理論力學(xué)4—空間力系ppt課件

1、第三章空間力系第三章第三章 空間力系空間力系 空間匯交力系空間匯交力系 力對軸之矩和力對點之矩力對軸之矩和力對點之矩 空間力偶系空間力偶系 空間力系的簡化空間力系的簡化 空間力系的平衡條件和平衡方程空間力系的平衡條件和平衡方程 物體的重心物體的重心3.1 空間匯交力系yxzFFxFyFzikj假設(shè)知力與正交坐標(biāo)系Oxyz三軸間夾角，那么用直接投影法cos(, )cos(, )cos(, )xyzFFFFFFF iF jF k3.1 力在直角坐標(biāo)軸的投影yxzFFxFyFzFxyjg當(dāng)力與坐標(biāo)軸Ox 、Oy間的夾角不易確定時，可把力F先投影到坐標(biāo)平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把這個力投影到x

2、 、y軸上，這叫間接投影法。sincossinsincosxyzFFFFFFgjgjg3.1 力在直角坐標(biāo)軸的投影1. 合成將平面匯交力系合成結(jié)果推行得：R12ni FFFFF合力的大小和方向為：222R()()()xyzFFFF RRRRRRcos(, ),cos(, ),cos(, )yxzFFFFFFFiFjFk3.2 空間匯交力系的合成與平衡RxyzFFF Fijk或3.2 力對點的矩和力對軸的矩3.2.1 力對點的矩以矢量表示力矩矢xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hB 空間力對點的矩的作用效果取決于：力矩的大小、轉(zhuǎn)向和力矩作用面方位。這三個要素可用一個矢量MO(F)表示，如圖。

3、其模表示力矩的大??；指向表示力矩在其作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向(符合右手螺旋法那么)；方位表示力矩作用面的法線。由于力矩與矩心的位置有關(guān)，所以力矩矢的始端一定在矩心O處，是定位矢量。3.2.1 力對點的矩以矢量表示力矩矢以r表示力作用點A的矢徑，那么()O MFrF以矩心O為原點建立坐標(biāo)系，那么xyzxyzFFF rijkFijk()()()()OxyzzyxzyxxyzFFFyFzFzFxFxFyF ijkMFrF =ijkxyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik3.2.1 力對點的矩以矢量表示力矩矢力矩矢MO(F)在三個坐標(biāo)軸上的投影為()()()OxzyOyxzOzyxyFzFzFxFxFy

4、F MFMFMFxyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik力F對z 軸的矩定義為：()()2zOxyxyOabMMF hA FF力對軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效果的度量，是一個代數(shù)量，其絕對值等于力在垂直于該軸平面上的投影對于軸與平面交點的矩。4.2.2 力對軸的矩xyzOFFxyhBAab符號規(guī)定：從z軸正向看，假設(shè)力使剛體逆時針轉(zhuǎn)那么取正號，反之取負。也可按右手螺旋法那么確定其正負號。由定義可知：(1)當(dāng)力的作用線與軸平行或相交(共面)時，力對軸的矩等于零。(2)當(dāng)力沿作用線挪動時，它對于軸的矩不變。力對軸之矩實例力對軸之矩實例FzFxFy4.2.3 力對軸的矩的解析表達式xyzOF

5、FxFyFzA(x,y,z)BFxFyFxyabxy()()()()zOxyOxOyyxMMMMxFyF FFFF設(shè)力F沿三個坐標(biāo)軸的分量分別為Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z，力作用點A的坐標(biāo)為(x,y,z)，那么同理可得其它兩式。故有()()()xzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF FFF比較力對點的矩和力對軸的矩的解析表達式得：即：力對點的矩矢在經(jīng)過該點的某軸上的投影，等于力對該軸的矩。3.2.4 力對點的矩與力對過該點的軸的矩的關(guān)系()()()()()()OxxOyyOzzMMM MFFMFFMFF求力F在三軸上的投影和對三軸的矩。解：222coscosxFaFFabcj222cossin

6、yFbFFabcj222sinzFcFFabc ()()()()xxxxyxzyMMMMF c FFFF()0yMF()()()()zzxzyzzyMMMMF a FFFFyxzFjbcaFxy22222cosababc22cosaabj如下圖，長方體棱長為a、b、c，力F沿BD，求力F對AC之矩。解：()()CACACM FMF22()cosCFbaFaab MF22222()() cosCACFabcMababc FMFFbcaABCD例例 知：如圖知：如圖 所示，試求力所示，試求力F 對點對點A的力矩的大小。的力矩的大小。OAdddzF34xyxFyF222)()()()(FmFmFmF

