且有,對(duì)任何事件A，有P(A)= 6、貝葉斯公式定理2：若是一列互不相容的

6、事件，且則對(duì)任一事件有兩個(gè)公式的相同點(diǎn)：相關(guān)問題都有兩個(gè)階段；兩個(gè)公式的不同點(diǎn)：全概率公式用于求第二階段某事件發(fā)生的概率，“由因求果”貝葉斯公式用于已知第二階段的結(jié)果，求第一階段某事件發(fā)生的概率，“由果求因”7.貝努里概型貝努里試驗(yàn):若試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能的結(jié)果A及，稱這個(gè)試驗(yàn)為貝努里試驗(yàn)。貝努里概型設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E具有如下特征：1）每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；2）每次試驗(yàn)有且僅有兩種結(jié)果：事件A和事件；3）每次試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的概率相同 稱試驗(yàn)E表示的數(shù)學(xué)模型為貝努里概型。若將試驗(yàn)做了n次，則這個(gè)試驗(yàn)也稱為n重貝努里試驗(yàn)。記為。設(shè)事件在n次試驗(yàn)中發(fā)生了次，則四、舉例例1.已知，求【解】 例2.已知求A,B

7、,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率?！窘狻?=例3.（摸球模型不放回用組合問題求解）在盒子中有6個(gè)球，4個(gè)白球、2個(gè)紅球，從中任取兩個(gè)（不放回）。求取出的兩個(gè)球都是白球的概率，兩球顏色相同的概率，至少有一個(gè)白球的概率?！窘狻吭O(shè)A：兩個(gè)球都是白球，B：兩個(gè)球都是紅球，C：至少有一個(gè)白球 基本事件總數(shù)為=15A的有利樣本點(diǎn)數(shù)為, P(A)=6/15=2/5 B的有利樣本點(diǎn)數(shù)為, P(B)=1/15 P(A+B)=P(A)+P(B)=7/15P(C)=1-P(B)=14/15例4. （摸球模型有放回用二項(xiàng)分布求解）在上題中，取球方法改成有放回，結(jié)果如何？【解】用表示取到白球數(shù)P(A)= P(B)= = P(A

8、+B)=P(A)+P(B)=5/9 P(C)=1-P(B)=8/9例5（抽簽原理）有個(gè)上簽，個(gè)下簽，2個(gè)人依次抽簽，采用有放回與無放回抽簽，證明每個(gè)人抽到上簽的概率都是【證】放回抽樣結(jié)論是顯然的；不放回可用全概率公式證明例6：（幾何概型）在區(qū)間(0, 1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù), 則兩數(shù)之差的絕對(duì)值小于的概率為_【解】以x和y分別表示甲乙約會(huì)的時(shí)間，則 兩人到會(huì)面出時(shí)間差不超過15分鐘 例7：某工廠有三條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一中產(chǎn)品，該3條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的20%，30%，50%，又這三條流水線的不合格品率為5%，4%，3%，現(xiàn)在從出廠的產(chǎn)品中任取一件， （1）問恰好抽到不合格品的概率為多少？ (2

9、)已知抽到不合格品，求該產(chǎn)品來自一車間的概率【解】(1)設(shè)：表示產(chǎn)品來自第i條生產(chǎn)線 ：表示抽到不合格品由題意 P(A) =0.037 (2)【點(diǎn)評(píng)】通過該題細(xì)心體會(huì)貝葉斯公式和貝葉斯公式的用法。例8甲乙兩人同時(shí)射擊同一目標(biāo)，甲命中的概率為0.6，乙命中的概率為0.5。已知已命中目標(biāo)，求是甲命中目標(biāo)的概率。【分析】咋看這個(gè)題目覺得應(yīng)用貝葉斯公式求解，但仔細(xì)分析個(gè)目中只有一個(gè)過程，應(yīng)用條件概率求解?！窘狻緼:甲命中，B:乙命中，C：命中，C=A+B=例9：一個(gè)盒子中有4件產(chǎn)品，3件一等品，1件二等品，從中任取兩件，設(shè)事件表示“第一次取到一等品”， 表示“第二次取到一等品”，求?！窘狻窟@一結(jié)果的意

