全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試解答題訓(xùn)練二

1、2012全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試解答題訓(xùn)練二31、已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為（）求雙曲線的方程；（）設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.解析：（）由題意，得，解得，所求雙曲線的方程為.（）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得.由及得，切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，且，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，且. 的大小為.32、設(shè)橢圓E: （a,b>0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范

2、圍，若不存在說(shuō)明理由。解析：（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b>0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.因?yàn)?所以, 當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”. 當(dāng)時(shí),. 當(dāng)AB

3、的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜上, |AB |的取值范圍為即: 33、已知點(diǎn)為雙曲線（為正常數(shù)）上任一點(diǎn),為雙曲線的右焦點(diǎn),過(guò)作右準(zhǔn)線的垂線,垂足為,連接并延長(zhǎng)交軸于.(1) 求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程;(2) 設(shè)軌跡與軸交于兩點(diǎn),在上任取一點(diǎn),直線分別交軸于兩點(diǎn).求證:以為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn).解析： (1) 由已知得,則直線的方程為:, 令得,即,設(shè),則,即代入得:,即的軌跡的方程為. (2) 在中令得,則不妨設(shè),于是直線的方程為:,直線的方程為:,則,則以為直徑的圓的方程為: ,令得:,而在上,則,于是,即以為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn).34、設(shè)，分別是橢圓：的左，右焦點(diǎn)Q（x，y）MF1

4、F2Oyx（1）當(dāng)，且，時(shí)，求橢圓C的左，右焦點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）、是（1）中的橢圓的左，右焦點(diǎn)，已知的半徑是1，過(guò)動(dòng)點(diǎn)的作切線，使得（是切點(diǎn)），如下圖求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程解析：（1），2分 又 ， 由橢圓定義可知，從而得， 、（2）F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），由已知：，即，所以有：，設(shè)P（x，y），則，即（或）綜上所述，所求軌跡方程為：35、在直角坐標(biāo)平面中，ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A（0，1），B（0, 1）平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足 , = = （1）求頂點(diǎn)C的軌跡E的方程（2）設(shè)P、Q、R、N都在曲線E上 ，定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（, 0） ，已知 , 且·= 0.求四邊形PRQN面積S的

5、最大值和最小值.解析：（1）設(shè)C ( x , y )， ,由知,G為 ABC的重心 ， G(,) 由知M是ABC的外心， M在x軸上。 由知M（，0），由 得 化簡(jiǎn)整理得：（x0）。 （2）F（，0 ）恰為的右焦點(diǎn) 設(shè)PQ的斜率為k0且k±，則直線PQ的方程為y = k ( x )由設(shè)P(x1 , y1) ，Q (x2 ,y2 ) 則x1 + x2 = , x1·x2 = 則| PQ | = · = · = RNPQ,把k換成得 | RN | = S =| PQ | · | RN | = =) 2 ， 16 S < 2 ， (當(dāng) k =

6、±1時(shí)取等號(hào))又當(dāng)k不存在或k = 0時(shí)S = 2綜上可得 S 2Smax = 2 ， Smin = 。36、設(shè)函數(shù)f (x) =(b，cN*)，若方程f(x) = x的解為0，2，且f (2)（）試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列an滿足4Sn·f () = 1，其中Sn為an的前n項(xiàng)和求證：解析： 由f (2) =又b，cN* c = 2，b = 2f (x) = 令f(x)0得：x0或x2令f(x)0得：0x2f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（，0），（2，+）f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），（1，2） （）證明：由已知可得：2Sn = an ， 兩式相

7、減得：(an + an 1) (an an 1+1) = 0 （n2）an = an 1或an an1 = 1 當(dāng)n =1 時(shí)，2a1 = a1 若an = an1，則a2 = a1 = 1與an1矛盾（定義域要求an1）an an1 = 1，an = n 要證的不等式轉(zhuǎn)化為先證不等式令g (x) = x ln(1 + x)，h(x) = ln(x +1) 則g(x) =，h(x) =x0 g(x)0，h(x)0g (x)， h(x)在（0，+）上g (x)g (0) = 0，h(x)h(0) = 0 故，即37、已知函數(shù)的反函數(shù)為，數(shù)列和滿足：，；函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.（1

