中學(xué)數(shù)學(xué)基本能力培養(yǎng)（Word）

1、第9章 中學(xué)數(shù)學(xué)基本能力培養(yǎng)教學(xué)目的：通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握在教學(xué)中如何培養(yǎng)三種能力，即如何培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，思維能力和空間想象能力，并在此基礎(chǔ)上如何進(jìn)一步培養(yǎng)一般能力，如觀察能力，理解能力，記憶能力和運(yùn)用能力等。教學(xué)內(nèi)容：1、運(yùn)算能力的培養(yǎng)。2、空間想象能力的培養(yǎng)。3、分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力培養(yǎng)。4、邏輯思維能力的培養(yǎng)。教學(xué)重、難點(diǎn)：三種能力的培養(yǎng)既是本章的重點(diǎn)又是難點(diǎn)。教學(xué)方法：講授法教學(xué)過(guò)程：§91 運(yùn)算能力的培養(yǎng)911 什么是運(yùn)算能力運(yùn)算的意義不僅局限于通常的加、減、乘、除、乘方開(kāi)方等代數(shù)運(yùn)算，還包括初等函數(shù)的運(yùn)算和求值，各種幾何量的測(cè)量和計(jì)算，求數(shù)列與函數(shù)極限以及微

2、分、積分等分析運(yùn)算，還有概率、統(tǒng)計(jì)的初步計(jì)算等特別要指出的是幾何的平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)、伸縮等“變換”也可稱(chēng)為“幾何運(yùn)算”在一些高中數(shù)學(xué)教材和中等專(zhuān)業(yè)技術(shù)學(xué)校使用的數(shù)學(xué)課本中，還簡(jiǎn)單介紹了邏輯代數(shù)知識(shí)，“與”，“或”、“非”這是“邏輯運(yùn)算”對(duì)于集合求其交集、并集及全集，是進(jìn)行集合運(yùn)算如果對(duì)于運(yùn)算作上述廣義的理解，那么我們就不會(huì)再片面地說(shuō)運(yùn)算只是算術(shù)和代數(shù)的事了因此，培養(yǎng)學(xué)生正確和迅速的運(yùn)算能力是整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的任務(wù)912 培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的基本途徑怎樣才能使學(xué)生具有正確迅速的運(yùn)算能力呢？在小學(xué)、初中與高中這幾個(gè)階段中，都必須有計(jì)劃有步驟地進(jìn)行培養(yǎng)，由算術(shù)運(yùn)算到代數(shù)運(yùn)算；由代數(shù)運(yùn)算到分析運(yùn)算、幾

3、何運(yùn)算、集合運(yùn)算、邏輯運(yùn)算，由口算、筆算到表算、工具算等都要切實(shí)抓好.總之，一要學(xué)習(xí),即學(xué)習(xí)與運(yùn)算有關(guān)的知識(shí)；二要訓(xùn)練，即精心選擇一部分習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立完成下面談一談培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的基本途徑1、牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)，弄通算理、法則要使運(yùn)算正確而又迅速就要牢固地掌握與運(yùn)算有關(guān)的概念、公式法則以及變形化簡(jiǎn)等思維方法同時(shí)要多練習(xí)，常反復(fù)，形成熟練的技能技巧但也不能244 / 66“死練”，在練之前，要使得學(xué)生懂得“算理”使其懂得“怎樣算”，“為什么這樣算”只有“計(jì)有據(jù)”，才能“算有準(zhǔn)”如果教師只教給學(xué)生“怎樣算”，而學(xué)生并不明白“為什么這樣算”，“為什么這樣算就正確”，那么學(xué)生的運(yùn)算能力就不會(huì)始終保持

4、其正確性，也形成不了什么運(yùn)算能力例1 講異分母分?jǐn)?shù)的加減時(shí)，如果只教給學(xué)生要先通分，變成同分母的分?jǐn)?shù)之后，再按同分母的分?jǐn)?shù)進(jìn)行加減運(yùn)算，而不講清為什么要這樣算，有的學(xué)生對(duì)運(yùn)算的方法是記不牢的，時(shí)間一長(zhǎng)，往往會(huì)遺忘，甚至?xí)霈F(xiàn)之類(lèi)的笑話因此，教師必須在學(xué)生學(xué)習(xí)通分算法之初，就教學(xué)生“算理”，讓學(xué)生清楚地懂得：如果兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母不同，分?jǐn)?shù)的單位就不同，每份的大小也就不同，而單位不同的分?jǐn)?shù)是不能直接相加減的只有經(jīng)過(guò)通分之后，它們的分母相同了，即分?jǐn)?shù)的單位相同了，每份的大小是一樣的，從而就可以直接進(jìn)行加減運(yùn)算了例2 如化簡(jiǎn)，則需要靈活運(yùn)用和角三角函數(shù)公式來(lái)進(jìn)行推理，計(jì)算如下： 原式這里，三角函數(shù)公式的應(yīng)

5、用，恒等變形的使用都給培養(yǎng)正確的、迅速的運(yùn)算能力提供了前提例3 如解方程，首先應(yīng)該知道方程的解域是，再進(jìn)行同解變形得從而有（x-1）2100，解此方程得x11或x= -9但要注意，如果把原方程變?yōu)椋河捎谖粗獢?shù)取值范圍縮小為x1，于是產(chǎn)生減根顯見(jiàn)這種解法是錯(cuò)的在例2和例3的運(yùn)算過(guò)程中，每步推導(dǎo)都是依理進(jìn)行的事實(shí)上，在培養(yǎng)運(yùn)算能力的過(guò)程中，邏輯思維能力的培養(yǎng)也在其中了例4 實(shí)系數(shù)方程的三根在復(fù)平面上構(gòu)成正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則m的值的是：（A）1； （B）0； （C）1； （D）2 答案（ ）解 因?yàn)槿c(diǎn)不可能都在實(shí)數(shù)軸上，所以方程至少有一個(gè)虛根，又因?yàn)閷?shí)系數(shù)為一元三次方程，故必有一個(gè)實(shí)根設(shè)三根為，

6、a+bi，a-bi（、a、bR，0）它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A（,0），B（a,b），C（a,-b），其中A在實(shí)軸上由韋達(dá)定理，可得 +（a+bi）（a-bi）0所以：-2a故A與B、C位于y軸兩側(cè)設(shè)B、C連線交x軸于D點(diǎn)，則有|OD|=|a|OA|-2a|2|a|所以O(shè)為ABC的中心|OB|2|a|，a2+b24a2 b±a所以三根為-2|a|，a（1+i），a（1-i）又因?yàn)椋?2a）a（1+i）a（1-i）-1解得a=，則-2a-1將-1代入原方程，得（-1）3m（-1）10，故m=0，故選擇（B）本題推理絲絲入扣，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)各步判斷有根有據(jù)，然而各步判斷均和計(jì)算結(jié)果直接相關(guān)由此可見(jiàn)運(yùn)

