電磁感應(yīng)及電磁場(chǎng)例題

1、例例1 1 勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，導(dǎo)線(xiàn)可在導(dǎo)軌上滑動(dòng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，導(dǎo)線(xiàn)可在導(dǎo)軌上滑動(dòng)，lvB解解)(ts)()(tBlsttddvBltsBldd在在 t 時(shí)刻時(shí)刻ab回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)?；芈分懈袘?yīng)電動(dòng)勢(shì)。求求若若tBtBB0)(tdd)(00vtlBlsB兩個(gè)同心圓環(huán)，已知兩個(gè)同心圓環(huán)，已知 r1r2,大線(xiàn)圈中通大線(xiàn)圈中通有電流有電流 I ,當(dāng)小圓環(huán)繞直徑以當(dāng)小圓環(huán)繞直徑以 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)2r1rI解解202rIB大圓環(huán)在圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)大圓環(huán)在圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng) 通過(guò)小線(xiàn)圈的磁通量通過(guò)小線(xiàn)圈的磁通量 SBcos22120rrItrrIcos22120trrItsin2dd2210例例2感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

2、求求 小圓環(huán)中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)小圓環(huán)中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在無(wú)限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線(xiàn)的磁場(chǎng)中，有一運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)體線(xiàn)框，導(dǎo)在無(wú)限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線(xiàn)的磁場(chǎng)中，有一運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)體線(xiàn)框，導(dǎo)體線(xiàn)框與載流導(dǎo)線(xiàn)共面，體線(xiàn)框與載流導(dǎo)線(xiàn)共面，求線(xiàn)框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。求線(xiàn)框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。Ivabxdx解解xbxISBd2dd0通過(guò)面積元的磁通量通過(guò)面積元的磁通量 xbxIalld2d0lalIbln20tddllt/ lalt/ lIbdddd20)(20allIabv（方向順時(shí)針?lè)较颍ǚ较蝽槙r(shí)針?lè)较颍?例例3例例4在勻強(qiáng)磁場(chǎng)在勻強(qiáng)磁場(chǎng) B 中，長(zhǎng)中，長(zhǎng) R 的銅棒繞其一端的銅棒繞其一端 O 在垂直于在垂直于 B 的的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為平面內(nèi)

3、轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為 B OR求求 棒上的電動(dòng)勢(shì)棒上的電動(dòng)勢(shì)解解 方法一方法一 (動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)):dlAlAOilBd)(vROlBdvROlBld22BR方向方向OA 方法二方法二(法拉第電磁感應(yīng)定律法拉第電磁感應(yīng)定律):d在在 dt 時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒切割磁場(chǎng)線(xiàn)時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒切割磁場(chǎng)線(xiàn)vd21d 2R B tiddtBRdd212221BR方向由楞次定律確定方向由楞次定律確定例例5在半徑為在半徑為R 的圓形截面區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)的圓形截面區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng) B ，一直導(dǎo)線(xiàn)，一直導(dǎo)線(xiàn)垂直于磁場(chǎng)方向以速度垂直于磁場(chǎng)方向以速度 v 掃過(guò)磁場(chǎng)區(qū)。掃過(guò)磁場(chǎng)區(qū)。求求 當(dāng)導(dǎo)線(xiàn)距區(qū)域中心軸當(dāng)導(dǎo)線(xiàn)距區(qū)域中心軸 垂直距

4、離為垂直距離為 r 時(shí)的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)時(shí)的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)vBrRab解解 方法一方法一 ：動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)bailBd)(vldbalBdv)(abBv222rRB vO方法二方法二 ：法拉第電磁感應(yīng)定律法拉第電磁感應(yīng)定律在在 dt 時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒切割磁場(chǎng)線(xiàn)時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒切割磁場(chǎng)線(xiàn)rBrRd2d22trrRBtidd2dd22222rRBv方向由楞次方向由楞次定律確定定律確定例例6 一被限制在半徑為一被限制在半徑為 R 的無(wú)限長(zhǎng)圓柱內(nèi)的均勻磁場(chǎng)的無(wú)限長(zhǎng)圓柱內(nèi)的均勻磁場(chǎng) B ， B 均均勻增加，勻增加，B 的方向如圖所示。的方向如圖所示。RONMCD求求 導(dǎo)體棒導(dǎo)體棒MN、CD的感生電動(dòng)勢(shì)的感生電動(dòng)勢(shì))

