微積分一同步練習(xí)冊(cè)

1、第二章 極限與連續(xù) §2.1 數(shù)列極限1. 寫(xiě)出下列數(shù)列的通項(xiàng)，考察時(shí)通項(xiàng)的變化趨勢(shì)，用極限的形式表示其結(jié)果：（1） ； （2） 2. 求下列數(shù)列極限：（1）；（2）；（3）設(shè)， 求；（4）設(shè)，求；（5） 求；（6） 求；（7） 求.3. 設(shè)求4. 設(shè)，求5. 設(shè)，求§2.2 函數(shù)極限 1. 由函數(shù)的圖形考察極限2. 由函數(shù)的圖形考察極限 3. 求下列函數(shù)極限：（1） （2）（3） （4） （5） （6）4. 設(shè)，討論極限是否存在.5. 設(shè)，且極限存在，求實(shí)數(shù)的值.§2.3 函數(shù)極限的性質(zhì)及運(yùn)算法則1、 利用夾逼定理求極限，其中表示的取整函數(shù)。2、 證明：（1）（

2、2）3、 討論極限的存在性。4、 證明：的充要條件是。5、 設(shè)證明：不存在，且不為無(wú)窮大。§2.4 無(wú)窮大量和無(wú)窮小量1、 求下列極限： （1） （2）2、 求下列極限：（1） （2） （3） （4）3、已知存在，求。4、設(shè)求常數(shù)和。§2.5 函數(shù)的連續(xù)性 1、 求下列極限：（1） （2）（3） （4）2、設(shè)，且在內(nèi)處處連續(xù)，求常數(shù)的值。3、設(shè)，求的表達(dá)式，并求出它的間斷點(diǎn)。§2.6 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1、 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，和分別是在上的最小值和最大值，若 求函數(shù)在上的最小值和最大值。2、 設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，若存在使得 證明：在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。3、 設(shè)函數(shù)連

3、續(xù)于，且沒(méi)有零點(diǎn)，證明：在上保號(hào)。4、 證明：方程有一個(gè)根介于1和2之間，還有一個(gè)根介于2和3之間。第二章 自測(cè)題一、選擇題(1) 下列數(shù)列中收斂的是（ ）(A) (B) (C) (D) (2) ( )(A) 不存在 (B) 等于0 (C) 等于1 (D) 等于2(3) 設(shè)，且，其中，則必有 ( )(A) (B) 可能(C) 當(dāng)均在連續(xù)時(shí)，(D) 當(dāng)均在連續(xù)時(shí)，可能 (4) 若則 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 下列命題中正確的是 ( )(A) 若在點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)而不連續(xù)，則在處必不連續(xù)(B) 若在點(diǎn)處函數(shù)和均不連續(xù)，則在處必不連續(xù)(C) 若在點(diǎn)處函數(shù)不連續(xù)，則在處不連續(xù)(D) 若

4、在點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)，則在處連續(xù)(6) 下列各項(xiàng)正確的是 ( )(A) (B) (C) (D) (7) 當(dāng)時(shí)，下列四個(gè)量中 ( ) 是比其他三個(gè)更高階的無(wú)窮小量？(A) (B) , (C) (D) (8) 設(shè)函數(shù)則的間斷點(diǎn) ( )(A) 不存在, (B) 為 (C) 為 (D) 為(9) 對(duì)任意的，總有且則 ( )(A) 存在且等于 (B) 存在但不一定為(C) 一定不存在 (D) 不一定存在(10) 設(shè)定義于，且，則 ( )(A) 為的第一類間斷點(diǎn) (B) 為的第二類間斷點(diǎn)(C) 為的連續(xù)點(diǎn) (D) 在處的連續(xù)性與值無(wú)關(guān)(11) 當(dāng)時(shí)，下列變量中與是等價(jià)無(wú)窮小量的是 ( )(A) (B) (C)