7、算能力的培養(yǎng)有助于推理判斷能力的培養(yǎng)除此，運(yùn)算能力的培養(yǎng)在運(yùn)算型的證明題中也能得到較好的體現(xiàn)總而言之，在運(yùn)算過(guò)程中，“言之有據(jù)”是應(yīng)該遵循的重要原則之一下面再舉一例，以說(shuō)明在邏輯運(yùn)算中，也必須弄通算理，才能使運(yùn)算達(dá)到正確迅速例5 某年級(jí)先后舉行數(shù)、理、化三種競(jìng)賽，學(xué)生中至少參加一科的：數(shù)學(xué)201人，物理177人，化學(xué)163人；參加兩科的：數(shù)學(xué)、物理141人，數(shù)學(xué)、化學(xué)114人，物理、化學(xué)95人；三科都參加的87人問(wèn)參加競(jìng)賽的學(xué)生總數(shù)是多少？ACABBCABCBAC圖9-1解 這是一道涉及到邏輯運(yùn)算的運(yùn)算題如學(xué)生弄不通算理，如學(xué)生弄不通算理，不懂邏輯運(yùn)算法則，還照以往代數(shù)中的運(yùn)算一樣去運(yùn)算，即將

8、各類(lèi)競(jìng)賽者一加求和了事，那就出現(xiàn)錯(cuò)誤了所以說(shuō)，一些與運(yùn)算相關(guān)的新的數(shù)學(xué)概念、法則、公式的引入都需要加以格外留意，以免在運(yùn)算過(guò)程中，因算理不通，鑄成謬誤對(duì)本題可作如下解答：設(shè)A、B、C分別表示參加數(shù)學(xué)、物理化學(xué)每一科競(jìng)賽學(xué)生的集合（如圖9-1）,并且以n（S）表示有限集合S的元素個(gè)數(shù)則有n（ABC）=n（A）+n（B）+n（C）-n（AB）-n（AC）-n（BC）+n（ABC）=201+177+163-141-114-95+87=2782、提高記憶能力，加強(qiáng)運(yùn)算基本功訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力，還要提高學(xué)生的記憶能力，牢固掌握一些常用的數(shù)據(jù)、常用的公式和法則尤其要加強(qiáng)運(yùn)算基本功訓(xùn)練，籍以形成熟練的技能

9、技巧（1）一般來(lái)說(shuō)，在小學(xué)階段，作為運(yùn)算的基本功主要是：i）熟練掌握整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算；ii）20以?xún)?nèi)的口算加減法與表內(nèi)乘法、相應(yīng)的除法，要達(dá)到“直呼”的程度：熟悉分?jǐn)?shù)、小數(shù)互化運(yùn)算，熟悉一些分?jǐn)?shù)互化的數(shù)值例如：、等等（2）在初中階段，作為運(yùn)算的基本功主要是：i）熟練掌握有理數(shù)的四則運(yùn)算和有理指數(shù)、常用對(duì)數(shù)、銳角三角函數(shù)的運(yùn)算，特別還要加強(qiáng)整式、分式與根式的運(yùn)算訓(xùn)練ii）要熟記一些重要數(shù)據(jù)，講究記憶方法和規(guī)律，最好能達(dá)到“直呼”的程度：a、多位數(shù)與一位數(shù)相乘，直接得積；b、120的平方數(shù)，110的立方數(shù)c、將被開(kāi)方數(shù)化為質(zhì)因數(shù)乘積求方根；d、特殊角的三角函數(shù)值；角度制與弧度制互換e、乘

10、法公式（3）在高中階段，要通過(guò)復(fù)習(xí)以鞏固上述初等運(yùn)算的能力要學(xué)習(xí)一些初等函數(shù)的恒等變形；學(xué)習(xí)行列式和復(fù)數(shù)的運(yùn)算；學(xué)習(xí)極限與微積分運(yùn)算；還要學(xué)會(huì)集合的運(yùn)算、邏輯運(yùn)算這階段的運(yùn)算基本功主要是：i）熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)式與三角函數(shù)式的恒等變形，初步掌握極限與微積分運(yùn)算ii）熟記基本公式、重要的極限等、以提高計(jì)算速度例如：，（且）； ； ；微積分基本公式等為了使學(xué)生練習(xí)基本功，一要理解運(yùn)算所依據(jù)的道理；二要記住常用的公式、法則；三要通過(guò)練習(xí)才能落實(shí)到學(xué)生身上下面選一組指數(shù)、對(duì)數(shù)的基礎(chǔ)練習(xí)和一組心算練習(xí)題，供參考i）化簡(jiǎn)計(jì)算：；ii）比較大小，； ，；，； ，；，； ，iii）求函數(shù)的定義域； ； iv）

11、求值：已知lgx6，lgy3，求的值已知lg20.3010，lg30.4771，求的值已知ABC中，C90°，三邊長(zhǎng)a、b、c，求v）解方程：； 心算練習(xí)題：a為實(shí)數(shù)，a2永遠(yuǎn)為正數(shù)，對(duì)嗎？代數(shù)式2+x2的值，最小可能是幾？代數(shù)式1y2的值，最大可能是幾？的值能否大于1？為什么？下列哪些式子相等，哪些不相等；a、62·64與68； b、（24）3與212；c、（2·3·5）2與22·32·52； d、（-7·14）4與-74·144“a加b平方”與“a與b和的平方”意思一樣嗎？分別寫(xiě)出表達(dá)式來(lái)若3x<x，x的

12、值會(huì)怎樣？想出一個(gè)數(shù)c，使c2c而2c<c方程與是否同解？為什么方程組無(wú)解？練好運(yùn)算的基本功，并使運(yùn)算具有一定的速度，是培養(yǎng)學(xué)生正確迅速的運(yùn)算能力不可缺少的3、加強(qiáng)運(yùn)算練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力我們知道任何能力都是可以有計(jì)劃、有目的地訓(xùn)練出來(lái)的，提高學(xué)生運(yùn)算能力必須加強(qiáng)練習(xí)，嚴(yán)格訓(xùn)練加強(qiáng)練習(xí)就要按規(guī)律進(jìn)行多練、巧練、反復(fù)練題目由淺到深，基本題、引伸題、創(chuàng)新題依次出現(xiàn)，這樣不但可訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算技能技巧，而且可培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力嚴(yán)格訓(xùn)練就要做到高質(zhì)量、高效率，即學(xué)生練習(xí)要做到正確、迅速、合理從某種意義上講，運(yùn)算能力的培養(yǎng)實(shí)際上就是對(duì)合理進(jìn)行計(jì)算的能力培養(yǎng)而這種合理性的發(fā)現(xiàn)，“簡(jiǎn)捷算法”的尋得，

