關(guān)于冪指函數(shù)的極限與導(dǎo)數(shù)的求法（Word）

1、目 錄目 錄0摘 要1Abstract21.冪指函數(shù)的概念32.冪指函數(shù)的求極限32.1 ，的極限均為有限常數(shù)，即型的極限求法32.2 利用重要極限42.3 應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限62.4 用等價(jià)無窮小72.4.1 中的等價(jià)無窮小代換72.4.2 中的等價(jià)無窮小代換82.4.3 中的等價(jià)無窮小代換.92.5 利用微分中值定理103.冪指函數(shù)的求導(dǎo)113.1 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法113.2 對數(shù)求導(dǎo)法123.3 多元函數(shù)求導(dǎo)法13總 結(jié)16參考文獻(xiàn)170 / 18摘 要 本文主要討論了冪指函數(shù)，型極限的求法，同時(shí)對冪指函數(shù)求導(dǎo)法作了探索，總結(jié)出復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，對數(shù)求導(dǎo)法，多元函數(shù)求導(dǎo)法，并給出相應(yīng)的例子

2、。 關(guān)鍵詞：冪指函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；極限AbstractThis paper mainly discussed the exponential function, and the method to limit type, and the exponential function derivation method of method, sums up the composite function derivation method, logarithmic derivation method, multivariate function derivation method, and give som

3、e examples. Keywords: exponential function; limit; derivation 1.冪指函數(shù)的概念 將形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù)。也就是說，它既像冪函數(shù)，又像指數(shù)函數(shù)，二者的特點(diǎn)兼而有之。作為冪函數(shù)，其冪指數(shù)確定不變，而冪底數(shù)為自變量；相反地，指數(shù)函數(shù)卻是底數(shù)確定不變，而指數(shù)為自變量。冪指函數(shù)就是冪底數(shù)和冪指數(shù)同時(shí)都為自變量的函數(shù)。這種函數(shù)的推廣，就是廣義的冪指函數(shù)。 2.冪指函數(shù)的求極限 冪指函數(shù)的極限類型很多，有確定型和不定式之分。不定式有型，型，型,型，型，在這里只討論冪指函數(shù)型，型，型這三種類型不定式的求極限問題。對這三種類型不定式進(jìn)行全面探討，

4、將局限于分式型不定式的等價(jià)無窮小代換定理，無窮小比較定理和洛必達(dá)法則，微分中值定理,重要極限推廣到冪指型不定式的所有類型中，從而在理論上較系統(tǒng)的解決了冪指型不定式極限求解問題。 2.1 ，的極限均為有限常數(shù)，即型的極限求法定理1 存在有限的極限，且A>0,則有 證明： 令，由A>0，兩邊取對數(shù)得：從而 由復(fù)合函數(shù)求極限法則知： 上述命題對， 的情況同樣成立，且證明類似。但是，當(dāng)A或（和）B不是有限常數(shù)，或A不大于0時(shí)，上述命題不成立。例1 求極限.解： 因?yàn)?，由上述定?，得：例2 求極限.解： 因?yàn)椋缮鲜龆ɡ?，得： 2.2 利用重要極限 對型未定式極限問題，考慮利用重要極限及

5、其變形公式求極限。例3 求極限.解: 例4 求極限.解： 對于一般具有較復(fù)雜形式的型未定式極限問題，可以考慮用如下的定理簡化計(jì)算過程。定理2 設(shè)有連續(xù)函數(shù)和，在自變量的某個(gè)變化過程中，則證明： 應(yīng)用定理2解例（2）的解法如下：因此，應(yīng)用定理2可以簡化型未定式極限的計(jì)算。2.3 應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限定理31 設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)及都趨于0或； （2）在點(diǎn)的某去心領(lǐng)域內(nèi)，及都存在且； （3）存在（或?yàn)闊o窮大），那么 對冪指函數(shù)的極限，可以通過將冪指函數(shù)化為對數(shù)恒等式的形式，轉(zhuǎn)換為型或型不定式，然后再利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解。例5 求極限.解: 因?yàn)?， 由定理3，得：例6 求極限.解： 令，則當(dāng)時(shí)，那

6、么 2.4 用等價(jià)無窮小2.4.1 中的等價(jià)無窮小代換引理14 設(shè)> 0，> 0為某變化過程中的無窮小。若 ,則.證明: ，所以，從而有定理4 > 0，> 0和，均為某變化過程中的無窮小。若 , ,且,則有證明: 因?yàn)?, 所以不論哪一種情況,都有 此定理4說明,當(dāng)= A時(shí), 中的和均可代換為等價(jià)無窮小和。例7 求.(型)分析：因?yàn)?，即極限呈型。解: 當(dāng)時(shí)， 由定理4，得： 2.4.2 中的等價(jià)無窮小代換 型的極限可寫為 ,其中>0和均為某變化過程中的無窮小。由定理4可得定理5。定理5 > 0，> 0和， 均為某變化過程中的無窮小。若 , ,且，則此定