5、Rr(tBrEVdd2解解 方法一方法一(用感生電場(chǎng)計(jì)算用感生電場(chǎng)計(jì)算):NMVMNlEdldVE0DCVCDlEdDCVlEdcosLolrhtBrddd2hrtBhLdd2方法二方法二(用法拉第電磁感應(yīng)定律用法拉第電磁感應(yīng)定律): (補(bǔ)逆時(shí)針回路補(bǔ)逆時(shí)針回路 OCDO)tiddt/BLhd)2d(CDDOCDOCBtBhLdd2例例7 設(shè)一載流回路由兩根平行的長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)組成。設(shè)一載流回路由兩根平行的長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)組成。 daad 求求 這一對(duì)導(dǎo)線(xiàn)單位長(zhǎng)度的自感這一對(duì)導(dǎo)線(xiàn)單位長(zhǎng)度的自感L 解解 由題意，設(shè)電流回路由題意，設(shè)電流回路 IIIPr12)(2200rdIrIBPSBadadrhrdIrIa

6、dad)(2200取一段長(zhǎng)為取一段長(zhǎng)為 h 的導(dǎo)線(xiàn)的導(dǎo)線(xiàn)hraadIhln0aadIhLln0例例8 同軸電纜由半徑分別為同軸電纜由半徑分別為 R1 和和R2 的兩個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的兩個(gè)無(wú)限長(zhǎng)同軸導(dǎo)體和柱面組成同軸導(dǎo)體和柱面組成求求 無(wú)限長(zhǎng)同軸電纜單位長(zhǎng)度上的自感無(wú)限長(zhǎng)同軸電纜單位長(zhǎng)度上的自感II解解 由安培環(huán)路定理可知由安培環(huán)路定理可知21RrRrIBr2021Rr ,Rr0BSdSBddrlrIrd2021d20RRrrlrI120ln2RRIlr120ln2RRIlLrrl1R2Rr例例9 一無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)線(xiàn)通有電流一無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)線(xiàn)通有電流 tIIsin0現(xiàn)有一矩形線(xiàn)現(xiàn)有一矩形線(xiàn)框與長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)共面。（如圖所

7、示）框與長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)共面。（如圖所示）Ia2a23a求求 互感系數(shù)和互感電動(dòng)勢(shì)互感系數(shù)和互感電動(dòng)勢(shì)解解rIB20rdr穿過(guò)線(xiàn)框的磁通量穿過(guò)線(xiàn)框的磁通量232d/a/aSB3ln20Ialn320aIMtIMddtIacos3ln200互感系數(shù)互感系數(shù)互感電動(dòng)勢(shì)互感電動(dòng)勢(shì)例例10計(jì)算共軸的兩個(gè)長(zhǎng)直螺線(xiàn)管之間的互感系數(shù)計(jì)算共軸的兩個(gè)長(zhǎng)直螺線(xiàn)管之間的互感系數(shù)設(shè)兩個(gè)螺線(xiàn)管的半徑、長(zhǎng)度、設(shè)兩個(gè)螺線(xiàn)管的半徑、長(zhǎng)度、匝數(shù)為匝數(shù)為212121N,N,l ,l ,R,R12解解2121RR, lll1I設(shè)設(shè) lINB1101221221 RBN122210IRlNN2221021 RlNNM2I設(shè)設(shè) lINB220

