15有理數(shù)的乘法和除法

1、1.5 有理數(shù)的乘法和除法本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.51.5.1 有理數(shù)的乘法有理數(shù)的乘法我們已經(jīng)熟悉了非負(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算我們已經(jīng)熟悉了非負(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，那么如何計(jì)算那么如何計(jì)算 （- -5）3， 3（- -5），）， （- -5）（-3）呢呢？5 3 = 15 ， 例如例如動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 我們把向東走的路程記為正數(shù)我們把向東走的路程記為正數(shù). .如果小麗從點(diǎn)如果小麗從點(diǎn)O出發(fā)，以出發(fā)，以5km/h的速度向西行走的速度向西行走3h后，小麗從后，小麗從O點(diǎn)向點(diǎn)向哪個(gè)方向行走了多少千米哪個(gè)方向行走了多少千米？小麗從小麗從O點(diǎn)向西行走了點(diǎn)向西行走了（53）km.由此，我們有由此，我們有（- -5）3 = （5

2、3）- - 我們已經(jīng)知道我們已經(jīng)知道( (- -5) )3 = - -( (53) )，探究探究那么那么3( (- -5 ) )，( (- - 5) )( (- -3) )又應(yīng)怎樣計(jì)算呢又應(yīng)怎樣計(jì)算呢？ 非負(fù)數(shù)的乘法與加法是用分配律聯(lián)系起來(lái)的，非負(fù)數(shù)的乘法與加法是用分配律聯(lián)系起來(lái)的，因此，當(dāng)數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)后，要規(guī)定有理數(shù)的乘法因此，當(dāng)數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)后，要規(guī)定有理數(shù)的乘法法則，當(dāng)然也要求它滿足分配律，以便把乘法與加法則，當(dāng)然也要求它滿足分配律，以便把乘法與加法聯(lián)系起來(lái)法聯(lián)系起來(lái). .如果它滿足分配律，那么就會(huì)有如果它滿足分配律，那么就會(huì)有 3( (- -5) )+35=3 (- -5) )+5

3、=30=0這表明這表明3( (- -5) )與與35互為相反數(shù)，于是有互為相反數(shù)，于是有3( (- -5) )=- -( (35) ). 結(jié)論結(jié)論異號(hào)兩數(shù)相乘得負(fù)數(shù)，并且把絕對(duì)值相乘異號(hào)兩數(shù)相乘得負(fù)數(shù)，并且把絕對(duì)值相乘.從從、式受到啟發(fā)，一般規(guī)定：式受到啟發(fā)，一般規(guī)定：3( (- -5) )= - -( (35) ) ( (- -5) )3 = - -( (53) ) （- -）（）（+ +）（- -）（+ +）（）（- -）（- -）結(jié)論結(jié)論任何數(shù)與任何數(shù)與0相乘，都得相乘，都得0. 類似地類似地，我們有我們有( (- -5) )( (- -3) )+( (- -5) )3=( (- -5)

4、 )(- -3) )+3 =( (- -5) )0= 0這表明這表明( (- -5) )( (- -3) )與與( (- -5) )3互為相反數(shù)互為相反數(shù). .因?yàn)橐驗(yàn)? (- -5) )3= - -15，而而- -15的相反數(shù)是的相反數(shù)是15，所以所以( (- -5) )( (- -3) )=15 .即即 ( (- -5) )( (- -3) )= 15 = 53 . 由由式看出式看出，( (- -5) )( (- -3) )得正數(shù)，并且把絕對(duì)值得正數(shù)，并且把絕對(duì)值5與與3相乘相乘. .結(jié)論結(jié)論同號(hào)兩數(shù)相乘得正數(shù)，并且把絕對(duì)值相乘同號(hào)兩數(shù)相乘得正數(shù)，并且把絕對(duì)值相乘.從從、式受到啟發(fā)，于是規(guī)

