應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)施雨課后答案

1、習(xí)題11.1 解：由題意可得：而這可通過(guò)查N(0,1)分布表，那么1.2 解：(1)至800小時(shí)，沒(méi)有一個(gè)元件失效，則說(shuō)明所有元件的壽命800小時(shí)。那么有6個(gè)元件，則所求的概率 (2)至300小時(shí)，所有元件失效，則說(shuō)明所有元件的壽命3000小時(shí)那么有6個(gè)元件，則所求的概率1.3解: (1) 因?yàn)?所以 其中, (2) 因?yàn)?其概率密度為 所以, ,其中 (3) 因?yàn)?其概率密度為 所以,其中 (4) 因?yàn)?其概率密度為 所以,其中1.4解：由題意可得：則1.5證: 令 則, 令,則可解得 由于這是唯一解,又因?yàn)? 因此,當(dāng)時(shí),取得最小值1.6證: (1)等式左邊 左邊=右邊,所以得證. (2)

2、 等式左邊 左邊=右邊,所以得證.1.7證：(1) 那么原命題得證 (2) 那么=-+-+=-+-=-(+) 由(1)可得：=則上式原命題得證1.10 解: 因?yàn)?所以 (1) 二項(xiàng)分布 (2) 泊松分布 , , (3) 均勻分布 , , (4) 指數(shù)分布 , , (5) 正態(tài)分布 , , 1.11解：(1)是統(tǒng)計(jì)量(2)不是統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)槲粗?3)統(tǒng)計(jì)量(4)統(tǒng)計(jì)量 (5)統(tǒng)計(jì)量，順序統(tǒng)計(jì)量 (6)統(tǒng)計(jì)量 (7)統(tǒng)計(jì)量 (8)不是統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)槲粗?.14.解: 因?yàn)楠?dú)立同分布,并且, 所以;令,則,由求解隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度公式可得1.15 解：(1)的概率密度為： 又F(x)=且f(x)=

3、2x，0x1 則有，0x1(2) 與的聯(lián)合概率密度為：= 0xy1對(duì)于其他x,y，有1.19證：現(xiàn)在要求Y=的概率密度。令g(x)= 可得當(dāng)0y1 有g(shù)(x)= 0 求g(x)的反函數(shù)h(y) 得h(y)=又h(y)=這樣可得Y的概率密度：(yg(R) = = (0y1) 對(duì)于其他的Y有原命題得證1.20證明: 令,其中,則 因?yàn)?而, 所以1.21解：(1)由題意可得：=8,n=25 對(duì)于 又通過(guò)查N(0,1)分布表，可得：P7.88.2=0.6915-(1-0.6915)=0.383 (2)和(1)一樣即求-1.250的概率通過(guò)查表可得：P=0.5-(1-0.8944)=0.3944 (3

4、)此時(shí)n=100即求-111 可得該概率p1=1-0.9332=0.0668 25個(gè)樣品的均值大于9分鐘，即可得該概率為p2=1-0.9938=0.0062 100個(gè)樣品的均值大于8.6分鐘即 可得該概率P3=1-0.9987=0.0013 綜上所述，第一種情況更有可能發(fā)生。1.22 解：=2.5 =36 n=5 (1) 而即通過(guò)查表可得P0.1929(2)樣本方差落在3040的概率為0.1929 樣品均值落在1.33.5的概率即：P1.33.5 P-0.44720.3727又N(0,1) 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得：P1.3TE()=0 D()= 則服從N(0,1)分布。E()=0 D()=則服從

5、N(0,1)分布 服從分布則服從t(m)分布令這樣可得C(3)由定理 ，X,=F= 則這樣有可得/(/m)F(n,m)令其則d=1.25 證： 則 =(/)/ ()F(,) =習(xí)題22.1解：(1) 則，令，則這樣可以得到：（2）xu(a,b) 則令： 這樣可以得：或者（因?yàn)閍b,故舍去）（）令即有又1解得： （）=令上式令，則（）令x-a=t t服從參數(shù)為的指數(shù)分布則 令可得：（）XB(m,p) 令2.2解: (1) 由于,所以, 因此, 令,該似然方程有唯一解,所以的極大似然估計(jì)量為 （2）由于,所以, 所以,樣本的聯(lián)合概率密度為,故的似然函數(shù)為,易見(jiàn),當(dāng)時(shí),取得最大值,故的極大似然估計(jì)量

