2019八年級數(shù)學(xué)下冊專題提升三以特殊平行四邊形為背景的計算與證明同步練習(xí)新版浙教版1

1、專題提升三 以特殊平行四邊形為背景的計算與證明類型一 特殊平行四邊形的閱讀理解問題1. 閱讀下列材料：我們定義：若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，則稱這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形如正方形就是和諧四邊形.結(jié)合閱讀材料，完成下列問題：（1）下列哪個四邊形一定是和諧四邊形（ ） A 平行四邊形 B 矩形 C 菱形 D 以上答案都不對（2）如圖，等腰RtABD中，BAD=90°. 若點C為平面上一點，AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC，請直接寫出ABC的度數(shù).2 一張長方形紙片，剪下一個正方形，剩下一個長方形，稱為第一次操作；在剩下的矩

2、形紙片中再剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則稱原矩形為n階奇異矩形 如圖1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，則稱矩形ABCD為2階奇異矩形（1）判斷與操作：如圖2，矩形ABCD長為5，寬為2，它是奇異矩形嗎？如果是，請寫出它是幾階奇異矩形，并在圖中畫出裁剪線；如果不是，請說明理由（2）探究與計算：已知矩形ABCD的一邊長為20，另一邊長為a（a20），且它是3階奇異矩形，請畫出矩形ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖的下方寫出a的值3. 如圖，ABC中，已知BAC45°，ADBC于D，BD2，DC3，求AD的長.小萍同學(xué)靈活運用軸

3、對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題.請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：（1）分別以AB、AC為對稱軸，畫出ABD、ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，求證：四邊形AEGF是正方形；（2）設(shè)AD=x，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值.類型二 特殊平行四邊形的探究性問題4. 如圖，ABC中，點O為AC邊上的一個動點，過點O作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的外角平分線CF于點F，交ACB內(nèi)角平分線CE于E（1）求證：EO=FO；（2）當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論；（3）若AC邊上存在點O，使四邊形AECF是正方形，猜想ABC的

4、形狀并證明你的結(jié)論.5. 翻閱第四章同步，我們曾做過以下題目：在此基礎(chǔ)上，思考并解答以下新問題：（1）當(dāng)BAC60°時，四邊形ADEF是平行四邊形嗎？請說明理由；（2）當(dāng)ABC滿足什么條件，四邊形ADEF是菱形？請說明理由；（3）當(dāng)ABC滿足什么條件，四邊形ADEF是矩形？請說明理由；（4）當(dāng)ABC滿足什么條件，四邊形ADEF是正方形？請說明理由.6. （1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DFBE. 求證：CECF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果GCE45°，請你利用（1）的結(jié)論證明：GEBEGD

5、；（3）運用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖3，在四邊形ABCD中，ADBC，（BC>AD），B90°，ABBC，E是AB上一點，且DCE45°，BE4，DE10，求四邊形ABCD的面積7 如圖，已知在RtABC中，ABC=90°，C=30°，AC=12cm，點E從點A出發(fā)沿AB以每秒1cm的速度向點B運動，同時點D從點C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向點A運動，運動時間為t秒（0t6），過點D作DFBC于點F（1）試用含t的式子表示AE、AD的長；（2）如圖1，在D、E運動的過程中，四邊形AEFD是平行四邊形，請說明理由；（3）

6、如圖2，連結(jié)DE，當(dāng)t為何值時，DEF為直角三角形？（4）如圖3，將ADE沿DE翻折得到ADE，試問當(dāng)t為何值時，四邊形AEAD為菱形？ 8. 如圖，ABCD，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連結(jié)EF，AEF、CFE的平分線交于點G，BEF、DFE的平分線交于點H.（1）求證：四邊形EGFH是矩形；（2）小明在完成（1）的證明后繼續(xù)進行了探索，過G作MNEF，分別交AB，CD于點M，N，過H作PQEF，分別交AB，CD于點P，Q，得到四邊形MNQP，此時，他猜想四邊形MNQP是菱形，請在下列框中補全他的證明思路.由ABCD，MNEF，PQEF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，要證MNQP是菱形，只

7、要證MN=NQ，由已知條件 ，MNEF，故只要證GM=FQ，即證MGEQFH，易證 、 . 故只要證MGE=QFH，易證MGE=GEF，QFH=EFH， ，即可得證.參考答案專題提升三 以特殊平行四邊形為背景的計算與證明1. （1）C 【點撥】根據(jù)和諧四邊形定義，平行四邊形，矩形，等腰梯形的對角線不能把四邊形分成兩個等腰三角形，菱形的一條對角線能把四邊形分成兩個等腰三角形 故選C.（2）等腰RtABD中，BAD=90°，AB=AD. AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC，分三種情況討論：若AD=CD，如圖1，則凸四邊形ABCD是正方形，ABC=90°；若AD=AC，

