模型參考自適應(yīng)控制—MIT法

1、一原理及方法模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)，是用理想模型代表過程期望的動(dòng)態(tài)特征，可使被控系統(tǒng)的特征與理想模型相一致。一般模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。Ym參考模A4.-r+召三調(diào)節(jié)率導(dǎo)陋控對(duì).十可調(diào)系統(tǒng)Yp圖1 一般的模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)其工作原理為，當(dāng)外界條件發(fā)生變化或出現(xiàn)干擾時(shí)，被控對(duì)象的特征也會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的變 化，通過檢測(cè)出實(shí)際系統(tǒng)與理想模型之間的誤差，由自適應(yīng)機(jī)構(gòu)對(duì)可調(diào)系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，補(bǔ)償外界環(huán)境或其他干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，逐步使性能指標(biāo)達(dá)到最小值?；谶@種結(jié)構(gòu)的模型參考自適應(yīng)控制有很多種方案，其中由麻省理工學(xué)院科研人員首先 利用局部參數(shù)最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)出世界上第一個(gè)真正意義上的自適應(yīng)控制

2、律，簡(jiǎn)稱為MIT自適應(yīng)控制，具結(jié)構(gòu)如圖2所示。圖2 MIT控制結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)中，理想模型Km為常數(shù)，由期望動(dòng)態(tài)特性所得，被控系統(tǒng)中的增益Kp在外界環(huán)境發(fā)生變化或有其他干擾出現(xiàn)時(shí)可能會(huì)受到影響而產(chǎn)生變化，從而使其動(dòng)態(tài)特征發(fā)生偏離。而 Kp的變化是不可測(cè)量的，但這種特性的變化會(huì)體現(xiàn)在廣義誤差 e上，為了消除或降低由于Kp 的變化造成的影響，在系統(tǒng)中增加一個(gè)可調(diào)增益Kc,來補(bǔ)償Kp的變化，自適應(yīng)機(jī)構(gòu)的任務(wù)即是依據(jù)誤差最小指標(biāo)及時(shí)調(diào)整 Kc,使得Kc與Kp的乘積始終與理想的Km一致，這里使用 的優(yōu)化方法為最優(yōu)梯度法，自適應(yīng)律為：tKc(t)=Kc(0) + BqeMymdTMIT方法的優(yōu)點(diǎn)在于理論簡(jiǎn)單，實(shí)

3、施方便，動(dòng)態(tài)過程總偏差小，偏差消除的速率快，而且用模擬元件就可以實(shí)現(xiàn)；缺點(diǎn)是不能保證過程的穩(wěn)定性，換言之，被控對(duì)象可能會(huì)發(fā)散 二對(duì)象及參考模型該實(shí)驗(yàn)中我們使用的對(duì)象為：Gp(s) =Kp 典 p(s)22 Z ；s 2s 1參考模型為:Gm(S)=Km 零 P(s)1s2 2s 1用局部參數(shù)最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)一個(gè)模型參考自適應(yīng)系統(tǒng),設(shè)可調(diào)增益的初值Kc(0)=0.2 ,給定值r(t)為單位階躍信號(hào)，即r(t)=A X1(t)。A取1。三自適應(yīng)過程將對(duì)象及參考模型離散化，采樣時(shí)間取0.1s,進(jìn)而可得對(duì)象及參考模型的差分方程分別為：ym(k) =1.8079y (k -1) -0.8187 y(k -

4、2) 0.0047r(k - 1) 0.0044r(k - 2)yp(k) =1.8097 yp(k -1) -0.8187yp (k - 2) 0.0094u(k -1) 0.0088u(k -2)其中u為經(jīng)過可調(diào)增益控制器后的信號(hào)。編程進(jìn)行仿真，經(jīng)大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，取修正常數(shù)B為0.3,可得較好的動(dòng)態(tài)過度過程，如下圖 3所示：圖3仿真結(jié)果由圖3中第一個(gè)圖形可以看出，在階躍擾動(dòng)后，經(jīng)過一段時(shí)間對(duì)象的輸出完全跟蹤上了理想模型的值，系統(tǒng)最終趨于穩(wěn)定；由第二個(gè)圖可以看出，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后，Kp*Kc等于Km說明補(bǔ)償環(huán)節(jié)達(dá)到了期望的補(bǔ)償效果，這與系統(tǒng)設(shè)計(jì)的目標(biāo)一致；由第三個(gè)圖可以看出，在 控制的動(dòng)態(tài)過程中，

