無(wú)窮級(jí)數(shù)吳贛昌理工類

1、第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù)11.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) （為常數(shù)）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性若則收斂，（:前項(xiàng)部分和）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常用的性質(zhì)1. ，收斂收斂,且2. 則與同收同發(fā)3. 加入有限項(xiàng)或去掉有限項(xiàng),不改變級(jí)數(shù)的斂散性.4收斂(收斂的必要條件)常用的結(jié)論當(dāng)時(shí)收斂其和為，當(dāng)時(shí)發(fā)散.例題分析1. 已給級(jí)數(shù)，1)寫出此級(jí)數(shù)的前二項(xiàng),;2) 計(jì)算部分和,;3) 計(jì)算第項(xiàng)部分和;4) 用級(jí)數(shù)收斂性定義驗(yàn)證這個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的，并求其和.知識(shí)點(diǎn)：前項(xiàng)部分和,常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性.解： 1) ,2) ; 3)4) ,收斂,其和為 .2. 求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和.知識(shí)點(diǎn)：前項(xiàng)部分和.思路: 利用

2、解： 令 則以上兩式相減得 即,，.注：利用等比級(jí)數(shù) 判別級(jí)數(shù)的收斂性及求和是常用的方法.3設(shè)收斂,討論下列級(jí)數(shù)的斂散性: 1) 2) ; 3) .知識(shí)點(diǎn)：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性.思路: 利用常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì).解：1) 發(fā)散.注： ，則發(fā)散是判別級(jí)數(shù)發(fā)散常用的方法.2) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì): 加入有限項(xiàng)或去掉有限項(xiàng),不改變級(jí)數(shù)的斂散性.去掉前1000項(xiàng)得的級(jí)數(shù)仍收斂3) ,發(fā)散. 課后習(xí)題全解習(xí)題11-1 1.寫出下列級(jí)數(shù)的前五項(xiàng)：(1) (2)(3) (4)解：(1).(2).(3) .(4) 2.寫出下列級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)：(1) (2) (3) (4)(5) (6)解：(1) .(2).(3) .(

3、4) .(5) .(6) .3.根據(jù)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義判定下列級(jí)數(shù)的收斂性:(1) ; (2);(3).解：(1) . 所以,原級(jí)數(shù)收斂.(2) . 所以,原級(jí)數(shù)收斂.(3) , 所以,原級(jí)數(shù)發(fā)散.注：另解 所以不存在，原級(jí)數(shù)發(fā)散.4.判定下列級(jí)數(shù)的收斂性:(1) (2)(3) (4)(5) (6)解：(1)此為等比級(jí)數(shù)，因公比，且，故此級(jí)數(shù)收斂于(2) 級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)：,由調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散和級(jí)數(shù)的性質(zhì)，知題設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散.(3) 原級(jí)數(shù)發(fā)散.(4) , 原級(jí)數(shù)發(fā)散.(5)均為等比級(jí)數(shù)且公比分別為均收斂， 故原級(jí)數(shù)收斂.(6). 原級(jí)數(shù)發(fā)散.5.求級(jí)數(shù)的和.解：.6.求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和.解：, (上兩式

4、相減).7.設(shè)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和為，求級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)及和.解：, 且.8.利用柯西審斂原理判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：(1) ； (2) ； (3).解：(1)對(duì)于任意自然數(shù)，因?yàn)椋罱獾茫┕什环猎O(shè)當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意自然數(shù)，都有 由柯西審斂原理，知所給級(jí)數(shù)收斂.(2) 對(duì)于任意自然數(shù)，因?yàn)楣什环猎O(shè)當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意自然數(shù)，都有 由柯西審斂原理，知所給級(jí)數(shù)收斂. (3)，因?yàn)轫?xiàng)故取對(duì)于任意，使得 由柯西審斂原理，知所給級(jí)數(shù)發(fā)散. 提高題1.判定下列級(jí)數(shù)的收斂性:1) ; 2) ; 3) ; 4) . 解：1) 收斂，發(fā)散， 發(fā)散.2) 發(fā)散.3) 發(fā)散.4) 由數(shù)列單調(diào)遞增趨于知： 即，,發(fā)散.2. 求下列級(jí)數(shù)的和.