5、(D) 二、解答題1、設(shè)函數(shù)和均在上連續(xù)，且試證：至少存在一點(diǎn)使得2、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且證明：在上必有一點(diǎn)，使得. 3、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且證明：一定存在使得 第三章 導(dǎo)數(shù)與微分§3.1 導(dǎo)數(shù)概念1. 求下列曲線在指定點(diǎn)的切線方程與法線方程：(1) 在點(diǎn) (2) 在點(diǎn)2. 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求下列函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：(1) (2) 3. 設(shè)函數(shù)，當(dāng)與取何值時(shí)，函數(shù)在可導(dǎo).4. 設(shè)存在，求下列極限：(1) (2) 5. 設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且，求：(1) (2) 6. 討論函數(shù)在給定點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性；若可導(dǎo)，求出 §3.2 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)公式1. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) (2) (

6、3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) (2) (3) (4) §3.3 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2. 利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) (2) (3) (4) 3. 設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，求解下列導(dǎo)數(shù)：(1) 求(2) 求 4. 求由下列方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) 求(2) 求5. 求曲線在點(diǎn)處的切線方程. §3.4 微分及其計(jì)算1. 求下列函數(shù)的微分(1) (2) (3) (4) 2. 求由下列方程確

7、定的隱函數(shù)的微分：(1) (2) 3. 求的近似值. 4. 求曲線在處的切線方程.5. 求下列參數(shù)方程的及：(1) (2) §3.5 高階導(dǎo)數(shù)與高階微分1. 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(1) (2) (3) (4) 2. 已知，求.3. 求的階導(dǎo)數(shù). §3.6 導(dǎo)數(shù)與微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用1. 設(shè)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)和總收入函數(shù)分別為，其中為該產(chǎn)品的銷量，求該產(chǎn)品的邊際成本、邊際收入和邊際利潤(rùn).2. 設(shè)某產(chǎn)品的需求量方程和總成本函數(shù)分別為其中為銷售量，為價(jià)格，求邊際利潤(rùn)函數(shù)，并計(jì)算和時(shí)的邊際利潤(rùn).3. 求下列函數(shù)的彈性（其中、為常數(shù)）：(1) (2) 第三章 自測(cè)題一、選擇題1

8、. 假設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)且，則 等于 ( )(A) (B) (C) (D) 2. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)且，則當(dāng)時(shí)，該函數(shù)在處的微分是 ( )(A) (B) (C) (D) 3. 函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件是存在極限 ( )(A) 與等價(jià)的無(wú)窮小 (B) 與同階的無(wú)窮小(C) 與低階的無(wú)窮小 (D) 與高階的無(wú)窮小4.函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)且，則 等于 ( )(A) (B) (C) (D) 5. 關(guān)于曲線，且在內(nèi)，則在內(nèi) ( )(A) (B) (C) (D) 二、填空題1. 設(shè)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，若，則_.2. 某商品的市場(chǎng)需求量(為價(jià)格)的需求價(jià)格彈性，則當(dāng)價(jià)格上漲1%時(shí)，需求量下降約_ _.3. 若，則_ _,

9、 _ _. 4. 設(shè)，則_ _.5. 設(shè)，則_ _.6. 設(shè)可導(dǎo)，若在處的增量，且相應(yīng)的函數(shù)增量的線性主部為，則_ _. 三、計(jì)算題1. 設(shè)，求. 2. 已知，求.3. 設(shè)，求. 4. 設(shè)，求，. 5. 設(shè) ，求，. 6. 設(shè)，求. 7. 設(shè)，求. 8. 設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求. 9. 已知是由方程所確定的隱函數(shù)，求. 10. 設(shè)是由函數(shù)方程所確定的隱函數(shù)，求該函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).11. 已知是由方程所確定的隱函數(shù)，求曲線在處的切線方程. 12. 求在點(diǎn)處的切線方程. 13. 已知某曲線滿足方程，求及曲線在點(diǎn)處的切線方程. 14. 求的近似值. 四、應(yīng)用題1. 已知函數(shù) 在可導(dǎo)，求，并求. 2

