切線地性質(zhì)和判定

1、切線的性質(zhì)和判定練習一解答題(共11小題)1. (2018?宿遷)如圖，AB、AC分別是。O的直徑和弦，OD丄AC于點D過點A作。O的切線與OD的延長線交于點P, PC AB的延長線交于點F.(1) 求證：PC是。O的切線；(2) 若/ ABC=60, AB=10,求線段 CF的長.2. (2018?)如圖，已知。O是等邊三角形 ABC的外接圓，點D在圓上，在CD 的延長線上有一點 F,使DF=DA AE/ BC交CF于E.(1) 求證：EA是。O的切線；(2) 求證：BD=CF3. (2018?官渡區(qū)二模)如圖，AB是。O的直徑，AM和BN是。O的兩條切線， 點D是AM上一點，連接OD,過點

2、B作BE/ OD交。O于點E,連接DE并延長 交BN于點C.(1) 求證：DE是。O的切線；(2) 若AD=l, BC=4求直徑AB的長.A D V4. (2018?洪澤區(qū)一模)如圖，已知 AB為。O的直徑，AD, BD是。O的弦，BC 是。O的切線，切點為B, OC/ AD, BA, CD的延長線相交于點 E.(1) 求證：DC是。O的切線；(2) 若O O半徑為4,/ OCE=30,求厶OCE的面積.5. (2018?淅川縣二模)如圖，已知O O的半徑為1, AC是。O的直徑，過點C 作。O的切線BC, E是BC的中點，AB交O O于D點.(1) 直接寫出ED和EC的數(shù)量關(guān)系： ;(2)

3、DE是O O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由；(3) 填空：當BC=時，四邊形AOED是平行四邊形，同時以點 O、D、E、C為頂點的四邊形是.6. (2018?東河區(qū)二模)已知如圖，以 RtAABC的AC邊為直徑作O O交斜邊AB 于點E,連接EO并延長交BC的延長線于點D,作OF/ AB交BC于點F,連接EF.(1) 求證：OF丄CE(2) 求證：EF是O O的切線；(3) 若O O的半徑為3,/ EAC=60,求AD的長.7. (2018?海淀區(qū)二模)如圖，AB是。O的直徑，M是OA的中點，弦CD丄AB于點M，過點D作DE丄CA交CA的延長線于點 E(1) 連接 AD，貝U/ O

4、AD °(2) 求證：DE與O O相切；(3) 點 F在.上，/ CDF=45, DF交 AB于點 N.若 DE=3 求 FN 的長.8. (2018?區(qū)二模)AB為。O直徑，C為。O上的一點，過點 C的切線與AB的 延長線相交于點D，CA=CD(1) 連接BC,求證：BC=OB(2) E是中點，連接CE, BE,若BE=2,求CE的長.9. (2018?)如圖，AB是。O的直徑，點C在。O 上, AD垂直于過點C的切線, 垂足為D, CE垂直AB,垂足為E.延長DA交。O于點F,連接FC, FC與AB相 交于點G,連接OC.(1) 求證：CD=CE(2) 若AE=GE求證： CEO

5、是等腰直角三角形.10. (2017?)如圖，O O是厶ABC的外接圓，BC為O O的直徑，點E為厶ABC的 心，連接AE并延長交O O于D點，連接BD并延長至F,使得BD=DF,連接CFBE(1) 求證：DB=DE(2) 求證：直線CF為O O的切線.11. (2018?)如圖，在厶 ABC中，AD 是邊 BC上的中線，/ BAD=Z CAD, CE/ AD， CE交BA的延長線于點 E, BC=8 AD=3.(1) 求CE的長；(2) 求證： ABC為等腰三角形.(3) 求厶ABC的外接圓圓心P與切圓圓心Q之間的距離.切線的性質(zhì)和判定 參考答案與試題解析一解答題（共11小題）1. （201

