第三章.矩陣初等變換和線性方程練習(xí)題

1、);(),(ccrrjiji記記作作列列對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)矩矩陣陣的的兩兩行行);(,)(0 kckrkii 記記作作中中的的所所有有元元素素列列乘乘某某一一行行以以數(shù)數(shù)).(,)()( ckcrkrkjiji 記記作作對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的元元素素上上去去列列倍倍加加到到另另一一行行所所有有元元素素的的列列把把某某一一行行換法變換換法變換倍法變換倍法變換消法變換消法變換初等變換初等變換 逆變換逆變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換同一類型的初等變換)(ccrrjiji)(ccrrjiji)(kckrii )1(1kckrii )(ckcrkrjiji )

2、()(ckcrkrjiji .,BABABA記記作作等等價(jià)價(jià)與與稱稱矩矩陣陣就就矩矩陣陣經(jīng)經(jīng)有有限限次次初初等等變變換換變變成成如如果果矩矩陣陣反身性反身性傳遞性傳遞性對(duì)稱性對(duì)稱性; AA;,ABBA則則若若.,CACBBA則則若若三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣為初等矩陣E).(:,)(),(rrjiAAaAjiEmjiijnmm 行行對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)行行與與第第的的第第把把施施行行第第一一種種初初等等行行變變換換當(dāng)當(dāng)于于對(duì)對(duì)矩矩陣陣相相左左乘乘階階初初等等矩矩陣陣用用（）換法變換：對(duì)調(diào)

3、兩行（列），得初等（）換法變換：對(duì)調(diào)兩行（列），得初等矩陣矩陣).(:,),(,ccjiAAAjiEnjin列列對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)列列與與第第第第的的把把施施行行第第一一種種初初等等列列變變換換相相當(dāng)當(dāng)于于對(duì)對(duì)矩矩陣陣右右乘乘矩矩陣陣階階初初等等矩矩陣陣用用類類似似地地),(jiE（）倍法變換：以數(shù)（非零）乘某行（）倍法變換：以數(shù)（非零）乘某行（列），得初等矩陣列），得初等矩陣);(,)(kriAkAkiEim 行行第第的的乘乘相相當(dāng)當(dāng)于于以以數(shù)數(shù)左左乘乘矩矩陣陣以以).(,)(kciAkAkiEin 列列第第的的乘乘相相當(dāng)當(dāng)于于以以數(shù)數(shù)右右乘乘矩矩陣陣以以k)( kiE（）消法變換：以數(shù)乘某行（列）加

4、到另（）消法變換：以數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩陣一行（列）上去，得初等矩陣);(,)(rkrikjAAkijEjim 行行上上加加到到第第以以行行乘乘的的第第相相當(dāng)當(dāng)于于把把左左乘乘矩矩陣陣以以).(,)(ckcjkiAAkijEijn 列列上上加加到到第第以以列列乘乘的的第第相相當(dāng)當(dāng)于于把把右右乘乘矩矩陣陣以以k)(kijE經(jīng)過(guò)初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩經(jīng)過(guò)初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩陣，其特點(diǎn)是：可畫出一條階梯線，線的下方全陣，其特點(diǎn)是：可畫出一條階梯線，線的下方全為為0 0；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階

5、梯線的豎線（每段豎線的長(zhǎng)度為一行）行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長(zhǎng)度為一行）后面的第一個(gè)元素為非零元，也就是非零行的第后面的第一個(gè)元素為非零元，也就是非零行的第一個(gè)非零元一個(gè)非零元例如例如 00000310000111041211經(jīng)過(guò)初等行變換，行階梯形矩陣還可以進(jìn)一經(jīng)過(guò)初等行變換，行階梯形矩陣還可以進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣，其特點(diǎn)是：非零行的第一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣，其特點(diǎn)是：非零行的第一個(gè)非零元為個(gè)非零元為1 1，且這些非零元所在列的其它元素都，且這些非零元所在列的其它元素都為為0 0例如例如 00000310003011040101對(duì)行階梯形矩陣再進(jìn)行初等列變換，可得到對(duì)行階梯形矩陣再進(jìn)行初