13、首先就需要有很好的觀察力和對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的良好掌握例如計(jì)算有觀察習(xí)慣的人絕不一見(jiàn)題就用乘法分配律展開(kāi)，而是對(duì)、都含有具有“好奇心”，并接著會(huì)想從第一個(gè)因式中提取公因式，從第二個(gè)因式中提取公因式，看它們會(huì)變成什么樣子？即原式至此，就容易進(jìn)一步想到用乘法公式作進(jìn)一步的化簡(jiǎn)了由于每個(gè)人在觀察時(shí)，抓住問(wèn)題的特點(diǎn)不同，或者運(yùn)用的知識(shí)不同，對(duì)同一個(gè)問(wèn)題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”，“多解”之中一般總有較為簡(jiǎn)捷的解法經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生重視“簡(jiǎn)捷算法”與“一題多解”的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和靈活性只有思想上“迅速”了，行動(dòng)上才能“迅速”起來(lái)；只有解法上“合理”了，即在應(yīng)有的水平上達(dá)到了“最佳選擇”

14、，才能獲得最快的速度當(dāng)然“簡(jiǎn)捷算法”與“一題多解”的訓(xùn)練必須緊密結(jié)合教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行；必須從小學(xué)到中學(xué)，一貫重視這種能力的培養(yǎng)，循序漸進(jìn)地提高要求，才能使學(xué)生學(xué)到運(yùn)算技能和技巧，得到系統(tǒng)的鞏固和提高，從而形成一種運(yùn)算能力，進(jìn)而去探索未知領(lǐng)域，獲得新知識(shí)當(dāng)然這種未知領(lǐng)域?qū)τ趯W(xué)生來(lái)說(shuō)是先前未曾感知過(guò)的，而對(duì)教師來(lái)說(shuō)是可能感知過(guò)的在低年級(jí)，一般宜進(jìn)行“簡(jiǎn)捷運(yùn)算”的訓(xùn)練因?yàn)閷W(xué)生年齡尚小，所學(xué)知識(shí)也不多，他們往往會(huì)為獲得一種“簡(jiǎn)捷運(yùn)算”而歡欣鼓舞，可以說(shuō)簡(jiǎn)捷運(yùn)算容易引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣當(dāng)然在高年級(jí)也要尋求“簡(jiǎn)捷算法”，即使搞“一題多解”訓(xùn)練，最后也要比較，看哪種解法最為簡(jiǎn)捷例1 化簡(jiǎn)分析 這是一道根指數(shù)，分?jǐn)?shù)

15、指數(shù)的綜合運(yùn)算題，首先要確定統(tǒng)一成哪種指數(shù)形式進(jìn)行運(yùn)算較為簡(jiǎn)捷原式例2 已知直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為5cm和12cm，求斜邊上的高解 若用射影定理計(jì)算高就繁了所以先求斜邊長(zhǎng)，得，再由面積相等求出斜邊上的高為例3 已知，求的值分析 若用直接代入求值就太繁了所以，我們改變一個(gè)角度，由得，所以，所以，把它代入原式，則問(wèn)題就解決了解 由，得，所以，所以 原式 以上三例都顯示了簡(jiǎn)捷運(yùn)算的優(yōu)點(diǎn)但這種簡(jiǎn)捷運(yùn)算的獲得，是經(jīng)過(guò)認(rèn)真分析，進(jìn)行選擇的結(jié)果，這個(gè)過(guò)程，一題多解的思想已包含在其中了采用多樣化方法解題，不但可以發(fā)展學(xué)生的思維能力與運(yùn)算能力，而且還可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)創(chuàng)造精神為了提倡“一題多解

16、”，在教學(xué)中教師要經(jīng)常進(jìn)行“一題多解”的典型示范，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生判斷哪種方法較簡(jiǎn)捷，從而進(jìn)行選擇，加強(qiáng)解題的預(yù)見(jiàn)性，做到解題時(shí)思維敏捷，避繁就簡(jiǎn)，達(dá)到正確迅速的要求對(duì)于學(xué)生有創(chuàng)見(jiàn)的解法，也要善于引導(dǎo)，愛(ài)護(hù)他們獨(dú)立思考的積極性，同時(shí)幫助他們分析具體錯(cuò)誤的癥結(jié)例4 計(jì)算解原式；原式；原式；原式 顯然解法是最簡(jiǎn)捷的，但解法也很巧妙例5 已知ax4+bx3+1能被（x-1）2整除，求a、b之值解法一用豎式除法，即得余式為 （3b+4a）x+（1-2b-3a）0解得 a=3，b=-4解法二用比較系數(shù)法令 將等號(hào)右邊展開(kāi)，兩邊比較系數(shù)，解方程組得： a=3，b-4，p3，q2，r1，例4、例5 在完成運(yùn)算之

17、后可知有較簡(jiǎn)捷算法存在，而例1、例2、例3是在未完成運(yùn)算之前就作出合理選擇，從而采用了簡(jiǎn)捷算法，實(shí)質(zhì)上，前3例也進(jìn)行了“一題多解”的思維過(guò)程，只不過(guò)表述成文字的是一種簡(jiǎn)捷的算法 運(yùn)算能力形成的重要性，不僅僅在于它能夠從事一系列的運(yùn)算，甚至具有一定的技能技巧，而更重要地在于它能幫助人們?nèi)ラ_(kāi)拓新知識(shí)領(lǐng)域 例6 計(jì)算 123100 這是歷史上很有名的一道題據(jù)說(shuō)高斯在六歲的時(shí)候，就以老師不敢相信的速度得出了正確的答案5050高斯是如何進(jìn)行運(yùn)算的呢？我們可以推測(cè)，他可能是觀察之后，發(fā)現(xiàn)了11002995051，然后利用加法的交換律、結(jié)合律及乘法的定義進(jìn)行運(yùn)算的，即123100（1100）+（299）+（

18、5051）101101101101×505050所用知識(shí)是有限的，是人所共知的，然而他將這些知識(shí)選擇，組合的方法是別有洞天的再朝前走一步，自然數(shù)列求和公式不就應(yīng)運(yùn)而生了嗎？例7 求自然數(shù)倒數(shù)平方的級(jí)數(shù)和：解 這是數(shù)學(xué)家伯努利（Bernoulli，16541705）的一個(gè)級(jí)數(shù)求和難題，伯努利是17世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家，他是古典概率論的創(chuàng)始人，對(duì)古典微積分學(xué)以及級(jí)數(shù)求和等問(wèn)題都有貢獻(xiàn)，但是他卻沒(méi)有辦法算出自然數(shù)倒數(shù)平方的級(jí)數(shù)和于是他公開(kāi)征解，可惜直到他逝世時(shí)還未見(jiàn)到有人解出此難題這個(gè)難題過(guò)了數(shù)十年之后才由歐拉解答出來(lái)在這里歐拉巧妙地利用了類(lèi)比推理完成了一項(xiàng)非常有趣的發(fā)現(xiàn)，給出了伯努利所未能找

