概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)多維隨機(jī)變量及其分布習(xí)題解答

1、習(xí)題3-11、設(shè)的分布律為 12求。解：由分布律的性質(zhì)，得，即，解得，。注：考察分布律的完備性和非負(fù)性。2、設(shè)的分布函數(shù)為，試用表示：（1）；（2）；（3）。解：根據(jù)分布函數(shù)的定義，得（1）；（2）；（3）。3、設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，分布律如下： 123410020300試求：（1）；（2）；（3）。解：由的分布律，得（1）；（2）；（3）。4、設(shè)X，Y為隨機(jī)變量，且，求。解：。注：此題關(guān)鍵在于理解表示，然后再根據(jù)概率的加法公式。5、只取下列數(shù)值中的值：，且相應(yīng)概率依次為，。請(qǐng)列出的概率分布表，并寫出關(guān)于的邊緣分布。解：（1）根據(jù)的全部可能取值以及相應(yīng)概率，得的概率分布表為 （2）根據(jù)的

2、邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系，得 所以，的邊緣分布為6、設(shè)隨機(jī)向量服從二維正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為，求。解：由圖形對(duì)稱性，得，故。注：本題的求解借助與圖形的特點(diǎn)變得很簡(jiǎn)單，否則若根據(jù)概率密度函數(shù)的性質(zhì)3進(jìn)行求解會(huì)相對(duì)復(fù)雜些。7、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，（1）確定常數(shù)；（2）求；（3）求；（4）求。分析：利用，再化為累次積分，其中解：（1）由概率密度函數(shù)的完備性，得，解得。（2）；（3）；（4）。8、已知和的聯(lián)合密度為，試求：（1）常數(shù)；（2）和的聯(lián)合分布函數(shù)。解：（1）由概率密度函數(shù)的完備性，得，解得。（2）。9、設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求邊緣概率密度。解：。10、設(shè)在曲線，所圍成的區(qū)域內(nèi)服從

3、均勻分布，求聯(lián)合概率密度和邊緣概率密度。解：據(jù)題意知，區(qū)域的面積為，由于在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，故的概率密度函數(shù)為。，。注：此題求解首先必須畫出區(qū)域的圖形。然后根據(jù)圖形確定積分上下限。習(xí)題3-21、二維隨機(jī)變量的分布律為 （1）求的邊緣分布律；（2），；（3）判定與是否獨(dú)立？解：（1）由邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系，知 所以，的邊緣分布律為（2），；（3）根據(jù)二維隨機(jī)變量的分布律可知其邊緣分布律 由于，所以與不獨(dú)立。2、將某一醫(yī)藥公司9月份和8月份的青霉素制劑的訂貨單數(shù)分別記為與。據(jù)以往積累的資料知，和的聯(lián)合分布律為 5152535455510.060.050.050.010.01520.070.0

4、50.010.010.01530.050.100.100.050.05540.050.020.010.010.03550.050.060.050.010.03(1)求邊緣分布律；（2）求8月份的訂單數(shù)為51時(shí)，9月份訂單數(shù)的條件分布律。解：（1）由聯(lián)合分布律與邊緣分布律的關(guān)系，得 5152535455510.060.050.050.010.010.18520.070.050.010.010.010.15530.050.100.100.050.050.35540.050.020.010.010.030.12550.050.060.050.010.030.200.280.280.220.090.1

5、3（2），8月份的訂單數(shù)為51時(shí)，9月份訂單數(shù)的條件分布律為51525354553、已知的分布律如表所示， 01201/41/80101/3021/601/8求：（1）在的條件下，的條件分布律；（2）在的條件下，的條件分布律。 解：根據(jù)聯(lián)合分布律可得邊緣分布律，如下： 01201/41/803/8101/301/321/601/87/245/1211/241/8（1）根據(jù)上表，可得，所以，在的條件下，的條件分布律為（2）根據(jù)上表，可得，所以，在的條件下，的條件分布律為4、已知的概率密度函數(shù)為，求：（1）邊緣概率密度函數(shù)；（2）條件概率密度函數(shù)。解：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。注：此題求解時(shí)最

