數(shù)列——等差數(shù)列高考復(fù)習(xí)專題

1、等差數(shù)列總復(fù)習(xí)【考情解讀】1 .理解等差數(shù)列的概念；2 .掌握等差數(shù)列的通項公式與前 n項和公式；3 .能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題;4 .了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系.【重點知識梳理】1 .等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：an+i an= d(n C N*, d為常數(shù))，或an an-i= d( n>2, d為常數(shù)).2 .等差數(shù)列的通項公式與前 n項和公式(1)若等差數(shù)列an的首項是a,公差是d,則

2、其通項公式為 an=ai+(n-1)d. 通項公式的推廣：an= am + (n m) d( m n C N*).(2)等差數(shù)列的前n項和公式S = n(自：&)=na + n(1)d(其中 nCN(,a1為首項，d為公差，an為第n項).3 .等差數(shù)列及前n項和的性質(zhì)a+ b(1)若a, A, b成等差數(shù)列，則 A叫做a, b的等差中項，且 A=(2)若an為等差數(shù)列，且 m+n = p+q,則 am+an= ap+a<m, n, p, qCN*).(3)若an是等差數(shù)列，公差為 d,則a% ak+m, ak+2m, (k,N*)是公差為md的等差數(shù)列.(4)數(shù)列Sm S2m-

3、 Sm, -m S2m,也是等差數(shù)列.(5) S2n 1 = (2n 1)an. nd (6)右n為偶數(shù)，貝 S偶一S奇=萬；右n為奇數(shù)，貝 S奇一S偶=2中(中間項).4.等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系d 2dS1 = -n + & c n.22數(shù)列an是等差數(shù)列？ S=An2+Bn(A, B為常數(shù)).5.等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列an中，a1>0, d<0,則&存在最大值；若 a1<0, d>0,則&存在最 小值.【高頻考點突破】考點一等差數(shù)列的性質(zhì)及基本量的求解1 .設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，S8=4a3, a7= 2,則

4、a9=（）A. - 6 B, -4 C. - 2 D. 22. （2014浙江卷）已知等差數(shù)列an的公差d>0.設(shè)an的前n項和為Sn, ai=1, S2 ss = 36.求d及Sn；求 m, k（m, k C N ）的值，使得 am+ am+i + am+2+ + am+ k= 65.規(guī)律方法 （1）一般地，運用等差數(shù)列性質(zhì)，可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程.但要注 意性質(zhì)運用的條件，如 m+ n = p+q,則am+an= ap+aq（m, n, p, qCN*）,只有當(dāng)序號 之和相等、項數(shù)相同時才成立.（2）在求解等差數(shù)列基本量問題中主要使用的是方程思想， 要注意公式使用時的準(zhǔn)確性與合理

5、性，更要注意運算的準(zhǔn)確性. 在遇到一些較復(fù)雜的方程組時，要注意整體代換思想的運用，使運算更加便捷.【變式探究】（1）設(shè)數(shù)列an, bn都是等差數(shù)列，且a=25, b1 = 75, a?+ b2= 100, 則a37+b37等于（）A. 0 B. 37 C. 100 D. 37（2）若一個等差數(shù)列前 3項的和為34,最后3項的和為146,且所有項的和為390, 則這個數(shù)列的項數(shù)為（）A. 13 B. 12 C. 11 D . 10（3）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且S0=10, 820=30,則 &。=.考點二等差數(shù)列的判定與證明11.若數(shù)歹U an的前n項和為Sn,且滿足an+2

6、SnSn I=0(n>2!) ai = 2.求證：白成等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式.Sn規(guī)律方法證明一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的基本方法有兩種：一是定義法，證明an an i= d(n>2, d為常數(shù))；二是等差中項法，證明22門+1 = 2門+2門+2.若證明一個數(shù)列不是 等差數(shù)列，則只需舉出反例即可，也可以用反證法.【變式探究】已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足a3 a4= 117,a 2 + as = 22.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足6 = 且，是否存在非零實數(shù) C使得bn為等差數(shù)列？若存在，n+ c求出c的值；若不存在，請說明理由

7、.考點三等差數(shù)列前n項和的最值問題1 .等差數(shù)列an的首項ai>0,設(shè)其前n項和為Sn,且Ss = Si2,則當(dāng)n為何值時，Sn有最大值？規(guī)律方法 求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：（1）利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項；（2）利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值；（3）將等差數(shù)列的前n項和Sn = An2+Bn（A, B為常數(shù)）看作二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.【變式探究】（1）等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a5+a7=4, a6+a8= 2,則當(dāng)Sn取最大值時，n的值是（）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8設(shè)數(shù)列an是公差dv0的等差數(shù)列，Sn為前n項和

8、，若& = 5a1+10d,則Sn取 最大值時，n的值為（）A. 5 B. 6C. 5或 6 D. 11（3）已知等差數(shù)列an的首項a = 20,公差d=2,則前n項和Sn的最大值為【真題感悟】1 .【2015高考新課標(biāo)1,文7已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項和，若 S8 4S4 ,則 a10(),17,19,(A)17(B)19(C)10(D)12222.12015高考陜西，文13中位數(shù)為10 10的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2015,則該數(shù)列的首項為3.12015高考福建，文16若a,b是函數(shù)f xx2 px q p 0,q 0 的兩個不同的零點，且a,b, 2這

9、三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p q的值等于.1. 12015高考浙江，文10已知an是等差數(shù)列，公差d不為零.若a2, a3, 27成 等比數(shù)列，且2al a2 1 ,則a1 , d .5. (2014安徽卷)數(shù)列an是等差數(shù)列，若a1 + 1, a3+3, as+5構(gòu)成公比為q的等比 數(shù)列，則q =.6. (2014北京卷)若等差數(shù)列an滿足a7+a8+a9>0, a7+a10<0,則當(dāng)n=時， an的前n項和最大.7. (2014福建卷)等差數(shù)列an的前n項和為若a1=2, S3= 12,則a6等于()A. 8 B, 10 C. 12 D. 148. (2014湖北卷)已知等差數(shù)列an滿足:ai = 2,且ai, 32, a5成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式.(2)記Sn為數(shù)列an的前n項和，是否存在正整數(shù) n,使得Sn>60n+800?若存在,