【黃岡中考】備戰(zhàn)2012年中考數(shù)學 矩形、菱形與正方形的押軸題解析匯編一 人教新課標版

1、【黃岡中考】備戰(zhàn)2012年中考數(shù)學矩形、菱形與正方形的押軸題解析匯編一 矩形、菱形與正方形一、選擇題1. （2011江蘇泰州，8，3分）如圖，直角三角形紙片ABC的C為90°，將三角形紙片沿著圖示的中位線DE剪開，然后把剪開的兩部分重新拼接成不重疊的圖形，下列選項中不能拼出的圖形是A平行四邊形 B矩形 C等腰梯形 D直角梯形【解題思路】把ADE圍繞D點逆時針旋轉180°可以拼成平行四邊形，把ADE圍繞E點順時針旋轉180°可以拼成矩形，把ADE沿AD翻折再向下平移可拼成等腰梯形，不可能拼成直角梯形。【答案】D【點評】本題是一個操作性問題，主要考查中位線的性質，圖形

2、的變換等知識，學生可以動手操作，也可以利用圖形的性質，借助于畫圖加以解決。另外，本題并不陌生，在學習中位線的性質時，就有這樣的類似的操作，所以本題還是重在基礎和平時的積累。難度較小.2011（江蘇省淮安市，5， 3分）在菱形ABCD中，AB=5cm，則此菱形的周長為 A5cm B15cm C20cm D25cm【解題思路】由菱形的四邊都相等，知其周長為4×5=20cm，故選項C正確?！敬鸢浮緾?！军c評】本例考查的是菱形的性質的應用，解題的關鍵是掌握菱形的相關性質，難度較小。（2011江蘇揚州，7，3分）已知下列命題：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；等腰梯形的對角線相等；對角線互相

3、垂直的四邊形是菱形；內錯角相等，其中假命題有（ ）A1個 B2個 C3個 D4個【解題思路】都是真命題，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故是假命題，內錯角不一定相等，只有兩平行線被第三條直線所截，內錯角才相等，故也是假命題【答案】B【點評】本題通過判斷真假命題的形式考查學生對于特殊四邊形性質及判定的掌握難度中等（2011江蘇無錫，5,3分）菱形具有而矩形不一定具有的性質是 ( ) A對角線互相垂直 B對角線相等 C對角線互相平分 D對角互補【解題思路】針對菱形和矩形的各自的性質進行比較，對角線互相平分是他們都具有的性質；對角線相等，矩形具有而菱形不一定具有；對角互補，矩形具有但菱形不一定具有

4、；只有對角線互相垂直，菱形具有而矩形不一定具有.故選A【答案】A【點評】本題主要考查菱形和矩形的性質，在對角線互相平分的基礎上，對角線相等，是矩形的性質；對角線互相垂直，是菱形的性質；至于對角互補僅矩形具有，菱形不一定具有.綜合以上可得，菱形具有而矩形不一定具有的性質是對角線互相垂直.1（2011湖南省益陽，7，4）如圖2，小聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是A矩形B菱形C正方形D等腰梯形BACD圖2圖3【解題思路】在作垂直平分線的過程中，滿足了對角線互相平分且垂

5、直，符合菱形的判定方法?！敬鸢浮緽【點評】本題主要考查尺規(guī)作圖及特殊四邊形的判定以及在作圖中發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識，運用數(shù)學知識，體現(xiàn)了中考基本作圖的重視。7 （2011四川綿陽7，3）下列關于矩形的說法中正確的是（ ）A對角線相等的四邊形是矩形B對角線互相平分的四邊形是矩形C矩形的對角線互相垂直且平分D矩形的對角線相等且互相平分【解題思路】平行四邊形的對角線互相平分，矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形的對角線互相平分根據(jù)矩形的性質，又知矩形的對角線相等，所以矩形的對角線相等且互相平分【答案】D【點評】本題考查了特殊四邊形的性質和判定，按照規(guī)律把矩形的性質和判定記熟8（2011遼寧大連，8，3分）如圖2，