10、. 已知函數(shù) 在可導(dǎo)，求，并求. 3. 設(shè)函數(shù)(1) 為何值時(shí)，當(dāng)時(shí)有極限; (2) 為何值時(shí)，在處連續(xù); (3) 為何值時(shí)，在處可導(dǎo). 第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 §4.1 微分中值定理 1. 證明：方程（是常數(shù)）在區(qū)間內(nèi)不可能有兩個(gè)不同的實(shí)根. 2. 應(yīng)用拉格朗日中值定理證明 . 3. 設(shè)可導(dǎo)，求證：在兩零點(diǎn)之間一定有的零點(diǎn).4. 證明：，. §4.2 泰勒公式 1. 求函數(shù)的Maclaurin展式.2. 求函數(shù)的Maclaurin展式.3. 用泰勒公式求下列極限： (1) (2) .§4.3 洛必達(dá)法則 1求下列待定型的極限：（1）; （2）（3）其中;

11、（4）（5）; （6）;（7）; （8）;（9）； （10）; （11） （12）.§4.4 函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性 1應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明下列不等式：（1） （2）2確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）; （2）3. 確定下列函數(shù)的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)：（1）; （2）4證明在其定義域內(nèi)有惟一的零點(diǎn)§4.5 函數(shù)的極值與最大(小)值 1求下列函數(shù)的極值：（1）; （2）.2設(shè)在處都取的極值，試定出和的值；并問(wèn)這時(shí)在和是取得極大值還是極小值. 3求下列函數(shù)在指定區(qū)間上的最大值與最小值：(1) (2)4. 點(diǎn)到拋物線最短距離. §4.6 函數(shù)作圖 1. 求下列曲線的漸近線： (1

12、) ；(2) ；(3) . 2. 作出下列函數(shù)的圖形：(1)； (2) . 第四章 自測(cè)題 一、選擇題 1. 下列函數(shù)中在-1,1上滿足羅爾定理的是 . A B C D 2. 設(shè)偶函數(shù)在內(nèi)有，則在內(nèi)有 .A B C D3. 函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值,則必有 . A B C且 D 或不存在4. 設(shè)偶函數(shù)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且,則 .A 不是的極值點(diǎn) B 一定是的極值點(diǎn) C 一定不是的極值點(diǎn) D 是否為極值點(diǎn)不能確定5的垂直漸近線為 .A B C D 6. 恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則等于 .A 2 B 4 C 6 D 8二、填空題 1. 函數(shù)在上的最大值為 .2. 方程在內(nèi)有 個(gè)實(shí)根. 3. 曲線在內(nèi)恒有

13、，則在內(nèi)單調(diào)遞 (填增或減)；嚴(yán)格 (填上凸或下凸) .4. 曲線的豎直漸近線為 ，水平漸近線為 . 三、解答題1. 計(jì)算下列極限：（1） （2）；(3) (4) .2. 某種商品的需求量是單價(jià)的函數(shù)：，商品的總成本是需求量的函數(shù)：，每單位商品要納稅2元，求使銷售利潤(rùn)最大時(shí)的商品單價(jià). 3已知某商品的需求函數(shù)為，其中為價(jià)格，為商品數(shù)量，生產(chǎn)該商品的總成本函數(shù)為. 試求總利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量. 4在曲線上求到點(diǎn)的距離最短的點(diǎn)，并求出最短距離. 5. 設(shè)在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。求證：至少存在一點(diǎn)，使得. 6. 證明：. 7. 證明：方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根. 8. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間、漸近線與拐

14、點(diǎn).第五章 不定積分 §5.1 原函數(shù)與不定積分的概念 §5.2 基本積分公式1. 已知一曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，且在其上任一點(diǎn)（x,y）處的切線斜率等于4x，求曲線的方程. 2. 求下列不定積分：(1) 已知, 求不定積分；(2) 已知, 求不定積分；(3) 已知, 求不定積分. 3. 求下列不定積分：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) . §5.3 湊微分法和分部積分法1. 用湊微分方法求下列不定積分： (1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) ； (10)