8、） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 若數(shù)列的項(xiàng)僅最小，求的取值范圍；（3） 令函數(shù)，數(shù)列滿足：，且，其中證明：.解析：（1）令，解得，由，解得，函數(shù)的反函數(shù)則，得.是以2為首項(xiàng)，l為公差的等差數(shù)列，故 （2），在點(diǎn)處的切線方程為， 令， 得. ，僅當(dāng)時(shí)取得最小值，解之， 的取值范圍為 （3），.則，因，則，顯然. ， 38、如圖，在三棱錐中，底面，點(diǎn)，分別在棱上，且（）求證：平面；（）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角的大?。唬ǎ┦欠翊嬖邳c(diǎn)使得二面角為直二面角？并說(shuō)明理由.解析：（）PA底面ABC，PABC.又，ACBC.BC平面PAC.（）D為PB的中點(diǎn)，DE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平

9、面PAC，垂足為點(diǎn)E.DAE是AD與平面PAC所成的角，PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，ABP為等腰直角三角形，在RtABC中，.在RtADE中，與平面所成的角的大小.（）AE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP為二面角的平面角，PA底面ABC，PAAC，.在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AEPC，這時(shí)，故存在點(diǎn)E使得二面角是直二面角.39、如圖，四棱錐FABCD的底面ABCD是菱形，其對(duì)角線AC=2，BD=，AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角BAFD的大?。唬↖I）求四棱錐EABCD

10、與四棱錐FABCD公共部分的體積.解析：（I）（綜合法）連接AC、BD交于菱形的中心O，過(guò)O作OGAF，G為垂足。連接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。 于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD為二面角BAFD 的平面角。由， ，得， 由，得（II）連EB、EC、ED，設(shè)直線AF與直線CE相交于點(diǎn)H，則四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD。過(guò)H作HP平面ABCD，P為垂足。因?yàn)镋A平面ABCD，F(xiàn)C平面ABCD，所以平面ACFE平面ABCD，從而由得。又因?yàn)?故四棱錐H-ABCD的體積40、如圖，四棱錐SABCD的底面是正方

11、形，SD平面ABCD，SD=2a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且（1）求證：對(duì)任意的，都有（2）設(shè)二面角CAED的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若，求的值解析：（1）如圖1，連接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得ACBD。 SD平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，ACBE（2）如圖1，由SD平面ABCD知，DBE= , SD平面ABCD，CD平面ABCD, SDCD。 又底面ABCD是正方形， CDAD，而SD AD=D，CD平面SAD.連接AE、CE，過(guò)點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)作DEAE于F，連接CF，則CFAE，故CDF是二面角C-AE-D的平面角，即CDF=。在RtBDE中，

12、BD=2a，DE=在RtADE中, 從而在中，.由，得.由，解得，即為所求.41、如圖，在四棱錐中，底面，是的中點(diǎn)（1）證明；（2）證明平面；（3）求二面角的大小解析：（1）證明：在四棱錐中，因底面，平面，故，平面而平面，（2）證明：由，可得是的中點(diǎn)，由（1）知，且，所以平面而平面，底面在底面內(nèi)的射影是，又，綜上得平面（3）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)則（）知，平面，在平面內(nèi)的射影是，則因此是二面角的平面角由已知，得設(shè)，可得在中，則在中，所以二面角的大小是42、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)軸正方向上一點(diǎn)任作一直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于點(diǎn)（1）若，求的值； （2）若

13、為線段的中點(diǎn)，求證：為此拋物線的切線； （3）試問(wèn)（2）的逆命題是否成立？說(shuō)明理由 解析：（1）設(shè)直線的方程為，將該方程代入得令，則因?yàn)椋獾?，或（舍去）故?）由題意知，直線的斜率為又的導(dǎo)數(shù)為，所以點(diǎn)處切線的斜率為，因此，為該拋物線的切線（3）（2）的逆命題成立，證明如下：設(shè)若為該拋物線的切線，則，又直線的斜率為，所以，得，因，有故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn)43、設(shè)函數(shù)，函數(shù)，其中為常數(shù)且，令函數(shù)為函數(shù)和的積函數(shù)。 （1）求函數(shù)的表達(dá)式，并求其定義域； （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域； （3）是否存在自然數(shù)，使得函數(shù)的值域恰為？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數(shù)所構(gòu)成的集合；若不存在，試說(shuō)明理