8、2222112 RBN2221012 RlNNMMMM2112例例11 在相距為在相距為 2a 的兩根無(wú)限長(zhǎng)平行導(dǎo)線(xiàn)之間，有一半徑為的兩根無(wú)限長(zhǎng)平行導(dǎo)線(xiàn)之間，有一半徑為 a的導(dǎo)體圓環(huán)與兩者相切并絕緣，的導(dǎo)體圓環(huán)與兩者相切并絕緣，2aaa02O求求 互感系數(shù)互感系數(shù)解解MMM2112rIIraraIB1120SSBdSSBdrrararaIaad2112220設(shè)電流設(shè)電流IIa02IM rdBHwm21解解根據(jù)安培環(huán)路定理根據(jù)安培環(huán)路定理,螺繞環(huán)內(nèi)螺繞環(huán)內(nèi)rNIBr20rNIH222220421rINr1R2RhrrhVd2d取體積元取體積元VmmVwWd21d2822220RRrrrhrIN1

9、222ln4RRhINI例例12 一由一由 N 匝線(xiàn)圈繞成的螺繞環(huán)，通有電流匝線(xiàn)圈繞成的螺繞環(huán)，通有電流 I ，其中充有均勻，其中充有均勻磁介質(zhì)磁介質(zhì)求求 磁場(chǎng)能量磁場(chǎng)能量WmO例題例題13 設(shè)有一個(gè)長(zhǎng)直螺線(xiàn)管，長(zhǎng)為設(shè)有一個(gè)長(zhǎng)直螺線(xiàn)管，長(zhǎng)為l，截面積為，截面積為S，線(xiàn)圈總匝，線(xiàn)圈總匝數(shù)為數(shù)為N，求其自感系數(shù)。，求其自感系數(shù)。解解：忽略邊緣效應(yīng)，當(dāng)螺線(xiàn)管中通有電流：忽略邊緣效應(yīng)，當(dāng)螺線(xiàn)管中通有電流I時(shí)，管內(nèi)的磁感應(yīng)時(shí)，管內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為強(qiáng)度為IlNNnIB00通過(guò)螺線(xiàn)管的磁通量為通過(guò)螺線(xiàn)管的磁通量為m0NNBSNIl則螺線(xiàn)管的自感系數(shù)為則螺線(xiàn)管的自感系數(shù)為222m0002NNLSlSnVIll

10、式中式中V=LS為螺線(xiàn)管的體積為螺線(xiàn)管的體積。rr IB2rIH2 解解：由安培環(huán)路定理可求得兩筒之間距離軸線(xiàn)：由安培環(huán)路定理可求得兩筒之間距離軸線(xiàn)處處(見(jiàn)圖見(jiàn)圖10-16)的磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為的磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為圖圖10-16 10-16 例題例題10-510-5用圖用圖 例題例題10-510-5 同軸電纜由兩個(gè)同軸的圓筒型導(dǎo)體組成。設(shè)內(nèi)外同軸電纜由兩個(gè)同軸的圓筒型導(dǎo)體組成。設(shè)內(nèi)外圓筒型導(dǎo)體的半徑分別為圓筒型導(dǎo)體的半徑分別為R R1 1和和R R2 2，流過(guò)內(nèi)、外筒的電流均為，流過(guò)內(nèi)、外筒的電流均為I I。求單位長(zhǎng)度電纜的磁場(chǎng)能量，并由此計(jì)算電纜的自感系數(shù)。求單位長(zhǎng)度電纜的磁

11、場(chǎng)能量，并由此計(jì)算電纜的自感系數(shù)。 考慮到考慮到B與與H方向相同，且在方向相同，且在rR1和和rR2區(qū)域內(nèi)區(qū)域內(nèi)B=0，單，單位長(zhǎng)度電纜的磁場(chǎng)能量為位長(zhǎng)度電纜的磁場(chǎng)能量為 m11d2 d22 22IIWBHVr rrr1222ln4d421RRIrrIRR 由式由式（8-20）可得電纜的自感系數(shù)為可得電纜的自感系數(shù)為12ln2RRL 一一. 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出LIlHd1S2SLIR1S2SLIR對(duì)穩(wěn)恒電流對(duì)穩(wěn)恒電流對(duì)對(duì)S1面面LIlHd對(duì)對(duì)S2面面LlH0d矛矛盾盾穩(wěn)恒磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理已穩(wěn)恒磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理已不適用于非穩(wěn)恒電流的電路不適用于非穩(wěn)恒電流的電路二二. 位移電流假設(shè)位移電流假