6、等列變換，可得到矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是：左上角是一個(gè)單位矩矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是：左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素都為陣，其余元素都為0 0例如例如 00000310003011040101ccccccccc214433215334 00000001000001000001.,),(,數(shù)數(shù)梯形矩陣中非零行的行梯形矩陣中非零行的行就是行階就是行階其中其中三個(gè)數(shù)完全確定三個(gè)數(shù)完全確定此標(biāo)準(zhǔn)形由此標(biāo)準(zhǔn)形由化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形換和列變換換和列變換行變行變總可以經(jīng)過(guò)初等變換總可以經(jīng)過(guò)初等變換矩陣矩陣任何一個(gè)任何一個(gè)rrnmOOOErFnmnm 所有與所有與A A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一等價(jià)的矩陣組

7、成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中形狀最簡(jiǎn)單的個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中形狀最簡(jiǎn)單的矩陣矩陣F定義定義., 2階階子子式式的的稱稱為為矩矩陣陣階階行行列列式式的的位位置置次次序序而而得得到到的的中中所所處處不不改改變變它它們們?cè)谠趥€(gè)個(gè)元元素素行行列列交交叉叉處處的的位位于于這這些些列列行行和和任任取取中中矩矩陣陣在在kAkAkkkAnm 定義定義. 0).(, 0)(1,0 并并規(guī)規(guī)定定零零矩矩陣陣的的秩秩等等于于記記作作的的秩秩稱稱為為矩矩陣陣數(shù)數(shù)的的最最高高階階非非零零子子式式稱稱為為矩矩陣陣那那么么全全等等于于如如果果存存在在的的話話階階子子式式且且所所有有階階子子式

8、式的的中中有有一一個(gè)個(gè)不不等等于于設(shè)設(shè)在在矩矩陣陣ARArADrDrA ;)(,1rARrA 則則階子式都為零階子式都為零中所有中所有如果如果);()(ARART 定理定理);()(,BRARBA 則則若若行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù);)(,rARrA 則則階子式階子式中有一個(gè)非零的中有一個(gè)非零的如果如果. )4(; )3(;)( )2(; )1(EAEAnARAA的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形為為單單位位矩矩陣陣的的最最高高階階非非零零子子式式為為 則則階可逆矩陣階可逆矩陣為為若若,nA定理定理定理定理.)(0 nARxAnnm 陣陣的的秩秩充充分分必必要要條條件件是是

9、系系數(shù)數(shù)矩矩有有非非零零解解的的元元齊齊次次線線性性方方程程組組.),( 的的秩秩的的秩秩等等于于增增廣廣矩矩陣陣分分必必要要條條件件是是系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣有有解解的的充充元元非非齊齊次次線線性性方方程程組組bABAbxAnnm 齊次線性方程組齊次線性方程組：把系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形：把系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣，寫出通解矩陣，寫出通解非齊次線性方程組非齊次線性方程組：把增廣矩陣化成行階梯：把增廣矩陣化成行階梯形矩陣，根據(jù)有解判別定理判斷是否有解，若有形矩陣，根據(jù)有解判別定理判斷是否有解，若有解，把增廣矩陣進(jìn)一步化成行最簡(jiǎn)形矩陣，寫出解，把增廣矩陣進(jìn)一步化成行最簡(jiǎn)形矩陣，寫出通解通解定理定理.,;,

