B-S期權(quán)定價(jià)公式

1、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型 一、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的假設(shè)條件Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的七個(gè)假設(shè)條件如下：1. 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型中為股票），當(dāng)前時(shí)刻市場(chǎng)價(jià)格為S。S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即。 其中，為均值為零，方差為的無(wú)窮小的隨機(jī)變化值（，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值），為股票價(jià)格在單位時(shí)間內(nèi)的期望收益率，則是股票價(jià)格的波動(dòng)率，即證券收益率在單位時(shí)間內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)差。和都是已知的。簡(jiǎn)單地分析幾何布朗運(yùn)動(dòng)，意味著股票價(jià)格在短時(shí)期內(nèi)的變動(dòng)（即收益）來(lái)源于兩個(gè)方面：一是單位時(shí)

2、間內(nèi)已知的一個(gè)收益率變化，被稱(chēng)為漂移項(xiàng)，可以被看成一個(gè)總體的變化趨勢(shì)；二是隨機(jī)波動(dòng)項(xiàng)，即，可以看作隨機(jī)波動(dòng)使得股票價(jià)格變動(dòng)偏離總體趨勢(shì)的部分。2沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收，不考慮保證金問(wèn)題，即不存在影響收益的任何外部因素。3. 資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)是連續(xù)而均勻的，不存在突然的跳躍。4. 該標(biāo)的資產(chǎn)可以被自由地買(mǎi)賣(mài)，即允許賣(mài)空，且所有證券都是完全可分的。5. 在期權(quán)有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率保持不變，投資者可以此利率無(wú)限制地進(jìn)行借貸。6在衍生品有效期間，股票不支付股利。7所有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)均被消除。二、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型（一）B-S期權(quán)定價(jià)公式在上述假設(shè)條件的基礎(chǔ)上，Black和Scholes得

3、到了如下適用于無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的Black-Schole微分方程： 其中f為期權(quán)價(jià)格，其他參數(shù)符號(hào)的意義同前。通過(guò)這個(gè)微分方程，Black和Scholes得到了如下適用于無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式：其中，c為無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格；N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)（即這個(gè)變量小于x的概率），根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)特性，我們有。（二）Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的理解1. 可看作證券或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)的多頭；可看作K份現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)的多頭。可以證明，。為構(gòu)造一份歐式看漲期權(quán)，需持有份證券多頭，以及賣(mài)空數(shù)量為的現(xiàn)金。Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)公式用

4、于不支付股利的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)。注意： 該公式只在一定的假設(shè)條件下成立，如市場(chǎng)完美（無(wú)稅、無(wú)交易成本、資產(chǎn)無(wú)限可分、允許賣(mài)空）、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率保持不變、股價(jià)遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)等。2.風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理：我們可以注意到期權(quán)價(jià)格是與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率無(wú)關(guān)的。C(S, t)與 S、r、t、T、以及 K 有關(guān)，而與股票的期望收益率無(wú)關(guān)。這說(shuō)明歐式Call 的價(jià)格與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無(wú)關(guān)。在對(duì)歐式Call 定價(jià)時(shí)，可假設(shè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的（對(duì)所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)不要求額外回報(bào)，所有證券的期望收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率）。為了更好地理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，我們可以舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明。假設(shè)一種不支付紅利股票目

5、前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元。現(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。由于歐式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于3個(gè)月后股票的市價(jià)。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元，則該期權(quán)價(jià)值為0.5元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于9元，則該期權(quán)價(jià)值為0。為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元時(shí)，該組合價(jià)值等于（110.5）元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于9元時(shí)，該組合價(jià)值等于9元。為了使該組合價(jià)值處于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)闹?，?個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意

6、味著：110.5=9，我們解得：=0.25因此，一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。無(wú)論3個(gè)月后股票價(jià)格等于11元還是9元，該組合價(jià)值都將等于2.25元。在沒(méi)有套利機(jī)會(huì)情況下，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為：由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)為10元，因此：這就是說(shuō)，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為0.31元，否則就會(huì)存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。三、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的計(jì)算Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的計(jì)算：一個(gè)例子為了使讀者進(jìn)一步理解Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型，