6、矩形ABCD中，AB4，BC5，AF平分DAE，EFAE，圖2F則CF等于AB1CD2【解題思路】可以證明,得到AD=AE=5，在直角三角形ABE中，AB=4，可計算出BE=3，所以EC=2，容易看出相似，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，可得,即，則CF=【答案】C【點評】本題考查的知識點多，如三角形全等、勾股定理、三角形相似等知識，也有能力的提升，難度較大。也可以在中，利用勾股定理列方程，求出CF的長。10（2011年內蒙古呼和浩特，10，3）下列判斷正確的有( )順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形的各邊中點一定構成正方形中心投影的投影線彼此平行在周長為定值的扇形中,當半徑為時扇形的面積最大

7、相等的角是對頂角的逆命題是真命題A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【解題思路】先利用對角線互相垂直與三角形的中位線性質,得到中點四邊形為矩形,再利用對角線相等與中位線性質,說明這個矩形為正方形；區(qū)別中心投影與平行投影的不同點；設出扇形的半徑為,用代數(shù)式表示扇形的弧長,結合扇形面積公式,轉化到一元二次方程去求解；先整理出原命題的逆命題,再判斷這個逆命題的真假.【答案】B【點評】本題是用四個小題組合而成的,此題型考查內容豐富.試題對四個不同章節(jié)的內容進行了考查,考查了正方形的判定、中心投影的概念、扇形的面積公式、命題、對頂角性質等知識點,只要有一個小題無法做出正誤判斷,都將影響本題的答案,因此

8、此題對學生的要求較高,難度較大.10（2011內蒙古烏蘭察布，10，3分）如圖，已知矩形ABCD ，一條直線將該矩形 ABCD 分割成兩個多邊形，若這兩個多邊形的內角和分別為 M 和 N ，則 M + N 不可能是（ ）A360 B540 C720 D630ACBD第10題圖【解題思路】本題主要對這條直線的位置進行討論： 過對角線將矩形分成兩三角形則A可能，過一頂點但分成一三角形和一四邊形則B可能，不過頂點而分成兩四邊形則C可能，故選D. 【答案】D【點評】本題主要考查分類討論思想和多邊形的內角和公式，解決本題的關鍵是思考直線所在位置，難度中等. 4. （2011湖北襄陽，10，3分）若順次連

9、接四邊形ABCD各邊的中點所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是（ ）A菱形B對角線互相垂直的四邊形C矩形D對角線相等的四邊形【解題思路】若四邊形ABCD是菱形，則得到矩形；若四邊形ABCD是對角線互相垂直的四邊形，則得到矩形；若四邊形ABCD是矩形，則得到菱形；若四邊形ABCD是對角線相等的四邊形，則得到菱形A，B不合要求，C具有局限性，唯有D全面、準確【答案】D【點評】本題考查特殊的平行四邊形若把順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得四邊形稱為中點四邊形，可知任意四邊形的中點四邊形的形狀只與原四邊形的對角線之間的數(shù)量關系和位置關系有關，而與原四邊形的邊、角無關解答這類問題一定要抓住這一本質

10、特征，如此例就不要以偏概全而錯選C難度中等5. （2011廣東清遠，10，3分）如圖，若要使平行四邊形ABCD成為菱形，則需要添加的條件是（ ）A. B. C. D. 【解題思路】“A”、“B”選項的內容為平行四邊形的性質內容，不合題意。根據(jù)菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形，可得“C”正確。“D”為矩形的判定方法【答案】C【點評】本題考查了菱形中根據(jù)定義來判定的方法。難度中等。6（2011四川眉山，6，3分）下列命題中，假命題是A矩形的對角線相等B有兩個角相等的梯形是等腰梯形C對角線互相垂直的矩形是正方形D菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半【解題思路】分別根據(jù)矩形的性質、等腰梯形的判

11、定定理、正方形的判定及菱形的性質對各選項進行逐一判斷即可A對角線相等是矩形的性質，故本選項正確；B直角梯形中有兩個角相等但不是等腰梯形，故本選項錯誤；C符合正方形的判定定理，故本選項正確；D符合菱形的性質，故本選項正確【答案】B【點評】本題考查的是命題與定理，熟知矩形的性質、等腰梯形的判定定理、正方形的判定及菱形的性質是解答此題的關鍵難度較小1. （2011臺北31）如圖(十三)，將長方形ABCD分割成1個灰色長方形與148個面積相等的小正方形。根據(jù)右圖，若灰色長方形之長與寬的比為5：3，則：？(A) 5：3 (B) 7：5(C) 23：14 (D) 47：29【分析】：長方形ABCD周圍共有