5、偏差的總和是比較小的，而且偏差的消除是很快的，這是由于所選用的 優(yōu)化方法為最有梯度法的結(jié)果。在1中我們已經(jīng)得到一個(gè)能使對(duì)象得到較好控制的參數(shù)B=0.3,在此情況下，我們將 Kp取為1,對(duì)應(yīng)于實(shí)際中即指對(duì)象增益發(fā)生漂移，再做仿真，結(jié)果如圖4所示。圖4對(duì)象增益變化后的仿真圖由圖4我們可以看出，在一個(gè)適當(dāng)?shù)男拚鎱?shù) B下，當(dāng)對(duì)象的特性參數(shù)Kp發(fā)生漂移后， 控制器依然能很好的控制對(duì)象，這也證明了 MIT方法的自適應(yīng)特性。而且我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng) Kp由 2變?yōu)?后，控制器的控制效果更好了，具體表現(xiàn)為振蕩減弱，過渡過程有所加快，關(guān)于導(dǎo) 致這一現(xiàn)象發(fā)生的原因，我們會(huì)在第四部分中做詳細(xì)的分析與說明。四研究分析1對(duì)于

6、一個(gè)被控過程，系統(tǒng)能穩(wěn)定運(yùn)行是設(shè)計(jì)與控制的首要指標(biāo)，然而如前所述，依據(jù)最優(yōu) 控制的原則設(shè)計(jì)出來的MIT自適應(yīng)控制器卻可能會(huì)使得系統(tǒng)不穩(wěn)定，輸出發(fā)散，以下我們對(duì) 此做一研究，以期找出其中的相關(guān)信息。我們?cè)O(shè)某連續(xù)二階對(duì)象為：則有:G(s)=Kpq(s)P(s)Kp；2；b2s b|S 1b2yp biyp yp = KpU =KpKcRb2ymbiymym =KmRe = ym - yp控制律為：Kc = BeymR為一階躍信號(hào)，即R(t尸AX1(t),則偏差的動(dòng)態(tài)方程為：b2e he e BKpKmA e = 0 根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，列出勞斯行列式：3 sb2122s2bBKpKmA21 b fB

7、KpKmA2 s 0bs01得知，對(duì)于該連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)BKpKmA2 >b/b2時(shí)會(huì)不穩(wěn)定。試驗(yàn)中Kp=2 Km=1 A=1, b1 =2, b2=1,因而對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)，可求得當(dāng) B=1時(shí)，系統(tǒng)將會(huì)等幅振蕩?，F(xiàn)取B=1,得仿真曲線如圖5所示。圖5顯示，當(dāng)B為1的時(shí)候系統(tǒng)發(fā)散，另取原使系統(tǒng)穩(wěn)定的 B=0.3,計(jì)算出此時(shí)可使系 統(tǒng)振蕩的階躍幅值A(chǔ)=sqrt(1/0.3)做仿真，結(jié)果如圖6所示：圖6顯示結(jié)果與圖5一樣，系 統(tǒng)也發(fā)散。圖5、6過程中所取參數(shù)均為由勞斯判據(jù)所得臨界值，然而系統(tǒng)并未做等幅振蕩，而是發(fā) 散，這似乎使得理論計(jì)算與仿真結(jié)果不符。但稍作分析我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，問題在于我們仿真時(shí) 用的

8、是離散化的模型，而所用參數(shù)為由連續(xù)系統(tǒng)計(jì)算所得。我們知道用連續(xù)系統(tǒng)分析的結(jié)論 是不完全適用于離散系統(tǒng)的，這是因?yàn)殡S著采樣時(shí)間取不同的值，同一對(duì)象的連續(xù)特性和離 散特性會(huì)不同。因而對(duì)于離散系統(tǒng)，我們對(duì)其做穩(wěn)定性分析時(shí)還需考慮采樣時(shí)間的影響。正 確的做法應(yīng)是：將連續(xù)開環(huán)對(duì)象做 Z變換，進(jìn)而得到閉環(huán)的Z域特征方程，對(duì)此方程做雙線 性變化，然后對(duì)所得 w域方程列出其勞斯陣列，應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)即可得到使離散系統(tǒng)做等 幅振蕩的相關(guān)參數(shù)。本實(shí)驗(yàn)中廣義偏差方程為三階系統(tǒng)，在應(yīng)用采樣系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判據(jù)時(shí) 需要求解含有參變量的三解方程的解析解，運(yùn)算量較大，因而這里未做相應(yīng)的求解。只是對(duì) 其做一些定性的分析，指出對(duì)

9、于同一對(duì)象，使得連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)做等幅振蕩的參數(shù)B是不一樣的，因而仿真的結(jié)果并沒有問題。在對(duì)離散系統(tǒng)進(jìn)行大量白仿真實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)當(dāng)B取0.8367左右的時(shí)候，離散系統(tǒng)會(huì)發(fā)生等幅振蕩。如圖7所示:input and outputchange of error2change of Kc圖5 B=1時(shí)的仿真結(jié)果圖6 A=sqrt(1/0.3) 時(shí)的仿真time/second圖7離散系統(tǒng)等幅振蕩2為了更進(jìn)一步的了解該實(shí)驗(yàn)的相關(guān)特征，我們?cè)O(shè)計(jì)以下實(shí)驗(yàn)，來分別研究該仿真中Kc的初始值、階躍信號(hào)的幅值對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響。(1)我們得知當(dāng)B=0.3時(shí)原系統(tǒng)是穩(wěn)定的，這里我們逐步改變階躍信號(hào)的幅值，使A分別取1、1.3

