電磁場及波第二章

1、第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場本章架構(gòu)本章架構(gòu)1.1.靜電場的基本方程靜電場的基本方程2.2.電位電位3.3.電位方程電位方程4.4.靜電場的邊界條件靜電場的邊界條件5.5.電容電容6.6.電場能量電場能量7.7.恒定電流電場恒定電流電場8.8.導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)恒流電場與靜電場的比擬導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)恒流電場與靜電場的比擬20t靜態(tài)電磁場問題靜態(tài)電磁場問題0DHJtBEtDB 00HJEDB 0t0t靜態(tài)場：靜態(tài)場：指的是電磁場中場源和場量均不隨時間變化的場。靜態(tài)場分類：靜電場、恒定電場和恒定磁場靜電場、恒定電場和恒定磁場。靜電場靜電場：場源電荷靜止不動，不隨時間變化所產(chǎn)生的場。恒定

2、電場恒定電場：導(dǎo)電媒質(zhì)中，恒定電流產(chǎn)生的場。恒定磁場恒定磁場：恒定電流或永久磁體產(chǎn)生的磁場，亦稱為靜磁場。第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場Jt 0J靜電場和靜磁靜電場和靜磁場彼此獨立場彼此獨立3第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場000HEDB 2.1 2.1 靜電場的基本方程靜電場的基本方程DEBH麥克斯韋麥克斯韋方程組方程組本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系邊界條件邊界條件12()0nEE12()SnDD1n2nSDD1t2tEE電場的旋度為零，表明為無旋場。而電通密度的散度不為零，表明靜電場是一個有源場。dd0SCDSqEl積分形式積分形式4第二章第二章 靜電場和恒

3、定電流電場靜電場和恒定電流電場2.2 2.2 電位電位靜電場的無旋特性0E 可以用一個標(biāo)量的梯度 來表示 稱為標(biāo)量電位標(biāo)量電位. .E 引出標(biāo)量電位的目的：作為求解場的輔助函數(shù)，簡化場的計算。優(yōu)勢：將求矢量函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求標(biāo)量函數(shù)的問題。在靜電場中的標(biāo)量電位有明確的物理意義。在單位正電荷在電場中位移 ，則電場力做功為dld=dAEl而沿著路徑做的總功為=dAEl5第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場對于具有無旋特性的靜電場，上式關(guān)于起點P和終點Q之間的積分與路勁無關(guān)。證明如下：（教材P34）無旋靜電場中任一閉合回路積分都滿足：即=dAEl()0CsE dlEds 對于右圖閉

4、合回路PMQNP，有0PMQNPPMQQNPE dlE dlE dl=-PMQQNPPNQE dlE dlE dl結(jié)論：在靜電場中，電場力對電荷所做的功僅和電荷位移的起點和終點位置有關(guān)，而和電荷移動經(jīng)過的路徑無關(guān)。6第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場電位差：電位差：把單位正電荷從P點移動到Q點電場力所做的功稱為從P點到Q點的電位差：如果選擇場中某點O為電位零點，則空間P的電位為：()QQQPQPQPPPUE dldldll lal OPPOPE dl P、Q兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點移至Q點所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處 電位差也稱為電壓

5、，可用U表示 電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)當(dāng)場源分布在有限區(qū)域時候，一般選擇無窮遠(yuǎn)為零電位點。7第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場例題例題2.12.1：電荷按體密度 分布于一個半徑為a的球形區(qū)域內(nèi)，其中0為常數(shù)。計算球內(nèi)外電場和電位。（參考書P35）202=1ra例題例題2.22.2：無限長同軸傳輸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為R1,外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為R2，在內(nèi)外導(dǎo)體見加電壓U，（設(shè)外導(dǎo)體電位為零），球內(nèi)外導(dǎo)體間的電場及電位分布。（參考書P35）8第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場已知電荷分布求電場電位：已知電荷分布求電場電位：點電荷點電荷：設(shè)點電

