二、三重積分的計(jì)算ppt課件

1、 第九章第九章1 第九章第九章 重重 積積 分分二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算三重積分的概念及其計(jì)算（三重積分的概念及其計(jì)算（1 1）三重積分的計(jì)算（三重積分的計(jì)算（2 2）二重積分的應(yīng)用二重積分的應(yīng)用二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì) 第九章第九章2一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 二重積分的計(jì)算法 第九章 第九章第九章3利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分)(2x 且在且在D上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí), 0),(yxf當(dāng)被積函數(shù)bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfd),(baxd由曲頂

2、柱體體積的計(jì)算可知由曲頂柱體體積的計(jì)算可知, 若若D為為 X 型區(qū)域型區(qū)域 則則)(1xy)(2xyxboyDax后積先定限，后積先定限，限內(nèi)劃條線，限內(nèi)劃條線，先交為下限，先交為下限， 后交為上限。后交為上限。)(1x 第九章第九章4若若D為為Y 型區(qū)域型區(qū)域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(則則后積先定限，后積先定限，限內(nèi)劃條線，限內(nèi)劃條線，先交為下限，先交為下限， 后交為上限。后交為上限。思路：先確定積分次序，然后再確定積分限。思路：先確定積分次序，然后再確定積分限。 第九章第九章5oxy說(shuō)明說(shuō)明:

3、(1) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y 型區(qū)域型區(qū)域 , Dyxyxfdd),(為計(jì)算方便為計(jì)算方便,可可選擇積分序選擇積分序, 必要時(shí)還可以必要時(shí)還可以交換積分序交換積分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc則有則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復(fù)雜若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干可將它分成若干1D2D3DX-型域或型域或Y-型域型域 , 321DDDD則則 第九章第九章6AoDiiii.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 面積元素面積元素利用極坐標(biāo)系計(jì)算

4、二重積分利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分 第九章第九章7域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).r型區(qū)域：型區(qū)域： 穿過(guò)區(qū)域且穿過(guò)區(qū)域且r常數(shù)的圓周常數(shù)的圓周與區(qū)與區(qū)基本簡(jiǎn)化區(qū)域的定義基本簡(jiǎn)化區(qū)域的定義域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). 型區(qū)域：型區(qū)域： 穿過(guò)區(qū)域且穿過(guò)區(qū)域且 常數(shù)的射線常數(shù)的射線與區(qū)與區(qū)后積先定限，后積先定限，限內(nèi)劃條線，限內(nèi)劃條線，先交為下限，先交為下限， 后交為上限。后交為上限。同樣適用：同樣適用： 常用！常用！重點(diǎn)掌握重點(diǎn)掌握 第九章第九章8.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos

5、(二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）, ).()(21 r區(qū)域特征區(qū)域特征極點(diǎn)在區(qū)域的外部極點(diǎn)在區(qū)域的外部后積先定限，后積先定限，限內(nèi)劃條線，限內(nèi)劃條線，先交為下限，先交為下限， 后交為上限。后交為上限。 第九章第九章9, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1r區(qū)域特征區(qū)域特征極點(diǎn)在區(qū)域極點(diǎn)在區(qū)域的外部（特殊情形）的外部（特殊情形）后積先定限，后積先定限，限內(nèi)劃條線，限內(nèi)劃條線，先交為下限，先交為下限， 后交為上限。后交為上限。 第九章第九章10AoD)(r.)sin,cos()(

6、0 rdrrrfd二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(區(qū)域特征區(qū)域特征極點(diǎn)在區(qū)域的邊界上極點(diǎn)在區(qū)域的邊界上后積先定限，后積先定限，限內(nèi)劃條線，限內(nèi)劃條線，先交為下限，先交為下限， 后交為上限。后交為上限。 第九章第九章11 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd極坐標(biāo)系下區(qū)域的極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積面積. Drdrd 二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）).(0 rDoA)(r,2 0區(qū)域特征區(qū)域特征極點(diǎn)在區(qū)域的內(nèi)部極點(diǎn)在區(qū)域的內(nèi)部后積先定限，后積先定

