不同增長的函數(shù)模型

1、函數(shù)模型及其應(yīng)用函數(shù)模型及其應(yīng)用3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型幾類不同增長的函數(shù)模型祁東二中祁東二中 譚雪峰譚雪峰 最意想不到的災(zāi)害最意想不到的災(zāi)害澳大利亞澳大利亞兔災(zāi)兔災(zāi)該選擇哪種該選擇哪種函數(shù)模型描函數(shù)模型描述這一現(xiàn)象述這一現(xiàn)象呢？呢？ 我們知道，我們知道，函數(shù)是描述客觀世界函數(shù)是描述客觀世界 變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，不同的變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，不同的 變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來 描述。描述。材料：澳大利亞兔子數(shù)材料：澳大利亞兔子數(shù)“爆炸爆炸” 這是歷史上影響最大的生物入侵災(zāi)難之一。兔子這是歷史上影響最大的生物入侵災(zāi)難之一。兔子并不是澳大利亞土生的，在

2、并不是澳大利亞土生的，在18591859年以前，那里還沒年以前，那里還沒有兔子。但在那一年，有一個農(nóng)民從英格蘭帶來了有兔子。但在那一年，有一個農(nóng)民從英格蘭帶來了一群野兔，共有一群野兔，共有2424只。他完全沒有料到，他的這一只。他完全沒有料到，他的這一舉動將要引起一場農(nóng)業(yè)災(zāi)難。在澳大利亞，兔子幾舉動將要引起一場農(nóng)業(yè)災(zāi)難。在澳大利亞，兔子幾乎沒有什么天敵，兔群每年向北、向西擴大乎沒有什么天敵，兔群每年向北、向西擴大100100公公里，到里，到19501950年，就蔓延到整個澳洲大陸，據(jù)估計，年，就蔓延到整個澳洲大陸，據(jù)估計，約有約有7.57.5億只野兔，等于這里人口的億只野兔，等于這里人口的75

3、75倍，倍，1010只野只野兔就可以吃掉一只綿羊的飼料，它們吃莊稼，毀壞兔就可以吃掉一只綿羊的飼料，它們吃莊稼，毀壞新播下的種子，啃嫩樹皮，并且打地洞損壞田地和新播下的種子，啃嫩樹皮，并且打地洞損壞田地和河堤。筑籬笆也不能阻止它們侵入農(nóng)民的田地。在河堤。筑籬笆也不能阻止它們侵入農(nóng)民的田地。在幾十年時間里，澳大利亞的農(nóng)業(yè)遭受了慘重的幾十年時間里，澳大利亞的農(nóng)業(yè)遭受了慘重的損失損失。 例例1 、 假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇，這三種方在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：案的回報如下：方案一、每天回報方案一、每天回報40元；元；方案二、

4、第一天回報方案二、第一天回報10元，以后每天比元，以后每天比前一天多回報前一天多回報10元；元；方案三、第一天回報方案三、第一天回報0.4元，以后每天的元，以后每天的回報比前一天翻一番回報比前一天翻一番.請問，你會選擇哪種投資方案？請問，你會選擇哪種投資方案？下面我們先來看兩個具體問題。下面我們先來看兩個具體問題。 2.如何建立日回報金額與天數(shù)的函數(shù)模型？如何建立日回報金額與天數(shù)的函數(shù)模型？1.依據(jù)什么標準來選取投資方案？依據(jù)什么標準來選取投資方案？分析：分析：日回報金額，還是累計回報金額？日回報金額，還是累計回報金額？例例1 、 假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)在有三種假設(shè)你有一筆資金用于投資，

5、現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一、每天回報方案一、每天回報40元；元；方案二、第一天回報方案二、第一天回報10元，以后每天比前一天多元，以后每天比前一天多回報回報10元；元；方案三、第一天回報方案三、第一天回報0.4元，以后每天的回報比元，以后每天的回報比前一天翻一番前一天翻一番.請問，你會選擇哪種投資方案？請問，你會選擇哪種投資方案？4040401010+10=10210+10+10=10310+10+10+10=10410+10+10+10+10=1050.4 0.420.422=0.4220.4222=0.4230.4222