7、我們下面用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，來(lái)說(shuō)明這一模型的計(jì)算過(guò)程。假設(shè)某種不支付紅利股票的市價(jià)為50元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為12%，該股票的年波動(dòng)率為10%，求該股票協(xié)議價(jià)格為50元、期限1年的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)價(jià)格。在本題中，可以將相關(guān)參數(shù)表達(dá)如下：S50，X50，r=0.12,=0.1,T=1,算出和： 計(jì)算和： 將上述結(jié)果及已知條件代入公式，這樣，歐式看漲期權(quán)價(jià)格為： 由可以算出歐式看跌期權(quán)價(jià)格：四、影響歐式看漲期權(quán)價(jià)格的因素從B-S公式我們可以簡(jiǎn)單得出以下的結(jié)論：(1)當(dāng)期股價(jià) S 越高，期權(quán)價(jià)格越高；(2)到期執(zhí)行價(jià)格 K 越高，期權(quán)價(jià)格越低；(3)距離到期日時(shí)間 T-t 越長(zhǎng)，期權(quán)價(jià)格越高；(4)股

8、價(jià)波動(dòng)率越大，期權(quán)價(jià)格越高；(5)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r 越高，期權(quán)價(jià)格越高。五、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的應(yīng)用Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式除了可以用來(lái)估計(jì)期權(quán)價(jià)格，在其它一些方面也有重要的應(yīng)用。主要有以下三方面：（一） 對(duì)公司負(fù)債及資本進(jìn)行估值：一家公司A發(fā)行兩種證券：普通股100萬(wàn)股及1年后到期的總面值8000萬(wàn)元的零息債券。已知公司總市值為1億元，問(wèn)：公司股票及債券如何定價(jià)？令V為當(dāng)前A公司資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)值，E為A公司資本市場(chǎng)價(jià)值，D為A公司債券市場(chǎng)價(jià)值。V = E + D考慮股東1年之后的收益：當(dāng)A公司價(jià)值VT大于債券面值時(shí)，收益為VT -8000；當(dāng)A公司價(jià)值小于債券面值

9、時(shí)，收益為0。股東相當(dāng)于持有一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為8000萬(wàn)元的歐式Call, 標(biāo)的資產(chǎn)為公司價(jià)值當(dāng)前資本價(jià)值為：給出其它具體數(shù)值，公司價(jià)值的波動(dòng)率為0.3,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為8%，根據(jù)B-S公司得到E=2824萬(wàn)元，公司負(fù)債價(jià)值D=V-E=7176萬(wàn)元。（二）確定貸款擔(dān)保價(jià)值或擔(dān)保費(fèi)用假設(shè)某銀行為公司發(fā)行的債券提供了信用擔(dān)保。 1年之后，若公司價(jià)值VT大于債券面值時(shí)，銀行無(wú)須支付；若公司價(jià)值VT小于債券面值時(shí),銀行須支付 VT B。這相當(dāng)于銀行出售了一個(gè)歐式put, 標(biāo)的資產(chǎn)仍為公司價(jià)值，執(zhí)行價(jià)格為債券面值B。利用上面的例子，可采用B-S看跌期權(quán)定價(jià)公式或看漲看跌期權(quán)平價(jià)公式，得到歐式put 的價(jià)值為20

10、9萬(wàn)元，A公司應(yīng)支付209萬(wàn)元的擔(dān)保費(fèi)。（三）帶有可轉(zhuǎn)化特征的融資工具的定價(jià)認(rèn)股權(quán)證指賦予投資者在某一時(shí)期以約定價(jià)格向發(fā)行人購(gòu)買(mǎi)公司新股的權(quán)利。假設(shè)公司有N股流通股，M份流通歐式認(rèn)股權(quán)證，一份認(rèn)股權(quán)證使持有人在時(shí)刻T以每股K的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)x股新股的權(quán)利。設(shè)時(shí)期T公司權(quán)益價(jià)值為ET ，若持有人選擇執(zhí)行認(rèn)股權(quán)，公司權(quán)益價(jià)值變?yōu)?ET + MxK ，股票數(shù)量變?yōu)?N+Mx 。執(zhí)行認(rèn)股權(quán)證后瞬間，股價(jià)變?yōu)?ET + MxK)/ (N+Mx)。只有當(dāng)這一股價(jià)大于執(zhí)行價(jià)格 K 時(shí)，持有人才會(huì)執(zhí)行認(rèn)股權(quán)。（1）當(dāng)ET/N>K時(shí)，持有人執(zhí)行，其收益為:（2）當(dāng)ET/N>K時(shí)，持有人不執(zhí)行，其收益為0。