5、1); 2) 解：1) . , .2) , . 11.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容正項(xiàng)級(jí)數(shù) （為常數(shù)，）正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法1.比較判別法一般形式若當(dāng)為大于的常數(shù)，則1) 收斂收斂. 2) 發(fā)散發(fā)散極限形式若，則1) ,這兩級(jí)數(shù)同時(shí)收斂同時(shí)發(fā)散.2) ,收斂收斂.3) ,發(fā)散發(fā)散.2比值判別法,則1) ,級(jí)數(shù)收斂；2) ,級(jí)數(shù)發(fā)散;3) ,本法失效.3.根值判別法,則1) ,級(jí)數(shù)收斂；2) ,級(jí)數(shù)發(fā)散;3) ,本法失效.4. 積分判別法若存在上單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù)，使得，則1） 收斂收斂.2) 發(fā)散發(fā)散.常用的結(jié)論當(dāng)時(shí)收斂其和為，當(dāng)時(shí)發(fā)散.級(jí)數(shù)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散例題分析1. 用比較判別法或

6、極限判別法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：1) 2) 3) 4) .知識(shí)點(diǎn)：比較判別法.思路:比較判別法的特點(diǎn)：先要初步估計(jì)一下被判級(jí)數(shù)的斂散性，然后找一個(gè)已知斂散性級(jí)數(shù)與之對(duì)比。這就要求我們初步判斷正確，同時(shí)要掌握一些已知其斂散性的級(jí)數(shù)。常用的級(jí)數(shù)有兩個(gè)：等比級(jí)數(shù)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散,級(jí)數(shù)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散.解： 1) 分析：與當(dāng)時(shí)是同階無(wú)窮小.估計(jì)是發(fā)散的。 而發(fā)散, 由比較判別法知發(fā)散. 2) 分析：此題無(wú)法直接用比較判別法，因隨的增加而變化，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)等于1，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)等于3，即分母不超過(guò)3，因此有。 ， 而收斂, 由比較判別法知收斂 3) 分析： （），估計(jì)是收斂的. , 而收斂, 收斂.4) 分析：

7、（），而收斂, 收斂.小結(jié)：比較判別法判斷級(jí)數(shù)的斂散性，一般可從等價(jià)無(wú)窮小量出發(fā)，找一個(gè)已知斂散性的級(jí)數(shù)與之比較.2. 用比值判別法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：1) ; 2) 3)解：1) 由比值判別法知收斂.2) 由比值判別法知收斂.3) 由比值判別法知發(fā)散. 小結(jié)：通過(guò)上面1)- 3)題，當(dāng)一般項(xiàng)中含有等，或與有公因子時(shí)，常用比值判別法.3.用根值判別法與積分判別法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性： 1) ; 2) 解：1) 由根值判別法知，級(jí)數(shù)收斂.2)設(shè) 則顯然在時(shí)非負(fù)且連續(xù)，因 故在時(shí)單調(diào)減少. 由積分判別法知發(fā)散. 小結(jié)：當(dāng)一般項(xiàng)中含有等時(shí)，常用根值判別法. 課后習(xí)題全解習(xí)題11-2 1.用比較判別

8、法或極限判別法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：(1) (2) (3) (4) (5) (6)(7) (8) (9) 解： (1) , 而發(fā)散,發(fā)散.(2) 法一:, ,而發(fā)散, 發(fā)散.法二:,而發(fā)散, 由比較判別法知發(fā)散.(3) ,與級(jí)數(shù)比較.,而收斂, 收斂. (4) ,與級(jí)數(shù)比較.,而收斂, 收斂.(5) ,與級(jí)數(shù)比較.，收斂.(6) ,與幾何級(jí)數(shù)比較.，而收斂,收斂.(7) ,與調(diào)和級(jí)數(shù)比較. ，而發(fā)散,發(fā)散.(8) 當(dāng)時(shí), 發(fā)散.當(dāng)時(shí), ,這時(shí) 由幾何級(jí)數(shù)收斂,知收斂.(9) 法一：,與調(diào)和級(jí)數(shù)比較.而發(fā)散,發(fā)散.法二: ,而發(fā)散, 發(fā)散.2.用比值判別法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：(1) (2) (

9、3)(4) (5)(6) (7) (8)解： (1) 由比值判別法知發(fā)散.(2) ，由比值判別法知,原級(jí)數(shù)收斂.(3) ，由比值判別法知,題設(shè)級(jí)數(shù)收斂.(4) ，由比值判別法知,題設(shè)級(jí)數(shù)收斂.(5) 由比值判別法知,題設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散.(6) 當(dāng) 時(shí)，由比值判別法知發(fā)散;當(dāng) 時(shí)，由比值判別法知收斂；當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)為；當(dāng) 時(shí)發(fā)散，當(dāng) 時(shí)收斂.(7) 由比值判別法知,題設(shè)級(jí)數(shù)收斂.(8) ，由比值判別法知,題設(shè)級(jí)數(shù)收斂.3.用根值判別法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性： (1) (2) (3)(4) (5) (6)解：(1) 由根值判別法知，級(jí)數(shù)收斂.(2) 由根值判別法知，級(jí)數(shù)收斂.(3) 由根值判別法知，級(jí)數(shù)收斂

