材料力學(xué)2B應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論2B習(xí)

1、第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 習(xí)題解習(xí)題7-1 試從圖示各構(gòu)件中A點(diǎn)和B點(diǎn)處取出單元體，并表明單元體各面上的應(yīng)力。習(xí)題7-1（a）解：A點(diǎn)處于單向壓應(yīng)力狀態(tài)。習(xí)題7-1（b）解：A點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。 習(xí)題7-1（b）解：A點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。 B點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)習(xí)題7-1（d）解：A點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)習(xí)題7-2 有一拉伸試樣，橫截面為的矩形。在與軸線成角的面上切應(yīng)力時(shí)，試樣上將出現(xiàn)滑移線。試求試樣所受的軸向拉力F。解：； 出現(xiàn)滑移線，即進(jìn)入屈服階段，此時(shí)， 習(xí)題7-3 一拉桿由兩段沿面膠合而成。由于實(shí)用的原因，圖中的角限于范圍內(nèi)。作為“假定計(jì)算”，對(duì)膠合縫作強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，可以把其上的正應(yīng)力

2、和切應(yīng)力分別與相應(yīng)的許用應(yīng)力比較?，F(xiàn)設(shè)膠合縫的許用切應(yīng)力為許用拉應(yīng)力的，且這一拉桿的強(qiáng)度由膠合縫強(qiáng)度控制。為了使桿能承受最大的荷載F，試問角的值應(yīng)取多大？ 解：； （）0.910203036.8833 405060（）1.000 1.031 1.132 1.333 1.563 1.704 2.420 4.000 （）47.754 4.386 2.334 1.732 1.562 1.523 1.523 1.732 由以上曲線可知，兩曲線交點(diǎn)以左，由正應(yīng)力強(qiáng)度條件控制最大荷載；交點(diǎn)以右，由切應(yīng)力強(qiáng)度條件控制最大荷載。由圖中可以看出，當(dāng)時(shí)，桿能承受最大荷載，該荷載為：習(xí)題7-4 若上題中拉桿膠合縫的

3、許用應(yīng)力，而，則值應(yīng)取多大？若桿的橫截面面積為，試確定其最大許可荷載。解： 由上題計(jì)算得： （）0.9102026.56505130405060（）1.000 1.031 1.132 1.250 1.333 1.704 2.420 4.000 （）31.836 2.924 1.556 1.250 1.155 1.015 1.015 1.155 由以上曲線可知，兩曲線交點(diǎn)以左，由正應(yīng)力強(qiáng)度條件控制最大荷載；交點(diǎn)以右，由切應(yīng)力強(qiáng)度條件控制最大荷載。由圖中可以看出，當(dāng)時(shí)，桿能承受最大荷載，該荷載為： 習(xí)題7-5 試根據(jù)相應(yīng)的應(yīng)力圓上的關(guān)系，寫出圖示單元體任一斜面上正應(yīng)力及切應(yīng)力的計(jì)算公式。設(shè)截面的法

4、線與軸成角如圖所示（作圖時(shí)可設(shè)）。解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X（，0）；Y（，0）設(shè)斜面的應(yīng)力為M（，）。X、Y點(diǎn)作出如圖所示的應(yīng)力圓。由圖中的幾何關(guān)系可知： 習(xí)題7-6 某建筑物地基中的一單元體如圖所示，（壓應(yīng)力），（壓應(yīng)力）。試用應(yīng)力圓求法線與軸成順時(shí)針夾角且垂直于紙面的斜面上的正應(yīng)力及切應(yīng)力，并利用習(xí)題7-5中得到的公式進(jìn)行校核。解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X（-0.05，0）；Y（-0.2，0）。根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出如圖所示的應(yīng)力圓。圖中比例尺為代表。按比例尺量得斜面的應(yīng)力為：按習(xí)題7-5得到的公式計(jì)算如下：作圖法（應(yīng)力圓法）與解析法（公式法）的結(jié)果一致。習(xí)題7-7 試用應(yīng)力圓的幾何關(guān)系求圖示懸臂梁距離自由端為

5、的截面上，在頂面以下的一點(diǎn)處的最大及最小主應(yīng)力，并求最大主應(yīng)力與軸之間的夾角。解：（1）求計(jì)算點(diǎn)的正應(yīng)力與切應(yīng)力 （2）寫出坐標(biāo)面應(yīng)力 X（10.55，-0.88）Y（0，0.88）(3) 作應(yīng)力圓求最大與最小主應(yīng)力，并求最大主應(yīng)力與軸的夾角 作應(yīng)力圓如圖所示。從圖中按比例尺量得：習(xí)題7-8 各單元體面上的應(yīng)力如圖所示。試?yán)脩?yīng)力圓的幾何關(guān)系求： （1）指定截面上的應(yīng)力； （2）主應(yīng)力的數(shù)值；（3）在單元體上繪出主平面的位置及主應(yīng)力的方向。習(xí)題7-8（a）解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X（20，0）；Y（-40，0）。根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出如圖所示的應(yīng)力圓。圖中比例尺為代表。按比例尺量得斜面的應(yīng)力為：， ；，；。