10、義是明顯的例10：假定某人做10個(gè)選擇題，每個(gè)題做對(duì)的概率均為；求（1）該同學(xué)做對(duì)3道題的概率；(2) 該同學(xué)至少做對(duì)3道題的概率；【解】=1-=1-【點(diǎn)評(píng)】“至少”,通過對(duì)立事件求解。例11： 某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為p(0<p<1), 則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為(A) (B) .(C) (D) C 例12：設(shè)為隨機(jī)事件，且，則必有(A) (B) (C) (D) C 例13：設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且則必有(A) (B) (C) (D) A 教學(xué)后記教 案 授課時(shí)間3月5日至3月30日課時(shí)數(shù)8授課方式理論課授課單元第二章&

11、#160;一維隨機(jī)變量及其分布要求與目的通過教學(xué)使學(xué)生了解分布函數(shù)的概念、離散型隨機(jī)變量的分布律及其表示、一維連續(xù)型隨機(jī)變量的概念、常見分布；掌握一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布。重點(diǎn)與難點(diǎn)(1) 重點(diǎn)是分布函數(shù)的概念、離散型隨機(jī)變量的分布律及其表示、一維連續(xù)型隨機(jī)變量的概念、常見分布(2) 難點(diǎn)是一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布主要內(nèi)容一、分布函數(shù)的定義與性質(zhì)1. 隨機(jī)變量2. 分布函數(shù)二、離散型隨機(jī)變量1.概念2.分布律及其表示三、連續(xù)型隨機(jī)變量1.一維連續(xù)型隨機(jī)變量的概念2.密度函數(shù)具有下述性質(zhì)：四、常見分布五、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 教學(xué)方法

12、講授式 講練結(jié)合參考資料概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)余長安編，武漢大學(xué)出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)吳傳生編，高等教育出版社思考題P31-3 4 p36-12 13 p44-20 p48-27 第二章 一維隨機(jī)變量及其分布一、分布函數(shù)的定義與性質(zhì)1. 隨機(jī)變量定義1：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果（樣本點(diǎn)）唯一地對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，則稱實(shí)變量為隨機(jī)變量，通常用大寫字母X,Y,Z等表示隨機(jī)變量，例1：一射手對(duì)一射擊目標(biāo)連續(xù)射擊，則他命中目標(biāo)的次數(shù)為隨機(jī)變量，的可能取值為0，1，2例2：某一公交車站每隔5分鐘有一輛汽車?？?，一位乘客不知道汽車到達(dá)的時(shí)間，則侯車時(shí)間為隨機(jī)變量,的可能取值為=。例3：大炮對(duì)某一目標(biāo)射擊

13、，彈著點(diǎn)的位置，如果建立如圖所示的坐標(biāo)系，則彈著點(diǎn)就可以用一個(gè)二維坐標(biāo)（X,Y）表示出來，這時(shí)，就要用二維隨機(jī)變量來描述。2. 分布函數(shù)定義2 定義在樣本空間上，取值于實(shí)數(shù)域的函數(shù)，稱為是樣本空間上的（實(shí)值）隨機(jī)變量，并稱 是隨機(jī)變量的概率分布函數(shù).簡稱為分布函數(shù). 分布函數(shù)的性質(zhì)： （1）單調(diào)性 若則； （2） （3）右連續(xù)性 （4）二、離散型隨機(jī)變量1.概念定義3：只取有限個(gè)或可列個(gè)值的變量X為一維離散型隨機(jī)變量簡稱離散型隨機(jī)變量。2.分布律及其表示如果離散型隨機(jī)變X可能取值為()，相應(yīng)的概率 為隨機(jī)變量X的分布列，也稱為分布律，簡稱分布。（1）分布律表示方法公式法（2）分布律表

