利用洛必達(dá)法則和麥克勞林公式求極限之比較

1、利用洛必達(dá)法則和麥克勞林公式求極限之比較關(guān)于洛必達(dá)法則和含 x的幕展開(kāi)的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式(也就是麥克勞林公式)，以及利用它們求函數(shù)極限所必須滿足的條件，這里均不贅述.本文意圖通過(guò)實(shí)例說(shuō)明，利用洛必達(dá)法則和麥克勞林公式求極限，各有各的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)如果糅合代數(shù)式的恒等變形、 無(wú)窮小替換、變量代換和把極限存在的函數(shù)分離出來(lái)等等方法，有可能大大簡(jiǎn)化求極限的計(jì)算過(guò)程.當(dāng)然，利用上述兩種方法求函數(shù)極限也有其局限性，本文將就具體例子對(duì)利用這兩種方法求函數(shù)極限作一比較.例1當(dāng)X. 0時(shí)，函數(shù)f(x)=3si nxsi n 3x與cxk是等價(jià)無(wú)窮小，求c, k .解法一利用洛必達(dá)法則.由等價(jià)無(wú)窮小的定義

2、知lim丄甲 =1，這里c= 0,k 0 記I = lim丄早第一次利用 T cxkT cxk3cos x 3cos3 x洛必達(dá)法則，有I =lim石；注意到上式分子趨于零，因而分母必趨于零，x)0ckx且當(dāng)k 1時(shí)可再次利用洛必達(dá)法則，即有I =|im 3sin x 9攀嚴(yán)；同樣上式分子趨于7 ck(k-1)x零，因此要求分母趨于零，則當(dāng)k 2時(shí)，可第三次利用洛必達(dá)法則，即I =| i m3 co爲(wèi) 迂岑13此時(shí)可見(jiàn)分子當(dāng)x ，0時(shí)趨于24,因而不滿足洛必達(dá)法則的Ock(k 1)k( x )條件.要使得當(dāng)I =1時(shí)，則必有k -3 = 0,ck(k -1)(k -2) = 24.故解得k =

3、 3, c = 4 .解法二利用麥克勞林公式展開(kāi).33313333f (x)二 3sin x sin 3x =3x x o(x ) -3x(3x) o(x ) = 4x o(x )3!3!43 十(3)則當(dāng) k =3,c =4 有 | =limkxTcxkx 0 x =1 .或注意到 f (x)二 4x3 o(x3),即3f (x) 4x，故有 k = 3,c = 4 .比較上兩種方法，方法二似乎簡(jiǎn)單一些，但以筆者多年來(lái)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)看，初學(xué)者(大一新生)會(huì)有把si nx和si n3x展開(kāi)到多少階為合適的問(wèn)題比如，把3sinx和si n 3x分別展開(kāi)為3sin x = 3x o(x)和sin 3x

4、 = 3x o(x)，貝U f (x)二o(x).這樣的展開(kāi)不僅對(duì)求解該題無(wú)任何幫助，反而會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)果. 若將兩者展開(kāi)到比方法二更高階， 即四階及四階以 上，則必出現(xiàn)冗余.因此方法一對(duì)初學(xué)者而言不失為一種較為穩(wěn)妥的方法， 盡管步驟看起來(lái) 多一些.已知I).= lim atanx bCcosx、譏，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是( x 0cln(1-2x)d(1_e=)(A) b =4d ； (B) b - -4d ； (C) a = 4c ； (D) a -4c .解法一 利用洛必達(dá)法則注意到該極限適合洛必達(dá)法則，故由洛必達(dá)法則有Ia sec x bsin x-2 cv22dxe1 -x-2c1-0

5、2d 0-2c即得a = _4c，選D.解法二 利用麥克勞林公式將展開(kāi)考慮到當(dāng)x； 0時(shí) tan x = x o(x),1 221 -cosx x o(x )2*222,In(1 -2x) - -2x o(x) , 1 -e x o(x ),因此得Iax o(x) b x2 o(x2)22-2cx o(x) dx o(x )ax+o(x) a=limx-P -2cx o(x) -2c即得a - -4c，選D.從例2可以看出，用洛必達(dá)法則更好因?yàn)槌鯇W(xué)者同樣面臨與例1相似的問(wèn)題一一將函數(shù)展開(kāi)到多少階為合適的問(wèn)題.那么可否認(rèn)為用洛必達(dá)法則求極限比用麥克勞林公式求極 限更有效呢？2 2例3當(dāng)x >

6、; 0時(shí)，試確定無(wú)窮小 f(x)二sinx In(1-x)的階.解法用洛必達(dá)法則這里設(shè)=limx )0f(x)kx，則2xcosx2I2x1-x2kx二 2limx )0(x - x3) cosx2 - xkx limxj11-x21這里，上式中已將因式一2分離出來(lái)，因?yàn)樗臉O限為1.故當(dāng)k 1時(shí)，對(duì)上式再次利1-x用洛必達(dá)法則得到2232I -2limx_Q(13x ) cosx2x(x -x )sin x -1k(k _1)xk/此時(shí)可以看出上式還可以用洛必達(dá)法則，但是分子過(guò)于復(fù)雜若當(dāng)k - 2時(shí)對(duì)上式再次利用洛必達(dá)法則，解題者將陷入繁瑣的求導(dǎo)境地.事實(shí)上，考慮用麥克勞林公式將函數(shù)展開(kāi)，則

