高等數(shù)學：第十章級數(shù)(2)

1、第三節(jié)第三節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù) 一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念1.1.定義定義: :設(shè)設(shè)),(,),(),(21xuxuxun是是定定義義在在RI 上上的的函函數(shù)數(shù), ,則則 )()()()(211xuxuxuxunnn稱稱為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間I上上的的( (函函數(shù)數(shù)項項) )無無窮窮級級數(shù)數(shù). .,120 xxxnn例如級數(shù)例如級數(shù)2.2.收斂點與收斂域收斂點與收斂域: :如果如果Ix 0, ,數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù) 10)(nnxu收斂收斂, ,則則稱稱0 x為為級級數(shù)數(shù))(1xunn 的的收收斂斂點點, ,否否則則稱稱為為發(fā)發(fā)散散點點. .所有發(fā)散點的全體稱為所有發(fā)散點的全體

2、稱為發(fā)散域發(fā)散域. .函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù))(1xunn 的的所所有有收收斂斂點點的的全全體體稱稱為為收收斂斂域域, ,)()(limxsxsnn 函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)項級數(shù)的部分和余項余項)()()(xsxsxrnn (x在收斂域上在收斂域上)0)(lim xrnn注意注意函數(shù)項級數(shù)在某點函數(shù)項級數(shù)在某點x的收斂問題的收斂問題,實質(zhì)上實質(zhì)上是數(shù)項級數(shù)的收斂問題是數(shù)項級數(shù)的收斂問題.3.3.和函數(shù)和函數(shù): : )()()()(21xuxuxuxsn在在收收斂斂域域上上, ,函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)的的和和是是x的的函函數(shù)數(shù))(xs, ,稱稱)(xs為為函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù). .)

3、,(xsn例例 1 1 求求級級數(shù)數(shù)nnnxn)11()1(1 的的收收斂斂域域.解解)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)1( x當當,20時時或或即即 xx原級數(shù)絕對收斂原級數(shù)絕對收斂., 11 x, 111)2( x當當, 11 x,02時時即即 x原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.,0時時當當 x 1)1(nnn級數(shù)級數(shù)收斂收斂;,2時時當當 x 11nn級數(shù)級數(shù)發(fā)散發(fā)散;)., 0)2,( 故級數(shù)的收斂域為故級數(shù)的收斂域為, 1|1|)3( x當當, 20 xx或或二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性1.1.定義定義: :形形如如nnnxxa)(00 的的級級數(shù)數(shù)稱

4、稱為為冪冪級級數(shù)數(shù). .,000nnnxax 時時當當其其中中na為為冪冪級級數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).2.2.收斂性收斂性: :,120 xxxnn例如級數(shù)例如級數(shù);,1收收斂斂時時當當 x;,1發(fā)發(fā)散散時時當當 x);1 ,1( 收收斂斂域域);, 11,( 發(fā)發(fā)散散域域如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點點收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個個數(shù)數(shù)軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個個完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): :當當Rx 時時, ,冪冪級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂; ;當當Rx 時時,冪級數(shù)發(fā)散冪級數(shù)發(fā)散;當當RxRx

5、與與時時, ,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .推論推論定義定義: : 正數(shù)正數(shù)R稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間., 0 R),RR ,(RR .,RR 規(guī)定規(guī)定, R收斂區(qū)間收斂區(qū)間0 x;收收斂斂區(qū)區(qū)間間),( .問題問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑如何求冪級數(shù)的收斂半徑?),(RR (1) 冪冪級級數(shù)數(shù)只只在在0 x處處收收斂斂,( (2 2) ) 冪冪級級數(shù)數(shù)對對一一切切x都都收收斂斂, ,定定理理 2 2 如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)0 na,(1) 則則當當0 時

6、時, 1R;(3) 當當 時時,0 R.(2) 當當0 時時, R;證明證明nnnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x 1(1)lim(0),nnnaa 如如果果存存在在由比值審斂法由比值審斂法,1|時時當當 x,|0收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnnxa.0收收斂斂絕絕對對從從而而級級數(shù)數(shù) nnnxa,1|時時當當 x,|0發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù) nnnxa開始開始并且從某個并且從某個 n|,|11nnnnxaxa 0|nnxa.0 nnnxa發(fā)發(fā)散散從從而而級級數(shù)數(shù)1;R 收收斂斂半半徑徑此此時時(2)0, 如如果果, 0 x),(011 nxaxannnn有有,|0收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnn

7、xa.0收收斂斂絕絕對對從從而而級級數(shù)數(shù) nnnxa;R 收收斂斂半半徑徑(3), 如如果果, 0 x.0 nnnxa必必發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù))|01(0收收斂斂使使知知將將有有點點否否則則由由定定理理 nnnxax0.R 收收斂斂半半徑徑定理證畢定理證畢.例例2 2 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1時時當當 x,1時時當當 x,)1(1 nnn級級數(shù)數(shù)為為,11 nn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散;)1()1(1nxnnn 1(2);!nnxn 121(3)( 1)() .2nnnnxn 故收斂區(qū)間是