14、示方法列表法也可以用下列表格或矩陣的形式來表示，稱為隨機(jī)變量的分布律：          分布列的性質(zhì):非負(fù)性：1）規(guī)范性：2）分布函數(shù) 例1: 已知 (1)求，(2)分布函數(shù)【解】 例2：設(shè)袋中有五個(gè)球（3個(gè)白球2個(gè)黑球）從中任取兩球，X表示取到的黑球數(shù)。（1）求X的分布律；（2）為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)【解】X可能取值為0，1，2。,X的分布律 三、連續(xù)型隨機(jī)變量1.一維連續(xù)型隨機(jī)變量的概念定義1 若X是隨機(jī)變量，是它的分布函數(shù)，如果存在函數(shù)，使對(duì)任意的，有，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，相應(yīng)的為連續(xù)型分布函數(shù).同時(shí)稱

15、是的概率密度函數(shù)或簡稱為密度.2.密度函數(shù)具有下述性質(zhì)：（1）非負(fù)性（1）規(guī)范性（3） （4） （5）由式可知，對(duì)的連續(xù)點(diǎn)必有 例3：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 。（1）求A，B ， (2)求 【解】 得 ， =例4：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為 。（1） (2)分布函數(shù) （3）求 【解】 （1/6）（）四、常見分布 (1)兩點(diǎn)（0-1）分布 設(shè)離散型隨機(jī)變量的的分布列為 其中，則稱服從兩點(diǎn)分布，亦稱服從（01）分布，簡記為01）分布. (2)二項(xiàng)分布 若離散型隨機(jī)變量的分布列為 其中，則稱服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，簡稱服從二項(xiàng)分布，記為 易驗(yàn)證 顯然，當(dāng)=1時(shí)，二項(xiàng)分布就化為兩點(diǎn)分布.可見兩點(diǎn)分布

16、是二項(xiàng)分布的特例. (3)普哇松（Poisson）分布 設(shè)離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，且取各個(gè)值的概率為 其中為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的普哇松分布，記為.易驗(yàn)證 定理（普哇松定理）在重貝努里試驗(yàn)中，事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為（與試驗(yàn)總數(shù)有關(guān)）如果當(dāng)時(shí)，常數(shù)），則有 (4)幾何分布 設(shè)是一個(gè)無窮次貝努里試驗(yàn)序列中事件首次發(fā)生時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)，且可能的值為而取各個(gè)值的概率為 其中，則稱服從幾何分布.記為.易驗(yàn)證 (5)均勻分布若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為 時(shí)，則稱隨機(jī)變量服從上的均勻分布.顯然的兩條性質(zhì)滿足.其分布函數(shù)為 記為.(6)指數(shù)分布若隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 概率中稱服從參數(shù)為的

17、指數(shù)分布.而隨機(jī)變量的概率密度為 (7)正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 （*）是兩個(gè)常數(shù)，則稱設(shè)隨機(jī)變量X服從的正態(tài)分布，記為相應(yīng)的分布函數(shù)為 并且稱為正態(tài)分布，記作.如果一個(gè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是正態(tài)分布，也稱X是一個(gè)正態(tài)變量.分布常常稱為是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)通常以表示，相應(yīng)的分布函數(shù)則記作，所以 (1)是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱； （2）在，在取得最大值； （3）是的拐點(diǎn)，是的拐點(diǎn)； （4）若，則 （5）例5：設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，（1）求.（2）求常數(shù)使【解】（2），所以 ；五、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例6，已知， 求的分布列?！窘狻?.

18、一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 設(shè)為一通常的連續(xù)函數(shù)，令，其中X為隨機(jī)變量，那么Y也是隨機(jī)變量，并稱它為隨機(jī)變量X的函數(shù). （1） 例7：已知，求的概率密度?！窘狻?= 例8：已知隨機(jī)變量的概率密度為 求的概率密度。 解題步驟： （1）求出x的有效作用范圍（的范圍）， 并根據(jù) 求出Y的有效作用范圍 ;(2)當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， （3）求出概率密度?！窘狻浚?）時(shí)， ，;(2)當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，= （3）例9：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 F(x)是X的分布函數(shù). 求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù).【解】易見，當(dāng)x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=0; 當(dāng)x>8 時(shí)，F(xiàn)(x)=1.對(duì)于，有 設(shè)G(y