5、定：式受到啟發(fā)，于是規(guī)定：( (- -5) )( (- -3) )=15=53 53 = 15 （+ +）（）（+ +）（+ +）（- -）（）（- -）（+ +） 例例1 計(jì)算：計(jì)算： （1）3.5 （- -2）； （2） ； （3） ； （4）（）（- -0.57） 0. .3289 舉舉例例133 ()()解解（1） 3.5 （- -2）= - -( (3.52) )根據(jù)乘法法則根據(jù)乘法法則= - -73.5) )和和( (- -2) )為異號(hào)，為異號(hào)，結(jié)果為負(fù)結(jié)果為負(fù)3.5和和( (- -2) )的絕對(duì)值相乘的絕對(duì)值相乘解解（2）=根據(jù)乘法法則根據(jù)乘法法則= 為異號(hào)，為異號(hào)，結(jié)果為負(fù)結(jié)

6、果為負(fù)它們的絕對(duì)值相乘它們的絕對(duì)值相乘3289 3289 11 2 3289 和和解解（3）=根據(jù)乘法法則根據(jù)乘法法則= 1 為同號(hào)，為同號(hào)，結(jié)果為正結(jié)果為正解解（4）（- -0.57） 0根據(jù)乘法法則根據(jù)乘法法則= 0任何數(shù)與任何數(shù)與0相乘，結(jié)果為相乘，結(jié)果為0133 ( () )133 133 和和A組組 1. 填表填表:因數(shù)因數(shù)因數(shù)因數(shù)積的符號(hào)積的符號(hào)絕對(duì)值的積絕對(duì)值的積積積- -27- -10.3- -10- -1414 - -+ +314- -1414- -3練習(xí)練習(xí)2. 計(jì)算：計(jì)算：（1） ；（2） . .21534 851512 52 29有理數(shù)的乘法有理數(shù)的乘法B組組 1 判斷

7、：對(duì)的畫(huà)判斷：對(duì)的畫(huà)“”，錯(cuò)的畫(huà)，錯(cuò)的畫(huà)“” () （.2）（.） （ ） （）（） （） （4） （） （ ） （3） （5） （4） 0 （ ） （4） （2） 0 （） 5 （ ） （5） 任何一個(gè)不等于的有理數(shù)與任何一個(gè)不等于的有理數(shù)與相乘相乘 得這個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)得這個(gè)有理數(shù)的相反數(shù) （ ）2.口答：口答： （2） 7=_ 7 （2）=_ （） （4） =_ （） （） =_思考思考：觀察：觀察 式和式和 式，式， 你你 發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn) 了了 什么？什么？ 在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)過(guò)乘法的交換律在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)過(guò)乘法的交換律、結(jié)結(jié)合律合律，那么這兩個(gè)運(yùn)算律在有理數(shù)范圍內(nèi)是那么這兩個(gè)運(yùn)算律在有理數(shù)范

8、圍內(nèi)是否也適用呢否也適用呢？ 填空：填空： （1）( (- -2) )4= ， 4( (- -2) )= ；- -8- -8動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋（2）(- -2) )( (- -3) ( (- -4) )= ( (- -4) )= ， ( (- -2) )(- -3) ) ( (- -4)=( (- -2) ) = .6- -2412- -24從上面的填空題中從上面的填空題中，你發(fā)現(xiàn)了什么你發(fā)現(xiàn)了什么？結(jié)論結(jié)論乘法交換律乘法交換律： = .abab即，兩個(gè)有理數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變即，兩個(gè)有理數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變. .結(jié)論結(jié)論乘法結(jié)合律乘法結(jié)合律：( ( ) ) = ( ( ) ).