12、148個面積相等的小正方形，所以先去掉四個頂點處的小正方形，還剩余144個?；疑L方形之長與寬的比為5：3，設灰色長方形之長邊上有5x個小正方形、寬邊上有3x個小正方形，2（5x+3?。?144，得x=9 , AD邊有正方形 ，AB邊有正方形【答案】：D 【點評】：由于小正方形的面積相等，將AD:AB就轉化為邊上正方形的個數(shù)比。難度較大2. （2011年湖北省武漢市3分）如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE=DF.連接BF與DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H.下列結論：ABCDEFGH第12題圖  AEDDFB；  

13、;S四邊形 BCDG=  CG2；若AF=2DF，則BG=6GF.其中正確的結論只有. B.只有.C.只有. D. 分析：菱形的性質.答案：D點評：本題屬于中度題。主要考察菱形的性質和三角形全等的性質7（2011四川廣安，7，3分）下列命題中，正確的是（ ） A過一點作已知直線的平行線有一條且只有一條 B對角線相等的四邊形是矩形 C兩條邊及一個角對應相等的兩個三角形全等 D位似圖形一定是相似圖形【解題思路】選項A，分點在直線上和點在直線外兩種情況，故錯誤，選項B,對角線相等的四邊形不一定是矩形，如等腰梯形等。選項C，指代不明，無法判斷。選項D正確。位似圖

14、形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形?！敬鸢浮緿【點評】本題主要考察概念的區(qū)別，應用公理的前提條件。中等題。二、填空題1.（2011湖南長沙，16，3分）菱形的兩條對角線的長分別是6cm和8cm，則菱形的周長是_ cm.【解題思路】只要求出菱形的邊長，可以求出周長.根據(jù)菱形對角線互相垂直平分，分出的四個全等直角三角形的斜邊就是菱形的邊長.即由勾股定理得=5（cm）.【答案】20 【點評】本題考查了特殊四邊形-菱形性質應用，同時也考查了勾股定理運用.矩形、菱形、正方形是中考必考內容.本題難度較小.ABCD 第5題圖3. （2011湖北鄂州，5，3分）如圖：矩形ABCD的對角線A

15、C=10，BC=8，則圖中五個小矩形的周長之和為_【解題思路】由矩形性質可知B=90°，對角線AC=10，BC=8可運用勾股定理得AC=6；再利用平移的知識將每個小矩形的邊分別上、下、左、右平移即可發(fā)現(xiàn)5個小矩形的周長之和是矩形ABCD的周長=（6+8）×2=28?！敬鸢浮?8【點評】本題考查勾股定理和平移的知識，體現(xiàn)圖形變換的數(shù)學問題，涉及操作與知識相結合。學生比較容易發(fā)現(xiàn)，從而求解。難度較小1. （2011甘肅蘭州，20，4分）如圖，依次連結第一個矩形各邊的中點得到一個菱形，再依次連結菱形各邊的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下去，已知第一個矩形的面積為1，則第n個矩

16、形的面積為 .【解題思路】已知第一個矩形的面積為1；第二個矩形的面積為原來的=；第三個矩形的面積是=；故第n個矩形的面積為：【答案】.【點評】本題是一道找規(guī)律的題目，主要考查的知識點矩形的性質；菱形的性質對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的難度中等.2.2. （2011湖北孝感，16，3分）已知正方形ABCD，以CD為邊作等邊CDE，則AED的度數(shù)是_.【解題思路】由于沒有畫圖，要注意多解性.即當點E在正方形外和在其內. 當點E在正方形外,易知ADE是等腰三角形,且ADE =90°+60°=150°,故AED=15°. 當點

