2012年高考數(shù)學二輪復習專題輔導資料 專題（2）分類討論

1、【專題二】分類討論思想【考情分析】分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學思想，這種思想對于簡化研究對象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關分類討論的數(shù)學命題在高考試題中占有重要位置。所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答.實質上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學策略.分類討論思想是一種重要的數(shù)學思想，它在人的思維發(fā)展中有著重要的作用，因此在近幾年的高考試題中，他都被列為一種重要的思維方法來考察。分類討論是每年高考必考的內(nèi)容，預測2011年高考對本專

2、題的考察為：將有一道中檔或中檔偏上的題目，其求解思路直接依賴于分類討論，特別關注以下方面：涉及指數(shù)、對數(shù)底的討論，含參數(shù)的一元二次不等式、等比數(shù)列求和，由求等?！局R交匯】分類討論是一種重要的數(shù)學思想方法，當問題的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究的對象進行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結果，最終綜合各類結果得到整個問題的解答。1分類討論思想就是依據(jù)一定的標準，對問題分類、求解，要特別注意分類必須滿足互斥、無漏、最簡的原則。有關分類討論的數(shù)學問題需要運用分類討論思想來解決，引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：（1）涉及的數(shù)學概念是分類討論的；如絕對值|a|的定義分a>0、

3、a0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。再有：直線的斜率、指數(shù)對數(shù)函數(shù)、直線與平面的夾角等定義包含了分類；（2）運用的數(shù)學定理、公式、或運算性質、法則是分類給出的；如等比數(shù)列的前n項和的公式，分q1和q1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質型。再有，圓錐曲線的統(tǒng)一定義中圖形的分類等；（3）由實際意義分類。如排列、組合、概率中較常見，但不明顯、有些應用問題也需分類討論；（4）數(shù)學問題中含有參變量，這些參變量的不同取值導致不同的結果的；如解不等式ax>2時分a>0、a0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。（5）較復雜或非常規(guī)的數(shù)學問題，需要采取分類討論的解題

4、策略來解決的。在學習中也要注意優(yōu)化策略，有時利用轉化策略，如反證法、補集法、變更多元法、數(shù)形結合法等簡化甚至避開討論。2分類討論是一種邏輯方法，在中學數(shù)學中有極廣泛的應用。根據(jù)不同標準可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標準出發(fā)，做到不重復，不遺漏 ，包含各種情況，同時要有利于問題研究；3分類原則：（1）對所討論的全域分類要“即不重復，也不遺漏”（2）在同一次討論中只能按所確定的一個標準進行（3）對多級討論，應逐級進行，不能越級；4分類方法：（1）概念和性質是分類的依據(jù)（2）按區(qū)域（定義域或值域）進行分類是基本方法（3）不定因素（條件或結論不唯一，數(shù)值大小的不確定，圖形位置的不確定）是分類的

5、突破口（4）二分發(fā)是分類討論的利器（4）層次分明是分類討論的基本要求；5討論的基本步驟：(1)明確討論的對象：即對哪個參數(shù)進行討論；(2)對所討論的對象進行合理分類(分類時要做到不重復、不遺漏、標準要統(tǒng)一、分層不越級)；(3)逐類討論：即對各類問題詳細討論，逐步解決。(4)歸納總結：將各類情況總結歸納；6簡化和避免分類討論的優(yōu)化策略：（1）直接回避。如運用反證法、求補法、消參法等方法有時可以避開煩瑣討論；（2）變更主元。如分離參數(shù)、變參置換，構造以討論對象為變量的函數(shù)得便感形式解題時可避開討論；（3）合理運算。如利用函數(shù)奇偶性、變量的對稱輪換以及公式的合理選用等有時可以簡化甚至避開討論；（4）

6、數(shù)形結合。利用函數(shù)圖象、幾何圖形的直觀性和對稱特點有時可以簡化甚至避開討論?！舅枷敕椒ā款}型1：集合中分類討論問題例1已知集合M=a2, a+1,3, N=a3, 2a1, a2+1, 若MN=3, 則a的值（ ）A1 B0 C1 D2解析：A；MN=-3， N=a-3，2a-1，a2+1，若a3=-3, 則a=0,此時M=0,1,3，N=3，1，1，則 MN=-3，1，故不適合。若2a1=3，則a=1，此時M=1, 0,3, N=4,3, 2，若a2+1=3，此方程無實數(shù)解。點評：該題結合集合的運算考查了分類討論思想，分類的標準結合集合的性質：無序性、互異性、確定性。例2（2010湖北理數(shù)）

7、記實數(shù)，中的最大數(shù)為max，最小數(shù)為min。已知ABC的三邊長位a,b,c（），定義它的親傾斜度為則“=1”是“ABC為等邊三角形”的（ ）A必要而不充分的條件 B充分而不必要的條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案：A；解析：若ABC為等邊三角形時，即a=b=c，則則l=1；若ABC為等腰三角形，如a=2,b=2,c=3時，則，此時l=1仍成立但ABC不為等邊三角形,所以A正確。點評：把握含參數(shù)問題參數(shù)的分類標準最為關鍵，像三角形的分類帶來的參數(shù)標準的分類是解題的關鍵。題型2：函數(shù)、方程中分類討論問題例3（2011天津文16）設函數(shù)對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ；【解析】解法1顯然