14、由。解析：（1），。 （2），函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則， ，時(shí)，又時(shí)，遞減，單調(diào)遞增， ，即函數(shù)的值域?yàn)椤?（3）假設(shè)存在這樣的自然數(shù)滿足條件，令，則， ，則，要滿足值域?yàn)?，則要滿足， 由于當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有中的等號(hào)成立，且此時(shí)恰為最大值， ， 又在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， 綜上，得 。全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試解答題訓(xùn)練231、已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為（）求雙曲線的方程；（）設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.32、設(shè)橢圓E: （a,b>0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任

15、意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。33、已知點(diǎn)為雙曲線（為正常數(shù)）上任一點(diǎn),為雙曲線的右焦點(diǎn),過(guò)作右準(zhǔn)線的垂線,垂足為,連接并延長(zhǎng)交軸于.（1） 求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程;（2） 設(shè)軌跡與軸交于兩點(diǎn),在上任取一點(diǎn),直線分別交軸于兩點(diǎn).求證:以為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn).34、設(shè)，分別是橢圓：的左，右焦點(diǎn)Q（x，y）MF1F2Oyx（1）當(dāng)，且，時(shí)，求橢圓C的左，右焦點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）、是（1）中的橢圓的左，右焦點(diǎn)，已知的半徑是1，過(guò)動(dòng)點(diǎn)的作切線，使得（是切點(diǎn)），如下圖求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程35、在直角坐標(biāo)平面中，ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為

16、A（0，1），B（0, 1）平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足 , = = （1）求頂點(diǎn)C的軌跡E的方程（2）設(shè)P、Q、R、N都在曲線E上 ，定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（, 0） ，已知 , 且·= 0.求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值.36、設(shè)函數(shù)f (x) =(b，cN*)，若方程f(x) = x的解為0，2，且f (2)（）試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列an滿足4Sn·f () = 1，其中Sn為an的前n項(xiàng)和求證：37、已知函數(shù)的反函數(shù)為，數(shù)列和滿足：，；函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 若數(shù)列的項(xiàng)僅最小，求的取值范圍；

17、（3） 令函數(shù)，數(shù)列滿足：，且，其中證明：.38、如圖，在三棱錐中，底面，點(diǎn)，分別在棱上，且（）求證：平面；（）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角的大小；（）是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角？并說(shuō)明理由.39、四棱錐FABCD的底面ABCD是菱形，其對(duì)角線AC=2，BD=，AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角BAFD的大小；（II）求四棱錐EABCD與四棱錐FABCD公共部分的體積.40、如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且（1）求證：對(duì)任意的，都有（2）設(shè)二面角CAED的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若，

18、求的值41、如圖，在四棱錐中，底面，是的中點(diǎn)（1）證明；（2）證明平面；（3）求二面角的大小42、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)軸正方向上一點(diǎn)任作一直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于點(diǎn)（1）若，求的值； （2）若為線段的中點(diǎn)，求證：為此拋物線的切線； （3）試問(wèn)（2）的逆命題是否成立？說(shuō)明理由 43、設(shè)函數(shù)，函數(shù)，其中為常數(shù)且，令函數(shù)為函數(shù)和的積函數(shù)。 （1）求函數(shù)的表達(dá)式，并求其定義域； （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域； （3）是否存在自然數(shù)，使得函數(shù)的值域恰為？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數(shù)所構(gòu)成的集合；若不存在，試說(shuō)明理由。44、已知等差數(shù)列滿足，等比數(shù)列前項(xiàng)和

19、。(1) 求的值以及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)試求的最大值以及最大時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：(1)當(dāng)時(shí)， ， 數(shù)列為等比數(shù)列，則，故 ；(2)設(shè)數(shù)列公差，根據(jù)題意有：， 即：，代入上式有： , 即關(guān)于不等式有解 當(dāng)時(shí)， 。45、已知函數(shù)，若對(duì)任意，且，都有： （1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)，有一個(gè)最小的負(fù)數(shù)，使得時(shí)，都成立，則當(dāng)為何值時(shí)，最小，并求出的最小值解析：（1）對(duì)任意給定的函數(shù)有：， ，實(shí)數(shù)的取值范圍為 （2），顯然，對(duì)稱軸 XY24當(dāng)，即時(shí)，且令，解得，此時(shí)取較大的根，即；， XY244當(dāng)，即時(shí)，且令，解得，此時(shí)取較小的根，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，取得最小值3 46、已