6、荷q在原點，參考點Q，場點 (電位考察點)P，選擇路徑PM Q(路徑可以任意選擇)進(jìn)行積分，有OQrPMPrQ30200411144QMMQQPPMMrrPQqrE dlE dldrrqqdrrrr積分貢獻(xiàn)為零0,4QPPqrr 選定參考點為無窮遠(yuǎn)點，即點電荷電位的一般表達(dá)式：04qr對于位于 的點電荷，電位表達(dá)式則為：004|4qqrrRr9第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場電荷系的電場電位電荷系的電場電位：場源n個點電荷，利用疊加原理，選取同一個參考零電位點（電荷在有限空間，選取無限遠(yuǎn)作為零電位）。此時n個電荷電位為：110011( )4|4nnkkkkkkqqrrrR

7、10第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場連續(xù)分布的電場電位連續(xù)分布的電場電位：體電荷( )( )( )4 |4VVr dVr dVrrrR 面電荷( )( )( )4 |4sVr dsr dsrrrR 線電荷( )( )( )4 |4lVr dlr dlrrrR 電荷在有限空間，選取無限遠(yuǎn)作為零電位.11第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場場源電荷分布至無限遠(yuǎn)時場源電荷分布至無限遠(yuǎn)時：設(shè)電荷均勻分布在一無限長直線上，其電荷線密度為l，求空間各點的電位。02lREaR選取圓柱坐標(biāo)系，利用高斯定律：對于空間任意兩點A及B的電位差dln22BABCBABAACRl

8、lBRAE dlE dlE dlRRRR選取空間中某點0為零電位，則A的電位為0ln2lAARR對于場源電荷分布在無限遠(yuǎn)處時形成的電場，不能選取無限遠(yuǎn)為零電位。如果選取R0為無窮大，則，A點電位也為無窮大。只能選取有限空間中非源點為零電位。12第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場電位與電場強度電位與電場強度電場強度用電位梯度表示(微分關(guān)系)：E 積分關(guān)系：0000()=PPPPPE dldldll 電場中電位的等值線或等值面稱為等位線或等位面。電荷在等位面上移動時，電場力不對電荷做功。=0E dl13第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場例例2.3 2.3 求

9、電偶極子的電位和電場強度。電偶極子由空間兩個等量異號的點荷組成如圖。 解：在球坐標(biāo)系中，+q電偶極子zolq2r1rr( , , )P r 2101201 211( )()44qqrrrrrrr由于l很短，rl所以可以近似認(rèn)為21 221,(cos)(cos)cos22llr rrrrrrl所以上式可以寫成：223000coscos( )=444qlpp rrrrr 其中 表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。pql14第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場電場強度求解3011( )()sin(2cossin)4rrE raaarrrpaar 等位線電場線電偶極子的場圖由以上公

10、式可以畫得點偶極子的電力線和等位線分布如右圖15第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場2.3 2.3 電位方程電位方程0E 靜電場的基本方程：DDE線性媒質(zhì)中的本構(gòu)關(guān)系：可以得到：EE 電場與電位關(guān)系：2= 電位的泊松方程在沒有電荷分布的區(qū)域（無源區(qū)）20電位的拉普拉斯方程求解電場分布的問題，最后就是求解泊松方程或拉普拉斯方程的問題16第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場2.4 2.4 靜電場的邊界條件靜電場的邊界條件一般電磁場的邊界條件：12()0nEE12()SnDD1n2nSDD1t2tEE標(biāo)量形式：電場強度矢量在兩種媒質(zhì)分界面上的切向分量是連續(xù)的分界面

11、上有自由電荷時，電位移矢量法向分量之差為電荷面密度。如果沒有自由電荷，電位移矢量法向分量連續(xù)。17第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場分界面上沒有自由電荷（理想介質(zhì)）：分界面上沒有自由電荷（理想介質(zhì)）：1t2tEE1n2n=DD1122sinsinEE1122111222coscoscoscosDDEE上式兩式相除介質(zhì)2介質(zhì)121212E1Ena1122tantan靜電場電力線的折射定律導(dǎo)體表面邊界條件：導(dǎo)體表面邊界條件：導(dǎo)體介質(zhì)2, 011, 020E1EEna由于靜電平衡，導(dǎo)體內(nèi)部電場為零。nt,0SDE18第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場電位的邊界