8、，由于函數(shù)對是增函數(shù)，則當時，不恒成立，因此當時，函數(shù)在 是減函數(shù)，因此當時，取得最大值，于是恒成立等價于的最大值，即，解得于是實數(shù)的取值范圍是解法2然，由于函數(shù)對是增函數(shù)，則當時，不成立，因此，因為，則，設函數(shù)，則當時為增函數(shù)，于是時，取得最小值解得于是實數(shù)的取值范圍是解法3因為對任意，恒成立，所以對，不等式也成立，于是，即，解得于是實數(shù)的取值范圍是點評：含有參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題歷來就是高中數(shù)學的重點和難點之一。求解此類問題的關鍵一點就是緊扣對稱軸，依此來展開有條理性的分類討論。例4（2011四川理22）（四川理22）已知函數(shù)，（）設函數(shù)F(x)f(x)h(x)，求F(x)的單調區(qū)間與極

9、值；（）設，解關于x的方程；（）試比較與的大小本小題主要考查函數(shù)導數(shù)的應用、不等式的證明、解方程等基本知識，考查數(shù)形結合、函數(shù)與方程、分類與整合、特殊與一般等數(shù)學思想方法及推理運算、分析問題、解決問題的能力解：（）由（）知，令，得當時，；當時，故當時，是減函數(shù)；時，是增函數(shù)函數(shù)在處有得極小值（）方法一：原方程可化為，即為，且當時，則，即，此時，此時方程僅有一解當時，由，得，若，則，方程有兩解；若時，則，方程有一解；若或，原方程無解方法二：原方程可化為，即，當時，原方程有一解；當時，原方程有二解；當時，原方程有一解；當或時，原方程無解（）由已知得設數(shù)列的前n項和為，且（）從而，當時，又即對任意時

10、，有，又因為，所以故點評：本小題主要考查函數(shù)、方程等基本知識，考查分類討論的數(shù)學思想方法和綜合運用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力。題型3：解析幾何中的分類討論問題例5（2011山東理22）（山東理22） 已知動直線與橢圓C: 交于P、Q兩不同點，且OPQ的面積=,其中O為坐標原點.（）證明和均為定值;（）設線段PQ的中點為M，求的最大值；（）橢圓C上是否存在點D,E,G，使得?若存在，判斷DEG的形狀；若不存在，請說明理由.（I）解：（1）當直線的斜率不存在時，P，Q兩點關于x軸對稱，所以因為在橢圓上，因此又因為所以由、得此時 （2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為由題意知m，將其代入，得

11、，其中即（*）又所以因為點O到直線的距離為所以又整理得且符合（*）式，此時綜上所述，結論成立。 （II）解法一： （1）當直線的斜率不存在時，由（I）知因此 （2）當直線的斜率存在時，由（I）知所以 所以，當且僅當時，等號成立.綜合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值為解法二：因為 所以即當且僅當時等號成立。因此 |OM|·|PQ|的最大值為 （III）橢圓C上不存在三點D， E，G，使得證明：假設存在，由（I）得因此D，E，G只能在這四點中選取三個不同點，而這三點的兩兩連線中必有一條過原點，與矛盾，所以橢圓C上不存在滿足條件的三點D，E，G。點評：處理直線與圓錐曲線的

12、位置關系時，待定直線方程需要考慮斜率不存在這種情況，分類討論。例6已知直角坐標平面上點Q（2，0）和圓C：x2+y2=1，動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)（0）。求動點M的軌跡方程，說明它表示什么曲線。 解析：如圖，設直線MN切圓O于N，則動點M組成的集合是：P=M|MN|=|MQ|(其中>0) ，圓半徑|ON|=1，|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|21，設點M的坐標為（x，y），則，整理得：，經(jīng)檢驗，坐標適合這個方程的點都屬于集合P，故這個方程為所求的軌跡方程。當=1時，方程化為 ，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于點；當1時，方程化為，它表示圓

13、，該圓圓心的坐標為 ，半徑為。點評：本題在求出軌跡方程之后，在判定為何曲線時，因參數(shù)引起了分類討論：一些問題中的數(shù)學表達式中因含有會導致不同結論的參數(shù)，從而需對參數(shù)分情況討論，求得問題的結果。題型4：不等式中分類討論問題例7解不等式>0 (a為常數(shù)，a)分析：含參數(shù)的不等式，參數(shù)a決定了2a1的符號和兩根4a、6a的大小，故對參數(shù)a分四種情況a>0、a0、<a<0、a<分別加以討論。解析：2a1>0時，a>； 4a<6a時，a>0 。所以分以下四種情況討論：當a>0時，(x4a)(x6a)>0，解得：x<4a或x>6