19、)是隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù). 顯然，當(dāng)時(shí)，G(y)=0；當(dāng)時(shí)，G(y)=1. 對(duì)于， =于是，Y=F(X)的分布函數(shù)為 例10：設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，令求的概率密度【解】 設(shè)的分布函數(shù)為，即，則1) 當(dāng)時(shí)，；2) 當(dāng)時(shí)， .3) 當(dāng)時(shí)，.4) 當(dāng)，.所以.定理 設(shè)是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為，又嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則也是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，且其密度函數(shù)為 其中 證明 不妨設(shè)是嚴(yán)格單調(diào)上升函數(shù)，這時(shí)它的反函數(shù)也是嚴(yán)格單調(diào)上升函數(shù)，于是 由此得的密度為 同理可證當(dāng)嚴(yán)格單調(diào)下降時(shí)，有 由此定理得證. 例11： 設(shè)，又，易驗(yàn)證這時(shí)定理3.1的條件滿足，又因?yàn)榈姆春瘮?shù)為，所以有

20、 由此可見.教學(xué)后記教 案授課時(shí)間4月2日至4月20日課時(shí)數(shù)6授課方式理論課授課單元第三章：多維隨機(jī)變量及其分布要求與目的通過教學(xué)使學(xué)生了解二維隨機(jī)變量的概念、分布律及其表示、分布函數(shù)、邊緣分布，條件分布、獨(dú)立性。掌握二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布。重點(diǎn)與難點(diǎn)(1) 重點(diǎn)是二維隨機(jī)變量的概念、分布律及其表示、分布函數(shù)、邊緣分布，條件分布、獨(dú)立性(2) 難點(diǎn)是二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布主要內(nèi)容一、基本概念聯(lián)合分布函數(shù)，聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)、邊緣分布函數(shù)二、離散型二維隨機(jī)變量離散型二維隨機(jī)變量的分布律、分布函數(shù)、邊緣分布，條件分布、獨(dú)立性三、連續(xù)型二維隨機(jī)變量連續(xù)型二維隨機(jī)變量的分布律、分布函數(shù)、邊緣分布，條件

21、分布、獨(dú)立性四、二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布教學(xué)方法講授式 講練結(jié)合參考資料概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)余長安編，武漢大學(xué)出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)吳傳生編，高等教育出版社思考題P58-4 p68-8（1） p75-11 第三講：多維隨機(jī)變量及其分布一、基本概念1聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)（）是二維離散型隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，二維隨機(jī)變量（）的聯(lián)合分布函數(shù)。2.聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)（1）單調(diào)性關(guān)于x(y)單調(diào)不減；（2）,；(3) 關(guān)于x(y)右連續(xù)；(4)3邊緣分布函數(shù)設(shè)（）是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為，則，二維隨機(jī)變量（）的邊緣分布函數(shù)。二、離散型二維隨機(jī)變量1

22、. 離散型二維隨機(jī)變量的分布律設(shè)是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，它們一切可能取的值為令 稱是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布. 二維聯(lián)合分布的三個(gè)性質(zhì)： 2. 離散型二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) 3. 離散型二維隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)二維隨機(jī)變量（）的聯(lián)合概率分布=中對(duì)固定的關(guān)于求和而得到 4. 離散型二維隨機(jī)變量的條件對(duì)于固定的若，稱為在的條件下，隨機(jī)變量的條件概率. 同樣定義為在的條件下，隨機(jī)變量的條件概率. 條件概率符合概率的性質(zhì) 5. 離散型二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布列與邊緣分布為：， 定理1：離散型隨機(jī)變量獨(dú)立的充分必要條件是對(duì)于任意的都有 例1 從1，2，3，4種任取一個(gè)記為

23、，在從1種任取一個(gè)記為，(1)求二維隨機(jī)變量（）的聯(lián)合分布律 XY123411/400021/81/80031/121/12/1/12041/161/161/161/16(2)求二維隨機(jī)變量（）的邊緣分布律。 (3)求的條件下，X的概率分布(4) 隨機(jī)變量獨(dú)立嗎？ 不獨(dú)立。例2 ，且，求隨機(jī)變量（）的聯(lián)合分布律及。X Y 0 101 0.3 0.2 0.1 0.40.50.5 0.4 0.6例3 已知X,Y獨(dú)立，完成下表： X Y 1 2 312 例4 已知（X,Y）的分布律為： X Y 0 112 0.4 a b 0.1已知獨(dú)立，求a,b三、連續(xù)型二維隨機(jī)變量1定義與性質(zhì)如果聯(lián)是一個(gè)合分布函