17、E在正方形內,易知ADE是等腰三角形,且ADE =90°-60°=30°,故AED=75°. 【答案】15°或75°.【點評】主要考查正方形，等邊三角形，等腰三角形中有關角之間的關系.考試時由于時間緊,情緒緊張,可能出現(xiàn)掉一種情況的現(xiàn)象.難度中等2011江蘇省淮安市， 17， 3分）在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC，請再添加一個條件，使四邊形ABCD是矩形，你添加的條件是 (寫出一種即可)【解題思路】由四邊形ABCD的兩組對邊AB=DC，AD=BC知：四邊形ABCD是平行四邊形，而“有一個角是直角或對角線相等”的平行四邊形的

18、矩形，故可填的條件是：四邊形ABCD內有一個直角或AC=BD?！敬鸢浮看鸢覆晃ㄒ唬鏏=90°或AC=BD，等。【點評】本例考查平行四邊形和矩形的判定，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形和矩形的判定方法，及其相互關系。難度的較小。（2011江蘇南京，2分）如圖，菱形ABCD的連長是2，E是AB中點，且DEAB，則菱形ABCD的面積為_2(第12題)BADCE【解題思路】此題無圖，無法解析?！敬鸢浮俊军c評】17（2011四川綿陽17，4）如圖，將長8cm，寬4cm的矩形紙片ABCD折疊，使點A與C重合，則折痕EF的長為_cm【解題思路】方法一：如圖，作FGAB于G由折疊的性質知，CEAE，

19、DFDF，CDCB4，AEFCEF，又CDAB，CFEAEFCFECEFCFCE在RtCDF中，設DFDFx，則CF8x，DF2+DC2CF2，即x2+42(8x)2，x3，8x5，即DFDF3cm，CFCEAE5cmFGAB，四邊形ADFG是矩形AGDF3cm，F(xiàn)GAD4cm在RtEGF中，GE2+FG2EF2，EFcm方法二：連接AC，交EF于O由折疊知，ACEF，AOCO在RtABC中，AB8cm，BC4cm，AB2+BC2AC2，AC，AOOC由折疊的性質知，CEAE，DFDF，CDCB4，AEFCEF，又CDAB，CFEAEFCFECEFCFCE在RtCDF中，設DFDFx，則CF8

20、x，DF2+DC2CF2，即x2+42(8x)2，x3，8x5，即DFDF3cm，CFCEAE5cmSCEFCF×BCEF×OC，即EF×4×5，EFcm【答案】【點評】本題主要考查了矩形的有關計算，矩形的折疊，得到直角三角形和等腰三角形，然后由勾股定理構造方程，即可求解1 （2011四川內江，16，3分）如圖，點E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA中點，當四邊形ABCD至少滿足_條件時，四邊形EFGH是菱形.【思路分析】EF是三角形ABD的中位線，所以EF平行且等于AB的一半，同理HG平行且等于AB的一半，所以EF、HG平行且

21、相等，故四邊形EHGH是平行四邊形因為EF=AB，F(xiàn)G=CD，所以EF =FG，所以四邊形EFGH是菱形. 【答案】AB=CD【點評】條件開放題解題思路往往是從題目的結論出發(fā)，結合條件綜合分析推理而獲得結果平行四邊形再添加條件鄰邊相等或對角線互相垂直即菱形根據(jù)本題條件只能添加前者.4 （2011四川內江，加4，6分）在直角坐標中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、A3B3C3C2、AnBnCnCn-1按如圖所示的方式放置，其中點A1、A2、A3、An均在一次函數(shù)y=kx+b上，點C 1、C2、C 3、Cn均在x軸上.若點,B1的坐標為（1,1），點B2的坐標為（3,2），則點An的坐標

22、為.y=kx+bOA1A2A3B3B2B1C1C2C3xy【思路分析】解：由B1的坐標為（1,1），點B2的坐標為（3,2），知A1（0,1）， A2（1,2），設直線解析式y(tǒng)=kx+b,把A1（0,1）， A2（1,2）代入上式得，k=1,b=2,yx1點B2的坐標為（3,2），C2的坐標為（3,0），把x=3代入yx1得y=4,A3的坐標為（3,4），同理得A4的坐標為（7,8），A5的坐標為（15,16）An的坐標為(2n11, 2n1) 【答案】(2n11, 2n1) 【點評】解答這類問題首先根據(jù)點在圖像上求出前幾個點的坐標，然后根據(jù)所出現(xiàn)的規(guī)律找到相應的公式，然后對公式進行驗證1.