6、好畫出聯(lián)合密度函數(shù)不為零時(shí)的區(qū)域，以便準(zhǔn)確的確定自變量的取值或積分上下限。5、設(shè)與相互獨(dú)立，其概率分布如表所示，-2-101/21/41/31/121/3 -1/2131/21/41/4求的聯(lián)合概率分布，。解：由于與相互獨(dú)立，故對(duì)任意，有，所以，的聯(lián)合概率分布為 -1/213-21/81/161/161/4-11/61/121/121/301/241/481/481/121/21/61/121/121/31/21/41/4，。6、某旅客到達(dá)火車站的時(shí)間均勻分布在早上7：558：00，而火車這段時(shí)間開出的時(shí)間的密度函數(shù)為，求此人能及時(shí)上火車的概率。解：令7：55看作時(shí)刻0，以分為單位，故，即的概

7、率密度函數(shù)為，而與相互獨(dú)立，故的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，所以，此人能及時(shí)上火車的概率為。7、設(shè)隨機(jī)變量與都服從分布，且與相互獨(dú)立，求的聯(lián)合概率密度函數(shù)。解：據(jù)題意知，由于隨機(jī)變量與都服從分布，所以與的概率密度函數(shù)分別為，又由于與相互獨(dú)立，即，故的聯(lián)合概率密度函數(shù)為。8、設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且分別服從二項(xiàng)分布與，求證：。證：據(jù)題意知，故與的分布律分別為，又由于與相互獨(dú)立，故，。9、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，問：與是否相互獨(dú)立?解：【法一】任意給定所以，因而與不獨(dú)立?！痉ǘ咳襞c相互獨(dú)立，則對(duì)任意，有，而，即，所以，解得，或，很顯然這是不成立的，故與不是相互獨(dú)立的。10、設(shè)和是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，

8、。（1）求與的聯(lián)合概率密度；（2）設(shè)有的二次方程，求它有實(shí)根的概率。解：因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以，又相互?dú)立，所以（1）（2）所求概率為。習(xí)題3-31、設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且都等可能地取為值，求隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布。解：由題意，和的分布律為X（Y）123pk1/31/31/3可見，下求（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，（3）當(dāng)時(shí)，所以得到關(guān)于，的聯(lián)合分布律為V U1231231/9002/91/902/92/91/93、設(shè)，且求和的聯(lián)合概率分布。解：由題意，所以，和的聯(lián)合概率分布為 0101/4011/41/24、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為，求的密度函數(shù)。解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以5、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為（1

9、）問和是否相互獨(dú)立？（2）求的密度函數(shù)。解：（1），由、的對(duì)稱性得，因?yàn)?，所以和不?dú)立。（2），由的表達(dá)形式知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，也即時(shí)，所以，。7、設(shè)和為兩個(gè)隨機(jī)變量，且求 解： 。8、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為（1）試確定常數(shù)；（2）求邊緣概率密度fX (x)，fY (y)；（3）求函數(shù)的分布函數(shù)。解：（1）有概率密度函數(shù)的性質(zhì)，得解得，。 （2）， ；（3），當(dāng)時(shí)， 當(dāng)，當(dāng)，所以，的分布函數(shù)為。10、設(shè)和為相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，且服從同一分布，試證明：證：設(shè)，則，而由于和為相互獨(dú)立且服從同一分布，所以，所以。總習(xí)題三1、在一箱子中裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，在其中隨機(jī)地取兩次，每次任取一只。

10、考慮兩種試驗(yàn)：（1）有放回抽樣，（2）不放回抽樣。我們定義隨機(jī)變量如下：；。試分別就（1），（2）兩種情況，寫出和的聯(lián)合分布律。解：（1）有放回抽樣情況由于每次取物是獨(dú)立的。由獨(dú)立性定義知。， ， ，或?qū)懗?101（2）不放回抽樣的情況或?qū)懗?1012、假設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，隨機(jī)變量 （），求的聯(lián)合分布律與邊緣分布律。解：據(jù)題意知，的概率密度函數(shù)為，的分布函數(shù)為， （）相當(dāng)于，所以，的全部可能取值為，且，故的聯(lián)合分布律為1201010根據(jù)聯(lián)合分布律與邊緣分布律的關(guān)系，得1201010注：此題在求解時(shí)根據(jù)數(shù)軸的表示會(huì)容易些。3、在元旦茶話會(huì)上，發(fā)給每人一袋水果，內(nèi)裝3個(gè)橘子，2個(gè)蘋果