10、.(4) 由根值判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散.(5) 由根值判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散.(6) 由根值判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散.4.用積分判別法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性： (1) (2)解：(1)設(shè) 則顯然在時(shí)非負(fù)且連續(xù)，因 故在時(shí)單調(diào)減少.由積分判別法 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí)綜合上述知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)收斂.(2)設(shè) 則顯然在時(shí)非負(fù)且連續(xù)，因 故在時(shí)單調(diào)減少.由積分判別法 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí)題設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散.(例11)故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)收斂.5.若及收斂。證明下列級(jí)數(shù)也收斂：（1） （2） （3）解：(1) ， 收斂.(2) ， 收斂.(3) 在(1)中取，得收斂.6.判別級(jí)數(shù)的收斂性，其中且均為正數(shù).解：所以當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，不能判

11、別級(jí)數(shù) 的斂散性7.設(shè)若收斂,則也收斂.解：,故收斂,則也收斂.8.設(shè),試討論正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性. 解： 故當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散. 提高題1.判定下列級(jí)數(shù)的收斂性:1) ; 2) ; 3) ; 4) . 解：1) （）， 而收斂, 收斂.2) 法一：,又級(jí)數(shù) 發(fā)散. 發(fā)散法二：而發(fā)散, 由比較判別法知發(fā)散.3) 由比值判別法易知收斂， 收斂.4) 同時(shí)原級(jí)數(shù)與同時(shí)收斂，同時(shí)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)在時(shí)收斂，在時(shí)發(fā)散.2.求級(jí)限.解: 考慮級(jí)數(shù),其通項(xiàng)為 由比值判別法知,級(jí)數(shù)收斂. 由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知. 11.3 一般常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容絕對(duì)收斂 條件收斂發(fā)散, 收斂.萊布尼茲判別法

12、:交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足下面兩條件:1) , 2) ,則級(jí)數(shù)收斂，且其和的絕對(duì)值小于首項(xiàng).例題分析1. 判別級(jí)數(shù)下列級(jí)數(shù)的收斂性,若收斂,是條件收斂還是絕對(duì)收斂?1) 2) 3) 知識(shí)點(diǎn)：絕對(duì)收斂, 條件收斂.思路:先要判別級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性，若不絕對(duì)收斂，再判別級(jí)數(shù)的條件收斂性。 解：1) 收斂，故 絕對(duì)收斂.2) 而發(fā)散, 由比較判別法知發(fā)散.但1)2) ,即由萊布尼茲判別法知，條件收斂.注：考察與的大小，常用的方法有如下三種： 法一，看是否小于. 法二，看是否大于. 法三，看對(duì)的導(dǎo)數(shù)是否小于.（此時(shí)將看成連續(xù)自變量）。此題用法二，法一，法三留給讀者自己分析。 3) ，原級(jí)數(shù)發(fā)散.問(wèn)題：1)一個(gè)交錯(cuò)級(jí)

13、數(shù)，如果它不滿足萊布尼茲條件是否一定發(fā)散.2) 交錯(cuò)級(jí)數(shù),如果，該級(jí)數(shù)是否一定發(fā)散 課后習(xí)題全解習(xí)題11-31.判別級(jí)數(shù)下列級(jí)數(shù)的收斂性,若收斂,是條件收斂還是絕對(duì)收斂?(1) (2) (3).(4) (5) (6)解：(1)顯然原級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂（的級(jí)數(shù)）,且 由萊布尼茨判別法知，原級(jí)數(shù)條件收斂.(2) ,絕對(duì)值級(jí)數(shù)收斂，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.(3) ，且 收斂，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.(4) 當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為條件收斂.(5) 因,所以收斂; 因,所以收斂; 原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.(6), 由比值判別法知,原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.2數(shù)是絕對(duì)收斂，條件收斂，還是發(fā)散.解： 原級(jí)數(shù)為交

14、錯(cuò)級(jí)數(shù) 上單調(diào)遞增,且單調(diào)下降且, 原級(jí)數(shù)收斂.又發(fā)散( )所以原級(jí)數(shù)條件收斂.3判別級(jí)數(shù)的收斂性.解： ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng)時(shí)由條件收斂; 收斂; 絕對(duì)收斂，知原級(jí)數(shù)條件收斂.4討論取何值時(shí)，下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，條件收斂.(1) (2) 解：(1) ,由根值判別法知，當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散.( 當(dāng)時(shí)顯然發(fā)散)(2) 顯然 ，當(dāng)充分大時(shí)， 由比較判別法知，當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)條件收斂.5.設(shè)在的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。且 試證明：級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.證明：由，知，且又收斂，絕對(duì)收斂. 提高題1. 判別級(jí)數(shù)下列級(jí)數(shù)的收斂性,若收斂,是條件收斂還是絕對(duì)收斂?1)