19、到的級(jí)數(shù)和首先，對(duì)于只含偶數(shù)次項(xiàng)的2n次代數(shù)方程，（）假設(shè)有2n個(gè)互不相同的根：則得 把乘積展開(kāi)出來(lái)，易見(jiàn)x2項(xiàng)的系數(shù)為：以上所述為一般代數(shù)方程式論中的初等知識(shí)歐拉又考慮了三角方程：他把它看成是只含有偶次項(xiàng)的無(wú)窮次代數(shù)方程由于此方程含有相異根，于是歐拉采用了類(lèi)比法，即仿照上述2n次多項(xiàng)式分解成乘積的形式，把這里出現(xiàn)的所謂無(wú)限次多項(xiàng)式也照樣分解成因式乘積形式：這便是著名的“歐拉乘積公式”這樣一來(lái)，再把右邊的乘積展開(kāi)，便發(fā)現(xiàn)x2項(xiàng)的系數(shù)是：即奇跡出現(xiàn)了在數(shù)學(xué)中經(jīng)常給學(xué)生出一些創(chuàng)新題去運(yùn)算，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力培養(yǎng)是十分有益的當(dāng)然這些創(chuàng)新題應(yīng)是學(xué)生力所能及的，那種一提“創(chuàng)造”就認(rèn)為是讓學(xué)生解答數(shù)學(xué)家所未

20、能解答的問(wèn)題的態(tài)度，顯然是不可取的92 空間想象能力的培養(yǎng)921 什么是空間想象能力想象是一種特殊的思維活動(dòng)，即在頭腦中表象出某種未曾感知的東西，或者創(chuàng)造某種未曾感知過(guò)的物體和現(xiàn)象的形象，或者專(zhuān)門(mén)產(chǎn)生某些新事物的概念空間想象不應(yīng)只局限于三維空間如果我們認(rèn)為空間想象乃是全部數(shù)學(xué)中的形象思維，它就和邏輯思維相輔相成了通過(guò)邏輯思維，由具體到抽象，又通過(guò)空間想象，由抽象到具體，波浪式地發(fā)展著實(shí)際上，在平面幾何中，特別是在平面解析幾何中，時(shí)常要想象圖象的運(yùn)動(dòng)在代數(shù)和三角中，空間想象也扮演著重要的角色例如由函數(shù)的圖像，便易于掌握函數(shù)的性質(zhì)代數(shù)和分析中的許多概念，如果明確了它們的幾何解釋?zhuān)湍苁贡緛?lái)很抽象的

21、概念變得生動(dòng)、直觀、形象起來(lái)，例如導(dǎo)數(shù)和定積分概念就是這樣，特別是復(fù)數(shù)的幾何意義的獲得，對(duì)復(fù)數(shù)的研究更起了重大的作用總之，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力應(yīng)是整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)其中立體幾何教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力方面所起到的特殊作用是明顯的空間想象能力的培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)包括哪些要求？一般認(rèn)為大體上包括下列三個(gè)方面的要求：1、對(duì)于客觀存在的空間形式，能在頭腦中反映出正確的形象來(lái)，即形成空間概念2、能將空間形式，按照統(tǒng)一規(guī)定，繪成平面圖形，反之，能從已知的平面圖形想象出它所表達(dá)的空間形式3、不但能進(jìn)行邏輯思維，而且能進(jìn)行形象思維，也就是說(shuō)能運(yùn)用圖形的幾何直覺(jué)去研究某些問(wèn)題922 培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的基本途

22、徑如同培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力一樣，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力也需要認(rèn)真學(xué)習(xí)，牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)，要會(huì)繪圖會(huì)看圖，還要進(jìn)行一系列的關(guān)于加強(qiáng)空間想象能力的訓(xùn)練具體地說(shuō)，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的基本途徑可有以下幾條：1、學(xué)好有關(guān)空間形式的基礎(chǔ)知識(shí)想象是客觀現(xiàn)實(shí)在人腦中的一種反映，所以學(xué)生學(xué)好有關(guān)空間形式的數(shù)學(xué)知識(shí)是提高學(xué)生空間想象能力的根本中學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)空間形式的知識(shí)不僅是幾何的知識(shí)，還有數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容如數(shù)軸、坐標(biāo)法、函數(shù)圖象、三角函數(shù)的幾何意義、方程與曲線，幾何量的度量與計(jì)算等內(nèi)容都可以通過(guò)數(shù)量分析的方法對(duì)幾何圖形加強(qiáng)理解，掌握這些有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力從研究數(shù)量之間的關(guān)系，到研究圖形之間的關(guān)系，數(shù)形之

23、間的關(guān)系，這是一個(gè)很大的變化，雖然在小學(xué)里學(xué)生已接觸過(guò)一些幾何圖形，數(shù)形結(jié)合的知識(shí)，但是學(xué)生的空間概念還是很薄弱的，要使學(xué)生熟悉圖形之間的關(guān)系、數(shù)形間的關(guān)系，還是較為困難的問(wèn)題，需要有一個(gè)逐步培養(yǎng)的過(guò)程對(duì)于某一圖形所反映的空間形式，怎樣使學(xué)生形成關(guān)于它的空間概念呢？一般認(rèn)為，大致需要經(jīng)過(guò)如下過(guò)程（1）運(yùn)用實(shí)物、模型等進(jìn)行直觀教學(xué)，使學(xué)生在頭腦中形成空間概念的整體形象（2）通過(guò)教師和學(xué)生繪制草圖和示意圖，使頭腦中形成的空間概念的形象“具體化”（3）研究圖形的組成元素及其性質(zhì)，深入了解空間形式的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和特性（4）根據(jù)給定條件，運(yùn)用畫(huà)圖工具作圖，切實(shí)掌握空間形式的常用表達(dá)方法總之，空間概念的形成必

24、須經(jīng)過(guò)由畫(huà)圖到看圖的一系列訓(xùn)練例如：在“直線和平面”這一章的教學(xué)中，為了有步驟地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，首先要著重向?qū)W生指出現(xiàn)在研究的圖形是在空間里，是空間圖形，它和平面幾何中學(xué)習(xí)的圖形有著本質(zhì)的區(qū)別其次在教學(xué)中，應(yīng)盡可能多地利用模型實(shí)物的直觀性，并結(jié)合模型繪制草圖；往后則逐漸有意識(shí)地減弱模型的作用，增強(qiáng)圖形的作用；再后則完全不要模型，只利用圖形，以培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)圖形來(lái)想象實(shí)際各種元素在空間的位置關(guān)系最后，再進(jìn)一步既不用模型，也不用圖形，而能解決一些比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題（包括計(jì)算題、證明題和作圖題），從而不斷發(fā)展學(xué)生的空間想象能力2、從事數(shù)學(xué)實(shí)習(xí)活動(dòng)通過(guò)對(duì)實(shí)物的觀察、解剖、分析或者制作模型、實(shí)地測(cè)量、

25、作圖等數(shù)學(xué)實(shí)習(xí)活動(dòng)也是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的重要途徑人們以現(xiàn)實(shí)世界中客觀事物為觀察研究對(duì)象，通過(guò)抽象，通過(guò)抽象概括，舍棄了諸多的特性，保留了數(shù)量關(guān)系和空間形式，這種數(shù)量關(guān)系和空間形式在人們給出了相應(yīng)的表達(dá)方式之后，使人們能夠見(jiàn)數(shù)、形就能想象出客觀事物或者見(jiàn)到客觀事物可抽象出數(shù)、形人們經(jīng)常從事這種數(shù)學(xué)實(shí)習(xí)活動(dòng)，無(wú)疑會(huì)加強(qiáng)空間想象能力例如，在立體幾何教學(xué)中，對(duì)物體或模型的直觀分析，在機(jī)械制圖的教學(xué)中通過(guò)活動(dòng)影片來(lái)分析視圖的性質(zhì)，在解三角形的教學(xué)中測(cè)量不可及物體的“高深遠(yuǎn)近”，凡此種種，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力都會(huì)收到良好的效果3、加強(qiáng)空間想象能力的訓(xùn)練，不斷發(fā)展空間想象能力在中學(xué)數(shù)學(xué)課里，不僅要研