6、8?宿遷）如圖，AB、AC分別是。O的直徑和弦，OD丄AC于點D過點A作。O的切線與OD的延長線交于點P, PC AB的延長線交于點F.（1）求證：PC是。O的切線；（2）若/ ABC=60, AB=10,求線段 CF的長.【分析】（1）連接OC,可以證得厶OAPA OCP利用全等三角形的對應角相等， 以及切線的性質(zhì)定理可以得到：/ OCP=90，即OC丄PC,即可證得；（2）先證 OBC是等邊三角形得/ COB=60,再由（1）中所證切線可得/ OCF=90, 結(jié)合半徑OC=5可得答案.【解答】解：（1）連接OC,OD丄AC, OD經(jīng)過圓心O, AD=CD PA=PC在厶OAP和厶OCP中，

7、rOA=OCP中,top=op OAPA OCP( SSS,/ OCP= OAP PA是半。O的切線，:丄 OAP=90.:丄 OCP=90,即OC丄PC PC是。O的切線.(2)v OB=OC / OBC=60, OBC是等邊三角形，/ COB=60, AB=10, OC=5由(1)知/ OCF=90, CF=OCtai£ COB=5 '：.【點評】本題考查了切線的性質(zhì)定理以及判定定理，以及直角三角形三角函數(shù)的應用，證明圓的切線的問題常用的思路是根據(jù)切線的判定定理轉(zhuǎn)化成證明垂直的 問題.2. (2018?)如圖，已知。O是等邊三角形 ABC的外接圓，點D在圓上，在CD 的延

8、長線上有一點 F,使DF=DA AE/ BC交CF于E.(1) 求證：EA是。O的切線；(2) 求證：BD=CF【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得：/OAC=30，/ BCA=60，證明/OAE=90,可得：AE是。O的切線；(2)先根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得：AB=AC / BAC=Z ABC=60,由四點共圓的性質(zhì) 得：/ ADF=Z ABC=60,得厶ADF是等邊三角形，證明 BADACAF可得結(jié)論.【解答】證明：(1)連接OD,vO O是等邊三角形ABC的外接圓，/ OAC=30，Z BCA=60，v AE/ BC,/ EAC=z BCA=60，/ OAE=/ OAC+Z EAC=30+

9、60°90°， AE是O O的切線；(2)vA ABC是等邊三角形， AB=AC Z BAC=/ ABC=60，v A、B、C D四點共圓，/ ADF=/ ABC=60，vAD=DF ADF是等邊三角形， AD=AF Z DAF=60，Z BAC+Z CAD=Z DAF+Z CAD,即 Z BAF=Z CAF,在厶BAD和厶CAF中，Cab=acv /EMkZCAF,AD=AF BADA CAF BD=CF【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形及外接圓，四點共圓等知識點的綜合運用，屬于基礎題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵.3. (2018?官渡區(qū)二模)如圖，

10、AB是。O的直徑，AM和BN是。O的兩條切線， 點D是AM上一點，連接0D,過點B作BE/ OD交。O于點E,連接DE并延長 交BN于點C.(1) 求證：DE是。0的切線；(2) 若AD=I, BC=4求直徑AB的長.A D V【分析】(1)求出/ AOD=Z EOD,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)推出/ DEO=Z DAO,根據(jù)切線的判定得出即可；(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)和判定得出 AB=DH AD=BH=1根據(jù)切線長定理求出DC, 根據(jù)勾股定理求出DH即可.【解答】（1）證明：連接OE, OA=OE=OB/ OBE=/ PEB OD/ BE,/ AOD=Z OBE, / OEB=Z DOE,/ A

11、OD=Z EOD,在厶AOD和厶EOD中OA=OEZaod=ZeodOD=OE AODA EOD,/ OAD=Z OED, AM是。O的切線,/ OAD=90,:丄 OED=90, 即OE丄DE,v OE為O O半徑， DE是O O的切線；過D作DH丄BC于H,v AM和BN是O O的兩條切線，/ DAB=Z ABH=Z DHB=90 ,四邊形ABHD是矩形， AB=DH AD=BHv AD=I, BC=4, BH=1, CH=4- 1=3 ,v AM和BN是O O的兩條切線,DE切O O于E , AD=1 , BC=4 DE=AD=1 BC=CE=4DC=+4=5 ,在 RtADHC中,由勾