6、為 (3) 因?yàn)?所以, 令,該似然方程有唯一解,所以的極大似然估計(jì)量為 (4) 因?yàn)?所以 ,令,該似然方程有唯一解,所以的極大似然估計(jì)量為 (5) 樣本的聯(lián)合概率密度為,易見(jiàn)當(dāng)時(shí),取得最大值,因此的極大似然估計(jì)量為;而令,該似然方程有唯一解,所以的極大似然估計(jì)量為 (6) 因的概率函數(shù)為, 故的似然函數(shù)為, 對(duì)數(shù)似然函數(shù)為, 令,該似然方程有唯一解,故的極大似然估計(jì)量為.2.3 解：似然函數(shù)L（P;x）= = = 令：又因p的極大似然估計(jì)量為2.4解：該產(chǎn)品編號(hào)服從均勻分布，即xu(1,N) 矩估計(jì)方法：令：則有：極大似然估計(jì)方法：（N）= 顯然：當(dāng)=min(x1,x2,-xn)時(shí)，L(N

7、)取得最大值，只有一個(gè)值710,即N的極大似然估計(jì)量為7102.5解:由于總體,所以的極大似然估計(jì)量分別為,而由題意可知,所以 ,即,因此的極大似然估計(jì)量為.2.6 解：(1)R= (2)將題中數(shù)據(jù)等分為三組第一組:2.14,2.10,2.15,2.13,2.12,2.13, 2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13 2.11,2.14,2.10,2.11,2.15,2.10 平均極差：2.7.解: (1) 證:因?yàn)?所以是的一個(gè)有偏估計(jì)量; 因此, (2) 由于,所以當(dāng)作為的估計(jì)量時(shí), 是的無(wú)偏估計(jì)量 (3) 2.8.證明：對(duì)于對(duì)于對(duì)于由上面可以見(jiàn)：u,都是的無(wú)偏估計(jì)量，又

8、 估計(jì)量最有效2.9解: 由于, 所以,當(dāng)時(shí), 為的無(wú)偏估計(jì)量.2.10證明：對(duì)于有E()= = = = 都是的無(wú)偏估計(jì)量2.12證明：假設(shè)存在估計(jì)量是的無(wú)偏估計(jì)量則有的分布為則E()=,要使，則p，但是未知參數(shù)，可見(jiàn)：不存在無(wú)偏估計(jì)量2.13解:首先,對(duì)于兩點(diǎn)分布,有,即,而,于是,已知,故,因此的下界為.其次,由于,所以最后,由于,因此2.14解：服從泊松分布（），x=0,1,2,- = 的 R-C下界為2.16證明：由已知可得若是的均方相合估計(jì)，則有又： 所以：2.18解：(1)T=()則有： T()=的充分估計(jì)量為（）對(duì)于樣本的聯(lián)合概率密度：，,K(T,)= 的充分估計(jì)量為2.21證明

9、：（）為取自的樣本，則其聯(lián)合概率密度為： 對(duì)照定理的形式： 這樣可得：是的無(wú)偏估計(jì)量由定理，這樣，可得是可估函數(shù)一致最小方差無(wú)偏估計(jì)（）首先是的無(wú)偏估計(jì) 則有又因?yàn)槭堑挠行Ч烙?jì)量2.22解: (1) 由于元件的壽命服從指數(shù)分布,而是的無(wú)偏估計(jì),且有,令,則即為符合要求的樞軸量.對(duì)給定的置信度,查分布表,得,使得,即,故的置信度為的置信區(qū)間為,的置信度為的置信區(qū)間為,因此, 參數(shù)的置信度為90%的置信區(qū)間為 元件的平均壽命的置信度為90%的置信區(qū)間為;(2) 由(1)的分析可知, 的置信度為的單側(cè)置信下限為,的置信度為的單側(cè)置信上限為,因此,元件平均壽命的置信度為90%的單側(cè)置信下限為 元件平均