12、條件電位的邊界條件設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為1和2。當(dāng)兩點間距離l0時lP1P212120El 在分界面上的電位是連續(xù)的。121t2tEE兩者是等效的兩者是等效的(證明見p42)。2121Snn由于：1n2nSDDnEn nnDEn 則可以將此邊界條件用電位表示：理想介質(zhì)表面：2121=nn導(dǎo)體表面， 1為常數(shù)：22Sn19第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場例例2.4 2.4 平板電容極板平面的尺寸遠(yuǎn)大于它們之間的距離d，兩極板間加恒定電壓U0，極板間介質(zhì)的介電常數(shù)為，其中一半空間有體電荷均勻分布，體電荷密度為，分界面與極板平行，試求極板間

13、電位分布。（教材p43）例例2.5 2.5 （教材p44例2.4.2）20第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場2.5 2.5 電容電容電容電容的定義與計算：的定義與計算：孤立導(dǎo)體組成的電容：孤立導(dǎo)體組成的電容：qC Cq 12Cqq導(dǎo)體所帶電荷與導(dǎo)體電位之比電容C只與導(dǎo)體幾何性質(zhì)和周圍介質(zhì)有關(guān)，與q和無關(guān)如空氣中半徑為a的孤立帶電球，0044qqCaa與q和無關(guān)雙導(dǎo)體組成的雙導(dǎo)體組成的電容電容: :12qqCU電容C只與導(dǎo)體幾何性質(zhì)和介質(zhì)有關(guān)21第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場例例2.6 2.6 如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線的半徑為a，兩導(dǎo)線的軸線相距

14、為D，且Da。試求傳輸線單位長度的電容。ylxPxDa-l解：由于Da，近似認(rèn)為電荷均勻分布在導(dǎo)體表面，且可將導(dǎo)線看成線電荷，則利用高斯定理得x軸上的電場分布 0112lxE xaxDx 0011ln2D aD allxaaDaUE x a dxdxxDxa兩導(dǎo)線間的電壓差為：00lnlnllCDaDUaa兩導(dǎo)線間單位長度的電容為：22第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場例例2.7 2.7 求同軸線的分布電容（單位長度電容）。同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為R1，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為R2，內(nèi)外導(dǎo)體間媒質(zhì)的介電常數(shù)為。(教材p45)23第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場單個導(dǎo)體

15、上的電量qC 雙導(dǎo)體時，一個導(dǎo)體上的電量 1212qC如果把大地看成0=0的導(dǎo)體，則單個導(dǎo)體存在時，導(dǎo)體上的電量為 00qC兩個導(dǎo)體存在，且考慮大地影響時，相當(dāng)于3個導(dǎo)體的情況，其中一個導(dǎo)體上的電量為 11212101qCC其中C12為導(dǎo)體1，2間的電容，C10為導(dǎo)體與大地間的電容N個導(dǎo)體存在，導(dǎo)體i上的電量與它和其它導(dǎo)體之間的電位差（包括大地）有關(guān)，即有 11,2,3,Niijijiiijj iqCCi 多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容：多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容：24第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場例如三個導(dǎo)體的電容：例如三個導(dǎo)體的電容：111112121313222221212323

16、333331313232()()()()()()qCCCqCCCqCCC 12311C33C22C12C23C13C物理意義：物理意義： 導(dǎo)體系統(tǒng)中各導(dǎo)體間都存在電容 各導(dǎo)體的電荷正比于導(dǎo)體間的電位差，其比例系數(shù)稱為部份電容 Cij為導(dǎo)體i與導(dǎo)體j之間的電容；而Cii為導(dǎo)體i本身的電容，即與大地間的電容，可寫成Cii=Ci0=Ci Cij=Cji （ij），對稱性（互易性） Cij只與導(dǎo)體的幾何形狀、介質(zhì)性質(zhì)和各導(dǎo)體的相對位置有關(guān)，與各導(dǎo)體所帶電量無關(guān)25第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場2.6 2.6 電場的能量電場的能量電場能量的討論：電場能量的討論：討論系統(tǒng)充電并穩(wěn)定