24、數(shù)，若存在函數(shù)，使對(duì)任意的，有 成立，則稱是一個(gè)連續(xù)型的聯(lián)合分布函數(shù)，并且稱其中的是的聯(lián)合概率密度函數(shù)或簡稱為密度.如果二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)是連續(xù)型分布函數(shù)，就稱是二維的連續(xù)型隨機(jī)變量.密度函數(shù)的性質(zhì)：由分布函數(shù)的性質(zhì)可知，任一二元密度函數(shù)必具有下述性質(zhì)：反過來，任意一個(gè)具有上述兩個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)，必定可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù).此外，密度函數(shù)還具有性質(zhì)：（3）若在點(diǎn)連續(xù)，是相應(yīng)的分布函數(shù)，則有 （4）若是平面上的某一區(qū)域，則 2連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布若（）聯(lián)合分布函數(shù)已知，那么，它的兩個(gè)分量X與Y的分布函數(shù)稱為邊際分布函數(shù)可由聯(lián)合分布函數(shù)求得，概率密度 3. 連續(xù)型隨機(jī)變量條

25、件分布 若（）概率密度為，邊緣概率密度，稱 為在的條件下，隨機(jī)變量的條件概率密度.類似地，稱 為在的條件下，隨機(jī)變量的條件概率密度.設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布為，如果對(duì)任意的都 則稱是獨(dú)立的4.隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布為，如果對(duì)任意的都 則稱是獨(dú)立的定理2：如果是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則X與也都是連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的Y密度函數(shù)分別為，這時(shí)容易驗(yàn)證X與Y獨(dú)立的充要條件為： 幾乎處處成立。說明：(1)或點(diǎn)點(diǎn)成立，則X與Y獨(dú)立。 (2)X與Y獨(dú)立,則點(diǎn)點(diǎn)成立不一定點(diǎn)點(diǎn)成立。 (3)在個(gè)別點(diǎn)，則X與Y可能還獨(dú)立；在一點(diǎn)，則X與Y一定不獨(dú)立。例1：已知隨機(jī)變兩（X,Y）的概率密度為(1)求A (2

26、)求分布函數(shù) 當(dāng)時(shí)， 其他， （3）求 (4) 求邊緣概率密度 (5) 求條件概率密度 當(dāng)時(shí)，不存在； 當(dāng)時(shí)，(6) 求 (7)獨(dú)立嗎？點(diǎn)點(diǎn)成立，則X與Y獨(dú)立。例2：已知隨機(jī)變量（X,Y）時(shí)區(qū)域D上的分布，D由圍成，問X,Y是否獨(dú)立？解： 同理： 所以X,Y不否獨(dú)立。例3：甲乙兩人到達(dá)同一地點(diǎn)的時(shí)間X,Y服從7,8上的均勻分布，X,Y獨(dú)立，求X，Y的差不超過小時(shí)的概率。 X,Y獨(dú)立例4若二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 （ ）則稱服從二維正態(tài)分布，記作 。說明：（1）二維正態(tài)分布的邊緣分布是一維正態(tài)分布，； （2）二維隨機(jī)變量的邊緣分布都是是一維正態(tài)分布，則不一定服從二維正態(tài)分布；（3）是相關(guān)

27、系數(shù)，獨(dú)立的充分必要條件是； （4），且獨(dú)立，則 四、二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1已知二維隨機(jī)變量的分布為X Y121 1/41/621/31/4求：(1) (2) (3) 解：(1) (2) (3) 2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布已知（）聯(lián)合概率密度，求的概率密度。這類問題主要通過分布函數(shù)法求解。具體過程如下：(1)劃出的區(qū)域D；(2)作等值線(3)平行移動(dòng)等值線，尋找等值線與D相交的關(guān)鍵點(diǎn)。(4)當(dāng)時(shí)，=0,  當(dāng)時(shí)，=1, 當(dāng)時(shí) (5) 例2設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 求： 的概率密度解：令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， =; 3) 當(dāng)時(shí)