6、單元體圖應(yīng)力圓（O.Mohr圓）主單元體圖 習(xí)題7-8（b）解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X（0，30）；Y（0，-30）。根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出如圖所示的應(yīng)力圓。圖中比例尺為代表。按比例尺量得斜面的應(yīng)力為： ，；，； 。單元體圖應(yīng)力圓（O.Mohr圓）主單元體圖習(xí)題7-8（c）解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X（-50，0）；Y（-50，0）。根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出如圖所示的應(yīng)力圓。圖中比例尺為代表。按比例尺量得斜面的應(yīng)力為： ，；，。單元體圖應(yīng)力圓（O.Mohr圓）主單元體圖習(xí)題7-8（d）解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X（0，-50）；Y（-20，50）。根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出如圖所示的應(yīng)力圓。圖中比例尺為代表。按比例尺量得斜面的應(yīng)力為： ，；,，

7、；。單元體圖應(yīng)力圓（O.Mohr圓）主單元體圖習(xí)題7-9 各單元體如圖所示。試?yán)脩?yīng)力圓的幾何關(guān)系求： （1）主應(yīng)力的數(shù)值；（2）在單元體上繪出主平面的位置及主應(yīng)力的方向。習(xí)題7-9（a）解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X（130，70）；Y（0，-70）。根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出如圖所示的應(yīng)力圓。圖中比例尺為代表。按比例尺量得斜面的應(yīng)力為：,，；。單元體圖應(yīng)力圓（O.Mohr圓）主單元體圖習(xí)題7-9（b）解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X（-140，-80）；Y（0，80）。根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出如圖所示的應(yīng)力圓。圖中比例尺為代表。按比例尺量得斜面的應(yīng)力為：,，；。單元體圖應(yīng)力圓（O.Mohr圓）主單元體圖習(xí)題7-9（c）解：坐標(biāo)面應(yīng)力

8、：X（-20，-10）；Y（-50，10）。根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出如圖所示的應(yīng)力圓。圖中比例尺為代表。按比例尺量得斜面的應(yīng)力為：,，；。單元體圖應(yīng)力圓（O.Mohr圓）主單元體圖習(xí)題7-9（d）解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X（80，30）；Y（160，-30）。根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出如圖所示的應(yīng)力圓。圖中比例尺為代表。按比例尺量得斜面的應(yīng)力為：,，；。單元體圖應(yīng)力圓（O.Mohr圓）主單元體圖習(xí)題7-10 已知平面應(yīng)力狀態(tài)下某點(diǎn)處的兩個(gè)截面的的應(yīng)力如圖所示。試?yán)脩?yīng)力圓求該點(diǎn)處的主應(yīng)力值和主平面方位，并求出兩截面間的夾角值。平面應(yīng)力狀態(tài)下的兩斜面應(yīng)力應(yīng)力圓解：兩斜面上的坐標(biāo)面應(yīng)力為：A（38，28），B（114，-4

9、8）由以上上兩點(diǎn)作出的直線AB是應(yīng)力圓上的一條弦，如圖所示。作AB的垂直平分線交水平坐標(biāo)軸于C點(diǎn)，則C為應(yīng)力圓的圓心。設(shè)圓心坐標(biāo)為C（）則根據(jù)垂直平線上任一點(diǎn)到線段段兩端的距離相等性質(zhì)，可列以下方程：解以上方程得：。即圓心坐標(biāo)為C（86，0）應(yīng)力圓的半徑：主應(yīng)力為：（2）主方向角      （上斜面A與中間主應(yīng)力平面之間的夾角） （上斜面A與最大主應(yīng)力平面之間的夾角）（3）兩截面間夾角：     習(xí)題7-11 某點(diǎn)處的應(yīng)力如圖所示，設(shè)及值為已知，試考慮如何根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接作出應(yīng)力圓。解：(1)(2)(1)、（2）聯(lián)