6、2=0.424方案一方案一方案二方案二方案三方案三12345則方案一可以用函數(shù)則方案一可以用函數(shù)_描述；描述；方案二可以用函數(shù)方案二可以用函數(shù)_描述；描述；方案三可以用方案三可以用 _描述。描述。設(shè)第設(shè)第x x天的日回報金額是天的日回報金額是y y元元40()yxN10 ()yx xN10.4 2()xyxN4040求累計回報函數(shù)求累計回報函數(shù)方案一、方案一、Z=40+40+40+40=40X方案二、方案二、Z=10+20+30+10X=？方案三、方案三、Z=0.4+0.8+1.6+0.4X2x-1=?方案一可以用函數(shù)方案一可以用函數(shù) 進行描述；進行描述；方案二可以用函數(shù)方案二可以用函數(shù) 進行

7、描述；進行描述；方案三可以用函數(shù)方案三可以用函數(shù) 進行描述進行描述.40()yxN1*0.4 2()xyxN2、這三個函數(shù)模型的增減性如何？、這三個函數(shù)模型的增減性如何？ 如何分析？如何分析？1、要對三個方案作出選擇，可通過研、要對三個方案作出選擇，可通過研究日回報函數(shù)的特征及試算來得到解答。究日回報函數(shù)的特征及試算來得到解答。 方法：就要對它們的方法：就要對它們的增長情況增長情況進行分析進行分析*10 ()yx xN手段：表格與圖象手段：表格與圖象x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增長量增長量/元元y/元元增長量增長量/元元y/元元增長量增長量/元元140100.42400

8、20100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.23040030010214748364.8107374182.4“指數(shù)爆炸指數(shù)爆炸”式增長式增長!從表格中獲取信從表格中獲取信息，體會三種函息，體會三種函數(shù)的增長差異數(shù)的增長差異.xy4 40 0y y20406080100120140426810121 1x x2 20 0. .4 4y y1 10 0 x xy y 三個函數(shù)的圖象三個函數(shù)的圖象3579111看到

9、，底為2的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長速度要快得多。從中你對“指數(shù)爆炸”的含義有什么新的理解？結(jié)論結(jié)論從日回報量從日回報量 來看：來看： 第第1 13 3天，方案一最多；天，方案一最多；第第4 4天天, ,方案一、二一樣多；方案一、二一樣多； 第第5 58 8天，方案二最多：天，方案二最多： 從第從第9 9天開始，方案三最多天開始，方案三最多( (即即y y) )x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增長量增長量/元元y/元元增長量增長量/元元y/元元增長量增長量/元元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.654005

10、0106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.23040030010214748364.8107374182.4思考思考根據(jù)以上的分析，是否應(yīng)作這樣根據(jù)以上的分析，是否應(yīng)作這樣的選擇：的選擇：投資投資1 13 3天選擇方案一；天選擇方案一；投資投資4 4天選擇方案一或方案二；天選擇方案一或方案二；5 58 8天選擇方案二；天選擇方案二；8 8天以上選擇天以上選擇方案三？方案三？ 因此，投資因此，投資8天天以下以下(不含不含8天天)，應(yīng)選擇第一種投應(yīng)選擇第一種投資方案；投資資方案；投資810天，應(yīng)選

11、擇天，應(yīng)選擇第二種投資方案；第二種投資方案；投資投資11天天(含含11 天天)以上，剛應(yīng)以上，剛應(yīng)選擇第三種投資選擇第三種投資方案方案.表-2表-2 累計回報效益累計回報效益回報(元)回報(元) 回報(元)回報(元) 回報(元)回報(元)1 1404010100.40.42 2808030301.21.23 312012060602.82.84 41601601001006 65 520020015015012.412.46 624024021021025.225.27 728028028028050.850.88 83203203603601021029 9360360450450204.4

