中考“解直角三角形”熱點(diǎn)題型分類解析(含解答)-

1、2006年中考“解直角三角形” 熱點(diǎn)題型分類解析 【專題考點(diǎn)剖析】 本專題主要包括銳角三角函數(shù)和解直角三角形兩部分內(nèi)容，2006年試題所反映出的考點(diǎn)主要有： 1會(huì)計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值以及與三角函數(shù)有關(guān)的代數(shù)求值問(wèn)題 2能正確地運(yùn)用sinA，cosA，tanA，cotA表示直角三角形（其中一個(gè)銳角為A）中兩邊的比，并借助直角三角形邊、角之間的關(guān)系解證三角問(wèn)題 3會(huì)比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小，并會(huì)根據(jù)三角函數(shù)值大小確定相應(yīng)角的大小 4會(huì)利用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值和由銳角三角函數(shù)值求銳角問(wèn)題 5會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會(huì)用解直角三角形中的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決某

2、些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，以考查學(xué)生應(yīng)用問(wèn)題的能力 6能從多種角度思考解答以三角函數(shù)為題設(shè)條件的三角型綜合題，以考查綜合解決問(wèn)題的能力【解題方法技巧】 1勾股定理 勾股定理的驗(yàn)證方法很多，用面積驗(yàn)比較簡(jiǎn)捷，用面積法解題是一種重要的解題方法，在有距離或垂線段的條件的題目中運(yùn)用面積法解題比較方便 2銳角三角函數(shù)的概念 銳角三角函數(shù)的概念應(yīng)通過(guò)畫圖幫助分析，通過(guò)畫圖找出直角三角形中邊角的關(guān)系，加深對(duì)概念的理解 3特殊角的三角函數(shù)值 對(duì)于特殊角的三角函數(shù)值，必須熟練準(zhǔn)確地記住，記憶時(shí)可借助三角板上的直角三角形 4常聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn) 銳角三角函數(shù)常和三角形、四邊形、相似形、圓、坐標(biāo)系、一元二次方程結(jié)合命題 5解直角

3、三角形的應(yīng)用題 對(duì)于解直角三角形的應(yīng)用題，首先要認(rèn)真反復(fù)讀題、弄清題意，特別是關(guān)鍵的字、詞，其次要準(zhǔn)確地畫出圖形 6解斜三角形 對(duì)于斜三角形要通過(guò)作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形【熱點(diǎn)試題歸類】題型1 三角函數(shù)1（2006，大連）在RtABC中，C=90，AB=5，AC=4，則sinA的值為_2（2006，旅順口區(qū)）在RtABC中，C=90，BC=4，AC=3，則cosA的值為_3（2006，溫州）如圖1，在ABC中，C=90，BC=5，AC=12，則cosA等于（ ）A B D （1） （2） （3）4（2006，成都）如圖2，在RtABC中，ACB=90，CDAB于點(diǎn)D，已知AC=，BC=2

4、，那么sinABC=（ ） A5（2006，攀枝花）如圖3所示，AB是O的直徑，弦AC、BD相交于E，則等于（ ） AtanAED BcotAED CsinAED DcosAED6（2006，海淀區(qū)）計(jì)算：|-|+（cos60-tan30）+題型2 解直角三角形1（2006，煙臺(tái)）如圖4，在矩形ABCD中DEAC于E，設(shè)ADE=a，且cos=，AB=4，則AD的長(zhǎng)為（ ）A3 B （4） （5） （6）2（2006，煙臺(tái)）2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖5所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較

5、長(zhǎng)直角邊為a，較短直角邊為b，則a+b的值為（ ） A35 B43 C89 D97題型3 解斜三角形1（2006，鹽城）如圖6所示，已知：在ABC中，A=60，B=45，AB=8，求ABC的面積（結(jié)果可保留根號(hào)）2（2006，廣安市）如圖，海上有一燈塔P，在它周圍3海里處有暗礁，一艘客輪以9海里/時(shí)的速度由西向東航行，行至A點(diǎn)處測(cè)得P在它的北偏東60的方向，繼續(xù)行駛20分鐘后，到達(dá)B處又測(cè)得燈塔P在它的北偏東45方向，問(wèn)客輪不改變方向繼續(xù)前進(jìn)有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？3（2006，成都）如圖，某校九年級(jí)3班的一個(gè)學(xué)生小組進(jìn)行測(cè)量小山高度的實(shí)踐活動(dòng)部分同學(xué)在山腳點(diǎn)A測(cè)得山腰上一點(diǎn)D的仰角為30，并測(cè)得AD