28、，即分布函數(shù)為： 故所求的概率密度為：例3X,Y獨(dú)立且都服從0,1上的均勻分布，求的概率密度。 解： X,Y獨(dú)立，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， =;當(dāng)時(shí)， 例4練習(xí)冊(cè) 10題例5設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 求： 的概率密度例6設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其中X的概率分布為，而Y的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度.解： (因?yàn)閄與Y獨(dú)立) 例7 的分布；設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，分別是他們的分布函數(shù)，求解：= 教學(xué)后記教 案 授課時(shí)間4月23日至5月11日課時(shí)數(shù)6授課方式理論課授課單元第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征要求與目的通過教學(xué)使學(xué)生了解隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

29、的概念，掌握數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的求法。重點(diǎn)與難點(diǎn)(1) 重點(diǎn)是數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念與求法(2) 難點(diǎn)是協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念與求法主要內(nèi)容一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1數(shù)學(xué)期望的定義2隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望3.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 二、方差1.方差的定義常用的計(jì)算方差的公式 2方差的性質(zhì) 3.常見分布的方差三、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)1.隨機(jī)變量的協(xié)方差2.二維隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)教學(xué)方法講授式 講練結(jié)合參考資料概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)余長安編，武漢大學(xué)出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)吳傳生編，高等教育出版社思考題P89-4 p97-15 p102-21 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、隨機(jī)變

30、量的數(shù)學(xué)期望1數(shù)學(xué)期望的定義定義:(1)若離散型隨機(jī)變量可能取值為其分布列為，則當(dāng)時(shí)，稱存在數(shù)學(xué)期望，并且數(shù)學(xué)期望為. (2) 設(shè)是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為，當(dāng)時(shí),稱的數(shù)學(xué)期望存在，記作。 2隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 (1)若是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，如果，則有，(2)若是連續(xù)性隨機(jī)變量，密度函數(shù)為，且 ，則有 (3)若是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布列為 ， (4)設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為， 3.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) (1)若是一個(gè)常數(shù)，則.(2)若存在，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)、，存在且 (3)若是相互獨(dú)立的且存在，則存在且 4常見幾種分布的數(shù)學(xué)期望（1）兩點(diǎn)分布的期望（2）二項(xiàng)分

31、布的期望所以（3）普哇松分布的數(shù)學(xué)期望 (4) 均勻分布的數(shù)學(xué)期望 .(5) 指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望設(shè)的密度函數(shù)是參數(shù)為的指數(shù)分布，求.解 (6)正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望例1:已知,求 例2設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 (1)求解法1, 解法2, (2) 求 =二、方差1.方差的定義定義：設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望存在，如果存在，則稱為隨機(jī)變量的方差，并記作. 方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差或根方差，在實(shí)際問題中標(biāo)準(zhǔn)差用得很廣泛。 常用的計(jì)算方差的公式 2方差的性質(zhì) （1）若是常數(shù)，則；（2）若是常數(shù)，則；(3) （4）若相互獨(dú)立且存在，則存在且 性質(zhì)（4）可以推廣到維隨機(jī)變量的情形,并且 3.常

32、見分布的方差(1)兩點(diǎn)分布的方差 ，(2) 普哇松分布的方差 (3) 均勻分布的方差 (4) 指數(shù)分布的方差 (5)二項(xiàng)分布的方差 (6)正態(tài)分布的方差設(shè)X服從分布，求例1:已知,求 例2設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 求 三、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)1.隨機(jī)變量的協(xié)方差 定義 若是一個(gè)二維隨機(jī)變量，稱為與的協(xié)方差，并記作，即 公式： 由協(xié)方差的定義即知它具有下述性質(zhì)： (1) 0(2) 對(duì)稱性：(3)線性性： ；(4) (5)若X,Y獨(dú)立，則2.二維隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)定義，若是一個(gè)二維隨機(jī)變量，則稱為隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù) 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)（1）；（2），當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)，使得； 說明：(1)時(shí)，