15、; 2) . 解：1) 當(dāng)充分大時(shí)，,由, 而發(fā)散知發(fā)散,原級(jí)數(shù)去掉有限項(xiàng)后為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且此時(shí)單調(diào)減少趨于，原級(jí)數(shù)條件收斂.2), 發(fā)散.2.設(shè)為實(shí)數(shù),討論級(jí)數(shù)收斂性.解：1)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)是萊布尼茲型交錯(cuò)級(jí)數(shù)，故條件收斂.2)當(dāng)時(shí)，取前項(xiàng)之和： 發(fā)散， 收斂 （常數(shù)），原級(jí)數(shù)發(fā)散.3)當(dāng)時(shí)，取前項(xiàng)之和： 考慮級(jí)數(shù)， 且發(fā)散， . 發(fā)散 從而發(fā)散，且（當(dāng)充分大時(shí)）， ，原級(jí)數(shù)發(fā)散.綜合上述：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)收斂.2.若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，試證級(jí)數(shù)，絕對(duì)收斂.解：絕對(duì)收斂, 當(dāng)充分大時(shí), 此時(shí), 絕對(duì)收斂. 又,由比值判別法知, 絕對(duì)收斂.,收斂,即絕對(duì)收斂.11.4 冪級(jí)數(shù)內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容冪級(jí)數(shù)收斂

16、半徑若或則 收斂半徑注意：利用此公式時(shí)要求的冪級(jí)數(shù)不能有間隔.冪級(jí)數(shù)常用的性質(zhì)1 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù).2 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上可積，并在上有逐項(xiàng)積分公式且逐項(xiàng)積分后得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.3 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并在內(nèi)有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 且逐項(xiàng)求導(dǎo)后得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.例題分析1.求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域.（1） （2） （3）;知識(shí)點(diǎn)：收斂半徑，收斂域.思路:先求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,然后,再判別級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性,得出冪級(jí)數(shù)的收斂域.解：（1），收斂半徑 當(dāng)時(shí)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散. 從而冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)椋?）法一：

17、 當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為發(fā)散 綜上所述，原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? 注：此冪級(jí)數(shù)中，的冪缺奇次冪故不能直接用公式,直接用比值判別法.但令則原冪級(jí)數(shù)變?yōu)榭捎么斯? 法二：令則原冪級(jí)數(shù)變?yōu)? 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為發(fā)散. 故原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?（3）法一：令，原級(jí)數(shù)變?yōu)橐驗(yàn)楫?dāng)時(shí)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散,當(dāng)時(shí)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，從而冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?即.法二：因?yàn)?當(dāng)，即時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 當(dāng)時(shí)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散,當(dāng)時(shí)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?2.求的收斂域及和函數(shù)，并求級(jí)數(shù).知識(shí)點(diǎn)：收斂域, 和函數(shù)思路:先求收斂域,再用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及求和函數(shù)，最后利用，選取適當(dāng)?shù)?/p>

18、值計(jì)算. 解： 求的收斂域. 因?yàn)?，且當(dāng)時(shí)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散.所以原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榍蟮暮秃瘮?shù)設(shè) 則也可如下計(jì)算: . .求級(jí)數(shù)的和取, 則 故.3. 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解: 求的收斂域.當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為,是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù): 當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為,是發(fā)散的. 收斂域?yàn)?求的和函數(shù)設(shè) , 于是 當(dāng)時(shí),有 (也可由得出)故 課后習(xí)題全解習(xí)題11-4 1. 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)解：(1)，收斂半徑.當(dāng)時(shí)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)值級(jí)數(shù)為顯然級(jí)數(shù)收斂，從而冪級(jí)數(shù)在也收斂，收斂域?yàn)?2)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為是發(fā)散的; 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為是收斂的.所以原冪級(jí)數(shù)的收斂域

19、為(3)原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?(4)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為,它絕對(duì)值級(jí)數(shù)為是收斂的.從而冪級(jí)數(shù)在也收斂, 原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?(5)當(dāng)時(shí)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)條件收斂;當(dāng)時(shí)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散.故原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?6) 當(dāng)時(shí)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)條件收斂.故原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?7)令，原級(jí)數(shù)變?yōu)?當(dāng)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)值級(jí)數(shù)為,顯然級(jí)數(shù)收斂，從而冪級(jí)數(shù)在也收斂，收斂域?yàn)? 即, 原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?(8)令，原級(jí)數(shù)變?yōu)?當(dāng)時(shí)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)條件收斂.故級(jí)數(shù)收斂域?yàn)? 即, 原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?9)當(dāng)即時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.當(dāng)即時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)分別為與都收斂.綜上所述，原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?2.求下列冪