9、 .a bab cc 即，對(duì)于三個(gè)有理數(shù)相乘，可以先把前兩個(gè)數(shù)相即，對(duì)于三個(gè)有理數(shù)相乘，可以先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再把結(jié)果與第三個(gè)數(shù)相乘；或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再把結(jié)果與第三個(gè)數(shù)相乘；或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再把第一個(gè)數(shù)與所得結(jié)果相乘，積不變乘，再把第一個(gè)數(shù)與所得結(jié)果相乘，積不變 和加法類似，根據(jù)乘法交換律和乘法結(jié)合律可以推和加法類似，根據(jù)乘法交換律和乘法結(jié)合律可以推出：三個(gè)或三個(gè)以上有理數(shù)相乘，可以寫(xiě)成這些數(shù)的連出：三個(gè)或三個(gè)以上有理數(shù)相乘，可以寫(xiě)成這些數(shù)的連乘式對(duì)于連乘式，可以任意交換因數(shù)的位置，也可先乘式對(duì)于連乘式，可以任意交換因數(shù)的位置，也可先把其中的幾個(gè)數(shù)相乘把其中的幾個(gè)數(shù)相乘 （1）填空

10、：填空：動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋( (- -6) ) 4+( (- -9) =( (- -6) ) = ，( (- -6) )4+( (- -6) )( (- -9) )= + = .- -53054- -2430 （2）換幾個(gè)有理數(shù)試一試換幾個(gè)有理數(shù)試一試，你發(fā)現(xiàn)了什么你發(fā)現(xiàn)了什么？結(jié)論結(jié)論乘法對(duì)加法的分配律乘法對(duì)加法的分配律（簡(jiǎn)稱為（簡(jiǎn)稱為分配律分配律）： ( ( + ) ) = + .b caabac （- -1）a = -= -a利用分配律，可以得出利用分配律，可以得出 即，一個(gè)有理數(shù)與兩個(gè)有理數(shù)的和相乘，等于把即，一個(gè)有理數(shù)與兩個(gè)有理數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別與這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加這個(gè)數(shù)分

11、別與這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加. . 例例2 計(jì)算：計(jì)算： （1） ； （2） （- -12.5）（- -2.5）（- -8） 4 .1111605234 舉舉例例解解（1）=將分?jǐn)?shù)逐個(gè)與將分?jǐn)?shù)逐個(gè)與60相乘相乘= 30- -20- -15+12= 7分?jǐn)?shù)與整數(shù)分?jǐn)?shù)與整數(shù)60相乘相乘計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果1111605234 1111606060605234 解解（2） ( (- -12.5) )( (- -2.5) )( (- -8) )4= ( (- -12.5) ) ( (- -8) )( (- -2.5) )4( (- -12.5) )和和( (- -8) )相乘為整數(shù)相乘為整數(shù)= 100(

12、(- -10) )( (- -2.5) )和和4相乘為整數(shù)相乘為整數(shù)= - -1000相乘為整數(shù)的先結(jié)合起來(lái)相乘為整數(shù)的先結(jié)合起來(lái)( (- -12.5) )和和( (- -8) )為為同號(hào)相乘同號(hào)相乘( (- -2.5) )和和4為異號(hào)相乘為異號(hào)相乘( (- -10) )和和100相乘為異號(hào)相乘為異號(hào) 下列各式的積是正數(shù)還是負(fù)數(shù)下列各式的積是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？積的符號(hào)與負(fù)因數(shù)積的符號(hào)與負(fù)因數(shù)（因數(shù)為負(fù)數(shù)因數(shù)為負(fù)數(shù)）的個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系的個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系？ （1）（- -2）（- -3）（- -4）；）； （2）（- -2）（- -3）（- -4）（- -5）. . 幾個(gè)不等于幾個(gè)不等于0的數(shù)相的