12、股定理得：DH= |： '= '=4 ,即 AB=4.【點評】本題考查了切線的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形 的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)和判定、切線長定理等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵.4. (2018?洪澤區(qū)一模)如圖，已知 AB為。O的直徑，AD, BD是。O的弦，BC 是。O的切線，切點為B, OC/ AD, BA, CD的延長線相交于點 E.(1) 求證：DC是。O的切線；(2) 若O O半徑為4,/ OCE=30,求厶OCE的面積.【分析】(1)連接DO,如圖，利用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明/ COD= / COB則根

13、據(jù)“SA可判斷 COHA COB,所以/ CDO=/ CBO.再根據(jù)切線的 性質(zhì)得/ CBO=90,則/ CDO=9°，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；(2)先利用/ OCB=/ OCD=3°得到/ DCB=60,則/ E=30°,再根據(jù)含30度的直 角三角形三邊的關(guān)系計算出 DE=4 :, DC=；OD=4，然后根據(jù)三角形面積公式 計算.【解答】(1)證明：連接DO,如圖， AD/ OC,/ DAO=/ COB / ADO=/ COD,又 OA=OD,/ DAO=/ ADO,/ COD=/ COB在厶COD和厶COB中OD=OBZC0D=ZC0Boc=oc CO

14、DA COB(SAS ,/ CDOK CBO. BC是。O的切線，:丄 CBO=90,:丄 CDO=9°, OD 丄 CE又點D在。O 上, CD是。O的切線；(2)解：由(1)可知/ OCBK OCD=3°,/ DCB=60,又BC丄BE,/ E=30°,在 RtA ODE中tan / E,同理 DC= OD=4 :-；,Soce?OD?CE【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直 線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.判定切線時連圓心和直線與圓的公共點”或 過圓心作這條直線的垂線”有切線時，常常 遇到切點連圓心得 半徑”也考

15、查了解直角三角形.5. （2018?淅川縣二模）如圖，已知。O的半徑為1, AC是。O的直徑，過點C 作。O的切線BC, E是BC的中點，AB交。O于D點.(1) 直接寫出ED和EC的數(shù)量關(guān)系：ED=EC ;(2) DE是。O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由；(3) 填空：當BC= 2時，四邊形AOED是平行四邊形，同時以點 0、D、E、 C為頂點的四邊形是 正方形.【分析】(1)連結(jié)CD,如圖，由圓周角定理得到/ ADC=90,然后根據(jù)直角三角 形斜邊上的中線直線得到DE=CE=BE(2) 連結(jié)0D,如圖，利用切線性質(zhì)得/ 2+Z4=90°,再利用等腰三角形的性質(zhì) 得/仁

16、/ 2，Z 3=Z 4,所以/ 1 + Z 3=Z 2+ /4=90°,于是根據(jù)切線的判定定理可 判斷DE是。O的切線；(3) 要判斷四邊形AOED是平行四邊形，貝U DE=OA=1所以BC=2當BC=2時, ACB為等腰直角三角形，則/ B=45,又可判斷厶BCD為等腰直角三角形，于 是得到 DE丄BC, DE丄BC=1,所以四邊形 AOED是平行四邊形；然后利用OD=OC=CE=DE=1Z OCE=90可判斷四邊形OCED為正方形.【解答】解：(1)連結(jié)CD,如圖， AC是。O的直徑，/ ADC=90, E是BC的中點， DE=CE=B；(2) DE是。O的切線.理由如下：連結(jié)O

17、D,如圖， BC為切線，OC丄 BC,/ OCB=90,即/ 2+Z 4=90°, OC=OD ED=EC/ 仁/ 2,Z 3=Z4,/ 1+Z 3=Z 2+Z 4=90°,即/ ODB=90, OD丄 DE, DE是。O的切線；(3) 當 BC=2時，v CA=CB=2 ACB為等腰直角三角形，/ B=45, BCD為等腰直角三角形， DE丄 BC, DE丄BC=1,2v OA=DE=1 AO/ DE,四邊形AOED是平行四邊形；v OD=OC=CE=DE=1/ OCE=90,四邊形OCED為正方形.【點評】本題考查了切線的判斷與性質(zhì)： 圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑； 經(jīng)