8、故收斂區(qū)間是1 , 1( ., Rnnnaa1lim 11lim nn, 0 收收斂斂區(qū)區(qū)間間),( .1(2);!nnxn nnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收斂收斂即即 x,)1 , 0(收斂收斂 x121(3)( 1)() .2nnnnxn ,0時時當當 x,11 nn級數(shù)為級數(shù)為,1時時當當 x,)1(1 nnn級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散發(fā)散收斂收斂故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為(0,1.例例 3 3 求求冪冪級級數(shù)數(shù) 1122nnnx的的收收斂斂區(qū)區(qū)間間.解解 3523222xxx級數(shù)為級數(shù)為)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x

9、級數(shù)收斂級數(shù)收斂, 1212 x當當,2時時即即 x, 1212 x當當,2時時即即 x級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,2時時當當 x,211 n級數(shù)為級數(shù)為,2時時當當 x,211 n級數(shù)為級數(shù)為級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂區(qū)間為原級數(shù)的收斂區(qū)間為).2, 2( 三、冪級數(shù)的運算三、冪級數(shù)的運算1.1.代數(shù)運算性質(zhì)代數(shù)運算性質(zhì): :(1) 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnn

10、xc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba乘乘積積321xxx2.2.冪級數(shù)的分析運算性質(zhì)（證明略）冪級數(shù)的分析運算性質(zhì)（證明略）( (重要重要)!)! 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變)注意注意! 冪級數(shù)逐項求導后，收斂半徑不變，那冪級數(shù)逐項求導后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？么它的收斂域是否也不變？思考題解答思考題解答不一定不一定.例例,)(12 nnnxxf,)(11 nn

11、nxxf,)1()(22 nnnxnxf它們的收斂半徑都是它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是但它們的收斂域各是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變)解解,)1(1nnxnn 考慮級數(shù)考慮級數(shù)收斂區(qū)間收斂區(qū)間(-1,1), 1)1()(nnxnnxs則則)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx 12)1(nnnn故故)21( s . 8 解解,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s顯顯然然兩邊積分得兩邊積分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxx

12、s,11x )11( x,1時時又又 x.1)1(11收斂收斂 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即常用的冪級數(shù);11)1(0 xxnn ;11)1()2(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;!)4(0 xnnenx );1ln(1)1()6(01xnxnnn ;sin)!12()1()5(1121xnxnnn 第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù) 一、泰勒級數(shù)一、泰勒級數(shù)上節(jié)例題上節(jié)例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在冪級數(shù)在其收斂存在冪級數(shù)在其收

13、斂域內(nèi)以域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)為和函數(shù)問題問題: 1.如果能展開如果能展開, 是什么是什么?na2.展開式是否唯一展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?證明略證明略定理定理 1 1 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)具有任意階導內(nèi)具有任意階導數(shù)數(shù), , 且在且在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)能能展開成展開成)(0 xx 的冪級數(shù)的冪級數(shù), ,即即 nnnxxaxf)()(00 則其系數(shù)則其系數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展開式是唯一的且展開式是唯一的. . 如果如果)(xf在點在點0 x處任意階可導處任意階可導, ,則冪級數(shù)

14、則冪級數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點在點0 x的的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù). .nnnxnf 0)(!)0(稱稱為為)(xf在在點點00 x的的麥麥克克勞勞林林級級數(shù)數(shù). .定義定義二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.1.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或討論討論).(xf斂于斂于則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收例例1解解.)(展展開開成成冪冪級級數(shù)數(shù)將將xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1

15、! 2112, 0 M上上在在,MM xnexf )()(Me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx例例2.sin)(的冪級數(shù)的冪級數(shù)展開成展開成將將xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x2.2.間接法間接法利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變

16、量代換變量代換, 四則運算四則運算, 恒恒等變形等變形, 逐項求導逐項求導, 逐項積分逐項積分等方法等方法,求展開式求展開式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn20tarctan1txdx 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x例例4處展開成泰勒級數(shù)處展開成泰勒級數(shù)在在將將141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并求并求的冪級數(shù)的冪級數(shù)展開成展開成 )1(314

17、1 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 xxxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 練練 習習 題題練習題答案練習題答案一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111 xxnnxnnn； 3 3、)11()2()12() !()!2(21122 xxnnnxnn； 4 4、)1 , 1(112 nnxn. .二、二、 )1(231x 022)21(2)2)(1(3) !()!2()1(nnnnxnnnn)20(

18、 x. .三、三、)2, 6()4)(3121(011 nnnnx. .四、四、 02)1()!12(2)1(21sin2nnnnxn ),()1()!12(2)1(21cos012 nnnnxn. .第五節(jié)第五節(jié) 冪級數(shù)在冪級數(shù)在 近似計算中的應(yīng)用近似計算中的應(yīng)用 ,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar誤差誤差兩類問題兩類問題: :1.給定項數(shù)給定項數(shù),求近似值并估計精度求近似值并估計精度;2.給出精度給出精度,確定項數(shù)確定項數(shù).關(guān)健關(guān)健: :通過估計余項通過估計余項,確定精度或項數(shù)確定精度或項數(shù).常用方法常用方法:1.若余項是交錯級數(shù)若余項是交錯級數(shù),則可用余和的首項來解決則可用余和的首項來解決;2.若不是交錯級數(shù)若不是交錯級數(shù),則放大余和中的各項則放大余和中的各項,使之成使之成為等比級數(shù)或其它易求和的級數(shù)為等比級數(shù)或其它易求和的