12、204.41010400400550550409.2409.21111440440660660818.8818.8x（天）x（天）方案二方案二方案三方案三方案一方案一 由表由表-1-1和圖和圖-1-1可知，方案一可知，方案一的函數(shù)是的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)，方案二的函，方案二的函數(shù)是數(shù)是一次函數(shù)一次函數(shù)、方案三的函數(shù)是、方案三的函數(shù)是指數(shù)型函數(shù)指數(shù)型函數(shù)，方案二、三的函數(shù)，方案二、三的函數(shù)都是增函數(shù)，但是方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但是方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的與方案二的函數(shù)的增長情況很不增長情況很不同同. .可以看到，不同的函數(shù)增長模可以看到，不同的函數(shù)增長模型，增長變化存在很大差異。型，增長

13、變化存在很大差異。 例例 2、 某公司為了實現(xiàn)某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售在銷售利潤達到利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎且獎金金 y (單位：萬元單位：萬元)隨銷售利潤隨銷售利潤 （單位：萬元）的（單位：萬元）的增加而增加，但增加而增加，但獎金總數(shù)不超過獎金總數(shù)不超過5萬元萬元，同時，同時獎金獎金總數(shù)不超過利潤的總數(shù)不超過利潤的25%,現(xiàn)有三個獎勵模型：現(xiàn)有三個獎勵模型：其中哪個模型能符合公司的要求？）其中哪個模型能符合公司的要求？）,002. 1 1

14、log 25. 07xyxyxy，xFD銷售利潤達到銷售利潤達到1010萬元時，按萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且人員銷銷售利潤進行獎勵，且人員銷售利潤一般不會超過公司總的售利潤一般不會超過公司總的利潤利潤10001000萬元，所以銷售利萬元，所以銷售利潤潤x x可用不等式表示為可用不等式表示為_. _. 101000 x依據(jù)這個模型進行依據(jù)這個模型進行獎勵時，獎金總數(shù)不獎勵時，獎金總數(shù)不超過超過5 5萬元，所以獎金萬元，所以獎金y y可用不等式表示為可用不等式表示為_._.05y依據(jù)這個模型進依據(jù)這個模型進行獎勵時，獎金不行獎勵時，獎金不超過利潤的超過利潤的25%25%，所以獎金所以獎金y y

15、可用不可用不等式表示等式表示_._.00025yx思考：思考：函數(shù)的定義域？函數(shù)的定義域？要滿足哪些條件？要滿足哪些條件？ 不妨先作出函數(shù)圖象，通過觀察函不妨先作出函數(shù)圖象，通過觀察函數(shù)的圖象，得到初步的結(jié)論再通過具數(shù)的圖象，得到初步的結(jié)論再通過具體計算，確認結(jié)果體計算，確認結(jié)果.解題思路：解題思路：101000 x 05y 00025yx 我們不妨先作出三個函數(shù)圖象：我們不妨先作出三個函數(shù)圖象：400600800 1000 1200200 1 2 3 45678xyoy=5y=0.25x1log7xyxy002. 1 通過觀察圖象，哪個模型符合公司的獎勵方案？通過觀察圖象，哪個模型符合公司的

16、獎勵方案？2004006008001000 xy25. 0 xy002. 15y1log7xy234567810 xy3 3、對于模型、對于模型 , ,它在區(qū)間它在區(qū)間10,100010,1000上上遞增遞增, ,觀察圖象并結(jié)合計算可知觀察圖象并結(jié)合計算可知, ,當當x=1000 x=1000時時, ,y=logy=log7 71000+14.555,1000+14.55806x806時時,y5,y5,因此該模型不符合要求因此該模型不符合要求; ;1.002xy1 1、對于模型、對于模型 , ,它在區(qū)間它在區(qū)間10,100010,1000上遞增上遞增, ,當當x20 x20時時, ,y5y5,