14、a；當a0時，x>0，解得：x0；當<a<0時，(x4a)(x6a)>0，解得: x<6a或x>4a；當a>時，(x4a)(x6a)<0，解得： 6a<x<4a 。綜上所述，當a>0時，x<4a或x>6a；當a0時，x0；當<a<0時，x<6a或x>4a；當a>時，6a<x<4a 。點評：本題的關鍵是確定對參數(shù)a分四種情況進行討論，做到不重不漏。一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結合參數(shù)的意義及對結果的影響而進行分類討論，此種題型為含參型。例8 解析： ， ， ，； ，

15、； ； ； 綜上所述，得原不等式的解集為：；。點評：這是一個含參數(shù)a的不等式，一定是二次不等式嗎？不一定，故首先對二次項系數(shù)a分類：（1）a0（2）a=0，對于（2），不等式易解；對于（1），又需再次分類：a>0或a<0，因為這兩種情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在兩根之外，還是在兩根之間。而確定這一點之后，又會遇到1與誰大誰小的問題，因而又需作一次分類討論。故而解題時，需要作三級分類。題型5：數(shù)列中分類討論問題例9（2011天津理20）已知數(shù)列與滿足：， ，且（）求的值；（）設，證明：是等比數(shù)列；（III）設證明：本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎知識，考查

16、運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分.（I）解：由 可得又（II）證明：對任意，得將代入，可得，即又因此是等比數(shù)列.（III）證明：由（II）可得，于是，對任意，有將以上各式相加，得即，此式當k=1時也成立.由式得從而所以，對任意，對于n=1，不等式顯然成立.所以，對任意點評：數(shù)列證明中的數(shù)學歸納法是一個需要牢記的分類遞進推理過程，證明格式相對嚴格、規(guī)范。例10（2010四川理數(shù)）已知數(shù)列an滿足a10，a22，且對任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）設bna2n1a2n1(nN*)，證明：bn是等差數(shù)列；（

17、）設cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求數(shù)列cn的前n項和Sn。解：(1)由題意，零m2,n1,可得a32a2a126，再令m3,n1，可得a52a3a1820。(2)當nN *時，由已知(以n2代替m)可得：a2n3a2n12a2n18。于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8，即 bn1bn8。所以bn是公差為8的等差數(shù)列(3)由(1)(2)解答可知bn是首項為b1a3a16,公差為8的等差數(shù)列則bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得：an-(n1)2.那么an1an2n12n12n于是cn2nqn1.當q1時，Sn2462nn(n1)當q1

18、時，Sn2·q04·q16·q22n·qn1.兩邊同乘以q，可得 qSn2·q14·q26·q32n·qn.上述兩式相減得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqn2·2nqn2·，所以Sn2·綜上所述，Sn。點評：等比數(shù)列的求和公式只適合于，特別公比中含參數(shù)時，需要分類討論。題型6：三角函數(shù)與三角形中分類討論問題例11解析：， ； ；這與三角形的內(nèi)角和為180°相矛盾。， ，因此，只要根據(jù)已知條件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA時，是一解

19、還是兩解？這一點需經(jīng)過討論才能確定，故解本題時要分類討論。對角A進行分類。例12若函數(shù)f(x)=a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過點(0，1)和時，|f(x)|2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。解析：f(x)經(jīng)過點(0，1)和f(x)=a+(1-a)cosx+(1-a)sinx=a+(1-a)(sinx+cosx)，。(1)a<1時，1-a>0，要使-2f(x)2，恒成立，只要，即。；(2)a=1時，(3)a>1時，1-a<0，要使-2f(x)2恒成立，只要，解得，綜上所術，a的取值范圍為。點評：含參數(shù)的三角函數(shù)問題，也需要對參數(shù)進行分類討論。題型7：實際問題中分類討論問

20、題例13某城市用水收費方法是：水費=基本費+超額費+排污費，若每月水量不超過最低限量am3時，只付基本費8元和每戶每定額排污費c元；若用水量超過am3時，除了付給同上的基本費和排污費外，超過部分每方米付b元的超額費已知每戶每月的排污費不超過4元，該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費用如下表所示：月份用水量（m3）水費（元）1892151931315解析：設每月用水量為xm3，支付費用為y元， 則 由題意知0c4，8+c12，故第2、3月份用水量15 am3,13 am3大于最低用水限量am3，將 分別代入 中，得  再分析1月份用水量是否超過最低限量am3 。不妨設8a，將中，得9=8+2（8a）+c，得2a=c+15 ，顯然、矛盾，1月份用水量不超過最低限量。 又y=8+c ，9=8+c,c=1，a=10,b=2,c=1。點評：本題為實際應用問題，在解題過程中，隱含著分類討論：a>8,a=8,a<8，根據(jù)條件，逐一討論，使問題得以解決【思維總結】分類討論是一種重要的數(shù)學思想，也是一種重要的解題策略，它可以將整體化為局部，將復雜問題化為單一問題，以便于“各個擊破”。但由于分類討論一般過程較為冗長，敘述較為煩瑣，且極易在完備上造成失誤，因此它并非一定是解決問題的上策或良策，我們提倡在熟悉和掌握分