10、壽命的置信度為90%的單側(cè)置信上限為.2.23解：由題意得總體xB(1,p) 當(dāng)總分大時(shí)：有p=1- 由題意得：1-0.95 , =0.05,=,n=105 查表得1.96 這樣，我們可以解得：p的置信度約為0.95 的置信區(qū)間為：（0.4768,0.6661）2.24解：由中心極限定理可得，當(dāng)n充分大時(shí)，對(duì)于P（）分布有：，在這里，充分大，u=, 則有 通過(guò)解不等式可得：的置信度近似為的置信區(qū)間為（，）2.26解：對(duì)于正態(tài)分布N（），當(dāng)已知時(shí)：的置信度為1-的置信區(qū)間為：（，）那么置信區(qū)間的長(zhǎng)度= 若,可解得2.28解：首先求前家公司飛機(jī)平均晚點(diǎn)時(shí)間的95%的置信區(qū)間：已知35,n=30,s

11、=15,1-=95% 在這里方差未知，有故有：p|=95% 的置信度為95%置信區(qū)間為：（，）又：，查表可得：這樣可得置信區(qū)間為：（29.303,40.697） 的單側(cè)置信上限為對(duì)于前家公司，可求得單側(cè)置信上限為39.733對(duì)于后家公司，可求得單側(cè)置信上限為36.310可見(jiàn)第二家公司的單側(cè)置信上限較小，所以后選擇第二家公司。2.30解：u未知，則有 那么，P =1 即 P =1 的置信度為1的置信區(qū)間為： 在這里n=10 =576.4 ，=676.4 =10.95=0.05 =19.023 =2.700 可得的置信度為0.95的置信區(qū)間渭（5.9630，15.8278） 的單側(cè)置信下限為 查表

12、得：=16.919 可得：的置信度為0.95的單側(cè)置信下限為6.32292.32解：由于兩分布方差相同：T=其中=那么的置信度為1的置信區(qū)間為：在此題中=0.14125，=0.1392，=0.05，=2.3646=0.00255147 =0.67082039可計(jì)算得的置信度為0.95的置信區(qū)間為：（-0.00200，0.00610）2.34解： 此題中和均未知， =9 令=， i=1,2,.,9 則那么的置信度為1的置信區(qū)間為：Z=-2.778, =3, = =2.3060這樣可計(jì)算得的置信度為0.95的置信區(qū)間為：(-6.2956,0.7400)習(xí)題33.1證： 由于總體XN(u,1)，又如

13、果假設(shè)：=0成立 則對(duì)于樣本均值有 即 5N（0，1） (1)拒絕域?yàn)?則功效函數(shù) =0 即0.05=0.05 (2)拒絕域?yàn)榧?.05=0.05 (3)拒絕域?yàn)?0.053.2 證明： N(0,1)212（1）12（1）1 故以W為拒絕域的檢驗(yàn)符合顯著水平為的要求。3.3解： 依題意總體。 要檢測(cè)假設(shè)： ：=83.8%：83.8% 在這里未知， 以作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：拒絕域?yàn)?通過(guò)計(jì)算得：=83.88%， 接受假設(shè)，也就是說(shuō)更換了原料之后成品率沒(méi)有發(fā)生變化3.4 解:提出假設(shè) ： 112.6 112.6 采用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 T t (n-1) 對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算得 112.8,1.136,n=7,=

14、2.646,成立時(shí) T=0.4658 拒絕域?yàn)?查表知 2.4469 接受，認(rèn)為無(wú)系統(tǒng)偏差3.5解：依題意，總體, 和均未知。要檢驗(yàn)假設(shè)：=1260 ：1260 以T=作為統(tǒng)計(jì)量。的拒絕域?yàn)樵谠擃}中，n=4 ，=1267， 又 可見(jiàn)拒絕原假設(shè)，也就是說(shuō)，不能認(rèn)為錳的熔點(diǎn)為12603.6 解:提出假設(shè) ： 0.1 0.1 采用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 (n-1) 對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算得 n=5,=0.001729,=0.01,成立時(shí) 可知 0.692 拒絕域?yàn)?(n-1) 或 (n-1) 查表可知 (4)=11.143 (4)=0.484 由于 (4) (4) 接受，認(rèn)為總體標(biāo)準(zhǔn)差為0.13.7解：依題意，總體