20、知函數(shù)(1)如果關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，試比較與的大??；(3)設(shè)，若在區(qū)間上存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解析：（1）的解集為，恒成立，解得，故的最大值為；（2）由（1）得恒成立，從而，即 （3）由已知可得，則令得 若，則在上單調(diào)遞增，在上無(wú)極值；若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有極小值在區(qū)間上存在極小值，若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有極小值 在區(qū)間上存在極小值 綜上所述：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上存在極小值。47、已知函數(shù) (為實(shí)常數(shù))(1) 當(dāng)= 0時(shí)，求的最小值；(2)若在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；(3)設(shè)各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列滿足 證明： (nN*)解析： ，（1）a

21、 = 0時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)x1時(shí)，；（2）當(dāng)0時(shí)，在2，)上恒大于零，即，符合要求； 當(dāng)0時(shí)，令，g (x)在2，)上只能恒小于零故140或，解得：a的取值范圍是 (3)反證法：假設(shè)x1 = b1，由（1）知，所以有，則。故，即又由(1)當(dāng)b1時(shí)，而與矛盾，故，即，同理可證 (nN*)。48、已知函數(shù)。（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）記在區(qū)間（nN*）上的最小值為，令。如果對(duì)一切n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；求證： 解析：（1）因?yàn)椋院瘮?shù)定義域?yàn)?，且。由得，的單調(diào)遞增區(qū)間為；由得，的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+）.(2) 因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以則. 又lim,因此，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是. 由 中令，

22、用代：因?yàn)樗?nN*),則。49、數(shù)列，（1）是否存在常數(shù)、，使得數(shù)列是等比數(shù)列，若存在，求出、的值，若不存在，說(shuō)明理由。（2）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，.解析：由， 即 故 又故存在是等比數(shù)列 證明：由得 ，故 現(xiàn)證.當(dāng)，故時(shí)不等式成立 當(dāng)?shù)茫矣?，?0、某種酒杯的軸截面近似一條拋物線，杯口寬4cm，杯深8cm.（1）將一些大小不等的玻璃球放入酒杯，當(dāng)玻璃球的半徑多大時(shí)，玻璃球能觸及酒杯底？（2）在杯璃杯中放入一根粗細(xì)均勻，長(zhǎng)度為2cm的細(xì)棒，假設(shè)細(xì)棒的端點(diǎn)與酒杯壁之間的摩擦忽略不計(jì)，那么當(dāng)細(xì)棒最后達(dá)到平衡位置時(shí)，細(xì)棒在杯中的位置如何？解析：（1）以杯底中心為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)拋物線的

23、方程：將代入拋物線方程，得，拋物線方程為：設(shè)圓心在y軸的正半軸上，且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程為，代入拋物線方程消去得. 要使玻璃球能觸及杯底，則要求即時(shí). 玻璃球一定能觸及杯底.（2）設(shè)AB的方程為. 由消去得 將代入消去K得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)即M的坐標(biāo)為51、已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，其一條漸近線方程是，且雙曲線C過(guò)點(diǎn)（1）求此雙曲線C的方程；（2）設(shè)直線L過(guò)點(diǎn)A（0，1），其方向向量為（>0），令向量滿足問(wèn)：雙曲線C的右支上是否存在唯一一點(diǎn)，使得若存在，求出對(duì)應(yīng)的的值和的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由解析：（1）依題意設(shè)雙曲線C的方程為：，點(diǎn)P代入得所以雙曲線C 的方程是 （2）依題意，

24、直線的方程為（）， 設(shè)為雙曲線右支上滿足的點(diǎn)，則到直線的距離等于1，即若，則直線與雙曲線右支相交，故雙曲線的右支上有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，與題意矛盾 若，則直線在雙曲線的右支的上方，故，從而有又因?yàn)椋杂校?將其整理得：（） 若，則由（）得，即 若，則方程（）必有相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故由，解之得（不合題意，舍去），此時(shí)有，即 綜上所述，符合條件的的值有兩個(gè)：，此時(shí)；，此時(shí)52、某人居住在城鎮(zhèn)的處，準(zhǔn)備開(kāi)車到單位處上班,若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如圖(例如算作兩個(gè)路段：路段發(fā)生堵車事件的概率為，路段發(fā)生堵車事件的概率為)。