23、（2011貴州畢節(jié),24,13分) 已知梯形ABCD中，ADBC，ABAD(如圖所示)，BAD的平分線AE交BC于點E，連結DE.(1) 在下圖中，用尺規(guī)作BAD的平分線AE(保留作圖痕跡不寫作法)，并證明四邊形ABED是菱形。(7分)(2) 若ABC，EC2BE.BDCAEF求證：EDDC (6分)(第24題圖)【解題思路】(1)由作圖知,已知ADBC，得出,又已知ABAD，得,再得四邊形ABED是平行四邊形，又AB=AD,進一步得到四邊形ABED是菱形。（2）過D作DFAE,由ABC，得是等邊三角形，又ADBC，得四邊形是平行四邊形。,又已知EC2BE，故得出可證是直角三角形。即EDDC。

24、【答案】如圖，證明：連結ED,BAD的平分線AE交BC于點E ，ADBC，ABAD，四邊形ABED是平行四邊形，AB=AD,，四邊形ABED是菱形。過D作DFAE交EC于F,ABC,是等邊三角形,ADBC，DFAE四邊形是平行四邊形,AE=DF=BE,EC2BE,DF=EF=FC,是直角三角形,EDDC.【點評】本題考查學生的尺規(guī)作圖的動手能力和平行四邊形的判定和性質，以及菱形的判定等知識點，第（2）小題考查利用矩形的特殊性質判斷三角形是直角三角形。解決此類題目的是利用平行四邊形的性質添加輔助線，再運用特殊四邊形的性質解答。難度中等。2. （2011甘肅蘭州，27，12分）已知：如圖所示的一張

25、矩形紙片ABCD(ADAB)，將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連結AF和CE.（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，ABF的面積為24，求ABF的周長；（3）在線段AC上是否存在一點P，使得？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由.ABCDEFO【解題思路】（1）由折疊的性質知：EF垂直平分AC，然后可通過證AOECOF來得到AO=OC，從而根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形來得到所求的結論（2）由（1）的結論易求得AE=AF=10cm，因此只需求得AB+BF即可求得ABF的周長，可設AB=a、BF

26、=b，在RtABF中，根據(jù)勾股定理和ABF的面積即可求得a+b的值，由此得解（3）過E作EPAD交AC于P，則P就是所求的點，首先證明四邊形AFCE是菱形，然后根據(jù)題干條件證明AOEAEP，列出關系式【答案】：（1）連接EF交AC與O，當頂點A與C重合時，折痕EF垂直平分AC，OA=OC，AOE=COF=90°；在平行四邊形ABCD中，ADBC，EAO=COF，EAOCOF，OE=OF，四邊形AFCE是菱形四邊形AECF是菱形,AFAE10cm.設AB，BF，ABF的面積為24cm2ab100，ab48 (ab）19614或14（不合題意，舍去）ABF的周長為1024cm.

27、（3）存在，過點E作AD的垂線，交AC于點P，點P就是符合條件的點證明：過E作EPAD交AC于P，則P就是所求的點當頂點A與C重合時，折痕EF垂直平分AC，OA=OC，AOE=COF=90°，在平行四邊形ABCD中，ADBC，EAO=FCO，AOECOF，OE=OF四邊形AFCE是菱形AOE=90°，又EAO=EAP，由作法得AEP=90°，AOEAEP， ，則AE2=A0AP，四邊形AFCE是菱形， ，AE2= ACAP，2AE2=ACAP【點評】此題主要考查了矩形的性質、全等三角形的判定和性質、菱形的判定以及勾股定理、翻折變換的折疊問題等知識的綜合應用，還涉及