7、mAzAyAxA 先將力分解，在對A點三個軸取矩。FFFx8 . 043422 FFFy6 . 043322 AxAyAz 力偶由一個平面平行移至剛體另一個平行平面不影響它對剛體的作用效果。3.3空間力偶3.3.1 空間力偶的性質(zhì)AFFRRBOF2A1F1B1F2F1 由力偶的性質(zhì)可知：力偶的作用效果取決于力偶矩的大小、力偶轉(zhuǎn)向和作用面方位。因此可用一矢量M表示：選定比例尺，用M的模表示力偶矩的大??；M的指向按右手螺旋法那么表示力偶的轉(zhuǎn)向； M的作用線與力偶作用面的法線方位一樣。如下圖。 M稱為力偶矩矢。力偶矩矢為一自在矢量。 空間力偶的等效條件是：兩個力偶的力偶矩矢相等。FMF3.3.2 力

8、偶的矢量表示4.3.3 空間力偶等效定理力偶作用面不在同一平面內(nèi)的力偶系稱為空間力偶系。 空間力偶系合成的最后結(jié)果為一個合力偶，合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：12ni MMMMM3.3.4 空間力偶系的合成根據(jù)合矢量投影定理：,xxyyzzMMMMMM 于是合力偶矩的大小和方向可由下式確定：222()()()xyzMMMM cos(, ),cos(, ),cos(, )yxzMMMMMMM iM jM k3.3.4 空間力偶系的合成 空間力偶系可以合成一合力偶，所以空間力偶系平衡的必要與充分條件是：合力偶矩矢等于零。即：0 iMM由于：222()()()xyzMMMM 所以：000 x

9、yzMMM上式即為空間力偶系的平衡方程。3.3.5 空間力偶系的平衡例2. 曲桿ABCD, ABC=BCD=900, AB=a, BC=b, CD=c, m2, m3 求：支座反力及m1=?解：根據(jù)力偶只能與力偶平衡的性質(zhì),畫出構(gòu)件的受力圖見圖示。約束反力ZA和ZD構(gòu)成一力偶, XA與XD構(gòu)成一力偶。故該力系為一空間力偶系。223310, 0, 0, 0, 0, 0yAAzAAxAAmmmZaZammmYaYammbZc X 123bcmmmaa可解得:4.3 空間恣意力系的平衡方程空間恣意力系的平衡方程FR0，MO 0 =0,0,0()0,()0,()0 xyzxyzFFFMMMFFF空間恣

10、意力系平衡的必要與充分條件為：力系中各力在三個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零，且各力對三個軸的矩的代數(shù)和也等于零。上式即為空間恣意力系的平衡方程。1T2T20P例 圖示傳動軸，皮帶輪直徑D1=160mm，圓柱齒輪節(jié)圓直徑 D2=240mm，T1=200N， T2=100N，=20。 求：平衡時力P=？和軸承A , B的約束反力？分析：1T2T20PAYxyzAZBYBZ將將P分解分解:zPyPPy=Pcos20Pz=Psin20解：解：2、受力分析、受力分析1、取研討對象、取研討對象3、列平衡方程、列平衡方程mx=0022212112 DTDTDPyNDDTTPy7 .66)(2112 Py=Pc

11、os20Pz=Psin20將將P分解分解:NPPy7120cos0 1T2TAYxyzAZBYBZzPyP例3 一車床的主軸如圖a所示，齒輪C半徑為100 mm，卡盤D夾住一半徑為50 mm的工件，A為向心推力軸承，B為向心軸承。切削時工件等速轉(zhuǎn)動，車刀給工件的切削力Px466 N、Py352 N、Pz1400 N，齒輪C在嚙合處受力為Q，作用在齒輪C的最低點。不思索主軸及其附件的質(zhì)量，試求力Q的大小及A、B處的約束反力。 例4 一等邊三角形板邊長為a , 用六根桿支承成程度位置如下圖.假設(shè)在板內(nèi)作用一力偶其矩為M。求各桿的約束反力。ABC16425330o30o30oABCM解:取等邊三角形

12、板為研討對象畫受力圖。ABC16425330o30o30oABCMS1S2S3S4S5S66()033022BBMMaSFaMS346433()0,022CCMMaSFaMS344533()0022AAMMaSFaMS34514()03310222BCMa SaSFaMS32125331()00222ACMa SaSFaMS32236331()00222ABMa SaSFaMS323ABC16425330o30o30oABCMS1S2S3S4S5S6 xm3m2m3m2ABCD60604545GHyzP例5 扒桿如下圖，立柱AB用BG和BH兩根纜風(fēng)繩拉住，并在A點用球鉸約束，A、H、G三點位于

13、 xy平面內(nèi)，G、H兩點的位置對稱于y軸，臂桿的D端吊懸的重物重P=20kN；求兩繩的拉力和支座A的約束反力。 解：以立柱和臂桿組成的系統(tǒng)為研討對象，受力如圖，建立如下圖的坐標(biāo)。 列平衡方程： ABCD60604545GHyzPAXAYAZGTHT045sin60cos45sin60cos:0GHATTXX045cos60cos45cos60cos:0GHATTYY060sin60sin:0PTTZZGHA05545cos60cos545cos60cos:0)(PTTFmGHx0545sin60cos545sin60cos:0)(GHyTTFm聯(lián)立求解得：kNTTHG3 .280AXkNYA2