26、究圖形及其性質(zhì)，還要研究作圖方法，而且要研究圖形之間的聯(lián)系以及數(shù)、形之間的聯(lián)系這些研究不僅要在一維空間中進(jìn)行，而且要在二維、三維或高維抽象空間中進(jìn)行因此對(duì)學(xué)生加強(qiáng)下面的訓(xùn)練，將可以發(fā)展學(xué)生的空間想象能力（1）研究同類(lèi)圖形之間的聯(lián)系，豐富學(xué)生的空間想象能力在平面幾何課里，最重要的圖形是三角形和圓，在立體幾何里最重要的基本圖形是直線和平面在教學(xué)中，在同類(lèi)圖形之間，研究其線面位置和量的關(guān)系，會(huì)有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力事實(shí)上，對(duì)各種位置和量的關(guān)系理解得越清楚，空間想象能力就越強(qiáng)現(xiàn)舉例如下：DEFABC圖9-2例 延長(zhǎng)等邊ABC的各邊BA、CB、AC到D、E、F，使ADCFBE求證：DEF也為等邊三

27、角形（如圖92所示）證 因?yàn)锳BBCCA， ADBECF， 所以AFBDCE， ADBECF，又因?yàn)镈AFEBD FCE180°60°120°所以DAFEBDFCE （SAS）所以DFEDEF，即DEF為正三角形例 已知兩圓相切，求證連心線垂直于過(guò)切點(diǎn)的公切線已知：如圖93，O1和O2外切于P點(diǎn)AB為過(guò)P點(diǎn)的公切線O1ABO2P圖9-3求證：O1O2AB證 分別連O1P，O2P，因?yàn)镻為切點(diǎn)，所以O(shè)1PAB，O2PAB，所以O(shè)1PA+ O2PA=180°，故O1，P，O2共線，所以O(shè)1O2AB討論：本題兩圓相內(nèi)切的情形，讀者可以自己證明例3 多面體中，線

28、面間的位置和量的關(guān)系解 正棱柱a、上下底面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等的正多邊形b、側(cè)面是全等的矩形c、側(cè)棱互相平行且相等d、兩底面中心連線垂直于底面平行六面體a、對(duì)面平行且平等b、對(duì)角線交于一點(diǎn)且在這點(diǎn)互相平分c、對(duì)角線的平方和等于各棱的平方和長(zhǎng)方體a、對(duì)角線的平方等于長(zhǎng)寬高的平方和b、體積等于長(zhǎng)寬高之積正棱錐a、各側(cè)棱相等b、側(cè)面為全等的等腰三角形c、斜高都相等d、頂點(diǎn)和底面中心的連線段和底面垂直e、高上任一點(diǎn)到底面各頂點(diǎn)、到各側(cè)面的距離分別相等f(wàn)、相鄰側(cè)面所成二面角都相等g、側(cè)面和底面所成二面角都相等h、側(cè)棱、高、底面半徑組成一個(gè)以側(cè)棱為弦的直角三角形i、斜高、高、底面邊心距組成一個(gè)以斜高為弦

29、的直角三角形j、側(cè)棱、斜高、底面邊長(zhǎng)之半組成一個(gè)以側(cè)棱為弦的直角三角形正棱臺(tái)a、上下底面是相似正多邊形b、側(cè)棱都相等c、側(cè)面為全等的等腰梯形d、斜高都相等e、兩個(gè)底面中心連接線段和兩底面垂直f、側(cè)棱、高、上下底面半徑組成一個(gè)直角梯形g、斜高、高、上下底面邊心距組成一個(gè)直角梯形h、側(cè)棱、斜高、上下底面邊長(zhǎng)之半組成一個(gè)直角梯形（2）研究不同類(lèi)圖形之間的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力圓和多邊形的聯(lián)系是平面幾何中最主要的內(nèi)容之一，大量的習(xí)題都與它們有關(guān)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生重視這類(lèi)問(wèn)題的分析，并加以訓(xùn)練例 已知：如圖94所示，四邊形ABCD內(nèi)接于OADCBE圖9-4求證：AC·BDAB&#

30、183;CDAD·BC證 如圖，作DAEBAC，E在BD上在DAE和CAB中，DAECAB，又因?yàn)镋DABCA，所以DAECAB，所以，即AC·DE=AD·BC （1）在ABE和ACD中，ABEACD，BACDAE，所以BAECAD，所以ABECAD，所以，即AC·BE=AB·CD （2）（1）（2）得AC（DEBE）AB·CDAD·BC所以 AC·BDAB·CDAD·BC本題證明過(guò)程中，同弧上的圓周角相等這種關(guān)系的應(yīng)用是十分重要的例2 直線a和平面內(nèi)內(nèi)的直線b垂直，直線a和平面的位置關(guān)系如何？

31、畫(huà)出圖來(lái)ba（b）aab（d）a與斜交ba（a）a在內(nèi)ba（c）a圖9-5解 位置有四種，如圖95所示分析和解答這類(lèi)例題有利于鞏固空間概念，培養(yǎng)分析問(wèn)題的能力，不斷發(fā)展空間想象能力，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)選編這類(lèi)例題和練習(xí)題，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的訓(xùn)練例3 四個(gè)半徑為1的等球，每一個(gè)與其余三個(gè)皆相切，三球在下，置一平面上，求最上一個(gè)球的球心到平面的距離OBCAO¹圖9-6D解 由題意，可想象出四球的位置關(guān)系，四球連心線組成一個(gè)正四面體如圖96所示，通過(guò)觀察，可構(gòu)出上球心O到下三球中心A、B、C所確定平面ABC的距離所在平面，于是運(yùn)用勾股定理求得，由于平面ABC距平面為1，所以O(shè)O¹加1即為所求

32、ODOCsin60°OD這類(lèi)題目，由于空間想象能力和運(yùn)算能力的有效結(jié)合，使得解題進(jìn)展順利，如缺乏空間想象能力和運(yùn)算能力，是無(wú)法下手的所以，在培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的過(guò)程中，宜和其它能力的培養(yǎng)結(jié)合起來(lái)，以求融會(huì)貫通（3）研究數(shù)形之間的聯(lián)系，鍛煉學(xué)生的空間想象能力在中學(xué)階段，數(shù)與形緊密聯(lián)系起來(lái)學(xué)習(xí)的內(nèi)容主要有兩處：一是學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)與勾股定理；二是學(xué)習(xí)坐標(biāo)法學(xué)習(xí)這兩部分內(nèi)容時(shí)，要加強(qiáng)訓(xùn)練有目的地發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，并進(jìn)行唯物辯證法的教育例1 如圖97，在ABC中，已知C90°，a9，A60°，圖9-7CBAbca 求B及b、c的長(zhǎng) 解 B90°60

