求極限的方法

1、求極限的方法與技巧張道強(qiáng)隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 慶陽(yáng)745000【摘要】 極限思想貫穿整個(gè)高等數(shù)學(xué)得課程之中，極限的求解方法是我們我們學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，掌握求極限的思想與方法是學(xué)好微積分的前提條件，結(jié)合學(xué)習(xí)實(shí)際，本文對(duì)常用求極限的方法進(jìn)行了歸納和延伸?！娟P(guān)鍵詞】極限 方法 數(shù)列 函數(shù)【abstract limit thought to higher mathematics course throughout the entire, limits of solving method of learning is our one difficulty of master the ideas

2、and methods for limit the premise condition is to do well in calculus, combining with actual, this paper is to study the method used for limits are summed up and extension.【keywords limit method sequence function一：引言極限是數(shù)學(xué)重要概念。 在數(shù)學(xué)中，所謂的極限就是如果某個(gè)變化的量無(wú)限的逼近一個(gè)確定的 數(shù)值，那么該定值就叫做變化的量的極限。常用的求極限的方法有以下幾種：1 .利用極限的

3、四則運(yùn)算法則 12 .利用等價(jià)無(wú)窮小求極限13 .利用夾逼準(zhǔn)則求極限14 .利用兩個(gè)重要極限求極限 15 .利用函數(shù)的定義求極限6.利用洛比達(dá)法則求極限17 .利用函數(shù)的連續(xù)性求極限8 .利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限19 .利用單調(diào)有界求極限110 .利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 2本文對(duì)其中一些常用方法在具體應(yīng)用中進(jìn)行技巧上的完善，以及補(bǔ)充其他求極限的方法如:1 .無(wú)窮大除分法22 .利用逐項(xiàng)消去法求極限33利用遞推數(shù)列的通項(xiàng)求極限3二.預(yù)備知識(shí)1.利用極限四則運(yùn)算法則:lim( an c) lim an c nnlim c.anc.lim annnlim an口nim bn若假設(shè)bn 0 ,及l(fā)i

4、m bn 0則有l(wèi)im nnbn對(duì)和差積商形式的函數(shù)求極限，自然用四則運(yùn)算法則，法則簡(jiǎn)單，但為了能夠使用法則，往往需要對(duì)函數(shù)做恒等變形(常見的變形有：約分，通分，分式的分解，分子和分母有理化，三角函數(shù)的恒等變換，以及某些求和或求積公式的適當(dāng)變量替換)。例1.求極限 lim( vx24x vx23) x解：由于4 x2 4x .x2 3 4x3x.x2 4x , x2 34.3J x Y1 x343lim(4 -) 4 lim , 14 lim , 11而x x , x Y xx 、 x由極限的四則運(yùn)算得：4 3lim( x 4x x 3) x=limx41 34-n=22.利用等價(jià)無(wú)窮小求極限

5、有限個(gè)無(wú)窮小的和時(shí)無(wú)窮小，有界函數(shù)與無(wú)窮小數(shù)相乘積為 常行之有效。0,用等價(jià)無(wú)窮小替換求極限常注：在和差的極限計(jì)算中，不能用等價(jià)無(wú)窮小作替換。limn+ 31+3tan -.arctann 布. 2 ,1. 5sin 3 .tan_ .arcsin 一n3n n解：利用x 0時(shí)sin xtanx arcsin x arctan x x原式=lim n(1)3n3n. n3 lim n 103103.利用夾逼準(zhǔn)則求極限例如：證明limsnH 1 x x證明：作單位元如圖所示取 AOB x(rad),于是有BM sin x, AB x, AT tan x由圖1.11 ,-sinx-x-tanx22

6、2S OBM S1OAM S OATx得sinx x tanx,從而有 cosx 1 x上述不等式是當(dāng)0 x 時(shí)得到的，但又因?yàn)楫?dāng)x用 x代換時(shí)cosx ,20 x ,sn2都不變號(hào)，因此當(dāng) x為負(fù)時(shí)，關(guān)系式也成立。2 xsin x ,因?yàn)閘imcos x 1,lim1 1由極限的夾逼準(zhǔn)則知lim 1x 0x 0x v11),和 l'mpx)x e 或4.利用兩個(gè)重要的極限sin xx兩個(gè)重要的極限為lim 1,(或limx 0 xx 0sin x1、xlim (1+-)x e,使用這兩個(gè)重要的極限來球極限x x 1如：求極限其中mJHxb c -，),a,b,c為吊數(shù)3解：這是一個(gè)形

7、如u(x)VX的函數(shù)求極限的問題，并且底數(shù)u(x) 1,指數(shù)v(x)11lim(1 x)X e(1 x) 1,-應(yīng)當(dāng)將這個(gè)極限與極限x 0聯(lián)系起來，因?yàn)閤 ,只需要將底數(shù)改寫為：xf(x)-t(x)是令(ax 1) (bx 1) (cx 1),則得t(x) 0故xxx1 (a 1) (b 1) (c 1)x 1-)X二1t(x)焉里 x7呼1t(x)t(x)X 0 x1Wabc_(ln a In b In c)=e3注1：使用它們求極限是最重要的是對(duì)所給的函數(shù)或輸了做適當(dāng)?shù)淖冃?，使之具有相?yīng) 的形式。5.利用極限的定義求極限求極限：我們以函數(shù)極限定義為例，定義如下：定義：設(shè)f為定義在a,)上的