12、設(shè)非穩(wěn)恒電路中，在傳導(dǎo)電流中斷處必發(fā)生電荷分布的變化非穩(wěn)恒電路中，在傳導(dǎo)電流中斷處必發(fā)生電荷分布的變化t/qIdd極板上電荷的時(shí)間變化率等于傳導(dǎo)電流極板上電荷的時(shí)間變化率等于傳導(dǎo)電流 4 電磁場(chǎng)電磁場(chǎng)變化磁場(chǎng)變化磁場(chǎng)產(chǎn)生感生電場(chǎng)產(chǎn)生感生電場(chǎng)變化電場(chǎng)變化電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)電荷分布的變化必引起電場(chǎng)的變化電荷分布的變化必引起電場(chǎng)的變化 t t)(tI)(tI tD電位移通量電位移通量DSDS tDD SttD tqDDIttqIdddd電位移通量的變化率等于傳導(dǎo)電流強(qiáng)度電位移通量的變化率等于傳導(dǎo)電流強(qiáng)度位移電流位移電流( (電場(chǎng)變化等效為一種電流電場(chǎng)變化等效為一種電流) )SDDSDttIdddd

13、d一般情況位移電流一般情況位移電流StDSd(以平行板電容器為例以平行板電容器為例)位移電流與傳導(dǎo)電流連接起來(lái)恰好構(gòu)成連續(xù)的閉合電流位移電流與傳導(dǎo)電流連接起來(lái)恰好構(gòu)成連續(xù)的閉合電流IRDI麥克斯韋提出全電流的概念麥克斯韋提出全電流的概念位移傳導(dǎo)全I(xiàn)II(全電流安培環(huán)路定理全電流安培環(huán)路定理)在普遍情形下，全電流在空間永遠(yuǎn)是連續(xù)不中斷的，并且在普遍情形下，全電流在空間永遠(yuǎn)是連續(xù)不中斷的，并且構(gòu)成閉合回路構(gòu)成閉合回路LIIIlH位移傳導(dǎo)全dSStDId傳導(dǎo)麥克斯韋將安培環(huán)路定理推廣麥克斯韋將安培環(huán)路定理推廣若傳導(dǎo)電流為零若傳導(dǎo)電流為零LlHdSStDd變化電場(chǎng)產(chǎn)生磁變化電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式場(chǎng)的

14、數(shù)學(xué)表達(dá)式Dj位移電流位移電流 密度密度三三. 位移電流、傳導(dǎo)電流的比較位移電流、傳導(dǎo)電流的比較1. 位移電流具有磁效應(yīng)位移電流具有磁效應(yīng)tIDddB與傳導(dǎo)電流相同與傳導(dǎo)電流相同2. 位移電流與傳導(dǎo)電流不同之處位移電流與傳導(dǎo)電流不同之處(1) 產(chǎn)生機(jī)理不同產(chǎn)生機(jī)理不同(2) 存在條件不同存在條件不同位移電流可以存在于真空中、導(dǎo)體中、介質(zhì)中位移電流可以存在于真空中、導(dǎo)體中、介質(zhì)中3. 位移電流沒(méi)有熱效應(yīng)，傳導(dǎo)電流產(chǎn)生焦耳熱位移電流沒(méi)有熱效應(yīng)，傳導(dǎo)電流產(chǎn)生焦耳熱例例 設(shè)平行板電容器極板為圓板，半徑為設(shè)平行板電容器極板為圓板，半徑為R ，兩極板間距為，兩極板間距為d,用緩變電流用緩變電流 IC 對(duì)電