33、76;30°， 因?yàn)閠anB=，所以因?yàn)?，所以? 在任意ABC中，ADBC，求證：（ACAB）（ACAB）（DCBD）（DCBD）BCAD圖9-8證 如圖97在直角ABD中，AB2BD2AD2在直角ACD中，AC2DC2AD2所以AB2BD2AC2DC2，即AC2AB2DC2BD2所以 （ACAB）（ACAB） （DCBD）（DCBD）解直角三角形是解一般三角形的基礎(chǔ)，因?yàn)槿魏我粋€(gè)三角形都可分成兩個(gè)直角三角形正是通過(guò)這種聯(lián)系，我們可以得到一般三角形中邊角關(guān)系的基本定理：正弦定理、余弦定理xy圖9-9這兩個(gè)定理，在一定條件下定量地決定三角形中所有的邊和角的大小余弦定理可以看成是勾股定

34、理在一般三角形中的推廣；而在直角三角形中，正弦定理就轉(zhuǎn)化為銳角正弦函數(shù)的定義了例3 在O的內(nèi)接正方形ABCD所在平面上任取一點(diǎn)P，連PA、PB、PC和PD求證：PA2PC2PB2PD2證 建立直角坐標(biāo)系如圖99所示，其中圓心O為原點(diǎn)，OD在X軸正半軸設(shè)O的方程為x2+y2=r2則點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，r）、（-r，0）、（0，-r）、（r，0）又該點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x1，y1），則有PA2PC2x12+（y1-r）2x12+（y1+r）22x12+2y12+2r2PB2+PD2=(x1+r)2+y12+(x1-r)2+y122x12+2y12+2r2所以 PA2PC2PB2PD2

35、本題采用解析法，方法簡(jiǎn)捷，足見(jiàn)數(shù)形結(jié)合在培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力方面有獨(dú)到之處所以，加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練是必不可少的（4）借助圖形解決問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生的空間想象能力數(shù)與形之間建立緊密聯(lián)系之后，可以運(yùn)用代數(shù)方法去解決幾何問(wèn)題；反過(guò)來(lái)，借助圖形，也能幫助解決代數(shù)問(wèn)題我們知道，對(duì)空間想象能力高一級(jí)的要求，就是使學(xué)生“不但能進(jìn)行邏輯思維，而且能進(jìn)行形象思維，也就是說(shuō)能運(yùn)用圖形的幾何直覺(jué)去研究某些問(wèn)題”下面分三個(gè)方面略加討論借助圖形，理解概念在教學(xué)中，學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念之后，往往要研究它的幾何意義，這樣做的目的是為了借助圖形，利用其幾何直觀性加深對(duì)概念的理解，同時(shí)也便于記憶概念或進(jìn)行幾何應(yīng)用在微積分課程中，更是隨

36、時(shí)指出所研究數(shù)學(xué)概念的幾何意義需要指出的是，借助圖形的幾何直觀性雖可加深對(duì)于概念的理解和記憶，但絕不可以利用圖形的幾何直觀性代替證明，代替對(duì)于概念的深刻分析圖9-10CBDFAE例1 證明直角三角形中斜邊的長(zhǎng)度等于兩直角邊長(zhǎng)度之和證 如圖910，在直角ABC中，D為AB的中點(diǎn)，DEBC，DFAC，則DEFC，DFEC，故四段折線有AFDEBACBC類(lèi)似地對(duì)DBE和ADF作如圖所示折線，則八段折線長(zhǎng)也為ACBC，這個(gè)過(guò)程可無(wú)限地進(jìn)行下去；把AB依次分為2、4、8個(gè)相等的部分，并可依次得到鋸齒形的折線，而它們的長(zhǎng)度均為ACBC從幾何直觀可以看出，這個(gè)“鋸齒形”折線的序列是以斜邊AB為極限的，因此我

37、們可推得“鋸齒形”折線的長(zhǎng)度ACBCAB，即斜邊AB的長(zhǎng)度就應(yīng)當(dāng)?shù)扔趦芍苯沁呴L(zhǎng)度之和這個(gè)命題顯然是荒謬的問(wèn)題出在什么地方呢？分析之后我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，原來(lái)是“極限”概念用得不正確，從幾何直觀就斷定鋸齒形折線的長(zhǎng)度的極限等于斜邊的長(zhǎng)度是毫無(wú)道理的借助圖形，分析題意培養(yǎng)學(xué)生良好的畫(huà)圖習(xí)慣，并依圖去分析題意，從而可以達(dá)到解題的目的也就是說(shuō)，如果一個(gè)問(wèn)題可以畫(huà)圖來(lái)分析題意，就應(yīng)當(dāng)畫(huà)出圖來(lái)幫助解題例2 求正方體二對(duì)角線的交角圖9-11ABCDABCDO 解 如圖911，正方體ABCDABCD的棱長(zhǎng)為a，二對(duì)角線之交角為，連接在ODB中 （1）因?yàn)?，代入?）得：所以，即從本例的解題過(guò)程中可以看出，借助圖形，有

38、利分析題意，否則便會(huì)增加解題難度借助圖形分析題意，要力求圖畫(huà)得精確一些，否則由于圖形畫(huà)得不正確、將會(huì)導(dǎo)出錯(cuò)誤的結(jié)果例3 證明任意的三角形是等腰三角形證 如圖912所示，ABC的A平分線和對(duì)邊BC的垂直平分線相交于O點(diǎn)，連接OB、OC，則OBOC，過(guò)O點(diǎn)作OEAC，垂足為E，作OFAB，垂足為F，則OEOFC圖9-12DBFEAO 在RtOBF和RtOCE中，因?yàn)镺BOC，OEOF，所以，RtOBFRtOCE，所以，F(xiàn)BEC （1）在RtAFO和RtAEO中，OFOE，OAOA，所以RtAFORtAEO，所以，AFAE （2）（1）（2）得 AFFBAEEC，即ABAC 這就是說(shuō)，任意的三角形是

39、等腰三角形 問(wèn)題出在什么地方？原來(lái)角平分線AO和垂直平分線OD的交點(diǎn)不在ABC內(nèi)，而在ABC的外部所以畫(huà)圖萬(wàn)萬(wàn)不可草率從事 借助圖形解決問(wèn)題圖9-13xyoy=x3y=sin x 圖解法就是利用圖形解決計(jì)算問(wèn)題、作圖問(wèn)題和證明題在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，它雖不是重點(diǎn)內(nèi)容，但在生產(chǎn)實(shí)際中，卻是一種重要的方法 例4 用圖象法解方程組： 解 在同一直角坐標(biāo)系中，作與的圖象，如圖913 觀察圖象有三個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)是（0，0），另二個(gè)交點(diǎn)分別近似地得到為（m，n），（-m，-n），其中0<m<1，0<n<1 圖解法在數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)中是要遇到的，在實(shí)際中也有許多應(yīng)用，所以在數(shù)學(xué)中有必要加以