6、的長(zhǎng)度為180米；另一部分同學(xué)在山頂點(diǎn)B測(cè)得山腳點(diǎn)A的俯角為45，山腰點(diǎn)D的俯角為60請(qǐng)你幫助他們計(jì)算出小山的高度BC（計(jì)算過(guò)程和結(jié)果都不取近似值）4（2006，天津）如圖，在觀測(cè)點(diǎn)E測(cè)得小山上鐵塔頂A的仰角為60，鐵塔底部B的仰角為45已知塔高AB=20m，觀察點(diǎn)E到地面的距離EF=35m，求小山BD的高（精確到0.1m，1.732）題型4 應(yīng)用舉例1（2006，浙江臺(tái)州）有人說(shuō)，數(shù)學(xué)家就是不用爬樹或把樹砍倒就能夠知道樹高的人小敏想知道校園內(nèi)一棵大樹的高（如圖1），她測(cè)得CB=10米，ACB=50，請(qǐng)你幫助她算出樹高AB約為_米（注：樹垂直于地面；供選用數(shù)據(jù)：sin500.77，cos500

7、.64，tan501.2） （1） （2） （3）2（2006，成都）如圖2，小華為了測(cè)量所住樓房的高度，他請(qǐng)來(lái)同學(xué)幫忙，測(cè)量了同一時(shí)刻他自己的影長(zhǎng)和樓房的影長(zhǎng)分別是0.5米和15米，已知小華的身高為1.6米，那么分所住樓房的高度為_米3（2006，煙臺(tái)）如圖3，兩建筑物AB和CD的水平距離為30米，從A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的俯角為30，測(cè)得C點(diǎn)的俯角為60，則建筑物CD的高為_米4（2006，鹽城）如圖，花叢中有一路燈桿AB在燈光下，小明在D點(diǎn)處的影長(zhǎng)DE=3米，沿BD方向行走到達(dá)G點(diǎn)，DG=5米，這時(shí)小明的影長(zhǎng)GH=5米如果小明的身高為1.7米，求路燈桿AB的高度（精確到0.1米）5（2006，晉江

8、）如圖，在兩面墻之間有一個(gè)底端在A點(diǎn)的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在B點(diǎn)；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在D點(diǎn)已知BAC=65，DAE=45，點(diǎn)D到地面的垂直距離DE=3m，求點(diǎn)B到地面的垂直距離BC（精確到0.1m）6（2006，南安）如圖，我市某廣場(chǎng)一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40夾角，且DB=5m，現(xiàn)要在C點(diǎn)上方2m處加固另一條鋼纜ED，那么EB的高為多少米？（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字）7（2006，哈爾濱市）如圖，在電線桿上的C處引位線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面成60角，在離電線桿6米的B處安置測(cè)角儀，在A處測(cè)得電線桿C處的仰角為30，已知測(cè)角儀AB高為1.

9、5米，求拉線CE的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）8（2006，攀枝花）已知：如圖，在山腳的C處測(cè)得山頂A的仰角為45，沿著坡度為30的斜坡前進(jìn)400米到D處（即DCB=30，CD=400米），測(cè)得A的仰角為60，求山的高度AB9（2006，蘇州）如圖，在一個(gè)坡角為15的斜坡上有一棵樹，高為AB當(dāng)太陽(yáng)光與水平線成50時(shí)，測(cè)得該樹在斜坡的樹影BC的長(zhǎng)為7m，求樹高（精確到0.1m）題型5 綜合與創(chuàng)新1（2006，綿陽(yáng)）小明騎自行車以15千米/小時(shí)的速度在公路上向正北方向勻速行進(jìn)，如圖1，出發(fā)時(shí)，在B點(diǎn)他觀察到倉(cāng)庫(kù)A在他的北偏東30處，騎行20分鐘后到達(dá)C點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)此時(shí)這座倉(cāng)庫(kù)正好在他的東南方向，則這座倉(cāng)庫(kù)到公路

10、的距離為_千米（參考數(shù)據(jù)：1.732，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字） （1） （2） （3）2（2006，煙臺(tái)）先將一矩形ABCD置于直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)A與坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，邊AB、AD分別落在x軸、y軸上（如圖2），再將此矩形在坐標(biāo)平面內(nèi)按逆時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)30（如圖3），若AB=4，BC=3，則圖（1）和圖（2）中點(diǎn)B的坐標(biāo)為_，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_3（2006，浙江臺(tái)州）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小敏、小穎分別畫了ABC和DEF，數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫的三角形面積記作SABC，小穎畫的三角形面積記作SDEF，那么你認(rèn)為（ ）ASABC SDEF BSABC 3 客輪不改變方向繼續(xù)前進(jìn)無(wú)觸礁危險(xiǎn)3解：如圖設(shè)BC=

11、x， 在RtADF中，AD=180，DAF=30， DF=90，AF=90 BAC=ABC=45， AC=BC=x BE=BC-EC=x-90 在RtBDE中，BDE=60， DE=BE=（x-90） FC=AC-AF=x-90 DE=FC， （x-90）=x-90 解得x=90+904解：如圖，過(guò)C點(diǎn)作CEAD于C 設(shè)BC=x，則EC=BC=x 在RtACE中，AC=x， AB=AC-BC， 即20=x-x 解得x=10+10 BD=BC+CD=BC+EF=10+10+3545+101.73262.3（m） 所以小山BD的高為623m題型4112248 點(diǎn)撥：設(shè)樓高xm，則0.5：1.6=1