25、(1)請(qǐng)你為其選擇一條由到的最短路線(只允許從西向東和從南向北的路線)，使得途中發(fā)生堵車事件的概率最??；(2)若記路線中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量,求的數(shù)學(xué)期望。解析：(1)由到的最短路線有條，即為：，。；。故路線發(fā)生堵車事件的概率最??；(2)路線中遇到堵車次數(shù)可取值為。；。故。53、已知是公差大于零的等差數(shù)列，對(duì)某個(gè)確定的正整數(shù)，有。其中為常數(shù)）。(1)若數(shù)列滿足：，當(dāng)，時(shí)，求所有這樣的數(shù)列；(2)若整數(shù)數(shù)列對(duì)給定的常數(shù)，該數(shù)列由已知條件被唯一確定時(shí)，證明：；(3)求的最大值及此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：(1) 因?yàn)槭钦麛?shù)，由得=1或2。則所求的數(shù)列為：或；(2)由題意得（*）。令，因?yàn)榫钦龜?shù)

26、，所以對(duì)稱軸，開(kāi)口向上。當(dāng)時(shí)，若（*）有整數(shù)解，則必有；當(dāng)時(shí)，若（*）只有一個(gè)整數(shù)解，則必有。(3) 設(shè)，則，所以 ，故，即， 當(dāng)時(shí)， 此時(shí)，所以S的最大值為。由，所以， 此時(shí)。54、如圖6所示，等腰三角形ABC的底邊AB=，高CD=3，點(diǎn)E是線段BD上異于B、D的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且EFAB，現(xiàn)沿EF將BEF折起到PEF的位置，使PEAE，記BE=x，V（x）表示四棱錐P-ACEF的體積。（1）求V(x)的表達(dá)式；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，V(x)取得最大值？（3）當(dāng)V（x）取得最大值時(shí)，求異面直線AC與PF所成角的余弦值。解析：（1）由折起的過(guò)程可知，PE平面ABC，V(x)=（）（2），所

27、以時(shí)， ，V(x)單調(diào)遞增；時(shí) ，V(x)單調(diào)遞減；因此x=6時(shí)，V(x)取得最大值；（3）過(guò)F作MF/AC交AD與M,則，PM=，在PFM中， ，異面直線AC與PF所成角的余弦值為；BVADC55、如圖，在三棱錐中，底面，是的中點(diǎn)，且，（I）求證：平面；（II）當(dāng)解變化時(shí)，求直線與平面所成的角的取值范圍解析：（），是等腰三角形，又是的中點(diǎn)，又底面于是平面又平面，平面平面（） 過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作于，則由（）知平面連接，于是就是直線與平面所成的角在中，；設(shè)，在中，ADBCHV，又，即直線與平面所成角的取值范圍為56、BCDAE如圖，在直四棱柱中，已知，（）設(shè)是的中點(diǎn)，求證：平面；（）求二面角的余弦值

28、解析：（）連結(jié)，則四邊形為正方形，且，四邊形為平行四邊形BCDAEG又平面，平面，平面（）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，BCDAEzyxFM，設(shè)為平面的一個(gè)法向量由，得 取，則又，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，得取，則，設(shè)與的夾角為，二面角為，顯然為銳角，即所求二面角的余弦為57、如圖，是直角梯形，90°，1，2，又1，120°，直線與直線所成的角為60°.（）求證：平面平面;（）求二面角的大小;（）求三棱錐的體積.解析：（），又（）取的中點(diǎn)，則，連結(jié)，從而作，交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)，則由三垂線定理知，從而為二面角的平面角直線

29、與直線所成的角為在中，由余弦定理得在中，在中，在中，故二面角的平面角大小為（）由（）知，為正方形58、在如圖所示的幾何體中，平面，平面，且，是的中點(diǎn)（I）求證：；（II）求與平面所成的角解析：（I）證明：因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以又平面，所以（II）解：過(guò)點(diǎn)作平面，垂足是，連結(jié)交延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)，是直線和平面所成的角因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以，則平面，因此設(shè)，在直角梯形中，是的中點(diǎn)，所以，得是直角三角形，其中，所以在中，所以，故與平面所成的角是59、在直三棱柱中，；點(diǎn)分別在，上，且，四棱錐與直三棱柱的體積之比為（）求異面直線與的距離；（）若，求二面角的平面角的正切值解析：（）因，且，故面，從而