15、. 2. 已知，求.3. 用分部積分法求下列不定積分：(1) ； (2) ；(3) ； (4) .4. 求下列有理函數(shù)的不定積分：(1) ； (2) .5. 求下列不定積分：(1) 已知是的一個(gè)原函數(shù)，求；(2) 已知是的一個(gè)原函數(shù)，求. §5.4 換元積分法1. 求下列不定積分： (1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) .2*. 求不定積分. 3*. 已知，求. 第五章 自測(cè)題 一、選擇題 1設(shè)，則的結(jié)果是 A B C D 2= A B C D 3設(shè)，則 A B C D 4若，則下列等式中一定成立的是 A B C D 5下列等式中不成立

16、的是 A B C D 6 A B C D 7設(shè)，且，則= A B C D 8在內(nèi)，均可導(dǎo)，且，則 A B C （常數(shù)） D不能確定之間的關(guān)系二、填空題 1若，則 2設(shè)，則f (x)= 3已知的一個(gè)原函數(shù)為，則 4設(shè)，則 5不定積分 6設(shè)，則 三、解答題1計(jì)算下列不定積分： (1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ； (7) ； (8) 2*. 已知，求不定積分. 3*已知，求. 南京審計(jì)學(xué)院20082009學(xué)年第一學(xué)期微積分一試卷一、填空題（本題共4小題，每小題3分,滿分12分）1. 設(shè)，則 2. 已知收益函數(shù)為，則邊際收益為 3. 利用微分計(jì)算的近似值為 4. 若，則

17、二、單項(xiàng)選擇題（本題共5小題，每小題2分,滿分10分）1. 當(dāng)時(shí), 是 (A) 無(wú)窮小量 (B) 無(wú)窮大量 (C) 有界變量 (D) 無(wú)界變量2. 下列結(jié)論中正確的是 有界數(shù)列必有極限； 無(wú)界數(shù)列必是無(wú)窮大量； 單調(diào)數(shù)列必有極限； 單調(diào)數(shù)列或有極限，或是無(wú)窮大量.3. 當(dāng)時(shí)，是的 高階無(wú)窮小 低階無(wú)窮小 等價(jià)無(wú)窮小 同階但非等價(jià)無(wú)窮小4. 設(shè)函數(shù)在連續(xù)，在有二階導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖像如下圖，則有 (A) 有兩個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，有一個(gè)拐點(diǎn)(B) 有一個(gè)極大值點(diǎn)和兩個(gè)極小值點(diǎn)，有一個(gè)拐點(diǎn)(C) 有兩個(gè)極大值點(diǎn)和兩個(gè) 極小值點(diǎn)，有一個(gè)拐點(diǎn)(D) 有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，有兩個(gè)拐點(diǎn)5. 已

18、知，則 三、計(jì)算極限（本題共2小題，每小題5分,滿分10分） 四、（本題滿分6分）求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判別間斷點(diǎn)的類型.五、（本題共2小題，每小題5分,滿分10分） 1. 設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求2. 求曲線在點(diǎn)處的切線方程. 六、求不定積分（本題共3小題，每小題5分,滿分15分）（1） （2）（3）七、綜合題（本題滿分7分） 已知 在內(nèi)可導(dǎo)，求及. 八、應(yīng)用題（本題共2小題，每小題7分,滿分14分）1. 在曲線上求到點(diǎn)的距離最短的點(diǎn)，并求出這個(gè)最短距離. 2. 某種商品的需求量是單價(jià)（單位：元）的函數(shù)：，商品的總成本是需求量的函數(shù)：，每單位商品要納稅元，求使銷售利潤(rùn)最大的商品單價(jià). 九、綜合