17、后的電場能量，與充電過程無關(guān)從零狀態(tài)開始充電，充電結(jié)束時，電荷為、電位為充電過程中，電荷與電位同比增加，比例因子，即充電過程中某一時刻電荷與電位分別為和充電過程由 = 0到 = 1，由無數(shù)個充電單元d 組成對于系統(tǒng)中的一個單位體積，在每個充電單元，電源將輸送電荷d，同時做功()(d)，此功將轉(zhuǎn)換為電場的能量 eVVdWddVddV 所以，在一個充電單元一個充電單元中，整個系統(tǒng)能量的增加，即外電源為此所做的功為26第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場充電完成后，系統(tǒng)的總能量為110012eeVVWdWddVdV 對于電荷分布于曲面上的情況，有12essWds 電場能量采用場量來

18、表示的方法電場能量采用場量來表示的方法：11dd22SVDSE D V()DDD ()ddVSDVDSE D e11d() d22VVWVDV1()d2VDDV27第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場1d2eVWE D V由于體積V外的電荷密度0，若將上式中的積分區(qū)域擴大到整個場空間，結(jié)果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S 無限擴大時，則有211 O( O()DRR)、2111d O(.d ) O()0SSDSSRRR故R0S所以電場能量電場能量也可以表示為：對應(yīng)的能量密度能量密度：e12wD E28第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場例例2.8

19、 2.8 一平板電容其電量為C，加于極板間的電壓為U。它所儲存的電場能量在電路理論中表示為 ?，F(xiàn)以能量密度的體積分來驗證這一電容器所儲存的電場能量表達(dá)式。(教材p53)212eWCU29第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場2.7 2.7 恒定電流電場恒定電流電場恒定電流相對應(yīng)的電場稱為恒流電場恒流電場電荷q沿閉合回路運動一周電場所做的功為：局外力 在電源內(nèi)部等效的局外電場sFddssFEq由于電場閉合回路做功為零，即：所以：30第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場由于電場閉合回路做功為零，即：所以：由于局外場 僅存在于電源內(nèi)，它是非電形式能量的等效場，在電源

20、外部局外場等于零。所以上式可以寫成：sEdsCAqEl令dsCAElq稱之為電源電動勢電源電動勢31第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場恒電流的基本方程恒電流的基本方程導(dǎo)電媒質(zhì)外的電介質(zhì)中導(dǎo)電媒質(zhì)外的電介質(zhì)中：DE00ED 與靜電場相似導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)：導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)：Jv電流密度ddSVdqJsVdtt 電荷守恒定律散度定理ddSVJsJ V 0Jt 電流連續(xù)性原理00EJJE 由于電場無旋特性，可令：E ()0 20所以32第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場恒流電場的邊界條件恒流電場的邊界條件00EJ 積分形式d0d0CsElJs12()0nEE1t2tEE邊界

21、條件12()0n JJ1n2nJJ電場強度的切向分量連續(xù)，電流密度的法向分量連續(xù)。121. 1.不同導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的邊界條件：不同導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的邊界條件：1t2tEE1n2nJJ1212nn1122tantan電流線在媒質(zhì)分界面上的折射規(guī)律為：由上述邊界條件和電場電位關(guān)系可得電位邊界條件如下：33第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場2. 2.導(dǎo)電媒質(zhì)與理想介質(zhì)分界面上的邊界條件：導(dǎo)電媒質(zhì)與理想介質(zhì)分界面上的邊界條件：理想介質(zhì)完全不導(dǎo)電， , 所以 。由此可得邊界條件為：101110JE12()0nEE1t2tEE12()0n JJ1n2n=0JJ在導(dǎo)電媒質(zhì)表面：1211n22nnnsDDEE2222,0JE又：2n=0E所以：111nnsDE34第二章第二章 靜電場和恒定電流電場靜電場和恒定電流電場3. 3.具有漏電電流的兩個非理想介質(zhì)分界面的邊界條件具有漏電電流的兩個非理想介質(zhì)分界面的邊界條件12()0nEE1t2tEE12()0n JJ1n2nJJ可得：11n22nsEE所以：12121221121212=snnnJJJ在非理想介質(zhì)分