20、級(jí)數(shù)的收斂半徑:(1) (2)解：(1) (2)記 則 原級(jí)數(shù)收斂半徑為 3. 求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù):(1) (2) (3) 解：(1)顯然 的收斂域?yàn)?.(2) 易求得 的收斂域?yàn)?時(shí), 設(shè) (注：) (也可：)+ 故.(3)顯然 的收斂域?yàn)?4.求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù),并求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.解：,.5.試求極限其中解： ,考慮級(jí)數(shù)., .6.求級(jí)數(shù)的和.解： 考慮 . 提高題1.求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域: (1) (2).解: （1）當(dāng)時(shí)，發(fā)散；當(dāng)時(shí)， ，且收斂，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?）記 又 .當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，由知發(fā)散;當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為,由單調(diào)減少趨于零知收斂.故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?2. 冪

21、級(jí)數(shù)的收斂半徑為,則冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 ( ).解: 令,則 冪級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)的收斂半徑相同, 從而,即3.求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù).解: 記當(dāng),即時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為,發(fā)散,收斂, 發(fā)散.原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?設(shè) , 則 11.5 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容泰勒級(jí)數(shù)麥克老林級(jí)數(shù)七個(gè)常用的冪級(jí)數(shù)展開式4 56 78910例題分析1. 將下列函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù):知識(shí)點(diǎn)：麥克勞林級(jí)數(shù)思路:以函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的唯一性作為依據(jù),利用七個(gè)常用的冪級(jí)數(shù)展開式,通過(guò),變量代換,逐項(xiàng)積分,逐項(xiàng)微分等方法歸為七個(gè)常用的冪級(jí)數(shù)展開式的形式,從而求得所給函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式.(1); (2); (3).解

22、：(1)又 令,則,(2) 利用法一： 即, 即.法二：注：1.展開時(shí)分子上的可以放在括號(hào)外面，暫不考慮。 2.兩種做法結(jié)果是一樣的.(讀者自己思考一下互換). (3)利用法一：， 而 法二： （用冪級(jí)數(shù)的乘法） 2. 將展開成的冪級(jí)數(shù):知識(shí)點(diǎn)：麥克老林級(jí)數(shù)思路: 看作一整體,利用,故將寫成解： 課后習(xí)題全解 習(xí)題11-51.將下列函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù),并求其成立的區(qū)間:(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：(1) (2) ， (3) (4) (5) (6) 2. 將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù).解：3. 將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù).解： 4. 將函數(shù)在展開成的冪級(jí)數(shù).解： 滿足且,即5. 將函數(shù)

23、展開成的冪級(jí)數(shù).解： 6. 將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù).解： 7. 將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù).解： 8. 將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù).解： 9. 積分定義的誤差函數(shù)在工程學(xué)中十分重要,試把它展開成的冪級(jí)數(shù).解：提高題1. 將展開成的冪級(jí)數(shù).思路: 把作一整體, 利用的展開式, 解： 又2. 將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù) 解：,3. 將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù),并求的和.解：,又當(dāng)時(shí),由收斂.令,得 又,故4. 設(shè)將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù),并求的和.解： 當(dāng)時(shí), . 11.6 冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容余項(xiàng)結(jié)論滿足萊布尼茨條件的交錯(cuò)級(jí)數(shù),有例題分析1.求的近似值,使誤差小于.思路:因?yàn)樗脑瘮?shù)是不能用初等函數(shù)表達(dá)，所以先

24、求的冪級(jí)數(shù)展開式，再逐項(xiàng)積分求的冪級(jí)數(shù)展開式，算出其近似值.解：1) 先將展開成的冪級(jí)數(shù).，2) 求的冪級(jí)數(shù)展開式.3) 算出其近似值.此為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，故，逐項(xiàng)計(jì)算，直到即可.取即可.注:當(dāng)熟練后1)，2)可合并.2. 求的近似值,使誤差小于.思路: 令可得 此為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，欲,要取，計(jì)算量太大，故選一收斂較快的級(jí)數(shù)來(lái)代替它.解：令解得，以代入最后一個(gè)展開式，得 取前四項(xiàng)作為的近似值，則誤差為 課后習(xí)題全解習(xí)題11-61. 利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值:(1) (誤差不超過(guò))； (2) (精確到).解：(1) ， 欲只要， 即 取 . (2)，（弧度） 此為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，故，計(jì)算 所以 ，

25、 故.2. 利用被積函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式求下列定積分的近似值:(1) (精確到)； （2）(精確到).解：(1) 此為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，計(jì)算（2）， 此為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，故 欲只需.3. 求正弦曲線的弧長(zhǎng)，并精確到.解： 又此為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，故，取到,計(jì)算.4. 將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù).解： 5. 求下列級(jí)數(shù)的和: (1) (2) 解：(1) 思路: 考慮 設(shè) ,顯然其收斂域. 故 . (2) 思路: 考慮 設(shè) , 顯然其收斂域, ,.提高題1. 求的近似值,使誤差小于思路: 利用解： 此為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，試算 .2. 求的近似值,使誤差小于.思路: 利用 解： (放大成等比級(jí)數(shù)) 當(dāng)時(shí), 3. 求的近似值,使誤差小于.