10、立，可解得和。至此，三個(gè)面的應(yīng)力均為已知：X（，0），Y（，0）（，均為負(fù)值）；（）。由X，Y面的應(yīng)力就可以作出應(yīng)力圓。習(xí)題7-12 一焊接鋼板梁的尺寸及受力情況如圖所示，梁的自重略去不計(jì)。試示上三點(diǎn)處的主應(yīng)力。解：（1）求點(diǎn)的主應(yīng)力 因點(diǎn)處于單向拉伸狀態(tài)，故，。（2）求點(diǎn)的主應(yīng)力 在的左鄰截面上， 即坐標(biāo)面應(yīng)力為X（193.081,60.821）,Y(0,-60.821). （3）求點(diǎn)的主應(yīng)力即坐標(biāo)面應(yīng)力為X（0,84.956）,Y(0,-84.956). 習(xí)題7-13 在一塊鋼板上先畫上直徑的圓，然后在板上加上應(yīng)力，如圖所示。試問所畫的圓將變成何種圖形？并計(jì)算其尺寸。已知鋼板的彈性模量，。

11、解：坐標(biāo)面應(yīng)力X（70，21），Y（14，-21）所畫的圓變成橢圓，其中    （長軸）（短軸）習(xí)題7-14 已知一受力構(gòu)件表面上某點(diǎn)處的，單元體的三個(gè)面上都沒有切應(yīng)力。試求該點(diǎn)處的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。解：最大正應(yīng)力為。最小正應(yīng)力是。最大切應(yīng)力是 習(xí)題7-15 單元體各面上的應(yīng)力如圖所示。試用應(yīng)力圓的幾何關(guān)系求主應(yīng)力及最大切應(yīng)力。習(xí)題7-15（a）解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X（70，-40），Y（30，-40），Z（50，0）單元體圖應(yīng)力圓由XY平面內(nèi)應(yīng)力值作a、b點(diǎn)，連接a、b交 軸得圓心C（50，0）  應(yīng)力圓半徑：    

12、      習(xí)題7-15（b）解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X（60，40），Y（50，0），Z（0，-40）單元體圖應(yīng)力圓由XZ平面內(nèi)應(yīng)力作a、b點(diǎn)，連接a、b交 軸于C點(diǎn)，OC=30，故應(yīng)力圓圓心C（30，0）應(yīng)力圓半徑：    習(xí)題7-15（c）解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X（-80，0），Y（0，-50），Z（0，50）單元體圖應(yīng)力圓 由YZ平面內(nèi)應(yīng)力值作a、b點(diǎn)，圓心為O，半徑為50，作應(yīng)力圓得 習(xí)題7-16 已知一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓如圖所示。試用單元體示出該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，并在該單元體上繪出應(yīng)力圓上A點(diǎn)所代表的截面。 習(xí)題7-16(a)解：該點(diǎn)處于三向應(yīng)力

13、狀態(tài)：，。A點(diǎn)所代表的截面平行于的方向。據(jù)此，可畫出如圖所示的單元體圖和A截的位置。A應(yīng)力圓主單元體圖與A截面的位置習(xí)題7-16(b)解：該點(diǎn)處于三向應(yīng)力狀態(tài)：，。A點(diǎn)所代表的截面平行于的方向。據(jù)此，可畫出如圖所示的單元體圖和A截的位置。A應(yīng)力圓主單元體圖與A截面的位置習(xí)題7-17 有一厚度為的鋼板，在兩個(gè)垂直方向受拉，拉應(yīng)力分別為150及55。鋼材的彈性常數(shù)為，。試求鋼板厚度的減小值。解：鋼板厚度的減小值為：習(xí)題7-18 邊長為的鋼立方體置于鋼模中，在頂面上均勻地受力作用。已知，假設(shè)鋼模的變形以及立方體與鋼模之間的摩擦力可略去不計(jì)。試求立方體各個(gè)面上的正應(yīng)力。 解：   

14、              （1）                （2）聯(lián)解式（1），（2）得習(xí)題7-19 在矩形截面鋼拉伸試樣的軸向拉力時(shí)，測得試樣中段B點(diǎn)處與其軸線成方向的線應(yīng)變?yōu)?。已知材料的彈性模量，試求泊松比。解：平面?yīng)力狀態(tài)下的廣義虎克定律適用于任意兩互相垂直的方向，故有：。鋼桿處于單向拉應(yīng)力狀態(tài)：拉桿橫截面