40、訓(xùn)練 總之，為培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，我們總結(jié)了一些行之有效的方法，尋求了一些基本途徑，只要在教學(xué)實(shí)踐中，聯(lián)系實(shí)際情況，加在應(yīng)用，一定會(huì)取得好的效果§93 邏輯思維能力的培養(yǎng)931 什么是邏輯思維能力 所謂邏輯思維能力是指在一定的邏輯法則下進(jìn)行思考活動(dòng)的一種思維能力邏輯思維在教學(xué)中常常表現(xiàn)為從已知條件中導(dǎo)出結(jié)論；從某些一般情況中找出個(gè)別例子；從理論上預(yù)示具體結(jié)果，并將所獲得的結(jié)果進(jìn)行推廣等等 在教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維是發(fā)展學(xué)生思維的中心環(huán)節(jié)和主要標(biāo)志 學(xué)生的邏輯思維常常表現(xiàn)在各種數(shù)學(xué)結(jié)論的推導(dǎo)、歸納、演繹，以及證明定理和證題的過(guò)程之中，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生的邏輯思維能力得到發(fā)展932

41、 培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的基本途徑 數(shù)學(xué)中的邏輯思維能力已如上所述，它是指根據(jù)正確的思維規(guī)律和形式對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的屬性進(jìn)行綜合分析，抽象概括，推理證明的能力培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力有如下基本途徑： 1、教師要作出示范 中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容是通過(guò)邏輯論證來(lái)敘述的數(shù)學(xué)中的運(yùn)算、證明、作圖都蘊(yùn)含著邏輯推理的過(guò)程數(shù)學(xué)中的概念的形成，命題的判斷，都與邏輯思維緊密相連所以，教師在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中要嚴(yán)格遵守邏輯規(guī)律，正確運(yùn)用邏輯思維形式，作出示范，循序漸進(jìn)，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力 數(shù)學(xué)論證都是在一定的邏輯系統(tǒng)中進(jìn)行的，所以教師必須在給定的邏輯系統(tǒng)中向?qū)W生傳授知識(shí)例1 已知實(shí)數(shù)、，滿(mǎn)足求的值解 因?yàn)椤閷?shí)數(shù)，所

42、以0，0， 0又因?yàn)?，所?解得所以 本題是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行推演的，但是如果在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，這樣推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)果就不正確了 例2 二次函數(shù)yx2的反函數(shù)是什么？ 解 對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，首先必須清楚函數(shù)的概念，才可討論反函數(shù)有的中學(xué)數(shù)學(xué)課本采用集合的“單值對(duì)應(yīng)”的觀點(diǎn)來(lái)定義函數(shù)即自變量的每一個(gè)值按一定對(duì)應(yīng)規(guī)律對(duì)應(yīng)因變量的唯一確定值根據(jù)這種觀點(diǎn)，二次函數(shù)y=x2在實(shí)數(shù)集中沒(méi)有反函數(shù)，只有當(dāng)把定義域縮小為0或0時(shí)，才有反函數(shù)至于有的課本不是采用“單值對(duì)應(yīng)”的觀點(diǎn)來(lái)定義函數(shù)，那就自當(dāng)別論了 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行邏輯論證時(shí)，必須使學(xué)生首先搞清楚這個(gè)問(wèn)題是在哪個(gè)范圍（即條件）內(nèi)考慮的，然后再用正確思維規(guī)律和形式

43、去進(jìn)行推理論證顯然教師的示范作用會(huì)給學(xué)生帶來(lái)潛移默化的作用 教師對(duì)于思維規(guī)律的使用不能有半點(diǎn)差錯(cuò)，否則他（或她）的學(xué)生思維便會(huì)發(fā)生混亂教師對(duì)思維形式的使用也應(yīng)是規(guī)范的，不然學(xué)生無(wú)章可循，也會(huì)無(wú)所適從 2、教會(huì)學(xué)生運(yùn)用邏輯常識(shí) 培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的另一個(gè)途徑是教會(huì)學(xué)生運(yùn)用邏輯思維常識(shí)進(jìn)行推理論證，并通過(guò)此過(guò)程提高他們抽象概括、分析綜合、推理證明的能力 眾所周知，在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，運(yùn)用了許多與邏輯知識(shí)有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容的推理證明方法因此，應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，結(jié)合具體數(shù)學(xué)內(nèi)容通俗地講授一些必要的邏輯常識(shí)，當(dāng)然應(yīng)該包括一些數(shù)理邏輯常識(shí)，使學(xué)生能運(yùn)用它們來(lái)指導(dǎo)推理、證明這樣會(huì)有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力圖

44、9-1412BCDA3EF6 例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)了概念的從屬關(guān)系以及“屬概念加種差”的定義方法之后，在根據(jù)某概念的定義進(jìn)行推理時(shí)，就不會(huì)只單單考慮定義中的種差，而且同時(shí)也會(huì)考慮被定義概念還具有它的屬概念的一切屬性這樣，在推理證明中的思路就會(huì)暢通得多 例1 如圖914所示，延長(zhǎng)矩形ABCD的邊BA至E，連結(jié)CE，交AD于F，已知AE3，AB6，BC12，求FC之長(zhǎng) 解 如圖914所示，因?yàn)锳BCD是矩形，故、都是直角，所以欲求EF，但AF是未知，怎么辦呢？如果思維僅局限在矩形的特殊性質(zhì)方面，則思路就受阻，倘考慮矩形還具有平行四邊形的一切屬性時(shí)，則思路頓時(shí)暢通 因?yàn)锳DBC，所以，所以，所以AF4

45、所以，所以FCECEF15510此題若在解題過(guò)程中，由，得，直接求得，則又簡(jiǎn)捷一些 又如學(xué)生如果掌握了概念的分類(lèi)方法和要求，當(dāng)他們運(yùn)用窮舉法證明問(wèn)題時(shí)，就不會(huì)遺漏或重復(fù)某種情況ACBD12圖9-15例2 求證直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半已知：如圖915，CD是RtABC斜邊上的中線，D是AB的中點(diǎn) 求證：CDAB 證 假設(shè)CDAB，則有 CDAB，或CDAB （1）假設(shè)CDAB 因?yàn)锳DDBAB，所以CDAD，CDDB，所以A1，B2，所以A+B1+2 又因?yàn)?+2=90°，所以A+B90° 所以 A+B+C180° 這與三角形內(nèi)角和等于180°