11、，3個(gè)香蕉。今從袋中隨機(jī)抽出4個(gè)，以記橘子數(shù)，記蘋果數(shù)，求的聯(lián)合分布。解：的全部可能取值為，的全部可能取值為，且，所以，的聯(lián)合分布律為0123001204、設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，表列出了二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于與的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處：1解：據(jù)題意知，有，即，解得，又因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以，即，解得，又因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以，即，解得，又因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以，即，解得，有，即，解得，有，即，解得，有，即，解得，而，即，即15、設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如表，-1011/41/421/6求：（1）值；（2）的聯(lián)合分布函數(shù)；（3）關(guān)于的邊緣分布函數(shù)。解：（1）由聯(lián)合分布

12、律的性質(zhì)，知，解得；（2）；（3），。注：在邊緣分布函數(shù)求解中，注意尋找聯(lián)合分布函數(shù)中另一個(gè)自變量取值為的項(xiàng)即可。6、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，求：（1）系數(shù)；（2）。解：（1）由概率密度函數(shù)的完備性，得，解得。 （2）。7、設(shè)，求和。解：首先將聯(lián)合密度函數(shù)中不為零的的取值畫坐標(biāo)圖形，。注：此題確定積分上下限和自變量的取值必須結(jié)合坐標(biāo)圖形進(jìn)行。8、若的分布律如表所示，則應(yīng)滿足的條件是 ，若與獨(dú)立，則 ， 。12311/61/91/1821/3解：據(jù)聯(lián)合分布律的性質(zhì)，知，解得，；由聯(lián)合分布律可得邊緣分布律，即12311/61/91/181/321/31/2若與獨(dú)立，則，故，即，解得，即，解得。

13、綜上，應(yīng)滿足的條件是，若與獨(dú)立，則，。9、設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，（1）確定常數(shù)；（2）求的邊緣概率密度函數(shù)；（3）求聯(lián)合分布函數(shù)；（4）求；（5）求條件概率密度函數(shù)；（6）求。解：（1）由概率密度函數(shù)的完備性，得，解得；（2），；（3）；（4）；（5）當(dāng)時(shí)，；（6）.10、設(shè)隨機(jī)變量以概率1取值為0，而是任意的隨機(jī)變量，證明與相互獨(dú)立。證：據(jù)題意知，所以的分布函數(shù)為，設(shè)的分布函數(shù)為，的聯(lián)合分布函數(shù)為， 當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，有，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，有所以，即與相互獨(dú)立。11、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的兩個(gè)分量和相互獨(dú)立，且服從同一分布。試證：。證：【法一】利用對(duì)稱性，由于和相互獨(dú)立，故，而，所以，?！?/p>

14、法二】由于和相互獨(dú)立，所以，而且和服從同一分布，所以，。12、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為若和相互獨(dú)立，求參數(shù)的值。 解：由聯(lián)合分布律可得邊緣分布律1由于和相互獨(dú)立，故，即，解得；，即，將代入，解得；又由于分布律的完備性，將，代入，解得。13、已知隨機(jī)變量和的概率分布為 且。（1）求和的聯(lián)合分布律；（2）問和是否獨(dú)立？解：由于，根據(jù)對(duì)立事件的概率，得，即。而已知隨機(jī)變量和的概率分布即為和的邊緣分布律，所以和的聯(lián)合分布律和邊緣分布律可表示為1/2001/21/41/21/4而根據(jù)邊緣分布律與聯(lián)合分布律的關(guān)系，得，即，解得，即，解得，即，解得，即，解得。所以，和的聯(lián)合分布律為1/401/41/20

15、1/201/21/41/21/4（2）由于，故和不獨(dú)立。14、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為，求：（1）與的邊緣概率密度；（2）求條件概率密度，并問與是否獨(dú)立？解：（1），；（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由于，所以與不獨(dú)立。15、設(shè)的分布律如表所示，求：1/102/103/102/101/101/10（1）；（2）的分布律。解：（1）的全部可能取值為，且，所以，的分布律為341/102/105/101/101/10（2）的全部可能取值為，且， ，所以，的分布律為21/102/107/1016、設(shè)的概率密度為，求的概率密度。解：由和的分布，得,被積函數(shù)不為零當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以，。注：被積函數(shù)不為零的部分必須畫坐標(biāo)，通過坐標(biāo)圖形確定自變量的取值以及積分上下限。17、設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且概率密度函數(shù)分別為求：（1）常數(shù)；（2）隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。解：（1