11、一份認(rèn)股權(quán)證的價(jià)值為:其中C是基于公司股票價(jià)格的歐式Call，執(zhí)行價(jià)格為K。利用B-S公式得一份認(rèn)股權(quán)證的價(jià)值。六、B-S期權(quán)定價(jià)公式的不足B-S公式當(dāng)然也有其不足之處，首先Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式估計(jì)的期權(quán)價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格存在差異，主要的原因有以下幾點(diǎn)：1) Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式是建立在眾多假定的基礎(chǔ)上的，而我們現(xiàn)實(shí)的市場(chǎng)是不滿(mǎn)足它的很多假設(shè)條件的，因此，利用B-S公式計(jì)算出來(lái)的期權(quán)價(jià)格與真實(shí)的市場(chǎng)價(jià)格之間肯定會(huì)存在差異的；2) 參數(shù)的錯(cuò)誤：B-S公式中的參數(shù)實(shí)際上是需要我們自己估算的，我們只能根據(jù)歷史數(shù)據(jù)來(lái)估算參數(shù)，這之間就存在一個(gè)誤差；3) 期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格偏離

12、均衡，此時(shí)的期權(quán)價(jià)格的估算顯然沒(méi)有其實(shí)際意義。其次，對(duì)于無(wú)收益資產(chǎn)的期權(quán)而言,B-S模型適合歐式看跌期權(quán)和看漲期權(quán)。同時(shí)可以適用于美式看漲期權(quán)，因?yàn)樵跓o(wú)收益情況下，美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行是不可取的，它的期權(quán)執(zhí)行日也就是到期日，所以B-S公式也適用美式看漲期權(quán)；對(duì)于美式看跌，由于可以提前執(zhí)行，故不適合； 對(duì)于有收益資產(chǎn)的期權(quán)而言，只需改變收益現(xiàn)值（即變?yōu)闃?biāo)的證券減去收益折現(xiàn)），B-S公式也適用于歐式看跌期權(quán)和看漲期權(quán)；在標(biāo)的存在收益時(shí)，美式看漲和看跌期權(quán)存在執(zhí)行的可能性，因此B-S公式不適用。人與人之間的距離雖然摸不著，看不見(jiàn)，但的的確確是一桿實(shí)實(shí)在在的秤。真與假，善與惡，美與丑，盡在秤桿上可以看

13、出；人心的大小，胸懷的寬窄，撥一撥秤砣全然知曉。人與人之間的距離，不可太近。與人太近了，常常看人不清。一個(gè)人既有優(yōu)點(diǎn)，也有缺點(diǎn)，所謂人無(wú)完人，金無(wú)赤足是也。初識(shí)時(shí)，走得太近就會(huì)模糊了不足，寵之；時(shí)間久了，原本的美麗之處也成了瑕疵，嫌之。與人太近了，便隨手可得，有時(shí)得物，據(jù)為己有，太過(guò)貪財(cái)；有時(shí)得人，為己所用，也許貪色。貪財(cái)也好，貪色亦罷，都是一種貪心。與人太近了，最可悲的就是會(huì)把自己丟在別人身上，找不到自己的影子，忘了回家的路。這世上，根本沒(méi)有零距離的人際關(guān)系，因?yàn)槿丝偸怯幸环葑运降?，人與人之間太近的距離，易滋生事端，恩怨相隨。所以，人與人相處的太近了，便漸漸相遠(yuǎn)。人與人之間的距離也不可太遠(yuǎn)。