13、數(shù)相乘，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)乘，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正. .說(shuō)一說(shuō)說(shuō)一說(shuō) 例例3 計(jì)算：計(jì)算： （1）（）（- -8） 4 （- -1）（- -3） ； （2） .舉舉例例1103.255 () () ()() () ()解解（1） ( (- -8) ) 4 ( (- -1) )( (- -3) )= - -( (8413) )將負(fù)號(hào)提出來(lái)將負(fù)號(hào)提出來(lái)絕對(duì)值進(jìn)行相乘絕對(duì)值進(jìn)行相乘= - -96先確定積的符號(hào)先確定積的符號(hào)解解四個(gè)負(fù)號(hào)相乘，結(jié)果為正號(hào)四個(gè)負(fù)號(hào)相乘，結(jié)果為正號(hào)絕對(duì)值進(jìn)行相乘絕對(duì)值進(jìn)行相乘= 32先確定積的符號(hào)先確定積

14、的符號(hào)（2）1103.255 () () ()() () ()1= 103.2 55 1. .計(jì)算計(jì)算: : （1）( (- -2) )17( (- -5) )； （2）( (- -15) )3( (- -4) )； （3） ； （4）0.1259( (- -8) )； （5）( (- -5) )( (- -4) )( (- -3) )； （6）( (- -1.5) )6( (- -4) )； （7） ； （8）( (- -10) ) 28 0.1744 - -11623 練習(xí)練習(xí)1.解解（1）( (- -2) )17( (- -5) )=2517=170（2）( (- -15) )3( (-

15、 -4) )=1543=180（3） 117447744 - - - -（4）0.1259( (- -8) )=- -( (80.125) )9=- -9（5）( (- -5) )( (- -4) )( (- -3) )=- -( (543) )=- -60（6）( (- -1.5) )6( (- -4) )=1.546=36（7）11116612323 （8）( (- -10) ) 28 0 = 02. .計(jì)算計(jì)算: : （1） ； （2）（- -4）（）（- -3）（）（- - 5）（）（- -2.5）. . 314205104 2.解解（1）31420 510 431420 20 20

16、51046 51617 （2）（- -4）（）（- -3）（）（- - 5）（）（- -2.5） = 4352.5 = 1501.5.2 有理數(shù)的除法有理數(shù)的除法我們知道我們知道 2 3 = 6，因此因此 6 3 = 2. 那么如何計(jì)算那么如何計(jì)算（- -6）3， 6（- -3），）， （- -6）（）（- -3）呢？呢？ 探究探究（- -6）3=?， 6（- -3）=?， （- -6）（）（- -3）=?由于由于 （- -2）3 = - - 6 ，因此，因此， （- -6）3 = - -2 . 類似地，由于類似地，由于（- -2）（）（- -3）= 6 ，由于由于 2 （- -3） = -

17、-6 ，因此，因此， 6（- - 3）= - -2 ， 因此，因此， （- -6）（）（- -3）=2 . . 從這些例子受到啟發(fā)，抽象出有理數(shù)的從這些例子受到啟發(fā)，抽象出有理數(shù)的除法除法運(yùn)算；運(yùn)算； 對(duì)于兩個(gè)有理數(shù)對(duì)于兩個(gè)有理數(shù)a，b，其中，其中b0，如果有一個(gè)有理，如果有一個(gè)有理數(shù)數(shù)c，使得，使得cb = a，那么規(guī)定，那么規(guī)定ab= =c，且把，且把c叫作叫作a除以除以b的的商商.結(jié)論結(jié)論同號(hào)兩數(shù)相除得正數(shù)，異號(hào)兩數(shù)相除同號(hào)兩數(shù)相除得正數(shù)，異號(hào)兩數(shù)相除得負(fù)數(shù)，并且把它們的絕對(duì)值相除得負(fù)數(shù)，并且把它們的絕對(duì)值相除.0 除以任何一個(gè)不等于除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)都得的數(shù)都得0.有理數(shù)的除法是