15、上的正應(yīng)力 斜截面上的應(yīng)力 由廣義虎克定律 解得： 習(xí)題7-20 D=120mm，d=80mm的空心圓軸，兩端承受一對(duì)扭轉(zhuǎn)力偶矩 ，如圖所示。在軸的中部表面A點(diǎn)處，測得與其母線成 方向的線應(yīng)變?yōu)?。已知材料的彈性常數(shù) ， ，試求扭轉(zhuǎn)力偶矩 。解：方向如圖習(xí)題7-21 在受集中力偶作用矩形截面簡支梁中，測得中性層上 k點(diǎn)處沿方向的線應(yīng)變?yōu)?。已知材料的彈性常?shù)和梁的橫截面及長度尺寸。試求集中力偶矩。解：支座反力： （）； （）K截面的彎矩與剪力： ；K點(diǎn)的正應(yīng)力與切應(yīng)力： ；故坐標(biāo)面應(yīng)力為：X（，0），Y（0，-） （最大正應(yīng)力的方向與正向的夾角），故習(xí)題7-22 一直徑為的實(shí)心鋼球承受靜水壓力，

16、壓強(qiáng)為。設(shè)鋼球的，。試問其體積減小多少？解：體積應(yīng)變 =習(xí)題7-23 已知圖示單元體材料的彈性常數(shù)，。試求該單元體的形狀改變能密度。解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X（70，-40），Y（30，40），Z（50，0） 在XY面內(nèi)，求出最大與最小應(yīng)力： 故，。單元體的形狀改變能密度： 習(xí)題7-24 從某鑄鐵構(gòu)件內(nèi)的危險(xiǎn)點(diǎn)取出的單元體，各面上的應(yīng)力分量如圖所示。已知鑄鐵材料的泊松比，許用拉應(yīng)力，許用壓應(yīng)力。試按第一和第二強(qiáng)度理論校核其強(qiáng)度。解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X（15，15），Y（0，-15） 第一強(qiáng)度理論：因?yàn)?，即，所以 符合第一強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件，構(gòu)件不會(huì)破壞，即安全。第二強(qiáng)度理論：因?yàn)?， ，即，所以 符合第

17、二強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件，構(gòu)件不會(huì)破壞，即安全。習(xí)題7-25 一簡支鋼板梁承受荷載如圖a所示，其截面尺寸見圖b。已知鋼材的許用應(yīng)力為， 。試校核梁內(nèi)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。并按第四強(qiáng)度理論校核危險(xiǎn)截面上的a點(diǎn)的強(qiáng)度。注：通常在計(jì)算a點(diǎn)處的應(yīng)力時(shí)，近似地按點(diǎn)的位置計(jì)算。 解： 左支座為A，右支座為B，左集中力作用點(diǎn)為C，右集中力作用點(diǎn)為D。支座反力： （）  = （1）梁內(nèi)最大正應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的上、下邊緣    超過 的5.3%，在工程上是允許的。  （2）梁內(nèi)最大剪應(yīng)力發(fā)生在支承截面的中性軸處 （3）在集中力作用處偏外側(cè)橫截面上校核

18、點(diǎn)a的強(qiáng)度                                    超過 的3.53%，在工程上是允許的。習(xí)題7-26 已知鋼軌與火車車輪接觸點(diǎn)處的正應(yīng)力，（參看圖7-7）。若鋼軌的許用應(yīng)力。試按第三強(qiáng)度理論與第四強(qiáng)度理論校核其強(qiáng)度。解：按第三強(qiáng)度校核： 符合第三強(qiáng)度理論所提出的強(qiáng)度條

19、件，即安全。 符合第四強(qiáng)度理論所提出的強(qiáng)度條件，即安全。習(xí)題7-27 受內(nèi)壓力作用的容器，其圓筒部分任意一點(diǎn)A（圖a）處的應(yīng)力狀態(tài)如圖b所示。當(dāng)容器承受最大的內(nèi)壓力時(shí)，用應(yīng)變計(jì)測得 。已知鋼材的彈性模量E=210GPa，泊松比 =0.3，許用應(yīng)力 。試按第三強(qiáng)度理論校核A點(diǎn)的強(qiáng)度。解：    ， ， 根據(jù)第三強(qiáng)度理論：       超過 的7.64%，不能滿足強(qiáng)度要求。習(xí)題7-28 設(shè)有單元體如圖所示，已知材料的許用拉應(yīng)力為，許用壓應(yīng)力為。試按莫爾強(qiáng)度理論校核其強(qiáng)度。解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X（-70，-50），Y（0，50）。 莫爾強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力： 因?yàn)?，即，所以 符合莫爾強(qiáng)度理論所提出的強(qiáng)度條件，即安全。習(xí)題7-29 圖示兩端封閉的鑄鐵薄壁圓筒，其內(nèi)徑，壁厚，承受內(nèi)壓力，且兩端受軸向壓力作用。材料的許用拉應(yīng)力，泊松