14、太遠(yuǎn)了，就像放飛的風(fēng)箏，過(guò)高斷線。太遠(yuǎn)了，就像南徙的大雁，失群哀鳴。太遠(yuǎn)了，就像失聯(lián)的旅人，形單影只。人與人之間的距離，有時(shí)，先遠(yuǎn)后近；有時(shí)，先近后遠(yuǎn)。這每次的變化之中，總是有一個(gè)難以忘記的故事或者一段難以割舍的情。有時(shí)候，人與人之間的距離，忽然間近了，其實(shí)還是遠(yuǎn)；忽然間遠(yuǎn)了，肯定是傷了誰(shuí)。人與人之間的距離，如果是一份信箋，那是思念；如果是一個(gè)微笑，那是寬容；如果是一句問(wèn)候，那是友誼；如果是一次付出，那是責(zé)任。這樣的距離，即便是遠(yuǎn)，但也很近。最怕的，人與人之間的距離就是一句失真的讒言，一個(gè)不屑的眼神，一疊誘人的紙幣，或者是一條無(wú)法逾越的深谷。這樣的距離，即便是近，但也很遠(yuǎn)。人與人之間最美的距離

15、，就是不遠(yuǎn)不近，遠(yuǎn)中有近，近中有遠(yuǎn)，遠(yuǎn)而不離開(kāi)，近而不相丟。太遠(yuǎn)的距離，只需要一份寬容，就不會(huì)走得太遠(yuǎn)而行同陌人；太近的距離，只需要一份自尊，就不會(huì)走得太近而丟了自己。不遠(yuǎn)不近的距離，多像一朵艷麗的花，一首悅耳的歌，一首優(yōu)美的詩(shī)。人生路上，每個(gè)人的相遇、相識(shí)，都是一份緣，我們都是相互之間不可或缺的伴。人與人之間的距離雖然摸不著，看不見(jiàn)，但的的確確是一桿實(shí)實(shí)在在的秤。真與假，善與惡，美與丑，盡在秤桿上可以看出；人心的大小，胸懷的寬窄，撥一撥秤砣全然知曉。人與人之間的距離，不可太近。與人太近了，常?？慈瞬磺濉Ｒ粋€(gè)人既有優(yōu)點(diǎn)，也有缺點(diǎn)，所謂人無(wú)完人，金無(wú)赤足是也。初識(shí)時(shí)，走得太近就會(huì)模糊了不足，寵之

16、；時(shí)間久了，原本的美麗之處也成了瑕疵，嫌之。與人太近了，便隨手可得，有時(shí)得物，據(jù)為己有，太過(guò)貪財(cái)；有時(shí)得人，為己所用，也許貪色。貪財(cái)也好，貪色亦罷，都是一種貪心。與人太近了，最可悲的就是會(huì)把自己丟在別人身上，找不到自己的影子，忘了回家的路。這世上，根本沒(méi)有零距離的人際關(guān)系，因?yàn)槿丝偸怯幸环葑运降模伺c人之間太近的距離，易滋生事端，恩怨相隨。所以，人與人相處的太近了，便漸漸相遠(yuǎn)。人與人之間的距離也不可太遠(yuǎn)。太遠(yuǎn)了，就像放飛的風(fēng)箏，過(guò)高斷線。太遠(yuǎn)了，就像南徙的大雁，失群哀鳴。太遠(yuǎn)了，就像失聯(lián)的旅人，形單影只。人與人之間的距離，有時(shí)，先遠(yuǎn)后近；有時(shí)，先近后遠(yuǎn)。這每次的變化之中，總是有一個(gè)難以忘記的故事或者一段難以割舍的情。有時(shí)候，人與人之間的距離，忽然間近了，其實(shí)還是遠(yuǎn)；忽然間遠(yuǎn)了，肯定是傷了誰(shuí)。人與人之間的距離，如果是一份信箋，那是思念；如果是一個(gè)微笑，那是寬容；如果是一句問(wèn)候，那是友誼；