28、到的知識點有全等三角形的判定與性質（2）題在求三角形周長時，要注意整體思想的運用難度較大.2. （2011貴州安順，25，10分）如圖，在ABC中，ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，且AF=CE=AE說明四邊形ACEF是平行四邊形；當B滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形，并說明理由【解題思路】根據(jù)題意，結合圖形，（1）要證四邊形ACEF是平行四邊形，已知AF=CE，只需證明AFCE或EF = CA即可，易證AECEAF，ACEF是平行四邊形即可得證。（2）若四邊形ACEF是菱形，則AC=CE，已知AE=EC，所以AEC是等邊三角形，CAB=60

29、°則B=30°?！敬鸢浮浚?）證明：由題意知FDC =DCA = 90°EFCA AEF =EACAF = CE = AE F =AEF =EAC =ECA 又AE = EAAECEAF，EF = CA，四邊形ACEF是平行四邊形 （2）當B=30°時，四邊形ACEF是菱形 理由是：B=30°，ACB=90°，AC=，DE垂直平分BC， BE=CE又AE=CE，CE=，AC=CE，四邊形ACEF是菱形【點評】本題主要考查平行四邊形的判定，涉及平行四邊形、菱形、等邊三角形等知識，此題關鍵在于對判定方法的靈活應用。難度較小。3. (201

30、1江蘇鎮(zhèn)江，23，7分)已知：如圖，在梯形ABCD中，ABCD，BCCD，ADBD，E為AB的中點求證：四邊形BCDE是菱形EDCBA【解題思路】由直角三角形的性質可知DEBE，接下來可先證四邊形BCDE是平行四邊形，然后再證它是菱形，也可用三角形全等證四邊形BCDE的四邊相等【答案】證明：ADBD，ADB90°又E為AB中點，DEAE，BEAB，DEBEDBEEDB又ABCD，BDCEDBBCCD，DBCBDCDBCEDBBCDEEBCD，四邊形BCDE是平行四邊形BCCD，四邊形BCDE是菱形【點評】此題考查直角三角形的性質、平行線的性質、菱形的判定等知識，難度中等5 （2010

31、四川內江，加5，12分）閱讀理解：同學們，我們曾經(jīng)研究過n×n正方形網(wǎng)格，得到網(wǎng)格中正方形總個數(shù)的表達式為12+22+32+n2，但n=100時如何計算正方形總個數(shù)呢？下面我們就一起來探索并解決這個問題首先通過探究我們知道0×1+1×2+2×3+.+(n-1)×n=,我們可以這樣做：（1）觀察并猜想：12+22=（1+0）×1+（1+1）×2=1+0×1+2+1×2=（1+2）+(0×1+1×2)12+22+32=（1+0）×1+（1+1）×2+(1+2)×

32、;3=1+0×1+2+1×2+3+2×3=（1+2+3）+(0×1+1×2+2×3)12+22+32+42=（1+0）×1+（1+1）×2+(1+2)×3+_=1+0×1+2+1×2+3+2×3+_=（）+_.（2）歸納結論12+22+32+n2=（1+0）×1+（1+1）×2+(1+2)×3+.+1+(n-1) n =1+0×1+2+1×2+3+2×3+n+(n-1) n =( )+_ =_+_ =×_（

33、3）實踐應用通過以上探究過程，我們可以算出當n=100時，正方形網(wǎng)格中正方形總個數(shù)是_.【思路分析】通過提供材料求12+22+32+n2值的方法是首先將其轉化為（1+0）×1+（1+1）×2+(1+2)×3+.+1+(n-1) n，再分解結合為（1+2+3+4+.+n）+0×1+1×2+2×3+3×4+(n-1)n，最后根據(jù)已有知識及提供公式0×1+1×2+2×3+.+(n-1)×n=合并為×【答案】解：（1）觀察并猜想：（1+3）×4 （0×1+1

34、15;2+2×3+3×4） （2）歸納結論（1+2+3+4+.+n）+0×1+1×2+2×3+3×4+(n-1)n、(1+n)n+、×（3）338350.【點評】規(guī)律性探究問題通常指根據(jù)給出的材料，觀察其中的規(guī)律，再運用這種規(guī)律解決問題的一類題型. 觀察的三種主要途徑：（1）、式與數(shù)的特征觀察；（2）、式與數(shù)的分解過程觀察；（3）、轉化合并推廣到一般情況三、解答題25（2011四川眉山，25，9分）如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長，交AD于E，交BA的延長線于F（1）求證：DCP=DAP；（2）若A

