數(shù)學(xué)建模作業(yè)實(shí)驗(yàn)

1、姓名：雷鋒答:(1) 該二階微分方程可用一個二元微分方程組來表示，該方程組的解就是，故（0，0）點(diǎn)為微分方程的平衡點(diǎn)；在分析方程的穩(wěn)定性之前，先分析線性微分方程組的穩(wěn)定性，將線性方程組寫成，其中，因?yàn)?，故?，0）是其唯一平衡點(diǎn)。設(shè)，可知特征值，由于,將計(jì)算結(jié)果對照課件中表2.1（平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性的各種情況），可知（0，0）點(diǎn)是不穩(wěn)定的。繪出自治系統(tǒng)相應(yīng)的軌線，并標(biāo)出隨t增加的運(yùn)動方向，如下圖所示：(2) 該二階微分方程可用一個二元微分方程組來表示，該方程組的解就是，故（0，0）點(diǎn)為微分方程的平衡點(diǎn)；在分析方程的穩(wěn)定性之前，先分析線性微分方程組的穩(wěn)定性，將線性方程組寫成，其中，因?yàn)椋剩?，0）

2、是其唯一平衡點(diǎn)。設(shè)，可知特征值，由于,將計(jì)算結(jié)果對照課件中表2.1（平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性的各種情況），可知（0，0）點(diǎn)是不穩(wěn)定的。繪出自治系統(tǒng)相應(yīng)的軌線，并標(biāo)出隨t增加的運(yùn)動方向，如下圖所示： (3) 該二階微分方程可用一個二元微分方程組來表示，該方程組的解就是，故（0，0）點(diǎn)為微分方程的平衡點(diǎn)；在分析方程的穩(wěn)定性之前，先分析線性微分方程組的穩(wěn)定性，將線性方程組寫成，其中，因?yàn)?，故?，0）是其唯一平衡點(diǎn)。設(shè)，可知特征值，由于,將計(jì)算結(jié)果對照課件中表2.1（平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性的各種情況），可知（0，0）點(diǎn)是不穩(wěn)定的。繪出自治系統(tǒng)相應(yīng)的軌線，并標(biāo)出隨t增加的運(yùn)動方向，如下圖所示：(4) 該二階微分方程可用

3、一個二元微分方程組來表示，該方程組的解就是，故（0，0）點(diǎn)為微分方程的平衡點(diǎn)；在分析方程的穩(wěn)定性之前，先分析線性微分方程組的穩(wěn)定性，將線性方程組寫成，其中，因?yàn)?，故?，0）是其唯一平衡點(diǎn)。設(shè)，可知特征值，由于,將計(jì)算結(jié)果對照課件中表2.1（平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性的各種情況），可知（0，0）點(diǎn)是穩(wěn)定的。繪出自治系統(tǒng)相應(yīng)的軌線，并標(biāo)出隨t增加的運(yùn)動方向，如下圖所示：答：（1）營養(yǎng)的濃度能達(dá)到平衡。（2）已知，令；當(dāng)時，得到的N為平衡解；故（3）它是穩(wěn)定的因?yàn)楫?dāng)時，且；當(dāng)時，且，如下圖所示，在處穩(wěn)定。答：根據(jù)題意設(shè)在t時刻，病菌數(shù)量為,病菌增長率為，死亡率為，當(dāng)時，;由此可以建立微分方程，如下所示令，當(dāng)時

4、，計(jì)算其平衡點(diǎn)，下圖畫出了的符號取值范圍和的變化趨勢；根據(jù)題意可知，細(xì)菌數(shù)量N不可能小于0，當(dāng)時，當(dāng)時，；因此，根據(jù)圖示可以判斷，是穩(wěn)定的，不是穩(wěn)定的。答：令，計(jì)算時的平衡點(diǎn)；得到平衡點(diǎn)，；計(jì)算；分別將和帶入后得到由此可以判斷出平衡點(diǎn)處是穩(wěn)定的，平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的；由于，且;計(jì)算；當(dāng)時，因此可知在曲線的零點(diǎn)位置，其切線斜率為r;已知,故必存在平衡點(diǎn)；令，計(jì)算得到；將其帶入，可得；將和帶入；計(jì)算可得最優(yōu)捕撈率答：根據(jù)題意可知漁場魚量自然增長的模型，減去相應(yīng)的捕撈量后的魚量為；這里并不需要解方程以得到x(t)的動態(tài)變化過程,只希望知道漁場的穩(wěn)定魚量和保持穩(wěn)定的條件,即時間t足夠長以后漁場魚量x(t)