8、如圖2，則AB=AC=BC，ABC是等邊三角形，ABC=60°；若AC=DC，如圖3，則可求ABC=150°.2. （1）矩形ABCD是3階奇異矩形，裁剪線的示意圖如下：（2）裁剪線的示意圖如下： 3. （1）證明：由題意可得：ABDABE，ACDACF DAB=EAB，DAC=FAC，又BAC=45°，EAF=90° 又ADBC，E=ADB=90°，F(xiàn)=ADC=90° 四邊形AEGF是矩形，又AE=AD，AF=AD，AE=AF 矩形AEGF是正方形（2）設(shè)AD=x，則AE=EG=GF=x BD=2，DC=3，BE=2，CF=3，BG

9、=x-2，CG=x-3，在RtBGC中，BG2+CG2=BC2，（x-2）2+（x-3）2=52 化簡得，x2-5x-6=0，解得x1=6，x2=-1（舍去），所以AD=x=64. （1）CE平分ACB，ACE=BCE，MNBC，OEC=ECB，OEC=OCE，OE=OC，同理，OC=OF，OE=OF；（2）當(dāng)點O運動到AC中點處時，四邊形AECF是矩形 如圖AO=CO，EO=FO，四邊形AECF為平行四邊形，設(shè)ABC的外角為ACG，CE平分ACB，ACE=ACB，同理，ACF=ACG，ECF=ACE+ACF=（ACB+ACG）=×180°=90°，四邊形AECF

10、是矩形；（3）ABC是直角三角形，四邊形AECF是正方形，ACEN，故AOM=90°，MNBC，BCA=AOM，BCA=90°，ABC是直角三角形5. （1）不是，此時FAD180°，四邊形FAED將變成一線段；（2）當(dāng)ABC滿足ABAC且BAC60°時，四邊形ADEF是菱形，理由略；（3）當(dāng)ABC滿足BAC150°時，四邊形ADEF是矩形，理由略；（4）當(dāng)ABC滿足ABAC且BAC150°時，四邊形ADEF是正方形，理由略.6. （1）四邊形ABCD是正方形，BCCD，BCDF90°，BEDF，CBECDF（SAS） CE

11、CF.（2）證明：如圖1，延長AD至F，使DFBE，連結(jié)CF. 由（1）知CBECDF，BCEDCF. BCEECDDCFECD，即ECFBCD90°，又GCE45°，GCFGCE45°. CECF，GCGC，ECGFCG.GEGF，GEGFDFGDBEGD.（3）如圖2，過C作CGAD，交AD延長線于G. 在四邊形ABCD中，ADBC，AB90°，又CGA90°，ABBC，四邊形ABCG為正方形 AGBC. DCE45°，根據(jù)（1）（2）可知，EDBEDG. 104DG，即DG6. 設(shè)ABx，則AEx4，ADx6，在RtAED中，D

12、E2AD2AE2，即102（x6）2（x4）2. 得：x12或x2（舍去） AB12. S梯形ABCD（ADBC）·AB×（612）×12108. 即四邊形ABCD的面積為108.7. （1）AE=t，AD=12-2t.（2）DFBC，C=30°，DF=CD=×2t=t. AE=t，DF=AE. ABC=90°，DFBC，DFAE. 四邊形AEFD是平行四邊形.（3）顯然DFE90°. 如圖1，當(dāng)EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形，此時AE=AD，t（12-2t）. t=3. 如圖2，當(dāng)DEF=90°

13、時，此時ADE=90°，AED=90°-A=30°.AD=AE. 12-2tt. t.綜上：當(dāng)t=3秒或t秒時，DEF為直角三角形.（4）如圖3，若四邊形AEAD為菱形，則AE=AD. t=12-2t. t=4. 當(dāng)t=4秒時，四邊形AEAD為菱形.8. （1）證明：EH平分BEF，F(xiàn)EH=BEF，F(xiàn)H平分DFE，EFH=DFE，ABCD，BEF+DFE=180°，F(xiàn)EH+EFH=（BEF+DFE）=×180°=90°，F(xiàn)EH+EFH+EHF=180°，EHF=180°-（FEH+EFH）=180°-90°=90，同理可得：EGF=90°，EG平分AEF，GEF=AEF，EH平分BEF，F(xiàn)EH=BEF，點A、E、B在同一條直線上，AEB=180°，F(xiàn)EG+FEH=（AEF+BEF）=