12、5：x，x=48m3204解：設(shè)AB=x米，BD=y米 由CDEABE得 由FGHABH得 由，得y=7.5，x=5.956.0米 所以路燈桿AB的高度約為6.0米5解：在RtADE中，DE=3，DAE=45， sinDAE=，AD=6 又AD=AB， 在RtABC中，sinBAC=， BC=ABsinBAC=6sin655.4 答：點(diǎn)B到地面的垂直距離BC約為5.4米6解：在RtBCD中，BDC=40，DB=5m， tanBDC=， BC=DBtanBDC=5tan404.195 EB=BC+CE=4.195+26.20 答：略7解：過(guò)點(diǎn)A作AHCD，垂足為H 由題意可知四邊形ABDH為矩形

13、， CAH=30， AB=DH=1.5，BD=AH=6 在RtACH中，tanCAH=， CH=AHtanCAH=6tan30=6=2 DH=1.5，CD=2+1.5 在RtCDE中 ， CED=60，sinCED=， CE=（4+）（米） 答：拉線CE的長(zhǎng)為（4+）米8解：如圖，作DEAB于E，作DFBC于F，在RtCDF中DCF=30，CD=400米， DF=CDsin30=400=200（米） CF=CDcos30=400=200（米） 在RtADE中，ADE=60，設(shè)DE=x米， AE=tan60x=x（米） 在矩形DEBF中，BE=DF=200米， 在RtACB中，ACB=45，AB

14、=BC， 即x+200=200+x x=200， AB=AE+BE=（200+200）米9解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作水平線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，則ADCD BCD=15， ACD=50， 在RtCDB中， CD=7cos15，BD=7sin15 在RtCDA中， AD=CDtan50=7cos15tan50 AB=AD-BD =（7cos15tan50-7sin15） =7（cos15tan50-sin15） 6.2（m） 答：樹高約為6.2m題型5118 點(diǎn)撥：設(shè)過(guò)點(diǎn)A作ADBC于D， 設(shè)AD=x，則CD=x，BD=x x+x=5，解得x1.82圖（1）中：B（4，0），圖（2）中：B（2，2）；

15、圖（1）中：C（4，3），圖（2）中：C（）3C4解：（1）在RtABD中，AB=15 BD=9 CD=BC-BD=14-9=5 （2）E是RtADC斜邊AC的中點(diǎn)， DE=EC，EDC=C tanEDC=tanC=5解：如圖，（1）作BEAD，E為垂足 則BE=ABsin68=22sin6820.40=20.4（m） （2）作FGAD，G為垂足，連FA，則FG=BE AG=17.12， AE=ABcos68=22cos688.24， BF=AG-AE=8.888.9（m） 即BF至少是8.9m6解：（1）設(shè)出發(fā)后x小時(shí)時(shí)兩船與港口P的距離相等 根據(jù)題意，得81-9x=18x， 解這個(gè)方程，得

16、x=3 出發(fā)后3小時(shí)兩船與港口P的距離相等（2）如圖，設(shè)出發(fā)后x小時(shí)乙船在甲船的正東方向，此時(shí)甲、乙兩船的位置分別在點(diǎn)C、D處，連結(jié)CD過(guò)點(diǎn)P作PECD，垂足為E則點(diǎn)E在點(diǎn)P的正南方向 在RtCEP中，CPE=45， PE=PCcos45 在RtPED中，EPD=60， PE=PDcos60 （81-9x）cos45=18xcos60 解這個(gè)方程，得x3.7 出發(fā)后約3.7小時(shí)乙船在甲船的正東方向題型61解：（1）RtAOB中，O=90，a=60 OAB=30，又AB=4米， OB=AB=2（米） OA=ABsin60=4=2（米） （2）設(shè)AC=2x，BD=3x，CD=4 根據(jù)勾股定理：OC

17、2+OD2=CD2 （2-2x）2+（2+3x）2=42 13x2+（12-8）x=0 x0，13x+12-8=0 x= AC=2x= 即梯子頂端A沿NO下滑了米 （3）點(diǎn)P和點(diǎn)P分別是RtAOB的斜邊AB與RtAOB的斜邊AB的中點(diǎn)， PA=PO，PA=PO， PAO=AOP，PAO=AOP PAO-PAO=POP=15 PAO=30， PAO=45 AO=ABcos45=4=2 AA=OA-AO=（2-2）米2 （3）10個(gè)，解題方法略3解：（1）=（-2m）2-4（n2-mn+m2）=-（m-2n）20 （m-2n）20，m-2n=0，=0 一元二次方程x2-2mx+n2-mn+m2=0有兩個(gè)相等實(shí)根，AM=AN （2）BAC=90，ADBC， ADC=ADB=90，DAC=DBA， ADCBDA ，AD2=BDBC CFBE，F(xiàn)CB+EBD=90 E+EBD=90，E=FCB NDC=EDB=90， EBDCND ，BDDC=EDDN， AD2=EDDN AN=，AD=DN+AN=3， 32=DE，DE=8（3）如圖，由（1）知AM=AN，AMN=ANM， AMN+AC