26、解： 此為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，故，計(jì)算 .11.7 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容一致收斂(僅與有關(guān)而與無(wú)關(guān))，當(dāng)恒有 魏爾斯特拉斯判別法在區(qū)間上滿足：(1) ； （2）收斂，則在區(qū)間上一致收斂.一致收斂級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)（連續(xù)性，逐項(xiàng)積分）若1. 在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，. 2) 在內(nèi)一致收斂 則 1) 和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù), 2) 2. (逐項(xiàng)微分) 若1) 在內(nèi)收斂; 2) 在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，;3) 在內(nèi)一致收斂.則 1) 在內(nèi)一致收斂; 2) . 例題分析1.證明：級(jí)數(shù)在區(qū)間上收斂且一致收斂,但不絕對(duì)收斂.知識(shí)點(diǎn)：收斂域,一致收斂，絕對(duì)收斂.思路:先證明在區(qū)間上收斂，再證明一致收斂,最后證明不絕對(duì)收斂

27、.解：1)證明在區(qū)間上收斂.為交錯(cuò)級(jí)數(shù)且，有1) , 2) 交錯(cuò)級(jí)數(shù)在處收斂，由的任意性知，級(jí)數(shù)在區(qū)間上收斂.2)證明一致收斂，由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的性質(zhì)知欲只需取， 當(dāng)時(shí)， 恒有 交錯(cuò)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.3)證明不絕對(duì)收斂.， 由發(fā)散知發(fā)散，在處不絕對(duì)收斂,由的任意性知，級(jí)數(shù)在區(qū)間上不絕對(duì)收斂.注:由本題可知級(jí)數(shù)一致收斂不一定絕對(duì)收斂,還可說(shuō)明絕對(duì)收斂不一定一致收斂.(看習(xí)題11-7的第7題).2討論在所給區(qū)間上的一致收斂性.知識(shí)點(diǎn)：一致收斂.思路: 用魏爾斯特拉斯判別法解： 而級(jí)數(shù)收斂，由魏爾斯特拉斯判別法，原級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.課后習(xí)題全解習(xí)題11-71.證明：級(jí)數(shù) 在區(qū)間上一致收斂.證明：此級(jí)數(shù)

28、的部分和 取，當(dāng)時(shí) 恒有 故原級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂. 2. 設(shè)等比級(jí)數(shù)證明：(1)級(jí)數(shù)在上不是一致收斂到極限函數(shù)(2)級(jí)數(shù)在內(nèi)部任意一個(gè)閉區(qū)間上一致收斂到極限函數(shù)解：(1), .取，對(duì)任意自然數(shù)，令故原級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)不一致收斂.(2) 取，當(dāng)時(shí) 恒有 故原級(jí)數(shù)在上一致收斂到極限函數(shù) 3. 按定義討論在所給區(qū)間上的一致收斂性.解： 此為交錯(cuò)級(jí)數(shù)， 取，當(dāng)時(shí) 恒有 故原級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂. 4. 證明級(jí)數(shù)內(nèi)絕對(duì)收斂且一致收斂.解： 時(shí)， 而收斂，故原級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)絕對(duì)收斂且一致收斂.5. 討論下列級(jí)數(shù)在所給區(qū)間的一致收斂性:(1)(1) (2) (3) (4)解：(1)因?yàn)?而收斂，由魏爾斯特拉斯判

29、別法，原級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.(2)因?yàn)?而收斂，由魏爾斯特拉斯判別法，原級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.(3)因?yàn)?令，有故而收斂，故原級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.(4)因?yàn)槎諗浚试?jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.6.求下列級(jí)數(shù)的收斂域:(1) (2) (3) 解: (1)因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng),即時(shí),原級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí), 原級(jí)數(shù)為收斂;故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? (2)當(dāng)充分大時(shí)，原級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 故，當(dāng)時(shí)，收斂，原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，發(fā)散，原級(jí)數(shù)的發(fā)散.故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?(3) 當(dāng)時(shí), 原級(jí)數(shù)為收斂;當(dāng)時(shí), 原級(jí)數(shù)無(wú)意義;故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?7.證明級(jí)數(shù)在上收斂,但不一致收斂.解： 故原級(jí)數(shù)在上收斂,但和函數(shù)不連續(xù)，從而原級(jí)數(shù)不