33、稱與不相關(guān)，時(shí)，稱與正相關(guān)，時(shí)，稱與負(fù)相關(guān) (2)若X,Y獨(dú)立，則相關(guān)系數(shù)。反過來，關(guān)系數(shù)，X,Y不一定獨(dú)立。(3)二維正態(tài)分布中的為X,Y的相關(guān)系數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)X,Y獨(dú)立。例1: 二維隨機(jī)變量的概率分布為：0 1 0 1 求：與的相關(guān)系數(shù) ; 解：因?yàn)?，所以與的相關(guān)系數(shù)例2已知隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為,求解： = = = 例3設(shè)， ，X,Y相互獨(dú)立，令，求。解： （X與Y獨(dú)立） 例4設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且，令 求：（I）二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相關(guān)系數(shù)解:（I） 由于， 所以， ， ， =（或），故(X,Y)的概率分布為 Y X 0 1 0 1 (II) X,

34、 Y的概率分布分別為 X 0 1 Y 0 1 P P 則，DY=, E(XY)=,故 ，從而 例5: 已知，求，。解: ， =0例6: 設(shè)隨機(jī)變量，令 <1>求 <2> 解: () , , 同理， 的取值為-1，1 = = 教學(xué)后記概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)題1. 如果隨機(jī)事件滿足, 則稱為對(duì)立事件.2. 如果隨機(jī)事件滿足, 則稱為互不相容.3.設(shè)件為3個(gè)隨機(jī)事件, 試用事件” 發(fā)生, 與不發(fā)生”可表示為.4.設(shè)事件,且, , 則概率.5. 設(shè)事件與互不相容, 且, 則概率.6. 設(shè)事件與互不相容, 且, 則概率. 1 7. 設(shè)為2個(gè)隨機(jī)事件, 則. A. B.

35、 C. D B 8. 設(shè)為2個(gè)隨機(jī)事件, 則下列不正確的是. D A. B. C. 若,則 D. 9. 設(shè)事件滿足, 則下列中正確的是.A. B. C. D B 10. 設(shè)為2個(gè)隨機(jī)事件, 滿足,則下列中正確的是 . A. 與必同時(shí)發(fā)生 B. 發(fā)生必發(fā)生 C. 不發(fā)生必不發(fā)生 D. 不發(fā)生必發(fā)生 C 11.設(shè)在15只同類型的零件中有2只是次品, 現(xiàn)從中任取3只, 則所取的零件中有2只次品的概率為.12.從52張撲克牌(無王牌)中任取13張, 則其中有5張黑桃, 3張紅心, 3張方塊, 2張草花的概率為.13.一袋中裝有3個(gè)紅球, 2個(gè)白球, 現(xiàn)從中任取2個(gè)球, 則在這2個(gè)球中, 恰好有1個(gè)紅球

36、1個(gè)白球的概率是.14.拋擲3枚均勻的硬幣, 恰好有2枚正面向上的概率為.15.袋中有10只紅球, 7只白球, 從中陸續(xù)取3只, 取后不放回, 則這3只球依次為紅白紅的概率為.16.設(shè)袋中有編號(hào)分別為1 , 2 , , 10的球, 從中任取一個(gè), 觀察編號(hào). 求編號(hào)不超過5的概率. 求編號(hào)是奇數(shù)的概率. 求兩事件和的概率. 解: 17.從數(shù)1, 2, , 中任取兩個(gè), 求它們的和是偶數(shù)的概率. 解: 為偶數(shù)時(shí), 為奇數(shù)時(shí), 18. 在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取三個(gè)不同的數(shù), 則取到的三個(gè)數(shù)不含0和5的概率為A. B. C. D A 19. 設(shè)隨機(jī)事件滿足: , 則 D A.