18、通過(guò)乘法來(lái)規(guī)定的，有理數(shù)的除法是通過(guò)乘法來(lái)規(guī)定的，因此由因此由至至式可以得出：式可以得出：（+ +）（+ +）（+ +）（- -）（- -）（+ +）6 3 = 2 ( (- -6) )3 = - -2 6( (- - 3) )= - -2 ( (- -6) )( (- -3) )=2 （- -）（+ +）（- -）（+ +）（- -）（- -） 例例4 計(jì)算：計(jì)算： （1）（）（- -24）4 ； （2）（）（- -18）（- -9）； （3） 10 （- -5）.舉舉例例解解（1） （- -24） 4= - - ( (24 4) )根據(jù)除法法則根據(jù)除法法則( (- -24) )和和4為異號(hào)

19、相除為異號(hào)相除結(jié)果為負(fù)結(jié)果為負(fù)解解（2）（）（- -18） （- -9）= +( (18 9) )根據(jù)除法法則根據(jù)除法法則（- -18）和和( (- -9) )為同號(hào)為同號(hào)結(jié)果為正結(jié)果為正= - -6= 2解解（3） 10（- -5）= - -( (10 5) )根據(jù)除法法則根據(jù)除法法則10和和( (- -5) )為異號(hào)相除為異號(hào)相除結(jié)果為負(fù)結(jié)果為負(fù)= - -2 試問(wèn)：試問(wèn)：10( (- -5) ) 還可以怎樣計(jì)算還可以怎樣計(jì)算 ？我們已經(jīng)知道我們已經(jīng)知道 10（- -5）= - -2 ， 所以所以 1105105 ( () )動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋11025 又又 由于由于 ，因此，我們把，因此，我們

20、把 叫做叫做- -5的倒數(shù)，的倒數(shù)，把把- -5叫做叫做 的倒數(shù)的倒數(shù).1515 ()()15 15 一般地，一般地，如果兩個(gè)數(shù)的乘積等于如果兩個(gè)數(shù)的乘積等于1，那么把其，那么把其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)倒數(shù)，也稱它們，也稱它們互為倒互為倒數(shù)數(shù). 0沒(méi)有倒數(shù)沒(méi)有倒數(shù).1155()()因此，因此，式表明式表明10除以除以- -5等于等于10乘乘- -5的倒數(shù)的倒數(shù).1105105 ( () )結(jié)論結(jié)論除以一個(gè)不等于除以一個(gè)不等于零零的數(shù)等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)的數(shù)等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù).一般地，有理數(shù)的除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，即一般地，有理數(shù)的除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，即

21、也可以表示成也可以表示成10 ()()ababb 例例5 計(jì)算：計(jì)算： （1） ； （2） ； （3） . .315 7 221531123舉舉例例解解（1）= （- -12）3根據(jù)除法法則根據(jù)除法法則異號(hào)相乘，結(jié)果為負(fù)異號(hào)相乘，結(jié)果為負(fù)解解（2）=根據(jù)除法法則根據(jù)除法法則異號(hào)相乘，結(jié)果為負(fù)異號(hào)相乘，結(jié)果為負(fù)1123 的倒數(shù)是的倒數(shù)是313= - -36315 7 715 3 = - -35 的倒數(shù)是的倒數(shù)是37 73 解解（3）= 根據(jù)除法法則根據(jù)除法法則同號(hào)相乘，結(jié)果為正同號(hào)相乘，結(jié)果為正22153 =23 152 15 的倒數(shù)是的倒數(shù)是23- -32- - 1.計(jì)算：計(jì)算： （1）14(

22、 (- -7) )； （2）( (- -36) )( (- -3) )； （3）0 ( (- -0.618) )； （4）( (- -48) )12. . 練習(xí)練習(xí)1.解解（1）14 ( (- -7) )= - -2；（2）( (- -36) )( (- -3) )= 12 ；（4）( (- -48) )12 = - -4.（3） 0 ( (- -0.618) ) = 0； 2.填空：填空： （1）因?yàn)椋┮驗(yàn)?= 1，所以所以 的倒數(shù)是的倒數(shù)是 ； （2） 的倒數(shù)是的倒數(shù)是 ；- -3的倒數(shù)是的倒數(shù)是 . .16 16 58 - -685 - -613 3.計(jì)算：計(jì)算： （1） ( (- -3