30、一致收斂.提高題1.討論的一致收斂性.思路: ，利用收斂性解：考察級(jí)數(shù)，收斂.， .由魏爾斯特拉斯判別法知，在上一致收斂性.2. 級(jí)數(shù)1)求收斂域； 2)證明級(jí)數(shù)在區(qū)間上是一致收斂的，；3)證明和函數(shù)在收斂域上是連續(xù)的.解：1)顯然為正項(xiàng)級(jí)數(shù). ，由比值判別法知,當(dāng)即時(shí)，收斂，原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)即時(shí)，發(fā)散，原級(jí)數(shù)發(fā)散,當(dāng),即時(shí)，原級(jí)數(shù)為發(fā)散. 級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?2) ; 而收斂 級(jí)數(shù)在上是一致收斂的. 3) ,則,使得.由2)可知級(jí)數(shù)在上一致收斂. 根據(jù)一致收斂級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)知在上連續(xù),故在處連續(xù), 又為上任意性一點(diǎn),，所以在區(qū)間上連續(xù).11.8 傅里葉級(jí)數(shù)內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容傅里葉級(jí)數(shù)(周期)傅

31、里葉系數(shù)(周期)為奇函數(shù)為偶函數(shù)狄利克雷收斂定理例題分析1. 將下列周期為的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù), 討論其收斂性, 并求 .1) 2) . 知識(shí)點(diǎn)：傅里葉級(jí)數(shù)思路:先求傅里葉系數(shù)，再由收斂定理求傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù).解： 1) 求傅里葉系數(shù)因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以.求傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)因?yàn)闉檫B續(xù)函數(shù)，所以由狄利克雷收斂定理,.求 令,則有 所以,得.2) 求傅里葉系數(shù) ，在內(nèi)連續(xù) 且 求 令,則有, 所以.注:本題1)，2)有區(qū)別，它們拓展的周期函數(shù)不同.但的結(jié)果是相同的.2. 將函數(shù)展開以為周期的余弦級(jí)數(shù),設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為求和.知識(shí)點(diǎn)：傅里葉級(jí)數(shù)，余弦級(jí)數(shù)思路:先求傅里葉系數(shù)，再由收斂定理求傅里葉

32、級(jí)數(shù)的和函數(shù).解：將函數(shù)作偶延拓，記為，則 并定義,為上的連續(xù)函數(shù).將展開成余弦級(jí)數(shù)，有 因?yàn)樯系倪B續(xù)函數(shù),故當(dāng)時(shí), ,并且; .習(xí)題11-81. 把函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù).解：將函數(shù)在區(qū)間上作周期為的延拓，仍記為.時(shí)，級(jí)數(shù)收斂到時(shí)，級(jí)數(shù)收斂到2. 設(shè)下列的周期為,試將其展開為傅里葉級(jí)數(shù):(1) (2) (3) 解：(1) 因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以 又所以,.(2)顯然 故有時(shí)，級(jí)數(shù)收斂到.(3) 因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以由三角函數(shù)系的正交性，僅當(dāng)時(shí)，此時(shí)故3. 在區(qū)間內(nèi)展開為傅里葉級(jí)數(shù).解：顯然為奇函數(shù)，所以 .4. 在區(qū)間內(nèi)將函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù).解：顯然是第一類間斷點(diǎn)，且 故有時(shí)，級(jí)數(shù)收斂到5. 將函

33、數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù),并利用展開式,求的和.解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以由于僅在處不連續(xù)，且故令 得 故 .6. 將函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù).解： 將函數(shù)延拓成上的奇函數(shù)，則又延拓后的函數(shù)在間斷，在連續(xù)，所以 ；在處，右邊的極限收斂于，其中是延拓后函數(shù)的左極限，其值為：.7.將函數(shù)分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).解：(1)將函數(shù)作奇延拓，仍記為，展開成正弦級(jí)數(shù).則 所以,;在處，右邊的極限收斂于，其中是延拓后函數(shù)的右極限，其值為：. (與答案不同請(qǐng)核)(2)將函數(shù)作偶延拓，仍記為，展開成余弦級(jí)數(shù)，則 所以,.8. 設(shè)是周期為的周期函數(shù),證明:(1)如果，則的傅里葉系數(shù)(2)如果，則的傅里葉系數(shù)證明: (1)

34、同理 (2)如果，令。則 9. 把函數(shù)在上展開成正弦級(jí)數(shù)，并由它推導(dǎo)出：(1) (2)解： 將函數(shù)作奇延拓，則所以 在處，右邊的極限收斂于在處，右邊的極限收斂于，(1)令 得 故 即.(2) 令 得 即 .10. 把函數(shù)展開成余弦級(jí)數(shù)，并由此求級(jí)數(shù)的和.解：將函數(shù)作偶延拓，則 所以令 即 （1） （2） （1）+（2）得： ， 即 .提高題1. 設(shè)是上的偶函數(shù),且,證明: 的余弦傅里葉級(jí)數(shù)展開式中.證明: 令,則令,則 .2. 設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù),并且傅里葉系數(shù)為(1) 求為常數(shù)的傅里葉系數(shù)；(2) 求的傅里葉系數(shù)，并利用所得的結(jié)果推出 解：(1) 設(shè)的傅里葉系數(shù)為 令 同理 (2) 設(shè)，