46、相矛盾所以，CDAB是不可能的 （2）類(lèi)似地可以證明，CDAB也是不可能的 所以 CDAB 本題用反證法證明并不復(fù)雜，所用知識(shí)不多若用直接證法則需添加輔助線或增加一些知識(shí)，足見(jiàn)一些證題方法若選擇得當(dāng)可補(bǔ)償知識(shí)的不足 所以，學(xué)生若能運(yùn)用邏輯知識(shí)來(lái)指導(dǎo)推理證明，就容易做到思維暢通，正確無(wú)誤 3、加強(qiáng)邏輯思維能力的訓(xùn)練 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)概念形成的認(rèn)識(shí)，來(lái)加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)命題推理證明的訓(xùn)練，是提高學(xué)生邏輯思維能力的更有效的途徑因此數(shù)學(xué)內(nèi)容的講授應(yīng)加強(qiáng)邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性講授的例題，布置的習(xí)題應(yīng)增加思考題、證明題、討論題，借以加強(qiáng)邏輯思維能力的訓(xùn)練不僅需在幾何內(nèi)容中加強(qiáng)邏輯推理的訓(xùn)練，還要在代數(shù)、三角、解

47、析幾何等內(nèi)容中也要加強(qiáng)推理證明的訓(xùn)練，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力一些學(xué)校在課外活動(dòng)中也加強(qiáng)邏輯思維能力的培養(yǎng)，同樣是值得提倡的 例1 有兩個(gè)人玩這樣一種游戲，第一個(gè)人說(shuō)出一個(gè)個(gè)位數(shù)（即從1至9的整數(shù)）；第二個(gè)人對(duì)該數(shù)加上另一個(gè)個(gè)位數(shù)（也是從1至9的整數(shù)）；說(shuō)出和數(shù)，不加數(shù)不行接著第一個(gè)人對(duì)這個(gè)和數(shù)再加上一個(gè)個(gè)位數(shù)，并說(shuō)出和數(shù)，如此下去誰(shuí)先說(shuō)到66，誰(shuí)便得勝試問(wèn)，如果玩法正確，勝者是誰(shuí)？先開(kāi)頭的呢，還是其對(duì)手，要想得勝，應(yīng)當(dāng)怎樣玩這種游戲呢？ 解 若玩法正確，先開(kāi)頭說(shuō)者得勝這是因?yàn)槎烁?jìng)賽，均想先說(shuō)到66而要想先說(shuō)到66，必須先說(shuō)到56，此時(shí)不論其對(duì)手說(shuō)1至9中的哪一個(gè)，并加在56上，其和只能是

48、57至65中的一個(gè)，均達(dá)不到66，先說(shuō)者只需將1至9中的一數(shù)加到57至65中一數(shù)之上即可得66依此類(lèi)推，欲先說(shuō)到56，又須先說(shuō)到46、36、26、16、6，所以先說(shuō)者開(kāi)始只須講6，然后控制16、26、36、46、56，作為每次加法的和數(shù)，則勝利定可在握 這類(lèi)題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力是很有益的若本題所給條件均不變，最后改變?yōu)椤罢l(shuí)先說(shuō)到66誰(shuí)便輸試問(wèn)，如果玩法正確，勝者是誰(shuí)？先開(kāi)頭的呢？還是其對(duì)手，要想得勝，應(yīng)當(dāng)怎樣玩這樣游戲？”這個(gè)題目留給讀者去做 利用推理證明以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力在平面幾何中的例子是非常多的，這里不再列舉由于代數(shù)、三角、解析幾何諸學(xué)科利用推理證明培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力也具

49、有自身的作用，今特舉數(shù)例以說(shuō)明 例2 設(shè)、為三個(gè)互不相等的數(shù)，且，求證：證 由，得 （1）由，得 （2）由，得 （3）（1）×（2）×（3）得 因?yàn)?，所以，故 本題解題關(guān)鍵在于將已知連等式看成三個(gè)等式，將已知條件進(jìn)行恒等變換使之出現(xiàn)兩個(gè)數(shù)乘積的形式 例3 過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線與橢圓交于P、Q，求證：過(guò)P、Q的兩切線互相垂直（圖916）圖9-16oQPxyR 證 過(guò)點(diǎn)垂直于x軸的直線與橢圓兩交點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為：，過(guò)P、Q的兩切線方程為： （1） （2）因?yàn)椋?，過(guò)P、Q兩點(diǎn)的切線互相垂直 例4 證明 乍一看可能以為這是一個(gè)錯(cuò)題，兩個(gè)函數(shù)的平方和竟是他們的平方積由觀察而產(chǎn)生懷

50、疑，那么只好求助于證明，或者肯定它，或者否定它事實(shí)上，證明是直接的證： 同理，我們還可以證明其它二個(gè)類(lèi)似的恒等式： 在這里，邏輯推理顯示了自己的作用，而憑觀察就作出結(jié)論，有可能就出現(xiàn)錯(cuò)誤 另外，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的定義，它既是一個(gè)判定定理，又是一個(gè)性質(zhì)定理，我們利用每個(gè)數(shù)學(xué)概念可以去判斷，去推理、去證明，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力也起著重要作用 例1 已知，則函數(shù)的表達(dá)式為：（A）；（B）；（C）；（D） 答案（C）解 本題只有在理解函數(shù)的含義之后，才可能動(dòng)手推理，從而進(jìn)行判斷選擇，否則，便會(huì)亂猜一氣 因?yàn)閯t，所以，故選擇C 例2 化簡(jiǎn)： 解：原式 本題在化簡(jiǎn)過(guò)程中，涉及了冪的對(duì)數(shù)、對(duì)數(shù)的定義及算術(shù)

51、根等數(shù)學(xué)概念，每步推導(dǎo)都以相應(yīng)的概念作為邏輯依據(jù)，所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)基本概念訓(xùn)練的教學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力 這一節(jié)和前兩節(jié)學(xué)習(xí)了基本能力的培養(yǎng)，在學(xué)習(xí)中，我們可以看出，上述三種能力的培養(yǎng)是不可分割的所以，我們應(yīng)該在教學(xué)過(guò)程中，把三種能力的培養(yǎng)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，互相促進(jìn)我們知道，各部分中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，一般都同時(shí)包含有運(yùn)算、推理和作圖，這也從根本上給我們?cè)诮虒W(xué)中將三種能力有機(jī)地結(jié)合起來(lái)培養(yǎng)提供了依據(jù)和條件但是中學(xué)各部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容都有自己的重點(diǎn)，因此，我們?cè)趥魇诟鞑糠謹(jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，既要考慮到培養(yǎng)各種能力的因素，同時(shí)還要考慮培養(yǎng)能力的重點(diǎn)和相互配合的問(wèn)題，有計(jì)劃地培養(yǎng)學(xué)生的各種能力§9

52、4 分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力培養(yǎng)9.4.1 什么是分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱在數(shù)學(xué)教學(xué)目的中明確指出，要培養(yǎng)并“逐步形成運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力”（1987），“使他們能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題”（九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，試用修訂版，2000年3月第3版），“進(jìn)一步培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力”（全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，試驗(yàn)修訂版，2000年2月第2版），這里的實(shí)際問(wèn)題一方面是指現(xiàn)實(shí)生活中一些具體問(wèn)題，另一方面是指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一些具體問(wèn)題，而現(xiàn)實(shí)生活中的一些具體問(wèn)題往往要抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題加以解決所以說(shuō)“逐步形成運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，”歸根結(jié)蒂，就是要培養(yǎng)學(xué)生分析