17、 ,因此該模型不符合要求因此該模型不符合要求; ;0.25yx解當解當 時時, ,要使要使 成成立立, ,10,1000 x0.25yx7log1 0.25xx 只需成立，7log1 0.25xx 即0的圖象是否在的圖象是否在 軸下方軸下方? ?710,1000( )log1 0.25xf xxx 即當時，x 按模型按模型 獎勵時，獎金是否不超獎勵時，獎金是否不超 過利潤的過利潤的25%25%呢？呢？7log1xy= 是否有是否有 恒成立恒成立? ?7( ) log1 0.2510,1000f xxxx 令，當時，( )0f x 作作 在區(qū)間在區(qū)間 的圖象如下：的圖象如下：(0,)7( ) l

18、og1 0.25f xxx yx1 2 3 4 5 6 7 801-17( ) log1 0.25f xxx 根據(jù)圖象觀察根據(jù)圖象觀察, , 的圖象的圖象在區(qū)間在區(qū)間10,100010,1000內(nèi)的確在內(nèi)的確在x x軸的下方軸的下方. .7( ) log1 0.25f xxx 這說明這說明, ,按模型按模型 獎勵獎勵, ,獎金不會超過獎金不會超過利潤的利潤的25%.25%.7log1yx綜上所述，模型綜上所述，模型 確實能符合公司要求。確實能符合公司要求。7log1yxGC一次函數(shù)一次函數(shù) ， 對數(shù)型函數(shù)對數(shù)型函數(shù) :指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) ，7log1yx0.25yx1.002xy 結(jié)論結(jié)論（1

19、1）在）在 都是增函數(shù)都是增函數(shù). .0,（2 2）增長速度不同，而且不在同一個）增長速度不同，而且不在同一個“檔次檔次”上上. .課堂小結(jié)課堂小結(jié) 1.增長的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)2.主要數(shù)學思想方法：主要數(shù)學思想方法：數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合增長速度不同，而且不在同一個增長速度不同，而且不在同一個“檔次檔次”上上. .解決實際問題的步驟：解決實際問題的步驟：實際問題實際問題讀懂問題讀懂問題抽象概括抽象概括數(shù)學問題數(shù)學問題演算演算推理推理數(shù)學問題的解數(shù)學問題的解還原說明還原說明實際問題的解實際問題的解 1、四個變量 隨變量 變化的數(shù)據(jù)如下表：43,21,yyy

20、yx1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.478545053130200511305051305302520151050 x1y2y3y4y51037. 67102 . 181028. 2.2y關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是 2、某種計算機病毒是通過電子郵件進行傳播的，如果某臺計算機感染上這種病毒，那么每輪病毒發(fā)作時，這臺計算機都可能感染沒被感染的20臺計算機?，F(xiàn)在10臺計算機在第1輪病毒發(fā)作時被感染，問在第5輪病毒發(fā)作時可能有多少臺計算機被感染？解：設(shè)第解：設(shè)第1輪病毒發(fā)作時有輪病毒發(fā)作時有a1臺電

21、腦被感染臺電腦被感染，第第2輪，第輪，第3輪輪依次有依次有a2,a3, 臺電腦臺電腦被感染，依題意有被感染，依題意有a5=10204=1600000答答:在第在第5輪病毒發(fā)作時會有輪病毒發(fā)作時會有160萬臺被感染萬臺被感染.作業(yè)習題習題3.2 A組組1、2 B組組 1解：解： 借助計算機作出函數(shù)借助計算機作出函數(shù) 的圖象的圖象(圖圖3.2-2).5, 0.25 , yyx1.002xy 7log1, yx 觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間10 ,1000上，模型上，模型 的圖象都有一部分在直線的圖象都有一部分在直線 的上方，只有的上方，只有模型模型 的圖象始終在的圖象始終在 的下方，這說明的下方，這說明只有按模型只有按模型 進行獎勵時才符合公司的要求，進行獎勵時才符合公司的要求，下面通過計算確認上述判斷下面通過計算確認上述判斷. ,25. 0 xy5y1log7xy5y1log7xyxy002. 1首選計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過首選計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬萬.對于模型對于模型 ，對于模型對于模型 ， xy25. 0