14、0kNZA694解:S5S4S6S3S2S1F500mm1000mmDCBADCBA()0DDmF02S()0BBmF04S()0CCmF06S()0BCmF()0ABmF05005001FSFS10100010005FSFS5()0ADmF050050053SSFS 3 xyzABCDE3030G例6 均質(zhì)長方形板ABCD重G=200N，用球形鉸鏈A和碟形鉸鏈B固定在墻上，并用繩EC維持在程度位置，求繩的拉力和支座的反力。xyzABCDE3030GAXAYAZTBXBZ030sin:0)(21ABGABZABTFmBx030sin:0)(21ADTADGFmy0:0)(ABXFmBz 解：以

15、板為研討對象，受力如圖，建立如下圖的坐標(biāo)。xyzABCDE3030GAXAYAZTBXBZ030sin30cos:0TXXXBA030cos:02TYYA030sin:0GTZZZBA解之得：0BBZXNT200NXA6 .86NYA150NZA100 例7 用六根桿支撐正方形板ABCD如下圖，程度力 沿程度方向作用在A點，不計板的自重，求各桿的內(nèi)力。PaPABCD1A1B1C1D123456aa1S2S3S4S5S6Sxyz 解：以板為研討對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。PSSPY2045cos:044PSSaSaSFmAA2045cos45cos:0)(42241PSSaSaSFmDD204

16、5cos45cos:0)(45541PSSaSaSFmAD434322045cos:0)(PSaSaSFmDC656045cos:0)(PPPPPPSSSSSSSZ1245361045cos45cos45cos:0aPABCD1A1B1C1D123456aa1S2S3S4S5S6Sxyz4.6.1平行力系中心平行力系中心是平行力系合力經(jīng)過的一個點。平行力系合力作用點的位置僅與各平行力的大小和作用點的位置有關(guān)，而與各平行力的方向無關(guān)。稱該點為此平行力系的中心。3.6 重心F1FRF2yzxOACBr1rCr2i iCiFFrr,iiiiiiCCCiiiF xF yF zxyzFFF 重力是地球?qū)?/p>

17、物體的吸引力，假設(shè)將物體由無數(shù)的質(zhì)點組成，那么重力便構(gòu)成空間匯交力系。由于物體的尺寸比地球小得多，因此可近似地以為重力是個平行力系，這力系的合力就是物體的分量。不論物體如何放置，其重力的合力的作用線相對于物體總是經(jīng)過一個確定的點，這個點稱為物體的重心。3.6.2 重心,iiiiiiCCCiiiPxPyPzxyzPPP 對于均質(zhì)物體、均質(zhì)板或均質(zhì)桿，其重心坐標(biāo)分別為：ddd,VVVCCCx Vy Vz VxyzVVVddd,SSSCCCx Sx Sx SxyzSSSddd,lllCCCx ly lz lxyzlll3.6.2 重心均質(zhì)物體的重心就是幾何中心，即形心。3.6.3 確定物體重心的方法

18、1 簡單幾何外形物體的重心假設(shè)均質(zhì)物體有對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心，那么該物體的重心必相應(yīng)地在這個對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心上。簡單外形物體的重心可從工程手冊上查到。 2圖示弓形面積可看成由扇形OAMB去掉三角形OAB得到，由負面積法可求得弓形的重心。扇形和三角行的面積，重心位置查表可得；故所求弓形體物塊的重心的坐標(biāo)為 例8 圖示均質(zhì)等厚物塊，其橫截面積由半徑為R的圓弧AMB與弦AB所圍成的弓形，試求其重心在其對稱面中的位置。 解 1在物塊的對稱面上建立圖示直角坐標(biāo)系oxy，由對稱性知，弓形體物塊的重心必在x軸上，故yc=0。扇形OAMB的面積 cossincossin32sin3222233212211RRRRAAxAxAxc)2sin2( 3sin4)cossin( 3)cos1 (sin232RR21RA 其重心位置：sin321Rx 三角形OAB的面積cossin)cos)(sin2(2122RRRA其重心位置：)cos(322Rx2 用組合法求重心假設(shè)一個物體由幾個簡單外形的物體組合而成，而這些物體的重心是知的，那么整個物體的重心可由下式求出。1分割法,iiiiiiCCCiiiPxPyPzxyzPPP2負面積法假設(shè)在物體或薄板內(nèi)切去一部分例如有空穴或孔的物體，那么這類物體的重心，仍可運用與分割法一樣的公式求得，只是切去部分的體積或面積應(yīng)取負值。 例9 求圖示均質(zhì)板重