15、, 和均未知。要檢驗(yàn)假設(shè)：=0.048 ：0.048以上假設(shè)： =0.002304 ： 0.002304以作為統(tǒng)計(jì)量。的拒絕域?yàn)檫@里n=5, =1.414, =0.00778查表得： 拒絕原假設(shè)，也就是說(shuō)這一天緯度的總體標(biāo)準(zhǔn)差不正常3.8 解:提出假設(shè) ： 采用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 T= t (+-2) 其中 對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算得 13 80.02 8 79.98 0.02664 成立時(shí) T3.341 拒絕域?yàn)?(+-2) 查表知 2.093 拒絕，認(rèn)為總體均值不相等3.9解：總體X和Y分別服從正態(tài)分布 其中=5， =8要檢驗(yàn)假設(shè)： =0 ： 0 以作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在該題中有N（0，1）那么拒絕可為=24

16、.4 =25 =0.3721，=1.96可見(jiàn) 接受假設(shè)對(duì)于，以F=作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，有 的拒絕域?yàn)?經(jīng)計(jì)算F=3.4740 查表：=0.2041 =4.53 f 接受假設(shè) 這樣同時(shí)接受和，那么認(rèn)為這兩個(gè)分布是同一分布。3.13解：在該題中，其中未知對(duì)于單側(cè)假設(shè)Ho: 以T作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Tt(n-1) 當(dāng)成立時(shí)候，T應(yīng)偏向取正值，T取過(guò)分大的負(fù)值將不利于原假設(shè)，拒絕域取為T(mén)在該題中,n=13, 計(jì)算所以可以接受原假設(shè)3.14 解:假設(shè)： 22 22 采用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T t (n-1) 對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算得 =21.8,S=0.9,0.909,n=50,=7.071 成立時(shí) 有T=-1.556 拒絕域

17、為 T (n-1) 查表可知（49）=1.2816 由于T,t落在拒絕域內(nèi)所以拒絕原假設(shè)。3.16 解:提出假設(shè) ： 顯然為大樣本參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn) 采用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 U 大樣本時(shí)近似 N(0,1) 對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算得 成立時(shí)U= =8.03 拒絕域?yàn)?U 查表知 1.65 由于 U 接受，認(rèn)為甲槍彈的速度比乙槍彈的速度顯著地大3.17解：由題意可得：，其中，現(xiàn)要檢驗(yàn)Z機(jī)床的加工精度是否比甲機(jī)床的高，提出如下假設(shè)：以F作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 拒絕域?yàn)椋耗敲?.7451, 可見(jiàn) 所以接受原假設(shè)，即認(rèn)為乙機(jī)床的加工精度比甲高3.19解：原假設(shè):X即XX的可能的值為S0,1,2,3 把劃分成個(gè)不交子集，1,4 當(dāng)

18、成立時(shí)，有：PX=0=, PX=1=, PX=2=, PX=3= 又：K112=2.2 本題中，自由度，對(duì)給定的，查分布表，得可見(jiàn)，所以接受原假設(shè)，也就是認(rèn)為袋中的紅球數(shù)為個(gè)3.21解：提出假設(shè)：其中為未知參數(shù)先由題中數(shù)據(jù)可以算出的極大似然估計(jì)以替換，把可能取值的區(qū)間0,分為不相交的個(gè)子區(qū)間，當(dāng)成立時(shí)，分別計(jì)算各組的理論頻數(shù)和實(shí)際頻數(shù)，可得小表：組號(hào)123456分組區(qū)間i0.282400.202650.145420.104350.074880.19033.3892.4321.7451.2520.8992.284221331那么可的本題中分組數(shù)，未知參數(shù)個(gè)數(shù)，自由度對(duì)給定查分布表，可得可見(jiàn)所以拒