23、6) )( (- -0.6) ) ； （2） ； （3） ； （4） . . 147 1825 ( () )515124 60- -2895 19 下面的算式含有乘、除兩種運(yùn)算，怎樣進(jìn)行有下面的算式含有乘、除兩種運(yùn)算，怎樣進(jìn)行有理數(shù)的乘、除混合運(yùn)算呢？理數(shù)的乘、除混合運(yùn)算呢？182?2 ( () )( () )議一議議一議可以按從左到右可以按從左到右的順序依次計(jì)算的順序依次計(jì)算. .也可以先將除法也可以先將除法轉(zhuǎn)化為乘法轉(zhuǎn)化為乘法. . 例例3 計(jì)算：計(jì)算： （1）（- -56）（- -2） （- -8）；舉舉例例（2）（- -10） （- -5）（- -2） ；1563()()（3）312.

24、444 （4）解解（1）（- -56）（- -2） （- -8）= 28 （- -8）可以依次計(jì)算可以依次計(jì)算先算前兩個(gè)數(shù)先算前兩個(gè)數(shù)異號(hào)相除，結(jié)果為負(fù)異號(hào)相除，結(jié)果為負(fù)=72 （2）（- -10） （- -5）（- -2） ；解解= （- -10） 10先計(jì)算后兩個(gè)先計(jì)算后兩個(gè)= - -1解解= - -30 （- -3）可以依次計(jì)算可以依次計(jì)算先算前兩位數(shù)先算前兩位數(shù)= 90依次計(jì)算依次計(jì)算= 0.8（3）1563()()（4）312.444 解解41= 2.434 ()() 下面是小明同學(xué)做的一道計(jì)算題下面是小明同學(xué)做的一道計(jì)算題，他的計(jì)算他的計(jì)算是否正確是否正確？如果不正確，說(shuō)說(shuō)他錯(cuò)在哪

25、里如果不正確，說(shuō)說(shuō)他錯(cuò)在哪里. .說(shuō)一說(shuō)說(shuō)一( () )( () )( () )( () )( () )( () )148411484111248 () () () ()() ()() ()不正確，應(yīng)該依次計(jì)算不正確，應(yīng)該依次計(jì)算 計(jì)算器是日常生活中常用的一種現(xiàn)代計(jì)計(jì)算器是日常生活中常用的一種現(xiàn)代計(jì)算工具，因此我們可以利用計(jì)算器來(lái)計(jì)算算工具，因此我們可以利用計(jì)算器來(lái)計(jì)算. . 計(jì)算器有各種型號(hào)，型號(hào)不同，操作方法略有不同計(jì)算器有各種型號(hào)，型號(hào)不同，操作方法略有不同.下面我們以某種型號(hào)的計(jì)算器（圖下面我們以某種型號(hào)的計(jì)算器（圖1- -17）為例介紹操作方）為例介紹操作方

26、法法. 圖圖1-17 1-17 某種電子計(jì)算器的面板示意圖某種電子計(jì)算器的面板示意圖舉舉例例 例例7 用計(jì)算器計(jì)算用計(jì)算器計(jì)算（精確到精確到0.001）：）： - -1840 0.28( (- -375) )再將結(jié)果四舍五入后就可以得到答案再將結(jié)果四舍五入后就可以得到答案1.374.解解 按照下列順序按鍵：按照下列順序按鍵： 不同的計(jì)算器，操作方法可能有所不同不同的計(jì)算器，操作方法可能有所不同. .具具體操作方法應(yīng)參看計(jì)算器的使用說(shuō)明書(shū)體操作方法應(yīng)參看計(jì)算器的使用說(shuō)明書(shū). . 1.計(jì)算：計(jì)算： （1）24( (- -3) )( (- -4) ) ； （2）( (- -6) )( (- -2) )3； （3）2( (- -7) )( (- -4) )； （4） 186