35、其傅里葉系數(shù)為易見是以為周期的連續(xù)函數(shù)，故 令，即得 11.9 一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容傅里葉級(jí)數(shù)(周期)傅里葉系數(shù)(周期)為奇函數(shù)為偶函數(shù)狄利克雷收斂定理復(fù)數(shù)形式例題分析1. 將函數(shù)展開為以為周期的傅里葉級(jí)數(shù).思路:先求傅里葉系數(shù)，再由收斂定理求傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù).解： 求傅里葉系數(shù)因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以.求傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)因?yàn)闉檫B續(xù)函數(shù)，所以由狄利克雷收斂定理,.2. 設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為：展開為傅里葉級(jí)數(shù).解： 且由狄利克雷收斂定理在間斷點(diǎn)處, ,右邊級(jí)數(shù)收斂于；在間斷點(diǎn)處, ,右邊級(jí)數(shù)收斂于. 課后習(xí)題全解習(xí)題11-91. (1). 設(shè)是周期為的周期函數(shù),

36、它在區(qū)間上定義為. 則的傅里葉級(jí)數(shù)在處收斂 3/2 (2)設(shè)函數(shù)而其中 則 -1/4 2. 在區(qū)間上，函數(shù)的傅里葉系數(shù)是，函數(shù)的傅里葉系數(shù)是 ，若 ，則必有（ B ）.（A） （B）（C） （D）3.設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為：試將其展開為傅里葉級(jí)數(shù)。解：時(shí)，級(jí)數(shù)收斂到.4. 設(shè)是周期為的周期函數(shù),它在上的表達(dá)式為 將其展開成復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù).解：時(shí)，級(jí)數(shù)收斂到 5. 將函數(shù)展開成周期為的余弦級(jí)數(shù).解：依題意 所以,. 總習(xí)題十一1.求級(jí)數(shù)的和.解：. 故2. 求級(jí)數(shù)之和.解：法一：. 故原式法二：， 3. 已知，級(jí)數(shù)收斂，證明級(jí)數(shù)也收斂.解： 因 收斂，設(shè)其項(xiàng)部分和數(shù)列為，則可設(shè)

37、其中是的第項(xiàng)部分和,則 故級(jí)數(shù)收斂，其和為. 證畢4. 判別下列級(jí)數(shù)得收斂性. (4)(1) (2) (3)(4) (5) (6)解：(1),當(dāng)時(shí)， 級(jí)數(shù)為收斂于當(dāng)時(shí)， 而發(fā)散, 發(fā)散.注：利用 (2) 由比值判別法知,原級(jí)數(shù)收斂.(3) 由比值判別法知,原級(jí)數(shù)收斂.(4)法一： 由比值判別法知,原級(jí)數(shù)發(fā)散. 法二：由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知,原級(jí)數(shù)發(fā)散.(5) 由比值判別法知,原級(jí)數(shù)收斂.(6) 由根值判別法知，級(jí)數(shù)收斂.5.證明：.證明：考慮級(jí)數(shù),其通項(xiàng)為 由比值判別法知,級(jí)數(shù)收斂. 由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知, . 證畢.6.求級(jí)限.解： 考慮級(jí)數(shù),其通項(xiàng)為 由比值判別法知,級(jí)數(shù)收斂. 由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知, . 7. 討論級(jí)數(shù)的收斂性.解：當(dāng)時(shí)， 級(jí)數(shù)為收斂;當(dāng)時(shí)， 級(jí)數(shù)為發(fā)散.8. 設(shè)數(shù)列由公式?jīng)Q定,其中是正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),且,證明:級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是數(shù)列也收斂.證明：由，易由歸納法證；又由兩邊同時(shí)平方整理得 ，故從而 *必要性：級(jí)數(shù)收斂知收斂. 由*及比較判別法知,級(jí)數(shù)收斂.其項(xiàng)部分和數(shù)列極限存在,設(shè) 即數(shù)列收斂.充分性：數(shù)列收斂，記,設(shè)的第項(xiàng)部分和，則， 故收斂，由*及比較判別法知收斂從而級(jí)數(shù)收斂. 證畢9. 判別下列級(jí)數(shù)的收斂性,若收斂,是條件收斂還是絕對(duì)收斂?(1) (2) (3)