19、題（本題滿分10分）給定函數(shù)(1) 求， (2) 將函數(shù)的定義域適當(dāng)分成若干部分，填下表 (填區(qū)間或點(diǎn)) (填符號(hào)或“不存在”) (填符號(hào)或“不存在”) (填單調(diào)性或極值以及凹凸性或拐點(diǎn)) （3） 求曲線的漸近線. 十、證明題（本題滿分6分）以下兩題中選做一題1. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，證明存在常數(shù)，使得，有 . 2證明：當(dāng)時(shí)，. 南京審計(jì)學(xué)院20092010學(xué)年第一學(xué)期微積分一試卷一、填空題（共10個(gè)空，每空2分,滿分20分）1. 函數(shù) 的間斷點(diǎn)為 ，此間斷點(diǎn)為第 類間斷點(diǎn).2. 設(shè)，則 .3. 設(shè)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，則 .4. 曲線的垂直漸近線是 ，斜漸近線是 . 5. 某商品的需求

20、函數(shù)為，則總收益在價(jià)格處的彈性為 .6. 函數(shù)在上滿足羅爾中值定理的全部條件，且是其滿足羅爾中值定理的中值，則 ， .7當(dāng) 時(shí)，. 二、單項(xiàng)選擇題（共5題，每題2分,滿分10分）1.下列等式正確的是（ ） 2. 數(shù)列，當(dāng)時(shí)，是（ ） 無(wú)窮大量 無(wú)窮小量 有界變量，但非無(wú)窮小量 無(wú)界變量，但非無(wú)窮大量 3.設(shè)可導(dǎo)，且，則（ ） 4. 函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值，則（ ） 且 或不存在 5. 設(shè)存在，則（ ） 三、計(jì)算題（共8題，每題4分，滿分32分）1. 已知，求常數(shù)和. 2. . 3. 設(shè)，求. 4. 求方程 所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).5. . 6. . 7. . 8. . 四、（12分）設(shè)函數(shù)，確定函

21、數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)和極值、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn). 五、（滿分10分）設(shè)函數(shù)，（1）為何值時(shí)，當(dāng)時(shí)有極限； （2）為何值時(shí)，在處連續(xù)； （3）為何值時(shí)，在處可導(dǎo).六、證明題（滿分5分）證明：當(dāng)時(shí)，有.七、 應(yīng)用題（共2題，滿分11分）1（5分）某公司的銷售收入（單位：千元）是廣告費(fèi)用支出（單位：千元）的函數(shù)，設(shè).（1）公司希望的符號(hào)是正還是負(fù)?（2）的經(jīng)濟(jì)意義是什么?（3）假設(shè)公司計(jì)劃花費(fèi)100千元作為廣告費(fèi)用，如果，那么公司該花費(fèi)略多于還是略少于100千元的廣告費(fèi)? 為什么?2（6分）某廠生產(chǎn)某種商品的總成本函數(shù)為，該商品的需求函數(shù)為（其中為價(jià)格，為產(chǎn)量），這種商品在市場(chǎng)上是暢銷的. 求出使該商品

22、總利潤(rùn)最大的價(jià)格，并求出最大利潤(rùn). 南京審計(jì)學(xué)院20102011學(xué)年第一學(xué)期微積分一試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共5小題，每小題2分,滿分10分）1. 拉格朗日中值定理中的條件：在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)是在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得的 (A) 必要條件 (B) 充分條件 (C) 充要條件 (D) 非充分非必要條件 2. 數(shù)列是 (A) 無(wú)窮大量 (B) 無(wú)窮小量 (C) 有界變量 (D) 無(wú)界變量3. 設(shè)，則下列結(jié)論正確的是 當(dāng)時(shí)，是比高階的無(wú)窮小量； 當(dāng)時(shí)，是比高階的無(wú)窮小量； 當(dāng)時(shí)，與是同階但不是等價(jià)的無(wú)窮小量； (D) 當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)的無(wú)窮小量.4. 若在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)處 必可導(dǎo) 連續(xù)但不一定可導(dǎo) 一定不可導(dǎo) (D) 不連續(xù)5. 以下結(jié)論正確的是 若，在點(diǎn)不都連續(xù)，則在必不連續(xù)； 若與在點(diǎn)均不連續(xù)，則在必不連續(xù)； 若，在點(diǎn)不都連續(xù)，則在必不連續(xù)；