MATLAB綜合性實驗報告

1、本科學生綜合性實驗報告一、實驗綜述1、實驗目的及要求學習由實際問題去建立數(shù)學模型的全過程；訓練綜合應用數(shù)學模型 、微分方程、函數(shù)擬合和預測的知識分析和解決實際問題；應用matlab 軟件求解微分方程、作圖、函數(shù)擬合等功能，設計 matlab程序來求解其中的數(shù)學模型；提高論文寫作、文字處理、排版等方面的能力。 通過完成該實驗，學習和實踐由簡單到復雜，逐步求精的建模思想，學習如何建立反映人口增長規(guī)律的數(shù)學模型，學習在求解最小二乘擬合問題不收斂時，如何調(diào)整初值，變換函數(shù)和數(shù)據(jù)使優(yōu)化迭代過程收斂。2、實驗儀器、設備或軟件電腦 MATLAB二、實驗過程（實驗步驟、記錄、數(shù)據(jù)、分析）內(nèi)容1數(shù)學建模的基本方

2、法；2查閱資料理解 Malthus 人口指數(shù)增長模型和 Logistic 模型； 3Matlab軟件中曲線擬合函數(shù)的異常情況處理； 4誤差分析與模型檢驗。步驟 1分析理解 Malthus 人口指數(shù)增長模型和 Logistic 模型 ； 2利用 Matlab 軟件求解上述兩個模型； 3設計數(shù)據(jù)擬合方法； 4編寫M文件，保存文件并運行觀察運行結果 ( 數(shù)值或圖形 ) ，并進行誤差分析； 5利用至少兩種模型預測人口數(shù)量； 6分析、整理和總結，寫出實驗報告。要求與任務從 1790 1990 年間美國每隔 10 年的人口記錄如下表所示：用以上數(shù)據(jù)檢驗馬爾薩斯 ( Malthus)人口指數(shù)增長模型，根據(jù)檢

3、驗結果進一步討論馬爾薩斯人口模型的改進，并利用至少兩種模型來預測美國2010 年的人口數(shù)量。 提示 1 ： Malthus 模型的基本假設是：人口的增長率為常數(shù)，記為 r 。記時刻 t的人口為 x ( t )（即 x ( t )為模型的狀態(tài)變量），且初始時刻的人口為 ，于是得到如下微分方程： 提示 2 ：阻滯增長模型（或 Logistic 模型） 由于資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用，人口增長到一定數(shù)量后，增長率會下降，假設 人口的增長率為x 的減函數(shù)，如設 r(x)=r(1-x/xm) ，其中 r 為固有增長率 (x 很小時 ) ，xm為人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）， 于是得到

4、如下微分方程： 解答指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型）1 假設：人口增長率是常數(shù)（或單位時間內(nèi)人口的增長量與當時的人口成正比）.2 建立模型： 記時刻t=0時人口數(shù)為x0=3.9, 時刻t的人口為，由于量大，可視為連續(xù)、可微函數(shù).t到時間內(nèi)人口的增量為：于是滿足微分方程： （1）3 模型求解： 用MATLAB求解，dsolve('Dx=r*x','x(0)=3.9','t')ans = (39*exp(r*t)/10即 （2）表明：時，（>0）.4 模型的參數(shù)估計：對非線性模型回歸分析建立M文件volum.mfunction xhat=vol

5、um(beta,t)xhat=3.9*exp(beta(1)*t);輸入數(shù)據(jù)t=0:10:200;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4;beta0=0.01;求回歸系數(shù)beta,r,J=nlinfit(t',x','volum',beta0);beta結果beta =0.0217預測及作圖YY,delta=nlpredci('volum',t',beta,r

6、,J);plot(t,x,'k+',t,YY,'r')通過表中17901980的數(shù)據(jù)擬合得： =0.0217. 5 模型檢驗： 將x0=3.9，=0.0217 代入公式（2），求出用指數(shù)增長模型預測的17901990的人口數(shù)，t=0:10:200;x=3.9*exp(0.0217.*t)x = Columns 1 through 143.9000 4.8451 6.0193 7.4781 9.2904 11.5418 14.3389 17.8139 22.1309 27.4942 34.1573 42.4351 52.7190 65.4952Columns 15

7、 through 2181.3676 101.0865 125.5842 156.0188 193.8290 240.8024 299.1594從圖和數(shù)據(jù)可看出，17901990間的預測人口數(shù)與實際人口數(shù)吻合較好。6 模型應用：現(xiàn)在預測美國2010 年的人口數(shù)量：t=220;x=3.9*exp(0.0217.*t)x = 461.7283所以，美國2010 年的人口數(shù)量為461.7283百萬人。 阻滯增長模型（logistic模型）1假設：（a）人口增長率為人口的函數(shù)（減函數(shù)），最簡單假定（線性函數(shù)），叫做固有增長率.（b）自然資源和環(huán)境條件年容納的最大人口容量.2建立模型： 當 時，增長率應

8、為0，即=0，于是，代入得： （3）將（3）式代入（1）得：模型： （4） 3 模型的求解： dsolve('Dx=r*(1-(x/xm)*x','x(0)=3.9','t')ans =xm/(1+1/39*exp(-r*t)*(10*xm-39)4 模型的參數(shù)估計：建立M文件volum.mfunction xhat=volum1(beta,t)xhat=beta(1)./(1+(beta(1)/3.9-1).*exp(-beta(2).*t);輸入數(shù)據(jù)t=0:10:200;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.

9、4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4;beta0=500 0.02'求回歸系數(shù)beta,r,J=nlinfit(t',x','volum1',beta0);beta結果beta = 311.95560.0280預測及作圖YY,delta=nlpredci('volum1',t',beta,r,J);plot(t,x,'k+',t,YY,'r')利用表1中17901990的數(shù)據(jù)對和擬合得：=

10、0.0280, =311.9556. 5 模型檢驗：將=0.0280, =311.9556代入，求出用指數(shù)增長模型預測的17901990的人口數(shù)t=0:10:200;x=311.9556./(1+(311.9556/3.9-1).*exp(-0.0280.*t)x =Columns 1 through 13 3.9000 5.1394 6.7641 8.8876 11.6521 15.2334 19.8427 25.7257 33.1550 42.4118 53.7548 67.3733 83.3284Columns 14 through 21101.4940 121.5149 142.8054 164.6021 186.0660 206.4082 224.9996 241.4350從圖和數(shù)據(jù)可看出，17901990間的預測人口數(shù)與實際人口數(shù)比指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型）更吻合。 6 模型應用： 現(xiàn)應用該模型預測2010年美國人口數(shù)