37、互為對(duì)立事件 B. 互不相容 C. 一定為不可能事件 D. 不一定為不可能事件 20. 設(shè)隨機(jī)事件互不相容, 且, , 則 C A. B. C. D. 21. 設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)事件, 且, , 則 B A. 互不相容 B. C. D. 22. 設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)事件, 且, , 求概率解: , .23. 設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)事件, 且, , 求概率解: , .24. 有兩箱同種類的零件, 第一箱裝50只, 其中10只一等品; 第二箱裝30只, 其中10只一等品. 今從兩箱中任取一箱, 然后從該箱中取零件兩次, 每次任取一只, 作不放回抽樣. 求(1)第一次取到一等品的概率; (2)在第一次取到一等品的條件下,

38、第二次取到一等品的概率.解: 設(shè)用表示”第次取到一等品” , 用表示”第箱被取到”, 則, , , .(1) .(2). .25. 有兩箱同種類的零件, 第一箱裝50只, 其中10只一等品; 第二箱裝30只, 其中18只一等品. 今從兩箱中任取一箱, 然后從該箱中取一個(gè)零件. (1) 求該零件是一等品概率. (2)若該零件是一等品, 求該零件是從第二箱中取出的概率.解: 設(shè)用表示”取到的零件是一等品”, 用表示”第箱被取到”, 則, , , .(1) .(2) .26. 設(shè)一箱產(chǎn)品60件, 其中次品6件, 現(xiàn)有一顧客從中隨機(jī)買走10件, 則下一顧客買走一件產(chǎn)品買到次品的概率為.27. 設(shè)隨機(jī)事

39、件相互獨(dú)立, 且, , 則28. 設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)事件, 則下列中不正確的是 C A. 相互獨(dú)立時(shí), B. 時(shí), C. 互不相容時(shí), D. 時(shí), 29. 甲乙兩人對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊, 兩人擊中飛機(jī)的概率分別為0.5, 0.8, 飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.4, 飛機(jī)被兩人擊中而被擊落的概率為0.6. 假設(shè)甲乙兩人射擊是相互獨(dú)立的, 求飛機(jī)被擊落的概率.解: 設(shè)用表示“飛機(jī)被擊落”, 用表示“甲擊中飛機(jī)”, 用表示“乙擊中飛機(jī)”., , , , , . .30. 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為, 則常數(shù).31. 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布, 且, 則 5/2 32. 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為, 則.33.

40、將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子, 求杯子中球的個(gè)數(shù)最大值的分布律.解: 設(shè)用表示“杯子中球的個(gè)數(shù)最大值”. , , .34. 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布, 則必有 B A. 取整數(shù)值 B. C. D. 35. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 則常數(shù) _-1/2 .36. 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則.37. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 則常數(shù).38. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 其中, 且概率, 求常數(shù),的值.解: 一方面, 另一方面, 所以.一方面, 另一方面, 所以.得方程組 解得.40. 設(shè)隨機(jī)變量, 且, 則的值為 A A. . B. . C. . D. . 41. 設(shè)隨機(jī)變量, 則概率的值 D A. 與

41、有關(guān), 但與無關(guān). B. 與無關(guān), 但與有關(guān).C. 與和均有關(guān). D. 與和均無關(guān). 42. 設(shè)隨機(jī)變量, 對(duì)于給定的, 數(shù)滿足. 若, 則等于 B A. . B. . C. . D. . 43. 設(shè)隨機(jī)變量, 且. 求.解: 由于, 所以. 設(shè)其分布函數(shù)為. ,由于, 所以, 解得. .44. 設(shè)隨機(jī)變量服從指數(shù)分布, 且. 求概率.解: 由于服從指數(shù)分布. 所以其分布函數(shù)為.由于, 所以. .45. 設(shè)隨機(jī)變量, 現(xiàn)對(duì)進(jìn)行5次獨(dú)立觀測(cè), 設(shè)表示: 在5次觀測(cè)中, 的值大于1的次數(shù). 試求的分布律.解: 由于, 所以其分布函數(shù)為.隨機(jī)變量是服從,的二項(xiàng)分布: 46. 設(shè)隨機(jī)變量, 求的分布函數(shù); 函數(shù)的概率密度; 概率與.解: 由于, 所以的概率密度函數(shù)為 . .47. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求函數(shù)的概率密度. 解: 48. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 則常數(shù).49. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為