18、過 半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.常見的輔助線為：判定切線時 連圓心和直線與圓的公共點”或 過圓心作這條直線的垂線”；有切線時，常常 遇 到切點連圓心得半徑”解決（3）小題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形和正方形的 判定方法.6. （2018?東河區(qū)二模）已知如圖，以 RtAABC的AC邊為直徑作。O交斜邊AB 于點E,連接EO并延長交BC的延長線于點D,作OF/ AB交BC于點F,連接EF.(1) 求證：OF丄CE(2) 求證：EF是。O的切線；(3) 若O O的半徑為3,/ EAC=60,求AD的長.【分析】(1)由于AC是。O的直徑，得出CE1AE,根據(jù)OF/ AB,得出OF丄C

19、E(2) 得到OF所在直線垂直平分 CE,推出FC=FE OE=OC再由/ACB=90，即 可得到結(jié)論.(3) 證出 AOE是等邊三角形,得到/ EOA=60 ,再由直角三角形的性質(zhì)即可得 到結(jié)果.【解答】證明：(1)如圖,連接CE, AC是。O的直徑， CEL AE, OF/ AB , OFL CE(2)v OFL CE OF所在直線垂直平分 CE, FC=FE OE=OC/ FEC/ FCE / OEC=/ OCEv/ ACB=90 ,即：/ OCE/ FCE=90 ,/ OEG/ FEC=90,即：/ FEO=90 , FE為。O的切線；(3) 如圖，vO O的半徑為3 , A0=C0=

20、E0=,3vZ EAC=60, OA=OE/ EOA=60Z COD=/ EOA=60,v在 RtAOCD中，Z COD=6°, OC=3 CD=3；，v在 RtAACD中，Z ACD=90 ,CD=3 :；, AC=6, AD=3 =【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.7. (2018?海淀區(qū)二模)如圖，AB是。O的直徑，M是OA的中點，弦CD丄AB 于點M，過點D作DE丄CA交CA的延長線于點E.(1) 連接 AD,貝UZ OAD= 60°(2) 求證：DE與O O相切；(

21、3)點 F在上, Z CDF=45, DF交 AB于點 N.若 DE=3 求 FN 的長.E【分析】(1)由CD丄AB和M是OA的中點，利用三角函數(shù)可以得到Z DOM=60 , 進而得到厶OAD是等邊三角形，Z OAD=60 .(2) 只需證明DE丄0D.便可以得到DE與。O相切.(3) 利用圓的綜合知識，可以證明，/ CND=90，/ CFN=60,根據(jù)特殊角的三 角函數(shù)值可以得到FN的數(shù)值.【解答】解：(1)如圖1,連接OD, AD AB垂直平分CD M是0A的中點， OMOA二 0D2 2 cos/ DOM二=1OD 2 / DOM=60又: OA=OD OAD是等邊三角形 / OAD=

22、60故答案為：60°(2)v CD丄AB，AB是O O的直徑, CM=MD. M是OA的中點，AM=MO.又 v/ AMC=/ DMO， AMC OMD. / ACM=/ ODM. CA/ OD.V DE± CA,/ E=90°./ ODE=180/ E=90°. DE 丄 OD. DE與O O相切.（3）如圖2,連接CF, CN,v OA丄 CD于 M , M是CD中點. NC=NDvZ CDF=45,/ NCD=Z NDC=45.Z CND=90.Z CNF=90.由（1）可知 Z AOD=60 .在 RtACDE中，Z E=90°, Z

23、ECD=30, DE=3,DEgin30在 RtACND中，Z CND=90 , Z CDN=45, CD=6,亠一-:.由（1）知 Z CAD=2/ OAD=120 , Z CFD=180-Z CAD=60.在 RtACNF中，Z CNF=90,Z CFN=60,：一】,【點評】本題考查圓的綜合運用，特別是垂徑定理、切線的判定要求較高，同時 對于特殊角的三角函數(shù)值的運用有所考察， 需要學生能具有較強的推理和運算能 力.8. (2018?區(qū)二模)AB為。O直徑，C為。O上的一點，過點 C的切線與AB的 延長線相交于點D，CA=CD(1) 連接BC,求證：BC=OB(2) E是卜中點，連接CE