10、 階階初初等等矩矩陣陣相相應(yīng)應(yīng)的的的的右右邊邊乘乘以以相相當(dāng)當(dāng)于于在在施施行行一一次次初初等等列列變變換換對(duì)對(duì)階階初初等等矩矩陣陣左左邊邊乘乘以以相相應(yīng)應(yīng)的的相相當(dāng)當(dāng)于于在在變變換換施施行行一一次次初初等等行行對(duì)對(duì)矩矩陣陣是是一一個(gè)個(gè)設(shè)設(shè)nAAmAAnmA 定理定理., 2121PPPAPPPAll 使使則則存存在在有有限限個(gè)個(gè)初初等等矩矩陣陣為為可可逆逆矩矩陣陣設(shè)設(shè)推論推論.,: BPAQQnPmBAnm 使使得得階階可可逆逆矩矩陣陣及及階階可可逆逆矩矩陣陣存存在在的的充充分分必必要要條條件件是是矩矩陣陣一、求矩陣的秩一、求矩陣的秩二、求解線性方程組二、求解線性方程組三、求逆矩陣的初等變換法

11、三、求逆矩陣的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法求矩陣的秩有下列基本方法求矩陣的秩有下列基本方法（）計(jì)算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的（）計(jì)算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的子式開(kāi)始，找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一子式開(kāi)始，找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一個(gè)子式，則這個(gè)子式的階數(shù)就是矩陣的秩個(gè)子式，則這個(gè)子式的階數(shù)就是矩陣的秩（）用初等變換即用矩陣的初等行（或（）用初等變換即用矩陣的初等行（或列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個(gè)數(shù)，而梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個(gè)數(shù)，而初等變換不改

12、變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩初等變換不改變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩陣中非零行（或列）的個(gè)數(shù)就是原矩陣的秩陣中非零行（或列）的個(gè)數(shù)就是原矩陣的秩第一種方法當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時(shí)，計(jì)第一種方法當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時(shí)，計(jì)算量很大，第二種方法則較為簡(jiǎn)單實(shí)用算量很大，第二種方法則較為簡(jiǎn)單實(shí)用例例求下列矩陣的秩求下列矩陣的秩.34147191166311110426010021 A解解對(duì)對(duì) 施行初等行變換化為階梯形矩陣施行初等行變換化為階梯形矩陣A 34147191166311110426010021A 3514721015639010426010021,00000000005213010021

13、B . 2)()(, BRAR因因此此注意注意在求矩陣的秩時(shí)，初等行、列變換可在求矩陣的秩時(shí)，初等行、列變換可以同時(shí)兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成以同時(shí)兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形階梯形當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相同時(shí)，一當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相同時(shí)，一般用初等行變換求方程的解般用初等行變換求方程的解當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同時(shí)，求線當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同時(shí)，求線性方程組的解，一般都有兩種方法：初等行變換性方程組的解，一般都有兩種方法：初等行變換法和克萊姆法則法和克萊姆法則例例求非齊次線性方程組的通解求非齊次線性方程組的通解)1(. 2255, 1222

14、, 132, 123, 1323214321432143214321 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解對(duì)方程組的增廣矩陣對(duì)方程組的增廣矩陣 進(jìn)行初等行變換，使進(jìn)行初等行變換，使其成為行最簡(jiǎn)單形其成為行最簡(jiǎn)單形B 2025511222111321112311321B 000002035411132202552045331323425rrrrrrrr 00000001011113220255002022124rrrr 00000000001113202011001012213214rrrrr 00000000001560002110001011221332rrrrr 0000000000

15、6165100616701061650016)1(6)1(631323rrrrr.,16567650616161 )1(,43214取取任任意意常常數(shù)數(shù)的的通通解解是是可可得得方方程程組組令令自自由由未未知知量量kkxxxxxkx 由此可知，而方程組由此可知，而方程組(1)中未知中未知量的個(gè)數(shù)是，故有一個(gè)自由未知量量的個(gè)數(shù)是，故有一個(gè)自由未知量.3)()( BRAR4 n . 0323, 0, 022, 04321432143214321xaxxxxxaxxxxxxxxxx例例 當(dāng)取何值時(shí)，下述齊次線性方程組有非當(dāng)取何值時(shí)，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解零解，并且求出它的通解a解