5、的趨向,并由此確定最大持續(xù)產(chǎn)量.為此可以直接求方程的平衡點(diǎn)并分析其穩(wěn)定性令,計(jì)算其平衡點(diǎn)；計(jì)算,將帶入后得到，故平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。這說明只要捕撈適度，就可以讓漁場的魚量穩(wěn)定在，應(yīng)用圖解法：、由圖可知，當(dāng)h（x）和g（x）在的頂部相交時，可以獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量。令，得到穩(wěn)定時的平衡點(diǎn)；帶入到中，得到將帶入到，計(jì)算保持漁場魚量穩(wěn)定在的捕撈強(qiáng)度為答：該二階微分方程可用一個二元微分方程組來表示；將該二元微分方程組展開并整理得到方程組如下所示：計(jì)算該方程組，求得平衡解如下：1、對于平衡點(diǎn)，由于計(jì)算得到，由于，故且由定理2.2可知，平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。（1）對于平衡點(diǎn)，由于帶入平衡點(diǎn)可得,已知，如果，那么得到

6、且。根據(jù)定理2.2可知，當(dāng)且時，平衡解是穩(wěn)定的，則當(dāng)時，。（2）對于平衡點(diǎn)，由于帶入平衡點(diǎn)可得,已知，如果，那么得到且。根據(jù)定理2.2可知，當(dāng)且時，平衡解是穩(wěn)定的，則當(dāng)時，。（3）用圖形分析方法解釋上述情況：由于平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，故只考慮對于線性方程組在平面上代表2條直線和，其中和分別對應(yīng)如下：上式中和代表直線在平面圖橫軸和豎軸的坐標(biāo)；和代表直線在平面圖橫軸和豎軸的坐標(biāo)。當(dāng)縱坐標(biāo)為0時，計(jì)算得，；當(dāng)縱坐標(biāo)為0時 ；第一種情況：令且，得到，將第一區(qū)域分為3個部分，如圖所示:在區(qū)域I中，即隨著t的增加而增加，并且當(dāng)經(jīng)過直線時，有，所以，即切線是垂直的，也就是說，相軌曲線是以垂直方向進(jìn)入到區(qū)域II。

7、在區(qū)域III中，即隨著t的增加而減少，并且當(dāng)經(jīng)過直線時，有，所以，即切線是水平的，也就是說，相軌曲線是以水平方向進(jìn)入到區(qū)域II。在區(qū)域II中，即隨著t的增加而減小，隨著t的增加而增加，最終趨于0，最終趨于。第二種情況：令且，得到，將第一區(qū)域分為3個部分，如圖所示:在區(qū)域I中，即隨著t的增加而增加，并且當(dāng)經(jīng)過直線時，有，所以，即切線是水平的，也就是說，相軌曲線是以水平方向進(jìn)入到區(qū)域II。在區(qū)域III中，即隨著t的增加而減少，并且當(dāng)經(jīng)過直線時，有，所以，即切線是垂直的，也就是說，相軌曲線是以垂直方向進(jìn)入到區(qū)域II。在區(qū)域II中，即隨著t的增加而增加，隨著t的增加而減小，最終趨于，最終趨于0。解：先

8、建立描述微分方程組的外部函數(shù)，文件名為：lorenz.mfunctionxdot = lorenz(t, x)xdot = -8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3);再調(diào)用ode45()求解。輸入：t,x=ode45(lorenz,0 100,0 0 1e-10);plot(x(:,2), x(:,1)plot(x(:,2), x(:,3)plot(x(:,3), x(:,1)、和、時，得出的圖形為：使其分別為、和、時，得出的圖形為：使其分別為、和、時，得出的圖形為：、和、時，得出的圖形為：、和、時，得出的圖形為：、和、時，得出的圖形為：答：（1）根據(jù)題意可得：藥物流動服從一階動力方程； 轉(zhuǎn)換率是關(guān)于時間的常數(shù)，為比率常數(shù)。根據(jù)題意可列微分方程如下在Matlab中為方便計(jì)算，令；計(jì)算得到x = c*exp(-a*t) y = exp(-a*t)*exp(-b*t)*(a*c*exp