7、限，限內(nèi)劃條線，限內(nèi)劃條線，先交為下限，先交為下限， 后交為上限。后交為上限。 第九章第九章12(3) 計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng) 畫出積分域畫出積分域 選擇坐標(biāo)系選擇坐標(biāo)系 確定積分序確定積分序 寫出積分限寫出積分限 計(jì)算要簡(jiǎn)便計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少積分域分塊要少累次積好算為妙累次積好算為妙圖示法圖示法不等式不等式( 先積一條線先積一條線, 后掃積分域后掃積分域 )充分利用對(duì)稱性充分利用對(duì)稱性應(yīng)用換元公式應(yīng)用換元公式 第九章第九章13第四節(jié)第四節(jié) 三重積分的概念與計(jì)算三重積分的概念與計(jì)

8、算預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí) 空間的三個(gè)坐標(biāo)系空間的三個(gè)坐標(biāo)系小結(jié)小結(jié)三重積分的概念三重積分的概念在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分 第九章第九章14一、三重積分的概念一、三重積分的概念 類似二重積分解決問(wèn)題的思想類似二重積分解決問(wèn)題的思想, 采用采用kkkkv),( ),(kkkkv引例引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì)物質(zhì),),(Czyx求分布在求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的內(nèi)的物質(zhì)的可得可得nk 10limM“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限”解決方法解決方法:質(zhì)量質(zhì)量 M .密度函數(shù)為密度函數(shù)為 第九章第

9、九章15定義定義. 設(shè),),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在存在,),(zyxfvzyxfd),(稱為稱為體積元素體積元素, vd.dddzyx若對(duì) 作任意分割任意分割: 任意取點(diǎn)任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)在在 上的上的三重積分三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作在直角坐標(biāo)系下常寫作),2,1(nkvk,),(kkkkv下列下列“乘乘積和式積和式” 極限極限記作記作 第九章第九章16- 的體積的體積幾何意義幾何意義 VdV物理意義物理意義- 的質(zhì)量的質(zhì)量 MdVzyx),( -區(qū)間區(qū)間a,b的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度-平面區(qū)域平面區(qū)域D的面積的面積 baabdxDDS

10、dxdy 聯(lián)想聯(lián)想的度量的度量 d1.概括概括三重積分的性質(zhì)與二重積分類似，不再詳述。三重積分的性質(zhì)與二重積分類似，不再詳述。注意注意 第九章第九章17直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)平面：直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)平面：y=常數(shù)常數(shù) 一組平行于一組平行于XOZ的平面的平面x=常數(shù)常數(shù) 一組平行于一組平行于YOZ的平面的平面z=常數(shù)常數(shù) 一組平行于一組平行于XOY的平面的平面直角坐標(biāo)系中的體積元素：直角坐標(biāo)系中的體積元素：dV=dxdydz（1）直角坐標(biāo)系）直角坐標(biāo)系二、預(yù)備知識(shí)二、預(yù)備知識(shí) 空間的三個(gè)坐標(biāo)系空間的三個(gè)坐標(biāo)系 第九章第九章18xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有空間直角坐標(biāo)系共有

11、八個(gè)卦限八個(gè)卦限直角坐標(biāo)系中的體積元素：直角坐標(biāo)系中的體積元素：dV=dxdydz 第九章第九章19,0 r,20 . z的的柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)就就叫叫點(diǎn)點(diǎn)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)，則則這這樣樣的的三三的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)為為面面上上的的投投影影在在為為空空間間內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)，并并設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)MzrrPxoyMzyxM,),( 規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxM),(rPr（2）柱坐標(biāo)系）柱坐標(biāo)系 第九章第九章20 .,sin,coszzryrx 柱面坐標(biāo)與直角坐柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為標(biāo)的關(guān)系為為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三如圖，三組組坐標(biāo)曲面分別為坐標(biāo)曲面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面

12、；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo 第九章第九章21 第九章第九章22 dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如圖，柱面坐標(biāo)系如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為中的體積元素為,dzrdrddv 第九章第九章232. 柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：1. 平面上的極坐標(biāo)系平面上的極坐標(biāo)系+Z軸軸3. 柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系： 4. 柱坐標(biāo)的取值范圍：柱坐標(biāo)的取值范圍： zzryrx sincos222ryx xytg zr,0,20 zr,柱坐標(biāo)系要點(diǎn)柱坐標(biāo)系要點(diǎn)),(zyxM),(rPrzxyzo