16、法一解法一系數(shù)矩陣的行列式為系數(shù)矩陣的行列式為AaaA32311121211111 3050212010101111 aa2000010010101111 aa)2)(1( aa., 0,21方程組有非零解方程組有非零解時(shí)時(shí)或者或者當(dāng)當(dāng) Aaa:,1化化成成最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形把把系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Aa 10000000001001011323111121211111.,01014321為任意常數(shù)為任意常數(shù)kkxxxxx 從而得到方從而得到方程組的通解程組的通解 00000300101011112323121121211111,2化為化為之變換可把之變換可把由計(jì)算由計(jì)算時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)AAa 00000

17、10010100001.,1010 4321為為任任意意常常數(shù)數(shù)為為從從而而得得到到方方程程組組的的通通解解kkxxxxx aaA32311121211111 3050212010101111aa解法二解法二用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形A., 4)(,21解解可可仿仿照照解解法法一一求求出出它它的的非非零零解解此此時(shí)時(shí)方方程程組組有有時(shí)時(shí)或或者者當(dāng)當(dāng) ARaa 2000010010101111aa.,)(,1AEEAEAA 變變成成了了就就原原來(lái)來(lái)的的時(shí)時(shí)變變成成當(dāng)當(dāng)把把施施行行初初等等行行變變換換只只需需對(duì)對(duì)分分塊塊矩矩陣陣的的逆逆矩矩陣陣要要求求可可逆逆

18、矩矩陣陣.,1AEEAEA 就就變變成成了了原原來(lái)來(lái)的的時(shí)時(shí)變變成成當(dāng)當(dāng)把把施施行行初初等等列列變變換換或或者者對(duì)對(duì)分分塊塊矩矩陣陣?yán)笙率鼍仃嚨哪婢仃嚽笙率鼍仃嚨哪婢仃?111211120A解解.),(施行初等行變換施行初等行變換作分塊矩陣作分塊矩陣EA 100111010211001120 10011100112001021121rr 11010000112001021113rr 11010011102001021132rr 11010011102021001131)2(rr 110100212121010210011212r 11010021212101025232100121)1(r

19、r.1102121212523211 A注意注意用初等行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用初等行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換同樣地，用用行變換，其間不能作任何列變換同樣地，用初等列變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用列變換，其初等列變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換間不能作任何行變換BAX )1()(BA)(1BAE 初初等等行行變變換換BAX1 BABXA )2( ABE1初初等等列列變變換換BAX1 )(BATT)(1BAETT 初初等等行行變變換換ABX1 BAXTTT)(1 或者或者例例.,2,410011103 XXAAXA求矩陣求矩陣且且設(shè)設(shè) 解解,2X

20、AAX ,2100111012 EA又又,)2(AXEA 1002100100110011012AEA由由于于,322100234010225001 初等行變換初等行變換.322234225 X一、填空題一、填空題( (每小題每小題4 4分，共分，共2424分分) )1 1若元線性方程組有解，且其系數(shù)矩陣的秩為若元線性方程組有解，且其系數(shù)矩陣的秩為，則當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)時(shí)，方，則當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解程組有無(wú)窮多解2 2齊次線性方程組齊次線性方程組 0302032321321xkxxxxxkxx只有零解，則應(yīng)滿足的條件是只有零解，則應(yīng)滿足的條件是nrk的的通通解解為

21、為則則設(shè)設(shè)0,111111111 . 3 AXA4 4線性方程組線性方程組 515454343232121axxaxxaxxaxxaxx有解的充要條件是有解的充要條件是的的秩秩是是矩矩陣陣 0011102210111000. 6A二、計(jì)算題二、計(jì)算題 ARARA則則且且秩秩階階方方陣陣為為設(shè)設(shè), 3,4. 5.,. 1確確定定矩矩陣陣的的秩秩值值的的范范圍圍討討論論 ( (第第1 1題每小題題每小題8 8分，共分，共1616分；第分；第2 2題每題每小題小題9 9分，共分，共1818分；第分；第3 3題題1212分分) ) 06865035322024631543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx2 2求解下列線性方程組求解下列線性方程組 342231771110441132161015122111 4423321321321bxxxxaxx