24、BE,若BE=2求CE的長.【分析】(1)連接OC,根據(jù)圓周角定理、切線的性質(zhì)得到/ ACO=Z DCB,根據(jù)CA=CD得至U/ CAD=/ D,證明/ COB=/ CBO,根據(jù)等角對等邊證明；(2)連接AE,過點B作BF丄CE于點F,根據(jù)勾股定理計算即可.【解答】(1)證明：連接OC. AB為。O直徑，/ ACB=90,v CD為O O切線/ OCD=9°,/ ACO=/ DCB=90 -/ OCBv CA=CD/ CAD=Z D./ COB/ CBO. OC=BC OB=BC(2)解：連接AE,過點B作BF丄CE于點F.v E是AB中點，j-,-r-T, AE=BE=2 AB為。

25、O直徑，/ AEB=90.:丄 ECB2 BAE=45, A&=2<2- CF=BF=1 X【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，掌握圓的切線垂直 于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵.9. (2018?)如圖，AB是。O的直徑，點C在。O 上, AD垂直于過點C的切線, 垂足為D，CE垂直AB，垂足為E.延長DA交。O于點F,連接FC, FC與AB相 交于點G,連接OC.(1) 求證：CD=CE(2) 若AE=GE求證： CEO是等腰直角三角形.【分析】(1)連接AC,根據(jù)切線的性質(zhì)和已知得：AD/ OC,得/ DAC=ZACQ根據(jù)AAS證明 CDQACEA(AAS ,

26、可得結(jié)論；(2)介紹兩種證法：證法一：根據(jù) CDAA CEA得/DCAN ECA由等腰三角形三線合一得：/ F=/ ACE=/ DCAd ECG 在直角三角形中得：/ F=Z DCAN ACE=/ ECG=22.5,可 得結(jié)論；證法二：設/ F=x,則/ AOC=2/ F=2x,根據(jù)平角的定義得：/ DAC+Z EAOZ OAF=180 ,貝U 3x+3x+2x=180,可得結(jié)論.【解答】證明：(1)連接AC,v CD是。O的切線，0C丄 CD,v AD丄 CD,/ DCO=Z D=90 , AD/ OC,/ DAC=Z ACO,v OC=OA/ CAO=Z ACO,/ DAC=Z CAO,v

27、 CEL AB ,/ CEA=90 ,在厶CDAft CEA中,ZD=ZCEAv ZDCZEAC ,IAC=AC CDAA CEA( AAS , CD=CE(2)證法一：連接BC, CDAA CEA/ DCA=Z ECAv CEL AG, AE=EG CA=CG/ ECAZ ECG AB是。O的直徑，/ ACB=90,v CE! AB,/ ACEW B,vZ B=Z F,/ F=Z ACEZ DCA=Z ECGvZ D=90,Z DCF+Z F=90°,Z F=Z DCA=Z ACEZ ECG=22.5, Z AOC=2/ F=45° , CEC是等腰直角三角形；證法二：設

28、Z F=x,則 Z ACC=2/ F=2xv AD/ OC, Z OAF=/ AOC=2x Z CGA=/ OAF+Z F=3x,v CEL AG, AE=EG CA=CG Z EACZ CGAv CEL AG, AE=EG CA=CG Z EACZ CGA Z DAC=/ EAC=/ CGA=3xvZ DAGZ EAGZ OAF=180 , 3x+3x+2x=180 ,x=22.5 ° Z AOC=2x=45, CEO是等腰直角三角形.【點評】此題考查了切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、三角形角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知 識此題難度適中，本題相等的角較多，注意各角之間的關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié) 合思想的應用.10. (2017?)如圖，O O是厶ABC的外接圓，BC為O O的直徑，點EABC的 心，連接AE并延長交O O于D點，連接BD并延長至F,使得BD=DF，連接CF BE(1) 求證：DB=DE(2) 求證：直線CF為O O的切線.【分析】(1)欲證明DB=DE只要證明/ DBE=/ DEB(2)欲證明直線CF為O O的切線，只要證明BC丄CF即可；【解答】(1)證明：E