13、 第九章第九章24請(qǐng)觀察柱坐標(biāo)系下的坐標(biāo)曲面：請(qǐng)觀察柱坐標(biāo)系下的坐標(biāo)曲面： =常數(shù)常數(shù) 過(guò)過(guò)Z軸的半平面軸的半平面z=常數(shù)常數(shù) 平行于平行于XOY面的平面面的平面r=常數(shù)常數(shù) 以以Z軸為中心軸的柱面軸為中心軸的柱面所以在柱坐標(biāo)下的體積元素是曲立方體，所以在柱坐標(biāo)下的體積元素是曲立方體，其體積為：其體積為：drdzrddv 幾何解釋幾何解釋),(zyxM),(rPrzxyzo 第九章第九章251 球坐標(biāo)系下的坐標(biāo)：球坐標(biāo)系下的坐標(biāo)：2 球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：3 球坐標(biāo)的取值范圍：球坐標(biāo)的取值范圍：r , cossinsincossinrzryrx2222rzyx 222

14、2sinryx 0 ,0 ,20r幾何解釋：幾何解釋：（3）球坐標(biāo)系）球坐標(biāo)系Pxyzo),(zyxMr zyxA 第九章第九章26,r 0.20 ,0 規(guī)定：規(guī)定：為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 三坐標(biāo)面分別為三坐標(biāo)面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面 第九章第九章27 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐標(biāo)系中的體積元素為球面坐標(biāo)系中的體積元素為,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如圖，如圖， 第九章第九章28 第九章第九章29 dxdydzzyxf),(

15、.sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐標(biāo)系中的體積元素為球面坐標(biāo)系中的體積元素為,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如圖，如圖， 第九章第九章30二重積分的二重積分的幾何意義幾何意義：二重積分的二重積分的定定 義義：二重積分的二重積分的物理意義物理意義：平面薄片：平面薄片D的質(zhì)量的質(zhì)量 知識(shí)回顧知識(shí)回顧 Dniiiifdyxf10),(lim),( DyxfVyxfVdyxf)0,(0),(),( DDdyxM ),(二、三重積分的概念及其計(jì)算方法二、三重積分的概念及其計(jì)算方法 第九章第九章311. 利用直角坐標(biāo)計(jì)

16、算三重積分利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截面法截面法 (“先二后一先二后一”) 方法方法3 . 三次積分法三次積分法 ,0),(zyxf先假設(shè)連續(xù)函數(shù)先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 引出下列各計(jì)算方法：引出下列各計(jì)算方法： 第九章第九章32xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx,Dxoy面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域在在閉區(qū)域閉區(qū)域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作作直直線線過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)Dyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從21zz投影法（先一后二法）投影

17、法（先一后二法）如圖如圖 第九章第九章33函函數(shù)數(shù)，則則的的只只看看作作看看作作定定值值，將將先先將將zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重積積分分在在閉閉區(qū)區(qū)間間計(jì)計(jì)算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得 第九章第九章34 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx于兩點(diǎn)情形于兩點(diǎn)情形相交不多相交不多的邊界曲面的邊界曲面直線與閉區(qū)域直線與閉區(qū)域內(nèi)部的內(nèi)部的軸且穿過(guò)閉區(qū)域軸且穿過(guò)閉區(qū)域

18、這是平行于這是平行于Sz 注注意意Z 型區(qū)域型區(qū)域 第九章第九章35例例 1 1 化化三三重重積積分分 dxdydzzyxfI),(為為三三次次積積分分，其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域 為為由由曲曲面面 222yxz 及及22xz 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域.解解由由 22222xzyxz, 得得交交線線投投影影區(qū)區(qū)域域, 122 yx 第九章第九章36故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI 第九章第九章37例例2 2 化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfI),(為三為三次積分，其中次積分，其中 積分區(qū)域積分區(qū)域 為

19、由曲面為由曲面22yxz ,2xy ,1 y, 0 z所圍所圍成的空間閉區(qū)域成的空間閉區(qū)域.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如圖如圖 1101222),(yxxdzzyxfdydxI. 第九章第九章38abbzaDyxz),(:為底為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為為高的柱形薄片質(zhì)量為zD以xyz該物體的質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度面密度zd記作記作截面法（先二后一法）截面法（先二后一法）Z=C去截去截 第九章第九章39例例 3 3 計(jì)計(jì)算算三三重

20、重積積分分 zdxdydz，其其中中 為為三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面及及平平面面1 zyx所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. 解解（一）（一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原原式式 102)1(21dzzz241 .xozy111 第九章第九章40 zdxdydz解解（二）（二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111 第九章第九章41例例 4 4 計(jì)計(jì)算算三三重重積積分分dxdydzz 2，其其中中 是是由由 橢橢球球面面1222222 czbyax所所成成的的空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域. : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解 第九章第九章42)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式 第九章第九章43例例 5 5 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分dxdydz