10、、1.6、1.9、2.3來觀察其結(jié)果，如圖8所示：圖8 A取不同值的過渡過程由圖8可以看出，當(dāng)A由小逐漸增大時(shí)，系統(tǒng)將由穩(wěn)定轉(zhuǎn)向發(fā)散，因?yàn)樵谠O(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)或真實(shí)過程中，該擾動(dòng)的幅值不可太大，否則將使得系統(tǒng)發(fā)散。其原因已在 1中做過說明。(2) 在原系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下，我們改變修改常數(shù)Kc的初始值，分別取Kc=-5、-0.5、-0.2、0、0.2、0.5、5來進(jìn)行觀測(cè)，結(jié)果如圖9所示:-5-0.620-61E-E0Q2 00.20.5524a7,21.22.2.561518,8.8,53r,6E.620.2r,4E.4006C,22.2.210L0-M L50 0，口50 0口 50 05020-0.4

11、 L 50 0,8,6圖9取不同Kc初始值的仿真由實(shí)驗(yàn)我們得到Kc的最終穩(wěn)定值為0.49921 ,有圖可以看出，當(dāng)Kc的初始值取得離此 穩(wěn)態(tài)值越遠(yuǎn)的話，過程的初始超調(diào)越大，但最終過程都能趨于穩(wěn)定。因而在設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)的時(shí)候， Kc的初始值應(yīng)根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)或粗略計(jì)算去一個(gè)與其穩(wěn)定值較為相近的值為宜。五結(jié)論：由以上的推導(dǎo)及仿真結(jié)果可以看出，依據(jù)最優(yōu)控制的方法設(shè)計(jì)出的MIT控制律并不能保證控制器在任何情況下都能很好的工作，換言之，對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)當(dāng)BKpKmA2 Abi/b2時(shí)系統(tǒng)會(huì)不穩(wěn)定。對(duì)于離散系統(tǒng)隨未給出準(zhǔn)確的解析表達(dá)式，但從定性的角度來說，各參數(shù)的影響 是相似的。因而在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中為避免系統(tǒng)發(fā)散，階躍信號(hào)

12、的幅值不可選擇太大。同時(shí)由此式 可以看出，當(dāng)Kp減小后，對(duì)應(yīng)使系統(tǒng)振蕩的B將增大，這就說明了第三部分中我們?cè)跊]有改 變B的情況下將Kp由2變?yōu)?后系統(tǒng)的性能為什么會(huì)得到提高。參考文獻(xiàn)1韓曾晉.自適應(yīng)控制M.北京：清華大學(xué)出版社,1995: 148-1512厲玉鳴，等.自動(dòng)控制原理M.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2005: 279-280附程序clcclear ts=0.1;B=0.8367;ei=0; % 臨界值 B=0.836Kp=2;Km=1;Kc(1)=0.2;num1=Km;den1=1 2 1; %參考模型sys1=tf(num1,den1);dsys1=c2d(sys1,ts,'

13、z')num11,den11=tfdata(dsys1,'v');num2=Kp;den2=1 2 1; %對(duì)象模型sys2=tf(num2,den2);dsys2=c2d(sys2,ts,'z')num22,den22=tfdata(dsys2,'v');ym_1=0;ym_2=0;r_1=0;r_2=0;yp_1=0;yp_2=0;u_1=0;u_2=0;for i=1:1:500time(i)=i*ts;rin(i)=1;r(i)=rin(i);u(i)=Kc(i)*rin(i);ym(i)=-den11(2)*ym_1-den11

14、(3)*ym_2+num11(2)*r_1+num11(3)*r_2;yp(i)=-den22(2)*yp_1-den22(3)*yp_2+num22(2)*u_1+num22(3)*u_2;error(i)=ym(i)-yp(i);Err(i)=error(i)A2;gain(i)=Kc(i)*Kp;ei=ei+error(i)*ym(i)*ts;Kc(i+1)=Kc(1)+B*ei;ym_2=ym_1;ym_1=ym(i);r_2=r_1;r_1=r(i);yp_2=yp_1;yp_1=yp(i);u_2=u_1;u_1=u(i);endsubplot(1,3,1)plot(time,rin,'r',time,ym,'g',time,yp,'b')legend('R','ym','yp',4)title('input and output')xlabel('time/second')subplot(1,3,2)pl