7、理5說明,當(dāng)時(shí)，和均可代換為等價(jià)無窮小 和。例8 求(型)分析：因?yàn)?，即極限呈型。解: 當(dāng)時(shí)， ， 由定理5，得：2.4.3 中的等價(jià)無窮小代換. 型的極限可寫為,其中，均為某變化過程中的無窮小。引理24 設(shè),為某變化過程中的無窮小。若，則有.證明: 所以定理6 設(shè) 均為某變化過程中的無窮小。若，且,則有證明: 因?yàn)?，所以 這說明,當(dāng)時(shí)，中的無窮小量，可代換為等價(jià)無窮小，。例9 求極限（型）.分析： 因?yàn)?，即極限呈型。解： 當(dāng)， , 時(shí)， ，由定理6，得： 2.5 利用微分中值定理定理71 如果函數(shù)滿足：(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使等式例10 求極限.解

8、： 對在區(qū)間上使用定理7，得：（其中）故 ，因?yàn)?，而，故，所以，原?。3.冪指函數(shù)的求導(dǎo) 冪指函數(shù)是指數(shù)底數(shù)都會有自變量的表達(dá)式的函數(shù)，它的形式為，其中，必須為含有的函數(shù)，對冪指函數(shù)的求導(dǎo)，我們通常有兩種方法，即：3.1 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法先將冪指函數(shù)化為指數(shù)函數(shù)的形式，通過對數(shù)恒等式把它化為復(fù)合函數(shù)的形式，再用復(fù)合函數(shù)的方法求出它的導(dǎo)數(shù)。 = = =+ =+ =+ （1）3.2 對數(shù)求導(dǎo)法 先對等式兩邊取自然對數(shù)，然后對等式兩邊關(guān)于求導(dǎo)，解出，最后把表達(dá)式中的換成，求出它的導(dǎo)數(shù)。 對冪指函數(shù)兩邊取對數(shù)，得： 再將等式兩端對x求導(dǎo)，得： = = =+ （2） 例11 計(jì)算冪指函數(shù)（）的導(dǎo)數(shù)。解：

9、 解法1（第一種方法）利用對數(shù)恒等式將變形為函數(shù)，得： 再利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算導(dǎo)數(shù)，得： 解法2（第二種方法） 將兩邊取對數(shù)，得： 然后再對此隱函數(shù)求導(dǎo)，得： 這兩種方法的缺點(diǎn)是 ：且，不然無法取對數(shù)；對于冪指函數(shù)，它不屬于初等函數(shù)，所以利用傳統(tǒng)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則則無法直接求導(dǎo)，所以需要一種新的方法進(jìn)行求解。3.3 多元函數(shù)求導(dǎo)法 我們發(fā)現(xiàn)，把冪指函數(shù)視為冪函數(shù)對其進(jìn)行求導(dǎo)，即把函數(shù)看成一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)，對其進(jìn)行求導(dǎo)，得： = （3） 把冪指函數(shù)視為指數(shù)函數(shù)對其進(jìn)行求導(dǎo)，即把函數(shù)看成一個(gè)與x無關(guān)的常數(shù)，對其進(jìn)行求導(dǎo)，得： = （4） 觀察發(fā)現(xiàn)，把(3)(4)這兩個(gè)式子相加

10、，恰好與（1）式的結(jié)果一樣，為冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于將視為指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)與將視為冪函數(shù)求導(dǎo)的和。定理8 冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于視為指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)與視為冪函數(shù)求導(dǎo)之和。即：= + 證明： 設(shè)函數(shù)，函數(shù)z=F(u,v)在點(diǎn)可微，且、對可導(dǎo)，根據(jù)二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的法則，有：在這里，則： 證畢 例12 計(jì)算冪指函數(shù)（）的導(dǎo)數(shù). 解：（第三種方法解）將視為指數(shù)函數(shù)，對其進(jìn)行求導(dǎo)，得： =將視為冪函數(shù)，對其進(jìn)行求導(dǎo)，得： 最后將上述兩個(gè)求導(dǎo)式子相加，得： =例13 求的導(dǎo)數(shù).解： （第三種方法解） 例14 求的導(dǎo)數(shù)（其中為常數(shù)）.解： （第三種方法解）逐項(xiàng)求導(dǎo)，得： 所以 綜上所述，冪指函數(shù)的求

11、導(dǎo)方法一共有三種，其本質(zhì)都是先把它化為一般函數(shù)，再利用復(fù)合函數(shù)的方法求出其導(dǎo)數(shù)。前兩種方法都是間接的對冪指函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，后一種是套用方法直接對其進(jìn)行求導(dǎo)，此方法使用起來非常簡潔，與前面所學(xué)的冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)內(nèi)容具有很強(qiáng)的連貫性。總 結(jié) 通過已有的求極限的知識，如重要極限，洛必達(dá)法則，等價(jià)無窮小代換定理等，將這些方法推廣到冪指函數(shù)不定式中的極限求解問題，同時(shí)根據(jù)復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，總結(jié)出冪指函數(shù)的求導(dǎo)方法，即復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，對數(shù)求導(dǎo)法，多元函數(shù)求導(dǎo)法，并以實(shí)例演練了理論的應(yīng)用性。參考文獻(xiàn)1 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編.高等數(shù)學(xué)（上冊）第五版M.高等教育出版社2 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）M北京：高等教育出版社3 蔣銀山.冪指函數(shù)求導(dǎo)方法歸納J.廣東外語外貿(mào)大學(xué)考試周刊,2011年第