30、，又，故是異面直線與的公垂線設(shè)的長(zhǎng)度為，則四棱椎的體積為而直三棱柱的體積為由已知條件，故，解之得從而在直角三角形中，又因，故（）過(guò)作，垂足為，連接，因，故面由三垂線定理知，故為所求二面角的平面角在直角中，又因，故，所以60、如圖,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,是線段的中點(diǎn).()求三棱錐的體積;()求證:/平面;()求異面直線與所成的角.解析：() 三棱錐的體積為 () 證明：連接, ,連接 OGH為中點(diǎn),且為巨型,所以 四邊形為平行四邊形, , ()過(guò)點(diǎn)作,則為異面直線與所成的角, 為中點(diǎn),所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn), 連接,過(guò)作為的中點(diǎn), 在中, ,異面直線與所成的角為。全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試

31、解答題訓(xùn)練231、已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為（）求雙曲線的方程；（）設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.32、設(shè)橢圓E: （a,b>0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。33、已知點(diǎn)為雙曲線（為正常數(shù)）上任一點(diǎn),為雙曲線的右焦點(diǎn),過(guò)作右準(zhǔn)線的垂線,垂足為,連接并延長(zhǎng)交軸于.(3) 求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程;(4) 設(shè)軌跡與軸交于兩點(diǎn),在上任取一點(diǎn),直線分別交軸于兩

32、點(diǎn).求證:以為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn).Q（x，y）MF1F2Oyx34、設(shè)，分別是橢圓：的左，右焦點(diǎn)（1）當(dāng)，且，時(shí)，求橢圓C的左，右焦點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）、是（1）中的橢圓的左，右焦點(diǎn)，已知的半徑是1，過(guò)動(dòng)點(diǎn)的作切線，使得（是切點(diǎn)），如下圖求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程35、在直角坐標(biāo)平面中，ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A（0，1），B（0, 1）平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足 , = = （1）求頂點(diǎn)C的軌跡E的方程（2）設(shè)P、Q、R、N都在曲線E上 ，定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（, 0） ，已知 , 且·= 0.求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值.36、設(shè)函數(shù)f (x) =(b，cN*)，若方程f(x) = x的解為0，

33、2，且f (2)（）試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列an滿足4Sn·f () = 1，其中Sn為an的前n項(xiàng)和求證：37、已知函數(shù)的反函數(shù)為，數(shù)列和滿足：，；函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 若數(shù)列的項(xiàng)僅最小，求的取值范圍；（3） 令函數(shù)，數(shù)列滿足：，且，其中證明：.38、如圖，在三棱錐中，底面，點(diǎn)，分別在棱上，且（）求證：平面；（）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角的大??；（）是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角？并說(shuō)明理由.39、如圖，四棱錐FABCD的底面ABCD是菱形，其對(duì)角線AC=2，BD=，AE、CF都與平面ABCD垂直，

34、AE=1，CF=2.（I）求二面角BAFD的大?。唬↖I）求四棱錐EABCD與四棱錐FABCD公共部分的體積.40、如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且（1）求證：對(duì)任意的，都有（2）設(shè)二面角CAED的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若，求的值41、如圖，在四棱錐中，底面，是的中點(diǎn)（1）證明；（2）證明平面；（3）求二面角的大小42、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)軸正方向上一點(diǎn)任作一直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于點(diǎn)（1）若，求的值； （2）若為線段的中點(diǎn)，求證：為此拋物線的切線； （3）試問(wèn)（2）的逆

35、命題是否成立？說(shuō)明理由 43、設(shè)函數(shù)，函數(shù)，其中為常數(shù)且，令函數(shù)為函數(shù)和的積函數(shù)。 （1）求函數(shù)的表達(dá)式，并求其定義域； （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域； （3）是否存在自然數(shù)，使得函數(shù)的值域恰為？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數(shù)所構(gòu)成的集合；若不存在，試說(shuō)明理由。44、已知等差數(shù)列滿足，等比數(shù)列前項(xiàng)和。(1) 求的值以及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)試求的最大值以及最大時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式。45、已知函數(shù)，若對(duì)任意，且，都有： （1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)，有一個(gè)最小的負(fù)數(shù)，使得時(shí)，都成立，則當(dāng)為何值時(shí)，最小，并求出的最小值46、已知函數(shù)(1)如果關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，試比較與的大??；(3)設(shè)，若在區(qū)間上存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍。47、已知函數(shù) (為實(shí)常數(shù))(1) 當(dāng)= 0時(shí)，求的最小值；(2)若在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；(3)設(shè)各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列滿足 證明： (nN*)48、已知函數(shù)。（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）記在區(qū)間（nN*）上的最小值為，令。如果對(duì)一切n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