35、B=2，DP：PB=1：2，且PABF，求對角線BD的長【解題思路】（1）根據(jù)菱形的性質得CD=AD，CDP=ADP，證明CDPADP即可；（2）由菱形的性質得CDBA，可證CPDFPB，利用相似比，結合已知DP：PB=1：2，CD=BA，可證A為BF的中點，又PABF，從而得出PB=PF，已證PA=CP，把問題轉化到RtPAB中，由勾股定理，列方程求解【答案】（1）證明：四邊形ABCD為菱形，CD=AD，CDP=ADP，CDPADP，DCP=DAP； （2）解：四邊形ABCD為菱形，CDBA，CD=BA，CPDFPB，CD= BF，CP= PF，A為BF的中點，又PABF，PB=PF，由（1

36、）可知，PA=CP，PA= PB，在RtPAB中，PB2=22+（PB）2，解得PB=，則PD=，BD=PB+PD=【點評】本題考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質，菱形的性質及勾股定理的運用關鍵是運用方程的思想，利用相似和勾股定理，列出關于PB的方程難度較大22（2011年河南，22，10分）如圖，在RtABC中，B90°，BC5，C30°.點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動設點D、E運動的時間是t秒（t0）過點D作DFBC于點F

37、，連接DE、EF（1）求證：AEDF；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由.（3）當t為何值時，DEF為直角三角形？請說明理由.【解題思路】（1）在DFC中，DFC=90°，C=30°，由已知條件可以證明；（2）先證明四邊形AEFD是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等即可，可令ADAE；（3）DEF為直角三角形，則共有三種情況，即DEF90°，EDF90°和DFE90°【解】（1）在DFC中，DFC90°，C30°，DC2t，DFt.又AEt，AEDF（2）能.理由如下：ABBC，DFB

38、C，AEDF.又AEDF，四邊形AEFD為平行四邊形.ABBC·tan30°ADACDC102t若使AEFD為菱形，則需AEAD，t102t，即t即當時，四邊形AEFD為菱形（3）EDF90°時，四邊形EBFD為矩形. 在RtAED中，ADEC30°，AD2AE.即102t2t，.DEF90°時，由（2）知EFAD，ADEDEF90°.A90°C60°，ADAE·cos60°.即EFD90°時，此種情況不存在.綜上所述，當或4時，DEF為直角三角形【點評】本題考查了平行四邊形的判定定理

39、、菱形的判定定理，以及矩形的判定定理分類討論是解題的關鍵 20（2011年內蒙古呼和浩特，20，7）如圖，四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC的中點且AEF=90°,EF交正方形外角平分線CF于點F,取邊AB的中點G,連接EG.(1)求證:EG=CF；(2)將ECF繞點E逆時針旋轉90°,請在圖中直接畫出旋轉后的圖形,并指出旋轉后CF與EG的位置關系.ABCDEFG【解題思路】(1)要證兩線段相等,可以去尋找兩線段所在的兩個三角形全等,即AGEECF.(2)畫旋轉后的圖形,關鍵看旋轉前后的對應邊與對應頂點的位置,要注意旋轉的方向與角度.【答案】(1)證明:正方形ABCD點G

40、,E為邊AB、BC中點AG=EC (1分)又CF為正方形外角平分線且AEF=90°,BG=BEAGE=E(2分) GAE=FEC (3分)AGEECF (4分)EG=CF (5分)(2)如圖所示 (6分) 旋轉后CF與EG平行 (7分)BCDEFGCA(F )【點評】本題來源于課本,是教材的改編題,背景公平,學生不陌生,能讓學生正常發(fā)揮自己的水平.試題考查了全等三角形的判定與性質、旋轉、兩直線平行的判定等知識.利用兩三角形全等后的對應邊相等與對應角相等,是解決本題的關鍵.難度中等.23 （2011四川廣安，23，8分）如圖5所示，在菱形ABCD中，ABC= 60°，DEAC交BC的延長線于點E求證：DE=BE圖5【解題思路】本題先利用菱形定義證明相等的線