15、容器充電對(duì)電容器充電CIR1P2P解解 任一時(shí)刻極板間的電場(chǎng)任一時(shí)刻極板間的電場(chǎng)0E0D 極板間任一點(diǎn)的位移電流極板間任一點(diǎn)的位移電流tDjDt 2 RIC由全電流安培環(huán)路定理由全電流安培環(huán)路定理SLCStDIlHdd1P2PCIrH1121012 rIBC222 rH22022rRIBCDIDjr22求求 P1 , ,P2 點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度例例 電荷電荷 +q 以速度以速度 v 向向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。在O點(diǎn)處作一半徑為點(diǎn)處作一半徑為 a 的圓，的圓，圓面與速度方向垂直。圓面與速度方向垂直。求求 通過(guò)該圓面的位移電流和圓周上各點(diǎn)處的通過(guò)該圓面的位移電流和圓周上各點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)

16、度磁感應(yīng)強(qiáng)度？qavrSDSDd解解 在任一時(shí)刻，穿過(guò)圓面的電位移通量在任一時(shí)刻，穿過(guò)圓面的電位移通量球冠DS24 rqrh2)cos1 (2rrq)1 (222axxqxv322ddrqatIDDPODLDIlHd由全電流安培環(huán)路定理由全電流安培環(huán)路定理aH 2DI34 raqHv24sinrqv運(yùn)動(dòng)電荷的磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)電荷的磁場(chǎng)四四. 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組1. 電場(chǎng)的高斯定理電場(chǎng)的高斯定理SiqSDd)d(VVSSDd0iq2. 磁場(chǎng)的高斯定理磁場(chǎng)的高斯定理SSBd000SSDDd)(21SSBBd)(21靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)、感應(yīng)電場(chǎng)是渦旋場(chǎng)靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)、感應(yīng)電場(chǎng)是渦旋場(chǎng)0dSSB傳導(dǎo)電流

17、、位移電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)都是無(wú)源場(chǎng)傳導(dǎo)電流、位移電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)都是無(wú)源場(chǎng)3. 電場(chǎng)的環(huán)路定理電場(chǎng)的環(huán)路定理LlEd0SStBdStBtlESLdddd 法拉第電磁感應(yīng)定律法拉第電磁感應(yīng)定律4. 全電流安培環(huán)路定理全電流安培環(huán)路定理LlHdiISStDdSLd)(dSjlHtDLlEEd)(21L21d)(lHH靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，變化磁場(chǎng)可以激發(fā)渦旋電場(chǎng)靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，變化磁場(chǎng)可以激發(fā)渦旋電場(chǎng)傳導(dǎo)電流和變化電場(chǎng)可以激發(fā)渦旋磁場(chǎng)傳導(dǎo)電流和變化電場(chǎng)可以激發(fā)渦旋磁場(chǎng)四個(gè)方程稱(chēng)為麥克斯韋方程組的積分形式四個(gè)方程稱(chēng)為麥克斯韋方程組的積分形式. .麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組能完全描述電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程能完全描述

18、電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程 例題例題10-6 一平行板電容器的兩極板都是半徑為一平行板電容器的兩極板都是半徑為5.0 cm5.0 cm的圓的圓導(dǎo)體片。設(shè)充電后電荷在極板上均勻分布，兩極板間電場(chǎng)強(qiáng)導(dǎo)體片。設(shè)充電后電荷在極板上均勻分布，兩極板間電場(chǎng)強(qiáng)度的時(shí)間變化率為度的時(shí)間變化率為dE/dt= 試求試求：(1)(1)兩兩極板間的位移電流極板間的位移電流I Id d；(2)(2)兩極板間磁場(chǎng)分布和極板邊緣處兩極板間磁場(chǎng)分布和極板邊緣處的磁場(chǎng)。的磁場(chǎng)。-1-113smV100 . 2 解解：(1)(1)兩極板間的位移電流為兩極板間的位移電流為 SStERStDttIdddddddddd20DdSD A4 . 1100 . 2100 . 514. 31085. 8132212dI(2)2)在垂直于該軸的平面上，取軸上一點(diǎn)為圓心，以在垂直于該軸的平面上，取軸上一點(diǎn)為圓心，以r r為半徑為半徑的圓作為積分環(huán)路。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，在此積分環(huán)路上磁場(chǎng)的圓作為積分環(huán)路。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，在此積分環(huán)路上磁場(chǎng)B B的大的大小相等，