7、將另有一番天地.解法二利用麥克勞林公式展開(kāi).f(x)二x _ X o(x) -xx _ X o(x)=-_x o(x ),3!2321即有f (x) x4 (XT 0 )因此f(x)為XT 0時(shí)x的四階無(wú)窮小.2當(dāng)然，對(duì)有些題目而言，兩種方法均可使用，計(jì)算均簡(jiǎn)單.2 1例 4 求極限 | =lim x-x ln(1 ) 解法一作變換后用洛必達(dá)法則.1令x ，則t二 limt0t -ln(1 t)t2二 limtQ12t解法二利用麥克勞林公式展開(kāi).因ln(1丄)二1 丄(丄)2x x 2 x1 20()，故有xI =limx x2(-x 匚x 2x1 1 .2 0(RPm【21。(+)1J=X

8、,：亠212x2注：例4解法一中先做變量代換x = !之后，再用麥克勞林公式將 tln(1 t)展開(kāi)為1 2 2t t2 o(t2)，這樣對(duì)學(xué)生理解為什么把In(1 t)展開(kāi)到二階是有幫助的.因?yàn)榉帜钢泻? t2，而t2是t > 0時(shí)的二階無(wú)窮小，這可以解開(kāi)學(xué)生在利用麥克勞林公式展開(kāi)函數(shù)求極限時(shí)展開(kāi)到多少階的困惑.有些題目?jī)煞N方法均不能使用，如下例5,那只能另辟蹊徑了我們可以考慮利用代數(shù)式的恒等變形、無(wú)窮小替換、變量代換和把極限存在的函數(shù)分離出來(lái)等等方法，再用上述兩種方法，以期簡(jiǎn)化計(jì)算.3sin x x2 cos求極限I = limx(1 cosx) ln(1 x)一 一 一 一 一 1

9、分析 本例用麥克勞林公式展開(kāi)求極限是行不通的，因?yàn)閏os丄在x=0處不可能展x開(kāi).考慮到lim (1 cosx) = 2 ,故先分離函數(shù)(1 cosx)并求出其極限.又注意到 xT3sin x x2 cosln(1 x) x(x = 0),故有 Ilimx_0.此時(shí)如果考慮用洛必達(dá)法則,即有2x1 2 1 1x*02cosxxcos-丄 sinx 2 x丿3cosx 2xcos x sin (亍)= limxxxx )o21 .而極限lim sin1不存在.因此本例用洛必達(dá)法則是行不通的，其原因是不符合洛必達(dá)法則T x的第三個(gè)條件，即要求求導(dǎo)后的極限存在或?yàn)闊o(wú)窮大.正確解法如下：3sin x

10、x21cos-3sin x2x1xcos12 x1此處后一極限為零的原因是，COS為有界變量,xx為x； 0時(shí)的無(wú)窮小.求極限I二lxm1xX - X1 -x ln x分析 若用洛必達(dá)法則，分子求導(dǎo)繁瑣，而利用麥克勞林公式展開(kāi)又要作變換，也較 繁考慮用恒等變形，之后用無(wú)窮小替換，再用洛必達(dá)法則.In x xln xIn x(x_1)ln xe -ee (e -1)I = limlimx 1 1 x l n x x 1 x l n x -1注意到In xlim ex 1=1 , l叫（x-1）ln x = 0 ,故先求分子中elnx （也就是x）的極限，同時(shí)把無(wú)窮小(x_1) In x e1用與

11、之等價(jià)的無(wú)窮小（x1）lnx替換，得到下式陽(yáng)濘啓，又考慮到In-In1(1 -x) 1 - x (x0)，故有 I =lim (x 一1)7 x I n x 1,再用洛必達(dá)法則求之得到.2(x -1) =limX 111 - 一x= lim=2 .x 1 x -1求極限I二lim(cosx -ex )sin x2分析將COSX禾口X2ex麥克勞林展開(kāi)，并分離有理化因子，得到I = limxT(1x.21 1x2(1 X2)x2 o(x2) -(1 x2o(x2)x2. 1* limX)01 221 X . 1 X2可將分子有理化（事實(shí)上就是代數(shù)式恒等變形），分母中的sin X2用無(wú)窮小替換,112(sin x)31.lim -803 2/ 2、x o(x )2當(dāng)然，例7也可直接將分子中的 d x2麥克勞林展開(kāi)求之.例8的解法將會(huì)用到：分離極限存在的函數(shù)、無(wú)窮小替換、變量代換、洛必達(dá)法則.例 8 求極限 I = lim sinsin（sin x）sinx .解I二佃譏一晉宀）乜xX0 xsin xsin(sin x) tsint 二 lim3lim3X )0/oin v'3tTt3= lim*=lim 20 3t2 t_o 3t2上式中，第一步是分離極限存在的函數(shù)1.6叱，并求出其極限，第二式是將第一式中x3x的用(sinx)3替換，第三式是用變量t替換變量sinx