19、絕原假設(shè)，即認(rèn)為儀器的無(wú)故障時(shí)間不服從指數(shù)分布。3.23解：對(duì)于本題，提出假設(shè)：F=G，拒絕域?yàn)?對(duì)于甲也就是F分布有下表：iX(i)（）di119.019.20219.719.4319.819.7420.019.8520.120.5620.420.6720.520.811 n= 所以拒絕原假設(shè)，也就是說(shuō)療效與年齡無(wú)關(guān)習(xí)題44.1解：提出假設(shè)：不同速率對(duì)硅晶圓蝕刻的均勻性無(wú)顯著影響。 經(jīng)計(jì)算得： 本題的方差分析表如下：方差來(lái)源平方和自由度均方和F值因素A=3.6472=1.8235F=3.585誤差E=7.62915=0.5086總和T=11.27617 在這里r=3，n=18，對(duì)給定的，查F

20、分布表，得 因?yàn)镕，所以拒絕，也就是說(shuō)這三種凈化器的行車?yán)锍讨g有顯著差異。4.2 解:提出假設(shè)：=0，即三組玻璃碎片的平均折射率沒(méi)有顯著差別：不全為零，即三組玻璃碎片的平均折射率有顯著差別=0.05計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表: Sum of SquaresdfMean SquareFSig.Between Groups6034.46723017.23329.168.000Within Groups2793.00027103.444 Total8827.46729 查表得=3.35所以,拒絕，接受?？梢哉J(rèn)為三組玻璃碎片的平均折射率之間有差別。4.3因素是一個(gè)，水平共有3個(gè) A B 方差源平方和自由度均方和

21、F值 因素15.4527.7254.74 誤差 Qe8.51171.2159 總和 Qt23.9619總體為 應(yīng)該做檢驗(yàn) F=6.353F(2,7) 當(dāng)a0.05時(shí) 因?yàn)镕6.3534.74 所以這三種凈化器的行車?yán)锍讨虚g有顯著差異4.4解：（1）提出假設(shè)：這些抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的百分比的均值無(wú)顯著差異。 經(jīng)計(jì)算得： 本題的方差分析表如下：方差來(lái)源平方和自由度均方和F值因素A=1480.8234=370.206F=40.844誤差E=135.82315=9.055總和T=1616.64619 在這里r=5，n=20，對(duì)給定的，查F分布表，得 因?yàn)镕，,所以拒絕，也就是說(shuō)這些抗生素與血漿蛋白

22、質(zhì)結(jié)合的百分比的均值有顯著差異。 （2）由題意可得： 對(duì)于給定的置信度，查分布表得使得： P|T|= 這樣可得的置信區(qū)間為（，） 可以計(jì)算出5種抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的百分比的均值的置信區(qū)間分別為： （23.4800，33.7200），（26.3291，32.4209），（4.0318，11.6182），（16.2009，21.9491），（21.4510，34.1490） 的置信度為的置信區(qū)間為（） 這樣可以計(jì)算得青霉素與鏈霉素，紅霉素與氯霉素的均值差的置信區(qū)間分別為： （16.2397，25.3103），（-13.2603,-4.1897）。4.5解：（1）經(jīng)計(jì)算得 補(bǔ)充好的方差分析表如下

23、：方差來(lái)源離差平方和自由度均方離差F值處置方案因子21.5556210.77785.5429區(qū)組因子0.889020.44450.2286誤差7.777741.9444總和30.22238 （2）原假設(shè)和備擇假設(shè)如下： ：不同處置方案的結(jié)果無(wú)顯著差異：不同處置方案的結(jié)果有顯著差異 ：不同區(qū)組的結(jié)果無(wú)顯著差異：不同區(qū)組的結(jié)果有顯著差異 對(duì)給定的，查F分布表，得 因?yàn)镕，F(xiàn)2.3060 所以拒絕假設(shè)，認(rèn)為線性回歸顯著 （3）x=42C時(shí)產(chǎn)量的預(yù)測(cè)值為： 當(dāng)置信度時(shí)， 所以的置信度為0.95的預(yù)測(cè)區(qū)間為（17.3113,19.6647）5.5解：由于 那么有 但是未知，所以應(yīng)該以其無(wú)偏估計(jì)量來(lái)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量 注意到 那么可以得到： 同理有 在本題中經(jīng)計(jì)算得=0.78, =0.6, ,又查t分布表可得這樣可通過(guò)計(jì)算得a和b置信度為0.95的置信區(qū)間分別為(-0.3148,1.8748)和(-0.2071,1.4071)5.