8、函數(shù)，A為定數(shù)，若對(duì)任給的0,存在正數(shù)M ( a)得當(dāng)x M時(shí)有：f(x) A則稱函數(shù)f當(dāng)x時(shí)以A為極限，記作：lim f(x) A, f (x) A(x )x例：lim arctanx ()證：任名n0由于arctan x ()2等價(jià)于 一 arctanx而此不等式的左半部分對(duì)任何x都成立，所以只考22慮，其右半部分x的變化范圍，為此先限制一則有：2x tan( )tan( )故對(duì)任給的正數(shù)()只須取，則當(dāng)x M時(shí)便有上式成立，則原式得證。注1：利用函數(shù)極限的定義適用于極限的證明，而數(shù)列極限的定義比較適用于求簡(jiǎn)單極限，如：當(dāng)時(shí)，f (x) x 1無(wú)限趨近于2,則lim(x 1) 26.利用洛

9、比達(dá)法則求極限洛必達(dá)法則為：假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值(或無(wú)窮大)時(shí)，函數(shù)f (x)和g(x)滿足: (1) f(x)和g(x)的極限都是0或都是無(wú)窮大；(2) f(x)和g(x)都可導(dǎo)，且的g(x)導(dǎo),f (x)一，f (x) , , I 、， 一一Jim數(shù)不為0； (3) lim 3)存在(或是無(wú)窮大)，則極限 “g(x)也一定存在，且等于 x g (x) f (x),f (x) 一 11m - f (x)lim 4),即x mg(x)= lim -) 。論文格式。利用洛必達(dá)法則求極限，由于分類明確,x xo g (x)x xo g (x)規(guī)律性強(qiáng)，且可連續(xù)進(jìn)行運(yùn)算， 可以簡(jiǎn)化一些較復(fù)雜

10、的函數(shù)求極限的過程，但運(yùn)用時(shí)需注意條件。求limxxln x1n x解：原式=limx1 :x.- x 2xlimxlim f (x)X x0f(%),由于初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)處處連7.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 由函數(shù)f(x)在xo點(diǎn)連續(xù)定義知,續(xù)，所以求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)處的極限值，只要求其函數(shù)在該點(diǎn)處的函數(shù)值 因此可直接代入計(jì)算 。1例 6 f (x) x2ex1解：因?yàn)閤0 2是函數(shù)f (x) x2.ex的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，1所以原式=22e5 4孤。8.利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限若函數(shù)f(x)在x。點(diǎn)可導(dǎo)，則lim "x一義 f'(x),利用這個(gè)定義，若所求極限 x 0 x

11、的函數(shù)具有函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義式或可化為導(dǎo)數(shù)的定義式，則可利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限。lim鳴x 0x) sin 33sin(x)例 1. lim 3-x 0 x=(sinx) |X 3=cos39.利用單調(diào)有界求極限單調(diào)有界原理：?jiǎn)握{(diào)有界函數(shù)必有極限（在實(shí)數(shù)系中）例1：數(shù)列Un的極限Q 1,則Un的上界為1 n 1解：Q立,Un為單調(diào)遞增數(shù)列有又n n 1貝U lim n 1 x n 1注1：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則是證明數(shù)列極限常用的準(zhǔn)則。10.利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限lim unn0是級(jí)數(shù) un收斂的必要條件n 1例1.求極限lim n2nn!nn解：考慮級(jí)數(shù)可，因?yàn)閘im曳二1而邛 =lim -Ar=-

12、1n 1 nx Un n n x （1 1）en故級(jí)數(shù)可收斂,n 1 n從而limn2nn!=0三.主要內(nèi)容1無(wú)窮大除分法當(dāng)m nnn 1n 2%xa1xa?xana。limmmimi= 當(dāng)m nx boxtxb2x bmb00 當(dāng)m n注1：此法較適用于多項(xiàng)式的商一例 1. lim x2x23x22解：原式=lim x31 3x 321232x x2利用逐項(xiàng)消去法求極限一111例： lim(12)(1 -2-)(12)x 234(1(n 1)萬(wàn)）（1解：因?yàn)?1 ')(1 ,)(1412)(1(n 1)2)(1因?yàn)閘im(1x22 1 32 1 42 1 (n 1)2 1 n2 12

13、2 . 32 . 42 (n 1)2 . n2(2 1)(2 1) (3 1)(3 1)(4 1)(4 1)22-3242n 12n/11 、 ，人172)(12)(134n(n 2) (n 1)(n 1),rr.2(n 1) n11 n2)(12) = lim -(n 1)2 n2 x 2n注1：逐項(xiàng)消去法可以用來求（極限）數(shù)列的前項(xiàng)和無(wú)窮級(jí)數(shù)的和，也可以用來求有限項(xiàng) 乘積和無(wú)限項(xiàng)乘積，操作時(shí)注意觀察，逐項(xiàng)消去將復(fù)雜數(shù)列變?yōu)楹?jiǎn)單的數(shù)列。3.利用遞推數(shù)列的通項(xiàng)求極限利用數(shù)列的數(shù)列的遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法很多，例如遞推法逐項(xiàng)相消法，代 換法等，一旦求出數(shù)列通項(xiàng)，就可求的數(shù)列極限。例1設(shè)數(shù)列an滿足4an 1 an 1.an2an 9 0且21 1 求 lim an n解：由 4an 1 an 1.an 2an 9 0 得an 132an 9an 4an3an4an 13an4an31an 3“111令bn則bn